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希望杯历年真题集(九年级)-附答案

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (3)

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛(第1试) (7)

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (11)

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛(第1试) (15)

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛(第2试) (19)

第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (23)

第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (27)

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (31)

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (35)

第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (40)

第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (43)

参考答案 (47)

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（）

A ．8分钟

B ．7分钟

C ．6分钟

D ．5分钟 2．若关于x 的一元二次方程()2320a b x ax b +++=有唯一解，则这个解是（）

A ．23-

B ．32-

C ．23

D ．32

3．如图，已知////AD EF BC ，::1:2:4AD EF BC =，则梯形AEFD 与梯形EBCF 的面积之比为（）

A ．1:2

B ．1:3

C ．1:4

D ．2:3

4．一个兵乓球队有男队员6人，女队员5人，其中男、女左撇子分别有3人和2人，若从这个球队任意抽取2人，则抽到2个左撇子的概率是（）

A ．

211 B ．511 C ．15

D ．25121

5．已知x ，y 都是负整数，且满足66x

y x

-，则y 的最小值为（） A ．3- B ．4- C ．5- D ．6-

6．已知等腰ABC 中，,30AB AC BAC =∠=?,AD 为BC 边上的高，P 点在AC 上，E 点在AD 上，若PE EC +的最小值为4，则ABC 的面积为（）

A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

7．如图，AB 是圆O 的直径，点C 平分AB ，点D 平分AC ，DB 、CA 交于点E ，则

的值（）

A ．13

B ．1

4 C ．1 D

8．已知直线()0y kx k =<与双曲线2

y x

交于点()11A x y ，和()22B x y ，两点，则122138x y x y -的值是（） A ．10- B ．5- C ．5 D ．10

9．用一些棱长是1的小正方体堆成一个立体，下图分别是它的俯视图和主视图，则这个立体的表面积（含下底面面积）的值最小是（）

A ．42

B ．43

C ．44

D ．46

10．如图，在ABC 中，BAC ∠、BCA ∠的平分线相交于点I ，若35B ∠=，BC AI AC =+，

则BAC ∠的度数为（）

A ．60

B ．70

C ．80

D ．90

二、A 组填空题（每小题4分，共40分）

11．如图，正六边形的边向外延长一倍，连接端点后又构成一个大的正六边形，则小正六边形与大正六边形的面积之比为；

12．若对于p 的任意值，抛物线2

231y x px p =-++都过一个定点，则这个定点的坐标是； 13．如图，正方形ABCD 的边长为 4，E 点在BC 上，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则EC = ；

14．在锐角ABC 中，54AB AC ==，，则BC 的取值范围是；

15．袋中装有大小相同的黑球、白球、红球各2个，规定：取出一个黑球计0分，取出一个白球计1 分，取出一个红球计2分；在抽取这些球的时候，看不到球的颜色.甲先取出3个球，不再放回袋中，然后，乙取出剩余的3个球；取出球的总积分多者获胜.则甲乙成平局的概率为；

16．不等式21x x a -+-≥对所有实数x 都成立，则 a 的最大值是； 17．如图，设M 是ABC 的重心，过M 的直线分别交边AB AC 、于P Q 、两点，且AP

m PB

=，AQ n QC =，则11

m n

+= ；

18．已知抛物线()20y ax bx c c =++≠与x 轴的交点坐标为()()1,0,3,0-,当25x -≤≤时，y 的最大值为12，则该抛物线的解析式为；

19．已知平面直角坐标系中有()1,3A ，()3,1B 两点，在x y 、轴上分别找一点C D 、，使四边形的周长最小，则最小周长为；

20．明明用计算器求代数式()a b c +的值.他依次按出“,,,,,a b c ?+=”，显示11；当他依次按“,,,,b c a +?=”，显示14 (其中,,a b c 均为正整数).这时他才明白不按括号时，计算器先做乘法再做加法.那么如果他按键正确(该加括号时加括号)时，显示结果应为；

三、B 组填空题（每小题 8 分，共 40 分）

21．已知代数式22 342x xy y x by ---+-能分解为两个关于x y 、的一次式的乘积，则b = 或； 22．已知,,x y z 是三个非负实数，满足3252x y z x y z ++=+-=，，若2S x y z =+-，则S 的最大值为最

小值为；

23．已知()2f x ax bx c =++，若()01f =，并且()()12f x f x x +-=，则()1f = ，()1f -= ，a = ，b = ；

24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A C 、分别在轴上，顶点B 在()14,8，点E F 、分别在OA 、 OB 、上.将AEF 沿EF 对折，使点A 落在线段BC 上的点D 处.经过抛物线()2220y ax abx ab c c =-++<顶点P 的

每一条直线总平分矩形OABC 的面积.若点P 在线段DE 上，AF 的长为整数，且已知抛物线与线段EF 仅有一个交点，则点F 的坐标是，a 的取值范围是；

25．某种在同一平面内进行传动的机械装置如左图，右图是它的示意图.其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且PQ 带动连杆OP 绕定点O 摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的O 上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O 做 OH l ⊥于点H ，并测得4OH = 分米，3PQ = 分米，2OP = 分米.则点Q 在l 上允许滑动的最大距离为分米，点P

在O 上的最大移动路线长为分米；

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．如图1所示，一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起，则它们的主视图是（）

图1 A B C D

2．完成一项工作,甲单独做需a 天,乙单独做需b 天,甲乙合作需c 天,则丙单做全部工作所需的天数是（）

A ．

abc ab ac bc -- B ．abc ab ac bc +- C ．ab ac bc

abc

++ D ．()ab c b a c --

3．已知1,0,1x ≠-，则

x x x x x x -+++

-+的值可能是（） A ．比3大的数 B ．比3-小的数 C ．1,3±± D ．比3-大,并且比3小的数

4．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，两条对角线交于点E .已知ABE 的面积是a ,CDE 的面积是b ，则梯形ABCD 的面积是（）

A ．22a b +

B )a b +

C ．

D ．()2

a b +

5．已知a ,b 是实数，关于x 的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组是（）

A ．11ax bx >??>?

B ．11ax bx >??

C ．11ax bx ?

D ．1

1ax bx

6．如图，AB BC ⊥，AB BC =，点D 在BC 上，以D 为直角顶点作等腰直角，则当D 从B 运动到C 的过程中，点E 的运动轨迹是（）

A ．圆弧

B ．抛物线

C ．线段

D ．双曲线

7．已知实数1234,,,x x x x 满足条件12312342

34134124

x x x a x x x a x x x a x x x a ++=??

++=??++=??++=?其中1234a a a a <<<,则1234,,,x x x x 的大小关系是（）

A ．1234x x x x <<<

B ．2314x x x x <<<

C ．3214x x x x <<<

D ．4321x x x x <<< 8．已知23x ≤≤，则函数()2

1y x =-的取值范围是（）

A ．14y ≤≤和916y ≤≤

B ．116y ≤≤

C ．49y ≤≤

D ．19y ≤≤ 9．如图，已知梯形ABCD 中，//AB DC A C αβ∠=∠=，，，则:AD BC 等于（）

A ．sin :cos αβ

B ．sin :sin αβ

C ．sin :sin βα

D ．cos :sin αβ

10．若关于x 的二次函数221y x mx =-+的图像与端点在()1,1-和()3,4的线段只有一个交点，则m 的取值可能是（）

A ．52

B ．13-

C ．12

D ．1

二、A 组填空题（每小题4分，共40分）

11．若两位数除以他的数字和等于7，则这样的两位数有个. 12．已知21x y -=,则22425x y x y ---+= ；

13．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，已知2OB OA OA OC =<，，则,,a b c 满足的关系式是；

14．如图，已知A B C 、、三点在同一个圆上，并且AB 是圆O 的直径，若点C 到AB 的距离5CD =，则圆O 的面积最小是

；

15．如图，在边长为1的正方形中，分别以四个顶点为圆心，作半径为1的圆弧，则图中阴影部分的面积是；

16．如图，在梯形ABCD 中，2//76BA CD AD AB AB CD m BC m ⊥===，，，，，若以BC 为直径的圆与AD 没有公共点，则m 的取值范围是；

17．设()f x 是关于x 的多项式，()f x 除以()21x +，余式是3；()2f x 除以()32x -，余式是4-，那么，()3f x 除以()242x x --，余式是；

18．已知实数,a b 满足3a ab b ++=，若m a ab b =-+，则m 的取值范围是；

19．Tom’s computer has password,which contains only numbers from 0 to 9.If the probability to guess the right password only one time is less than

2012

，then at least the password has digits. 20．Suppose point ()1,A m - is on the graph of the function 2

y x

，,,,B C D respectively,are point As symmetric points of x -axis,origin,y-axis.Then the area of the quadrilateral ABCD is ；

三、B 组填空题（每小题8分，共40分） 21．反比例函数1k y x =

和一次函数2y k x b =+的图象交于点2

(3,)3

M -和点()1,2N -，则1k = ，2k = ，一次函数的图象交x 轴于点；

22．已知,a b 是实数，且2210a a -=，则a = ，b = ；

23．已知,a b 是有理数，1x =是方程20x ax b -+=的一个解，则a 的值是，b 的值是； 24．如图，已知ABC 中，CD AB ⊥于点D ，26BD AD CD ==，，8

cos 9

ACD ∠=，BE 是AC 边上的高，则AD = ，BE = ；

25．已知点A B P

a=?，

∠=，点M是上的动点，且使ABM为等腰三角形.若45、、是O上不同的三点，APB a

则所有符合条件的点M有个，若满足题意的点M有2个，则a=；

第二十三届 “希望杯”全国数学邀请赛（第2试）

一、选择题（每小题4分，共40分） 1．若反比例函数k y x =

的图像经过点1,22??

- ???

，则k 的值为（） A ．1- B ．1 C ．4- D ．4

2．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列代数式的值恒为正值的是（）

A ．abc

B ．ac

C ．bc

D ．ab

3．若存在12x ≤≤，使得2120ax -->，则a 的取值范围是（）

A ．14a <-

B ．34a >

C ．1344a -<<

D ．14a <-或3

a >

4．直线k y x k

总是下列哪个函数图像的对称轴？（）

A ．y k x =

B ．k

y x

C ．2y kx =

D ．y kx = 5．若实数,,a b c 满足2222221,2,3,a b b c c a +=+=+=则ab bc ca ++的最小值为（）

A ．

B ．

C ．

D 6．如图，双曲线(0)k

y k x

>经过Rt AOB ?的斜边AB 的中点C ,,AF AO ⊥,BF BO ⊥,AF BF 与双曲线分别交于点,D E ,若8,6,OA OB ==则四边形ODFE 的面积是（）

A ．12

B ．24

C ．36

D ．40

7．对于实数a ，规定[]a 表示不大于a 的最大整数，如[][]2.12, 1.52,=-=-则方程[][]2

4x y +=的解在xOy 坐标系

中的图像是（）

A B C D 8．某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计，得到下表：

若获利是销售量的二次函数，则该商店获利的最大值是（）

A ．9万元

B ．9.25万元

C ．9.5万元

D ．10万元

9．如图，已知长方形ABCD 的边长32AB AD ==，,点E 在BC 边上，且AE EF ⊥,EF 交CD 于F ,设,BE x FC y ==，则当点E 从点B 运动到点C 时，y 关于x 的函数图像是（）

A B C D

10．若凸n 边形12

n A A A 适合以下：

（1）1100A ∠=,（2）18,1,2,,1,k k A A k n +∠=∠+=-则n 的值是（）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 二、A 组填空题（每小题4分，共40分）

11．若ABC ?是半径为1的圆的内接三角形，BC =则A ∠= ； 12．方程

1111

2012201420162018

x x x x -=-

----的解是x = ； 13．如图，P 是等边ABC ?内一点，3,4,5,AP BP PC ===则APB ∠= ；

14．边长为整数，且周长为2012的等腰三角形有个.

15．已知关于x 的一元二次方程222(1)(1)0x m x m --+-=有两个不相等的实根,αβ，若224,αβ+=则m = ； 16．已知ABC ?的三个顶点的坐标分别为(1,5),(6,2),(1,2),A B C ----则ABC ?外接圆半径的长度为；

17．已知坐标平面xOy ，Rt ABC ?中的直角顶点是A ，点B 与点O 重合，点C 在坐标轴上，则点C 的坐标是；

18．已知350,x y z -+=并且230x y z ++=，则222222

3323x y z xy yz zx x y z

-+++-+-的值等于； 19．α和β是方程2210x x --=的两根，2α和2β是20x mx n ++=的两根，点(,)m n 在一次函数(3)y kx n =+-的图像上，则此函数的解析式是 .它的图像与xOy 坐标平面内的坐标轴围成的图形的面积是； 20．如图5，在直角梯形ABCD 中，,90,AB CD BAD ADC ∠=∠=∥两条对角线的交点为O ，O 与AD 相切，并与以AD 为直径的O '内切，已知AD 长为h ，则梯形ABCD 的面积是；

三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．解方程44(2)820x x +--=

22．如图所示，已知二次函数28y x bx =-++的图像与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ,且(4,0)B . （1）求二次函数的解析式及其图像的顶点D 的坐标；

（2）若点(,0)M p 是x 轴上的一个动点，则当MC MD -取得最大值时，求p 的值；

（3）如果点(,)E m n 是二次函数28y x bx =-++的图像上的一个动点，且ABE ?是钝角三角形，求m 的取值范围.

23．给你若干个边长都是1的正三角形，正方形，正五边形，正六边形，从其中任选两种（个数不限），将它们拼接，要求是：（1）使某边重合；（2）两种图形中的任何一种不得有公共部分.

问：（1）用选出的两种图形围成正n 边形，如：用3个正方形和3个正六边形围成一个正三角形ABC （如下图）. 请你再举两例，并作图说明.

（2）对于（1）中的正n 边形，求它的外接圆的半径.

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．若m n 、是方程210x -+=的两个根，则

n m

m n

-的值是（）

A ．±

B ．±

C ．±

D ．±2．设O 的半径是5，点P 不在O 外，若点O 与P 的距离222OP m m =-+,则m 的取值范围是（） A ．1m <-或3m > B ．13m -≤≤ C ．1m ≤- D ．3m ≥

3．如图，O 内的点P 在弦AB 上，点C 在圆O 上，PC OP ⊥，若2BP =，6AP =,则CP 的长等于（）

A ．

B ．4

C ．

D ．

4．如图是类似“羊头的”图案，它左右对称，由正方形，等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是，那么标有数字“2”的等腰直角三角形的斜边的长是（）

A ．4

B ．

C ．2

D ．

5．若m n 、()()m n n m +-的差的绝对值最小的整数是（） A ．55- B ．56- C ．16- D ．15-

6．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，30QON ∠=?，点A 在OQ 上，240AO = (米)，当火车行驶时，周围200米以内未受到噪音的影响，现有一列火车沿MN 方向意72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计)，那么，A 处受噪音影像的时间为（）

A ．12秒

B ．16秒

C ．20秒

D ．24秒 7．In

ABC as shown in fig, ,,AB AC BD EC BE CF ===,if 50A ∠=?,then the degree of DEF ∠ is （）

A ．60?

B ．65?

C ．70?

D ．75?

8．如图5，2O 的半径是1，正方形ABCD 的边长是6，点2O 是正方形ABCD 的中心，12O O 垂直AD 于P 点，128O O =，若将1O 绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（）

A ．3次

B ．5次

C ．6次

D ．7次

9．如图，在同一个平面直角坐标系内，二次函数()120y ax bx c a =++≠和一次函数()20y dx e d =+≠的图象相交于点(),A m n 和点(),B p q ，当12y y <时，用,m p 表示x 的取值范围，则是（）

A ．m x p <<

B ．x m <

C ．x p >

D ．x m >

10．如图，在正方形ABCD 中，点M N 、分别在边AB BC 、上运动(不与正方形的顶点重合)，2BN AM =，若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似，则这样的点M 有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、A 组填空题（每小题4分，共40分）

11．已知实数,a b 不相等，并且2215,15,a a b b +=+=则2211

a b

+= ； 12．If 11

1a m

=-, 2111a a =-, 3211a a =-,...,then 2013a in terms of m is

；

13．如图，在3×2的方格纸上，以某三个格点为顶点的三角形中，等腰三角形共有个.

14．若实数,,x y z 使20x y z ++=和3250x y z ++=成立，并且0z ≠，则2222222457x y z xy x z xz -+--+的值是；

15, ，则此三角形的面积是；

16．已知抛物线2(0)y ax bx c c =++≠与x 轴的交点坐标为()1,0-,()3,0,当25x -≤≤时，y 的最大值为12，则该抛物线的解析式为；

17．如图，直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，10AB =，25BC =，15AD =，以BD 为折痕，将ABD 折起，旋转180°后，点A 到点1A ，则凹五边形1BDCEA 的面积为；

18．如图，将边长为a 的正方形ABCD 绕其顶点C 顺时针旋转45?，得四边形A B C D ''''，则图中阴影部分的面积是；

19．If

7，then the value range of real number a is ；

20．如图，从边长为5的正方形纸片ABCD 中剪去直角EBF (点E 在边AB 上，点F 在边BC 上)，EB BF +=则五边形AEFCD 的面积的最小值是；

三、B 组填空题（每小题8分，共40分）

21．下图是由若干个棱长为1厘米的正方形堆成的几何体，它的三视图中，面积最大的是平方厘米，这个几何体的体积是立方厘米

22．如图，在ABC 中，502A AB AC ∠=?==，，BD 是边AC 上的高，利用此图可求得tan15?= ；BC = ；

23．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点，若凸n 边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其它整点，则n = ；

24．如图，直角梯形中， 1.5213////90AB CD AF AD AB EF CD A ====∠=?，，，，，，分别以AD FE ，所在的直线为x 轴、y 轴建立坐标系(,AD FE 为正方向)若抛物线过点B C 、，并且它的顶点M 在线段EF 上，则a = b = c = ；

25．如图，ABC 中，90602B A AB AD ∠=?∠=?==，，，点M 在DC 上，以M 为圆心，以DM 为半径的半圆切边BC 于点N ，交MC 于点P ，则DM = 曲边的面积= ；

附加题（每小题10分，共20分）

1．若()326116f x x x ax =-+-可以被()23g x x =-整除，则a = 当()0f x >时，x 的取值范围是；

2．有一堆黑，白围棋子，如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子，当黑子被取完或剩下1枚或2枚时，则还剩35枚白子，如果每次取出5枚黑子和7枚白子，当白子被取完或剩下不足7枚时，则还剩下35枚黑子，那么这堆棋子中，原有黑子枚，白子枚；

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛（第2试）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．如图，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点M 在边DC 上，若AM 平分DMB ∠，则AMD ∠的大小是（）

A ．75

B ．60

C ．45

D ．30

2 ）

A ．

B ．-

C ．

D ．-3．一个矩形被直线分成面积为,x y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是（）

A B C D 4．函数31

x y x x

-中，x 的取值范围是（） A ．0以外的一切实数 B ．0,1-以外的一切实数 C ．1±以外的一切实数 D ．0,1±以外的一切实数

5 ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 6．代数式25x x -++（）

A ．有最小值，没有最大值

B ．有最大值，没有最小值

C ．既有最小值，也有最大值

D ．既没有最小值，也没有最大值

7．如图，△ABC 中，AB=2，BC=4,CA=3,平行于BC 的直线l 过△ABC 的内心I ,分别交边AB AC 、于点D E 、,则ADE 的周长是（）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

8．若动点)M x y （，到定点A 324??

???

，的距离等于M 到直线54y =的距离，则动点)M x y （，的轨迹（）

A ．双曲线

B ．抛物线

C ．双曲线的一支

D ．一条直线

9．不等式0a 的解是（） A ．0a ≠ B ．1a >或1a <- C ．1a >或10a -<< D ．0a >或1a <-

10．如图，ABC 中,1,2,90AB AC ABC ==∠=,若BD EF GH 、、都垂直于AC DE FG HI 、、、都垂直于BC ,则阴影HIC 的面积与ABC 的面积的比是（）

A ．6

34?? ??? B ．6

324??? ??? C 6

34??

???

D ．6

2334??? ???

二、填空题（每小题4分，共40分）

112=的根是； 12．若正n 边形的一个外角为5?,则n = ；

13．已知关于x 的方程224220x x p p --++=的一个根为p ，则p = ；

14．平面直角坐标系内，一只跳蚤停在点()5,0处，它要跳到点()6,0处，它每一跳都是飞越5个长度单位，并且总是跳到整点（坐标都是整数的点），也不从原路返回，那么，当它跳到点()6,0时，至少跳了次 15．将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值是；

16．将相同的平行四边形和相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是；

17．ABC 中，3,5,120AC BC ACB ==∠=,点M 平分AB ,则tan MCA ∠= ，MC = ；