第八章 立体几何 8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和
距离 理
1.两条异面直线所成角的求法
设a ,b 分别是两异面直线l 1,l 2的方向向量,则
2.直线与平面所成角的求法
设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为θ,a 与n 的夹角为β,则sin θ=|cos β|=|a ·n |
|a ||n |.
3.求二面角的大小
(1)如图①,AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD →
〉.
(2)如图②③,n 1,n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=|cos 〈n 1,n 2〉|,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 【知识拓展】
利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离
设点A (x 1,y 1,z 1),点B (x 2,y 2,z 2),则|AB |=|AB →|= x 1-x 2 2+ y 1-y 2 2+ z 1-z 2 2.
(2)点到平面的距离
如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离为|BO →
|=|AB →
·n ||n |.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × )
(4)两异面直线夹角的范围是(0,π2],直线与平面所成角的范围是[0,π
2],二面角的范围
是[0,π].( √ )
(5)若二面角α-a -β的两个半平面α,β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α-a -β的大小是π-θ.( × )
1.(2017·烟台质检)已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角为( ) A .45° B .135° C .45°或135° D .90°
答案 C
解析 cos 〈m ,n 〉=m ·n |m ||n |=11×2=2
2
,
即〈m ,n 〉=45°.
∴两平面所成的二面角为45°或180°-45°=135°.
2.已知向量m ,n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量,若cos 〈m ,n 〉=-1
2
,则
l 与α所成的角为( )
A .30°
B .60°
C .120°
D .150° 答案 A
解析 设l 与α所成角为θ,∵cos〈m ,n 〉=-1
2
,
∴sin θ=|cos 〈m ,n 〉|=1
2
,∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.故选A.
3.(2016·郑州模拟)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,CA =CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )
A.55
B.53
C.56
D.
54
答案 A
解析 设CA =2,则C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,0,1),C 1(0,2,0),B 1(0,2,1),可得向量AB 1→
=(-2,2,1),BC 1→=(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos 〈AB 1→,BC 1→
〉=0+4-14+4+1×0+4+1
=
1
5=5
5
,故选A. 4.(教材改编)如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为22,则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为________.
答案
π6
解析 以A 为原点,以AB →,AE →(AE ⊥AB ),AA 1→
所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系,设D 为A 1B 1中点,
则A (0,0,0),C 1(1,3,22),D (1,0,22),∴AC 1→
=(1,3,22), AD →
=(1,0,22).
∠C 1AD 为AC 1与平面ABB 1A 1所成的角, cos∠C 1AD =AC 1→·AD
→
|AC 1→||AD →|
= 1,3,22 × 1,0,22 12×9=32,
又∵∠C 1AD ∈?
?????0,π2,∴∠C 1AD =π6.
5.P 是二面角α-AB -β棱上的一点,分别在平面α、β上引射线PM 、PN ,如果∠BPM =∠BPN =45°,∠MPN =60°,那么二面角α-AB -β的大小为________. 答案 90°
解析 不妨设PM =a ,PN =b ,如图,
作ME ⊥AB 于E ,NF ⊥AB 于F , ∵∠EPM =∠FPN =45°, ∴PE =
22a ,PF =2
2
b , ∴EM →·FN →=(PM →-PE →)·(PN →-PF →
) =PM →·PN →-PM →·PF →-PE →·PN →+PE →·PF → =ab cos 60°-a ×
22b cos 45°-22a ×b cos 45°+22a ×22
b =ab 2-ab 2-ab 2+ab
2=0,
∴EM →⊥FN →,
∴二面角α-AB -β的大小为90°.
题型一 求异面直线所成的角
例1 (2015·课标全国Ⅰ)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC .
(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
(1)证明 如图所示,连接BD ,设BD ∩AC =G ,连接EG ,FG ,EF .
在菱形ABCD 中,不妨设GB =1. 由∠ABC =120°,可得AG =GC = 3. 由BE ⊥平面ABCD ,AB =BC =2,可知AE =EC . 又AE ⊥EC ,所以EG =3,且EG ⊥AC . 在Rt△EBG 中,可得BE =2,故DF =22
. 在Rt△FDG 中,可得FG =
62
. 在直角梯形BDFE 中,由BD =2,BE =2,DF =22,可得EF =322
,从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG .
又AC ∩FG =G ,可得EG ⊥平面AFC .
因为EG ?平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC .
(2)解 如图,以G 为坐标原点,分别以GB →,GC →的方向为x 轴,y 轴正方向,|GB →
|为单位长度,建立空间直角坐标系Gxyz ,由(1)可得A (0,-3,0),E (1,0,2),
F ? ??
??
-1,0,
22,C (0,3,0), 所以AE →=(1,3,2),CF →=? ?
???-1,-3,22.
故cos 〈AE →,CF →
〉=AE →·CF →
|AE →||CF →|
=-33.
所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为
33
. 思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
如图所示正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′,已知点H 在A ′B ′C ′D ′的对角线
B ′D ′上,∠HDA =60°.求DH
与CC ′所成的角的大小.
解 如图所示,以D 为原点,DA
为单位长度,建立空间直角坐标系Dxyz ,
则DA →=(1,0,0),CC ′→
=(0,0,1). 设DH →
=(m ,m,1)(m >0), 由已知,〈DH →,DA →
〉=60°,
由DA →·DH →=|DA →|·|DH →|·cos〈DH →,DA →〉, 可得2m =2m 2
+1,解得m =22
, ∴DH →
=(22,22,1),
∵cos〈DH →,CC ′→
〉
=22×0+2
2×0+1×11×2=22,
又∵〈DH →,CC ′→
〉∈[0°,180°], ∴〈DH →,CC ′→
〉=45°, 即DH 与CC ′所成的角为45°.
题型二 求直线与平面所成的角
例2 (2016·全国丙卷)如图,四棱锥PABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,
PA =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.
(1)证明MN ∥平面PAB ;
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. (1)证明 由已知得AM =2
3
AD =2.
取BP 的中点T ,连接AT ,TN ,由N 为PC 中点知TN ∥BC ,TN =1
2BC =2.
又AD ∥BC ,故TN 綊AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT . 因为AT ?平面PAB ,MN ?平面PAB ,所以MN ∥平面PAB .
(2)解 取BC 的中点E ,连接AE . 由AB =AC 得AE ⊥BC ,
从而AE ⊥AD ,AE = AB 2
-BE 2
=
AB 2-? ??
??BC 2
2= 5. 以A 为坐标原点,AE →
的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz . 由题意知,P (0,0,4),M (0,2,0),C (5,2,0),N ?
??
??52,1,2,PM →=(0,2,-4),PN →
=? ????52,1,-2,AN →=? ??
??
52,1,2. 设n =(x ,y ,z )为平面PMN 的法向量,则
???
??
n ·PM →=0,n ·PN →=0,
即????
?
2y -4z =0,5
2
x +y -2z =0,可取n =(0,2,1).
于是|cos 〈n ,AN →
〉|=|n ·AN →
||n ||A N →|
=8525.
设AN 与平面PMN 所成的角为θ,则sin θ=85
25,
∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为85
25.
思维升华 利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);
(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
在平面四边形ABCD 中,AB =BD =CD =1,AB ⊥BD ,CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起,
使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图所示.
(1)求证:AB ⊥CD ;
(2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.
(1)证明 ∵平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD =BD ,AB ?平面ABD ,AB ⊥BD , ∴AB ⊥平面BCD .
又CD ?平面BCD ,∴AB ⊥CD .
(2)解 过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ,如图.
由(1)知AB ⊥平面BCD ,BE ?平面BCD ,BD ?平面BCD . ∴AB ⊥BE ,AB ⊥BD .
以B 为坐标原点,分别以BE →,BD →,BA →
的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意,得B (0,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),A (0,0,1),M (0,12,1
2),
则BC →=(1,1,0),BM →=(0,12,12),AD →
=(0,1,-1).
设平面MBC 的法向量n =(x 0,y 0,z 0), 则???
??
n ·BC →=0,
n ·BM →=0,
即????
?
x 0+y 0=0,12
y 0+1
2z 0=0,
取z 0=1,得平面MBC 的一个法向量n =(1,-1,1). 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,
则sin θ=|cos 〈n ,AD →
〉|=|n ·AD →
||n ||AD →|=63,
即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为6
3
. 题型三 求二面角
例3 (2016·山东)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O ′的直径,FB 是圆台的一条母线.
(1)已知G ,H 分别为EC ,FB 的中点,求证:GH ∥平面ABC ; (2)已知EF =FB =1
2AC =23,AB =BC ,求二面角FBCA 的余弦值.
(1)证明 设FC 的中点为I ,连接GI ,HI ,
在△CEF 中,因为点G 是CE 的中点,所以GI ∥EF . 又EF ∥OB ,所以GI ∥OB .
在△CFB 中,因为H 是FB 的中点,所以HI ∥BC ,又HI ∩GI =I , 所以平面GHI ∥平面ABC .
因为GH ?平面GHI ,所以GH ∥平面ABC .
(2)解 连接OO ′,则OO ′⊥平面ABC .又AB =BC ,且AC 是圆O 的直径,所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .
由题意得B (0,23,0),
C (-23,0,0).过点F 作FM 垂直OB 于点M ,
所以FM =FB 2
-BM 2
=3,可得F (0,3,3). 故BC →=(-23,-23,0),BF →
=(0,-3,3). 设m =(x ,y ,z )是平面BCF 的一个法向量. 由???
??
m ·BC →=0,
m ·BF →=0,
可得??
?
-23x -23y =0,
-3y +3z =0.
可得平面BCF 的一个法向量m =?
??
??-1,1,
33, 因为平面ABC 的一个法向量n =(0,0,1),
所以cos 〈m ,n 〉=m ·n |m ||n |=7
7
.
所以二面角FBCA 的余弦值为
77
. 思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
(2016·天津)如图,正方形ABCD 的中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面OBEF ⊥
平面ABCD ,点G 为AB 的中点,AB =BE =2.
(1)求证:EG ∥平面ADF ;
(2)求二面角O —EF —C 的正弦值;
(3)设H 为线段AF 上的点,且AH =2
3HF ,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.
(1)证明 依题意,OF ⊥平面ABCD ,
如图,以O 为原点,分别以AD →,BA →,OF →
的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得
O (0,0,0),A (-1,1,0),B (-1,-1,0),C (1,-1,0), D (1,1,0),E (-1,-1,2),F (0,0,2),G (-1,0,0).
依题意,AD →=(2,0,0),AF →
=(1,-1,2). 设n 1=(x 1,y 1,z 1)为平面ADF 的法向量, 则???
??
n 1·AD →=0,
n 1·AF →=0,
即?
??
??
2x 1=0,
x 1-y 1+2z 1=0,
不妨取z 1=1,可得n 1=(0,2,1), 又EG →=(0,1,-2),可得EG →
·n 1=0, 又因为直线EG ?平面ADF ,所以EG ∥平面ADF .
(2)解 易证OA →=(-1,1,0)为平面OEF 的一个法向量,依题意,EF →=(1,1,0),CF →
=(-1,1,2).
设n 2=(x 2,y 2,z 2)为平面CEF 的法向量, 则???
??
n 2·EF →=0,
n 2·CF →=0,
即?????
x 2+y 2=0,
-x 2+y 2+2z 2=0,
不妨取 x 2=1,可得n 2=(1,-1,1). 因此有cos 〈OA →
,n 2〉=OA →
·n 2|OA →|·|n 2|
=-63,
于是sin 〈OA →
,n 2〉=33.
所以二面角O —EF —C 的正弦值为
33
. (3)解 由AH =23HF ,得AH =2
5AF .
因为AF →
=(1,-1,2), 所以AH →=25AF →=? ????2
5
,-25,45,
进而有H ? ????-35,35,45,从而BH →=? ????25,85,45.
因此cos 〈BH →
,n 2〉=BH →
·n 2|BH →||n 2|=-721.
所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721
. 题型四 求空间距离(供选用)
例4 如图,△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD ,AB ⊥平面BCD ,
AB =23,求点A 到平面MBC 的距离.
解 如图,取CD 的中点O ,连接OB ,OM ,因为△BCD 与△MCD 均为正三角形,所以OB ⊥CD ,
OM ⊥CD ,又平面MCD ⊥平面BCD ,所以MO ⊥平面BCD .
以O 为坐标原点,直线OC ,BO ,OM 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz .
因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形, 所以OB =OM =3,
则O (0,0,0),C (1,0,0),M (0,0,3),B (0,-3,0),A (0,-3,23), 所以BC →=(1,3,0),BM →
=(0,3,3). 设平面MBC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 由???
??
n ⊥BC →,
n ⊥BM
→得???
??
n ·BC →=0,
n ·BM →=0,
即??
?
x +3y =0,3y +3z =0,
取x =3,可得平面MBC 的一个法向量为n =(3,-1,1). 又BA →
=(0,0,23),
所以所求距离为d =|BA →
·n ||n |=215
5.
思维升华 求点面距一般有以下三种方法:
(1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离; (2)等体积法;
(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.
(2016·四川成都外国语学校月考)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD ⊥
底面ABCD ,侧棱PA =PD =2,PA ⊥PD ,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB =BC =1,O 为AD 中点.
(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值; (2)求B 点到平面PCD 的距离;
(3)线段PD 上是否存在一点Q ,使得二面角Q -AC -D 的余弦值为63?若存在,求出PQ
QD
的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)在△PAD 中,PA =PD ,O 为AD 中点, ∴PO ⊥AD .
又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD =AD ,PO ?平面PAD , ∴PO ⊥平面ABCD .
在△PAD 中,PA ⊥PD ,PA =PD =2,∴AD =2. 在直角梯形ABCD 中,O 为AD 的中点,AB ⊥AD , ∴OC ⊥AD .
以O 为坐标原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴,OP 为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则P (0,0,1),A (0,-1,0),B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0), ∴PB →
=(1,-1,-1). 易证OA ⊥平面POC ,
∴OA →
=(0,-1,0)为平面POC 的法向量, cos 〈PB →,OA →
〉=PB →·OA →|PB →||OA →|=33,
∴PB 与平面POC 所成角的余弦值为6
3
. (2)∵PB →
=(1,-1,-1),
设平面PCD 的法向量为u =(x ,y ,z ), 则???
??
u ·CP →=-x +z =0,
u ·PD →=y -z =0.
取z =1,得u =(1,1,1).
则B 点到平面PCD 的距离d =|PB →
·u ||u |=3
3.
(3)假设存在,且设PQ →=λPD →
(0≤λ≤1).
∵PD →=(0,1,-1),∴OQ →-OP →=PQ →
=(0,λ,-λ), ∴OQ →
=(0,λ,1-λ), ∴Q (0,λ,1-λ).
设平面CAQ 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则???
??
m ·AC →=x +y =0,
m ·AQ →= λ+1 y + 1-λ z =0.
取z =1+λ,得m =(1-λ,λ-1,λ+1). 平面CAD 的一个法向量为n =(0,0,1), ∵二面角Q -AC -D 的余弦值为
6
3
, ∴|cos〈m ,n 〉|=|m ·n ||m ||n |=6
3.
整理化简,得3λ2
-10λ+3=0. 解得λ=1
3
或λ=3(舍去),
∴存在,且PQ QD =1
2
.
6.利用空间向量求解空间角
典例 (12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD =DC =AP =2,AB =1,点E 为棱PC 的中点.
(1)证明:BE ⊥DC ;
(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;
(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求二面角F -AB -P 的余弦值. 规范解答
(1)证明 依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系如图,可得B (1,0,0),C (2,2,0),
D (0,2,0),P (0,0,2).[1分]
由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1). BE →
=(0,1,1),DC →
=(2,0,0),
故BE →·DC →
=0,所以BE ⊥DC .[3分] (2)解 BD →
=(-1,2,0),
PB →
=(1,0,-2).
设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的一个法向量, 则???
??
n ·BD →=0,
n ·PB →=0,
即?????
-x +2y =0,
x -2z =0.
不妨令y =1,[5分]
可得n =(2,1,1).
于是有cos 〈n ,BE →
〉=n ·BE →|n ||BE →|=26×2=33,
所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
3
3
.[7分] (3)解 BC →=(1,2,0),CP →=(-2,-2,2),AC →=(2,2,0),AB →
=(1,0,0). 由点F 在棱PC 上,设CF →=λCP →
,0≤λ≤1,
故BF →=BC →+CF →=BC →+λCP →
=(1-2λ,2-2λ,2λ). 由BF ⊥AC ,得BF →·AC →
=0,
因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=3
4,
即BF →
=(-12,12,32
).[9分]
设n 1=(x ,y ,z )为平面FAB 的一个法向量, 则???
??
n 1·AB →=0,
n 1·BF →=0,
即????
?
x =0,-12x +12y +3
2
z =0.
不妨令z =1,可得n 1=(0,-3,1).
取平面ABP 的法向量n 2=(0,1,0), 则cos 〈n 1,n 2〉=
n 1·n 2|n 1||n 2|=-310×1
=-310
10.
易知,二面角F -AB -P 是锐角, 所以其余弦值为310
10
.[12分]
利用向量求空间角的步骤: 第一步:建立空间直角坐标系; 第二步:确定点的坐标;
第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标; 第四步:计算向量的夹角(或函数值); 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角;
第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.
1.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A .120° B .60° C .30° D .60°或30°
答案 C
解析 设直线l 与平面α所成的角为β,直线l 与平面α的法向量的夹角为γ. 则sin β=|cos γ|=|cos 120°|=1
2.
又∵β∈[0°,90°],∴β=30°,故选C.
2.(2016·广州模拟)二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB .已知AB =4,AC =6,BD =8,CD =217,则该二面角的大小为( ) A .150° B .45° C .60° D .120° 答案 C
解析 如图所示,二面角的大小就是〈AC →,BD →〉.
∵CD →=CA →+AB →+BD →,
∴CD →2=CA →2+AB →2+BD →2+2(CA →·AB →+CA →·BD →+AB →·BD →)=CA →2+AB →2+BD →2+2CA →·BD →. ∴CA →·BD →=12[(217)2-62-42-82
]=-24.
因此AC →·BD →
=24,
cos 〈AC →,BD →
〉=AC →·BD →
|AC →||BD →|=12,
∴〈AC →,BD →
〉=60°,故二面角为60°.
3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )
A.12
B.23
C.33
D.22 答案 B
解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,设棱长为1,
则A 1(0,0,1),E (1,0,1
2),D (0,1,0),
∴A 1D →=(0,1,-1),A 1E →
=(1,0,-12).
设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ), 则有???
??
A 1D →·n 1=0,A 1E →·n 1=0,
即?????
y -z =0,1-1
2
z =0,∴?
??
??
y =2,
z =2.∴n 1=(1,2,2).
∵平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1),
∴cos〈n 1,n 2〉=23×1=2
3,
即所成的锐二面角的余弦值为2
3
.
4.(2016·长春模拟)在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,∠BAC =90°,D ,E ,F 分别是棱
AB ,BC ,CP 的中点,AB =AC =1,PA =2,则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )
A.15
B.255
C.55
D.25 答案 C
解析 以A 为原点,AB ,AC ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由AB =AC =1,PA =2,
得A (0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),P (0,0,2),D (12,0,0),E (12,12,0),F (0,1
2,1).
∴PA →=(0,0,-2),DE →=(0,12,0),DF →
=(-12,12,1).
设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则由???
??
n ·DE →=0,
n ·DF →=0,
得???
?
?
y =0,-x +y +2z =0.
取z =1,则n =(2,0,1),
设直线PA 与平面DEF 所成的角为θ, 则sin θ=|PA →
·n ||PA →||n |
=5
5,
∴直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为
5
5
.故选C. 5.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,CC 1=22,E 为CC 1的中点,则直线AC 1到平面
BDE 的距离为( )
A .2 B. 3 C. 2 D .1 答案 D
解析 以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图),
则D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),C 1(0,2,22),E (0,2,2),易知AC 1∥平面BDE .
设n =(x ,y ,z )是平面BDE 的法向量, 则???
??
n ·DB →=2x +2y =0,
n ·DE →=2y +2z =0.
取y =1,则n =(-1,1,-2)为平面BDE 的一个法向量, 又DA →
=(2,0,0),
∴点A 到平面BDE 的距离是
d =|n ·DA →||n |=|-1×2+0+0| -1 2+12+ -2 2=1. 故直线AC 1到平面BDE 的距离为1.
6.如图所示,三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为3,底面边长A 1C 1=B 1C 1=1,且∠A 1C 1B 1=90°,
D 点在棱AA 1上且AD =2DA 1,P 点在棱C 1C 上,则PD →·PB 1→
的最小值为( )
A.52 B .-14
C.14 D .-52
答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则D (1,0,2),B 1(0,1,3),
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
专题6.2 立体几何中的向量方法(A 卷基础篇)(浙江专用) 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分) 1.(2020·全国高二课时练习)已知(1,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,1)C ,则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A .(1,1,1)- B .(1,1,1)- C .? ? ? ??? D .?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量, 则00n AB n AC ??=??=? ,化简得00x y x z -+=??-+=?, ∴x y z ==,故选C. 2.(2020·全国高二课时练习)空间直角坐标中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A .平行 B .垂直 C .相交但不垂直 D .无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中, A (1,2,3), B (﹣1,0,5), C (3,0,4), D (4,1,3), ∴AB =(﹣2,﹣2,2),CD =(1,1,﹣1), ∴AB =﹣2CD , ∴直线AB 与CD 平行. 故选A .
3.(2020·全国高二课时练习)已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--,点(,3,0)A x 在平面α内,则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103,则x =( ) A .-1 B .-11 C .-1或-11 D .-21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-,而103n d n PA ?= =, 103=,解得1x =-或-11. 故选:C 4.(2020·全国高二课时练习)已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量,若 1cos ,2 m n =-,则l 与α所成的角为( ) A .030 B .060 C .0120 D .0150 【答案】A 【解析】 设线面角为θ,则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5.(2020·全国高二课时练习)设直线l 与平面α相交,且l 的方向向量为a ,α的法向量为n ,若2,3a n π= ,则l 与α所成的角为( ) A .23π B .3π C .6π D .56 π 【答案】C 【解析】 结合题意,作出图形如下:
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E