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中点及中点问题

含有一个或多个中点的几何问题称为中点问题，它是几何中的重要慨念。涉及中线、中位线、中心对称等相关的知识。

解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如倍长中线，作直角三角形斜边上的中线、构造

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三角形或梯形中位线、构造中心对称图形

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下面是关于中点问题的一些基本辅助线的作法:

1如图，在△ABC中，AB=AC，EC是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=A求证：CE=CD/2

2、已知：四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA及EF的延长线交于M，CD及

EF的延长线交于N。证明;∠AMF=∠DNF （利用三角形的中位线平移线段和角，使它们相对集中，是解关于中点问题的常用方法）

3、已知：以△ABC的AB、AC边为斜边向外作等腰直角三角形ADB和AEC，F是BC的中点。证明;

(1)DF=EF (2)DF⊥EF

4、如图，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CM上的一点，且∠BAE=2∠DAM，求证：AE=BC+CE

5、如图，在△ABC中，∠C=90°,M是AB的中点， E、F分别在BC、AC上，且∠EMF=90°，求

证：AF+BE=EF （构造中心对称图形，得到两个全等的三角形，可把分散的条件相对集中）

6、如图，在梯形中ABCD中，AD∥BC，AB、BC、CD、DA的中点分别E、F、G、H，且梯形ABCD的

面积是12，求四边形EFGH的面积.

7、已知：在△ABC中，DG分别是AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过M、

N的直线交AB于P，交AC于Q。求证：AP=AQ

8、如图，在△ABC中，M是BC的中点，AP是∠A的平分线，BP⊥AP于P，若AB=12，AC=22，求PM的长度。

9、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在

同一直线上，求证：EF和GH互相平分

10、如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，∠CAD的平分线交DE于G，交CD于F，若EG=24，

求FC的长度

11、如图，在△ABC中，∠B=90°, ∠BAC=78°,过C作CF∥AB，连接AF与BC相交于G，且FG=2AC，

求∠BAG的度数

12、在平行四边形ABCD中，AB=2BC,BE⊥AD于E,F是CD的中点, ∠DEF=60°,求∠EFC的度数

13、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点，AB=10cm，求MD的长度

14、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB﹥CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，E、F

分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：△EFM是等边三角形

15、平行四边形ABCD的两邻边之比是1：2，M是长边AB的中点，求∠CMD的度数

16、如图，M是AB得中点，在△ABD中,C是AB上任意一点，N、P分别是DC、DB上的中点，Q是

MN的中点，连接PQ并延长交AB于E，求证：E是AC的中点

全等三角形——倍长与中点有关的线段

全等三角形——倍长与中点有关的线段 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

倍长与中点有关的线段 ①②③④ ⑤⑥ ①号模型：倍长中线构造三角形全等； ②号模型：倍长类中线构造三角形全等； ③号模型：出现多个中点，构造三角形中位线 ④号模型：平行线+截线中点构造8字形全等 ⑤号模型：直角三角形斜边中线（等于斜边一半） ⑥号模型：等腰三角形底边中线（三线合一）倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。【例1】已知：ABC ?中，AM是中线．求证： 1 () 2 AM AB AC <+．

M C B A 【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +． F E C B A 【例2】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长 BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． F E D C B A 【练1】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且 BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF = F E D C B A 【练2】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．

与中点有关的辅助线与模型

题型切片（三个）对应题目题型目标三角形中位线例1，例2，例7，练习1，练习2，练习3；中点四边形例3，练习4；直角三角形斜边中线例4，例5，例6，练习5．题型切片知识互联网与中点有关的几何辅助线与模型

E D C B A F A B C E G E D C B A F E D C B A 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段；定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．如图：若DE 为ABC △的中位线,则DE BC ∥，且1 2 DE BC = 三角形中位线中隐含的重要性质： ①一个三角形有三条中位线． ②三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． ③三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． ④三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一．如图：EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有 ①AEG EBF GFC FGE △≌△≌△≌△ ②AEFG EBFG EFCG S S S ==平行四边形平行四边形平行四边形 ③12EFG ABC C C =△△，1 4 EFG ABC S S =△△ 【引例】如图，已知ABC △，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证：DE BC ∥且1 2 DE BC =．【解析】延长DE 到点F ，使EF=DE ，连接FC ，DC ，AF ． ∵AE=EC ∴四边形ADCF 是平行四边形 ∴CF//DA 且CF=DA ， CF //BD 且CF=BD 例题精讲思路导航题型一：三角形中位线

中考数学压轴题常见辅助线

一、添辅助线有二种情况： 1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

专题：线段中点的有关计算

教学设计—— 专题：线段中点的有关计算一、教学目标： 1、通过专题的学习，对典型的题目讲解，使学生熟练掌握线段中点的有关计算； 2、通过题型由易到难的设置，使学生掌握此类题目的解决方法和解题思路，提高分析问题、解决问题的能力。二、重点难点重点：线段中点的计算方法,解题思路和常规解法的梳理是难点。二、教学过程：（一）温故知新：若M是线段AB中点，你可以得到哪些结论？（二）线段型：一个中点 1、如图,M是线段AB的中点（1）若AB=10cm，求AM的长；（2）若AM=3cm, 求AB的长. （三）线段型：两个中点 2、如图,C是线段AB的一点M、N分别；是AC、BC的中点（1）若AB=10cm，AC=6cm，求MN的长；（2）若AB=10cm，求MN的长; （3）若AB=a，那么MN的长呢？（四）线段延长线型：一个中点

3、如图,C是线段AB延长线上的一点，M是AC的中点，若AB=6cm，BC=4cm, 求BM的长；变式：如果M是BC的中点,求AM的长。（五）线段延长线型：两个中点 4、如图,C是线段AB延长线一点，M、N分别是AC、BC的中点（1）若AB=10cm，BC=4cm，求MN的长（2）若AB=10cm，求MN的长; （3）若AB=a，那么MN的长呢？（六）归纳总结知识方面： AB是线段，C是线段AB的一点线段型：一个中点：线段型：两个中点 AB是线段，C是线段AB延长线上的一点线段延长线型：一个中点线段延长线型：两个中点数学思想：转化的思想教师寄语：数学充满着生命力，细心观察，善于思考，积极探索，你一定会有更大的发现！祝同学们学习进步！

与中点有关的引辅助线方法

与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．例1．已知：如图，AD 为ABC ?中线，求证：AD AC AB 2>+. 类题1．已知：如图，AD 为ABC ?的中线，AE=EF.求证：BF=AC. 二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形. 例2．已知：如图，在ABC ?中，?=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于 M.求证：222BQ AP PQ +=. C C M

类题2．已知：ABC ?的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND. 三、有中点时，可连结中位线．例3．如图，ABC ?中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MN 交AB 、AC 于P 、Q ，求证：AP=AQ ．类题3．已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->2 1. A D P B C Q E M N A D F E B C

类题4．如图，ABC ?中，AD 是高，CE 为中线，CE DG ⊥，G 为垂足，DC=BE.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠2. 四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4．已知：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，AB PF ⊥于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE. 类题5．已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.

数学人教版七年级上册与线段中点有关的计算(课堂活动)

与线段中点有关的计算一、复习引入上节课我们已经学习了线段的中点，现在，请大家从以下两个方向回顾理解线段的中点1、由形到数，2、由数到形（抽学生回答），很好！请看第二题，有关线段的和差计算学生思考老师分析：本题没有图，那就需要在读题的时候理解画出草图AM=2，请问M点应该在哪里呢？学生回答：A点左右都可以，应该分类讨论老师：非常好！能够正确表示线段的和差并正确计算线段的和差是解决线段问题的基础，接下来，将通过简单计算来看一看大家对线段和差的理解！二、互动抢答好啦！有了以上的基础，本堂课重点来解决与线段中点有关的计算三、典例精析请看例题（读题示范）老师读题并板书图形，并在图形上标出已知条件学生思考抽学生口述，老师板书通过XX同学的解题过程可以看出，求MB是将MB用MC+BC来表示的，也即是将MB用其他线段的和来表示的。那请大家思考，能够用其他线段的差来表示MB吗？请求用这种方法求出MB的长度！抽学生口述，老师板书

总结：通过例题可以看出，要求一条线段的长，不仅可以用其他线段的和来表示，而且可以用其他线段的差来表示。究竟用和还是差表示，当然要看详尽的题啦！现在，请大家练习：变式1 老师读题学生独立思考完成（完成后举手示意）（老师批阅做得好的，并选一个展示）已经评阅了的下座位评阅本组汇报情况本题是已知AC，BC的长度，根据中点定义，分别求出MC，NC的长度，进而求出MN的长度。若只已知AB的长度，AB=14cm，你又能求出MN的长度嘛？（学生口述分析，老师引领）非常好，那如果将条件更一般化，你能求出MN的长度吗？请看【变式2】学生思考抽学生板书老师评价，过程清撤，非常好请大家思考，本题除了用MC+NC来表示MN，求出MN的长度。能用线段差来表示嘛？学生回答：可以，MN=AB-AM-NB 总结：变式1，2中点C是在AB上，那如果，点C不在AB上，（出示变式3）而在AB的延长线上，你们求出中点之间的距离嘛？

遇到中点常加的辅助线

第四讲遇到中点常加的辅助线等腰底三合一解题方法技巧：等腰三角形中有底边中点或要证是底边中点时，常连底边中线，利用等要三角形“三线合一”的性质证题口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法例题1、已知，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点，求证：BF⊥FD 例题2、如图、AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD 的中点求证：（1）AF⊥CD （2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）跟踪训练1、如下图、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，ME⊥AC于点N,求MN的长为多少？（自己画图） 2、如图、等腰△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A 的直线MN∥BC,在直线MN上点A的两侧分别取E、F 且AE=AF,求证： DE=DF

3、如下图△ABC 中,AB=AC=10cm.BC=8cm,点D 为AB 的中点（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。 ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等时，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点Q 以上的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

中点常见的辅助线(八年级)

中点常见的辅助线中点经常所在的三角形：全等三角形等腰三角形：三线合一直角三角形：斜边上的中线、三角形的中位线：一、一个中点常见的辅助线（1）利用中点构建全等形：倍长中线至二倍，构建全等三角形 (2)有中点联想直角三角形的斜边上的中线（3）由中点联想到等腰三角形的“三线合一” 1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是________． 2、已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC． 3、正方形ABCD中，E为CD的中点，B F⊥AE于F ,连接CF，求证;CF=CB 4．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN ⊥AC． 5．如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD 的中点，AC=6.5，则AB的长度为_________．

6、已知梯形ABCD 中，A D ∥BC,且AD+BC=AB,E 为CD 的中点，连接AE 、BE 求证;(1)AE 平分∠BAD (2) BE 平分∠ABC (3)A E ⊥BE 练习： 1、已知正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 平分∠BAF ．求证：AF=BC+CF 6、在△ABC （AB ≠AC ）中，在∠A 的内部任做一条射线，过B 、C 两点做此射线的垂线BE 和CF ，交此射线于E 、F ，M 为BC 的中点，求证：MD=ME ．等腰直角△ABC 和等腰直角△DCE 如图所示放置，M 为AE 的中点，连接DM 、BM ，（1）求证：BM ∥CE (2)若AB=a ，DE=2a ，求DM 、BM 的长。 A M E D C B A

全等三角形——倍长与中点有关的线段

倍长与中点有关的线段 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ①号模型：倍长中线构造三角形全等； ②号模型：倍长类中线构造三角形全等； ③号模型：出现多个中点，构造三角形中位线 ④号模型：平行线+截线中点构造8字形全等 ⑤号模型：直角三角形斜边中线（等于斜边一半） ⑥号模型：等腰三角形底边中线（三线合一）倍长中线类 ?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。【例1 】已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1 ()2 AM AB AC <+． M C B A

【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在ABC ?的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．【例2】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【练1】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF = 【练2】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．【练3】如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =求证：EF ∥AB F E C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A

有关中点的定理及辅助线

有关中点的定理及辅助线一、遇到中线想到线等、联想到三线合一二、遇到中线想到面积等例：用不同的方法把三角形的面积四等分例：在图12—1至图12—3中，已知△ABC 的面积为a ．（1）如图12—1，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=______（用含a 的代数式表示）；（2）如图12—2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为 S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示）；（3）在图12—2的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图12—3）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图 12—3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的倍．应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ ABC 的空地上种红花，然后将△ABC 向外扩展三次（图12—4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC ）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．三、遇到中线想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半例：如图BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 和ED 的中点。求证：MN ⊥ED 练习：（1）、在三角形ABC 中，AB=AC ，BD 平分角ABC ，过点D 做DE 垂直于BD 交BC 于点E ，求证：CD=1/2BE （2）、如图，过矩形ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点E ，F 是AE 的中点，连接FC 、FD 求证：∠FDA=∠FCB 四、遇到中线加倍延例：已知：如图，AD 为△ABC 的中线，点E 在AC 边上，BE 交AD 于点F ，且AE=EF 求证：AC=BF 练习：（1）已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别紧AB 边，AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形求证：EF=2AD （2）已知：如图，AB=BC=CE ，AD 为△ABC 中BC 边的中线，求证：∠1 =∠2 （3）BC 平分∠EBD ，AF 平行于BC ，F 是ED 的中点求证：EG=AD 图 12

几何辅助线之中点辅助线

中点辅助线教学目标： 1.掌握等腰三角形的中线，三角形的中位线 2.掌握倍长中线或类中线的方法 3.建立关于中点的条件反射，当遇到中点时可以考虑的辅助线做法知识梳理： 1.掌握倍长中线或类中线构造全等三角形方法 E D A B C N D C B A M 2.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一” 3.已知三角形一边的中点，可以考虑三角形的中位线 4.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 5.有些题目中的中点不直接给出，此时需要找出隐藏的中点，例如等腰三角形底边的中点，直角三角形斜边的中点等，然后添加辅助线△ABC中AD是BC边中线

典型例题：例1：△ABC中，AB=20，AC=12，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF B 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且AF=EF，延长BE交AC 于F，求证：BE=AC B

例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA DF// 交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠ BAC A B F D E C 例5：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD，试判断线段BE、EF、FC的数量关系. 例6：已知AD 为△ABC 的中线，∠ADB ，∠ADC 的平分线分别交AB 于点E ，交AC 于点F 。求证：BE ＋CF ＞EF 。

例 7：在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2= 1 4 （AB2+AC2）. 例8：已知△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD＝AB ，求证：CD ＝2CE 例9已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE F C A D

线段的中点专题教学内容

线段的中点专题

线段的中点练习课与线段有关的所有知识点清单： 1线段、射线、直线的定义：（1）线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。（2）射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。 2、线段、射线、直线的区别与联系：（1 ）线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；（2）将线段向一个方向无限延长就形成了射线; （3）将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 3、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。 4、一条直线上有n个点，则在这条直线上一共有n（n 1）条线段，一共有2n条射线。 2 平面内的n条直线相交，最多也只有n（n 1）个交点。 2 5、线段的性质：（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 6、线段的中点：一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。本节目标：

1、学会线段中点的几何语言； 2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。本节重点、难点：重点： 1、学会线段中点的几何语言； 2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。难点：学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。一、什么是几何语言？几何语言有三类：文字语言” 图形语言” 符号语言”几何中的每个知识点都对应有三种语言，以线段的中点为例：一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。”是这一知识点中的文字语言。 C 对应的图形语言是：右图 A ----------------------------------- B 符号语言就疋： ???点C是线段AB 的中点 1??? AC=BC= AB 二、用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题（一）解答题：在解答几何题目的时候，都是用图形”来分析题目，符号语言”来书写解答过程，文字语言”来解释原因。

线段的中点专题

线段的中点练习课与线段有关的所有知识点清单： 1、线段、射线、直线的定义：（1）线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。（2）射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。 2、线段、射线、直线的区别与联系：（1）线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；（2）将线段向一个方向无限延长就形成了射线；（3）将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 3、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。 6、线段的中点: 一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。本节目标： 1、学会线段中点的几何语言； 2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。本节重点、难点：重点： 1、学会线段中点的几何语言；

2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。难点：学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。一、什么是几何语言？几何语言有三类：“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”，几何中的每个知识点都对应有三种语言，以线段的中点为例： “一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。”是这一知识点中的文字语言。 C 对应的图形语言是：右图 A B 符号语言就是：∵点C 是线段AB 的中点 ∴AC=BC=2 1 AB 二、用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题（一）解答题：在解答几何题目的时候，都是用“图形”来分析题目，“符号语言”来书写解答过程，“文字语言”来解释原因。典例分析：如图，C 、D 是线段AB 上的两点，若BC=3㎝，BD=5㎝，且D 是AC 的中点，求AC 的长

专训1 巧用线段中点的有关计算

专训1 巧用线段中点的有关计算名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．线段中点问题类型1 与线段中点有关的计算 1．如图，点C 在线段AB 上，AC ＝8 cm ，CB ＝6 cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点． (1)求线段MN 的长． (2)若C 为线段AB 上任一点，满足AC ＋CB ＝a cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由． (第1题) 类型2 与线段中点有关的说明题 2．画线段MN ＝2 cm ，在线段MN 上取一点Q ，使MQ ＝NQ ；延长线段MN 到点A ，使AN ＝12 MN ；延长线段NM 到点B ，使BN ＝3BM. (1)求线段BM 的长； (2)求线段AN 的长； (3)试说明点Q 是哪些线段的中点．

线段分点问题类型1与线段分点有关的计算(设参法) 3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长． (第3题) 类型2线段分点与方程的结合 4．A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动．【导学号：11972070】 (1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？ (2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2? (第4题)

答案 1．解：(1)因为点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以CM ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，CN ＝12BC ＝12 ×6＝3(cm )，所以MN ＝CM ＋CN ＝4＋3＝7(cm )； (2)MN ＝12 a cm .理由如下：同(1)可得CM ＝12AC ，CN ＝12 BC ，所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12 a cm . 点拨：(1)根据“点M ，N 分别是AC ，BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN ＝CM ＋CN 即可求出MN 的长度；(2)与(1)同理，先用AC 、BC 表示出MC 、CN ，MN 的长度就等于AC 与BC 长度和的一半． 2．解：如图： (第2题) (1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12 MN. 因为MN ＝2 cm ，所以BM ＝12 ×2＝1(cm )． (2)因为AN ＝12 MN ，MN ＝2 cm ，所以AN ＝1 cm . (3)因为MN ＝2 cm ，MQ ＝NQ ，所以MQ ＝NQ ＝1 cm . 所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1＋1＝2(cm )， AQ ＝AN ＋NQ ＝2 cm .所以BQ ＝QA. 所以Q 是MN 的中点，也是AB 的中点． 3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为 CD ＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2，则AD ＝18 cm .又因为M 是AD 的中点，所以MD ＝12 AD ＝12 ×18＝9(cm )．所以MC ＝MD －CD ＝9－6＝3(cm )． 4．解：(1)设x 秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间．依题意得x ＋3＝12－4x ，解得x ＝1.8. 答：1.8秒后，原点恰好在A ，B 两点正中间． (2)设t 秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2. ①B 与A 相遇前：12－4t ＝2(t ＋3)，即t ＝1； ②B 与A 相遇后：4t －12＝2(t ＋3)，即t ＝9. 答：1秒或9秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2.

全等三角形中与中点有关的辅助线.doc

关于中点辅助线的做法：①倍长中线；②三线合一；③中位线；④斜边中线1.已知在平行四边形ABCD中，AD=2AB, CEJ_AB于E, F为AD中点，试探究NEFD于NAEF之间的数量关系并证明你的结论。 2.已知，在左ABC44, ZB=2ZC, M是BC中点, AD_LBC 于D,求证：DM =-AB 2 C

直角梯形中位线，如图 2,取EC 中点 M,连接FM, FC,易证FM1EC, 类倍长中线法：如图1，延长EF 交CD 延长线于点M,连接CF （斜边中解法（一）：线）解法（二）：又?..M 是EC 中点，.??FM 平分ZEFC （三线合一）解法（一）：斜边中线：如图1,取AB 中点E,连接ED, EM,由己知，ZEDB=Z B=2a , VEM ^jAABC 的中位线，.?.EM 〃AC, ZEMD=ZC=a , 解法（二）：如图2,中位线，斜边中线：取AC 中点E,连接EM, EDo a A

3.如图，在五边形ABCDE 中，ZABC=ZAED=90° , ZBAC=ZEAD, F 是CD 中点，求狂BF=EF. 4.如图，在Z^ABC 内取一点P, ?ZPBA=ZPCA, A D P 做PDJ_AB于D, PE±AC于E,求证DE的垂直平分线必经过BC的中点M.

A 解法(一)：中位线+斜边中线构造全等：如图1,分别取AC、AD +点M、N,连接FM、FN、BM、EN,则由已知可证明左FMB^AENF (SAS) 解法(二)：中位线：如图2,延长CB到P,使PB=BC,延长DE到Q使QE=ED, 连接PD、CQ、AP、AQo 则BF、EF 分别为APCD、Z\QCD 的中位线，BF=?PD, EF=-CQ,只需证明PD=CQ,由已知可证△PADMZXCAQ (SAS) 2 解法：中位线+斜边中线造全等：分别取BP、CP中点F、G,连接MF、MG、DF、EG、DM、EM,由已知可证 ADFM^AMGE (SAS)(其中= N2由平行四边形对角相等得到)

与中点有关的引辅助线方法

与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形. 例1?已知：如图，AD为ABC中线，求证：AB AC 2AD. C 类题1.已知：如图，AD为ABC的中线，AE=EF.求证：BF=AC. 二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形例2 .已知：如图，在ABC中，C 90 , M为AB中点，P、Q分别在AC BC上，且PM QM于 M.求证: PQ2 AP2 BQ2.

类题2 .已知： ABC 的边BC 的中点为N,过A 的任一直线 AD BD 于D, CE AD 于E.求证：NE=ND. 三、有中点时，可连结中位线. 例3 .如图， ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连 MN 交AB 、 AC 于 P 、Q ,求证：AP=AQ . 类题3.已知：如图，E 、F 分别为四边形 ABCD 的对角线中点，AB>CD 求证：EF - AB CD 2 A E D P M Q N B C A C

类题4.如图， ABC 中，AD 是高，CE 为中线，DG CE , G 为垂足，DC=BE 求证：（1） G 是CE 的中点；（2） B 2 BCE . 四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4.已知：如图，在 Rt ABC 中， BAC 90，AB=AC D 为BC 边中点，P 为BC 上一点，PF 于 F , PE AC 于 E.求证：DF=DE. 类题5 .已知：如图，矩形 ABCD E 为CB 延长线上一点，且 AC=CE F 为AE 中点，求证：BF FD AB

与中点有关的辅助线作法例析

与中点有关的辅助线作法例析安徽省利辛县教育局督导室夏飞线段的中点是几何图形中的一个特殊点．在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，则是处理中点问题的关键．但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法．一、遇到中点找中点这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质．因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线．例1：如图1，，E、F分别为BC、AD的中点，射线BA、EF交于点G，射线CD、EF交于点H．求证：．分析：连接AC，并取其中点P，构造△PEF，证明，再利用中位线的性质即可得证．证明：连接AC，取AC的中点P，连接PE、PF． ∵E为BC的中点，∴PE∥AB，，同理PF∥CD，． ∵，∴，，

由PE∥AB ，得，由PF∥CD，得．说明：已知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线．二、遇到中点作中线这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质．因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线．例2：如图2，△ABC中，，AD为高，E为BC的中点，求证：．分析：在△ABC中，出现了Rt△ADC和Rt△ADB这两个直角三角形；又因为E为BC 的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件．按照“遇到中点找中点”的方法，可取Rt △ADC斜边AC的中点F（或AB的中点），连接EF，即得△ABC的中位线；再依据“遇到中点作中线”的方法，连接DF，即得到Rt△ADC斜边AC上的中线，然后只要证明即可．证明：取AC的中点F，连接EF、DF． ∵E、F分别为BC、AC的中点，∴EF∥AB，． ∵AD是高，∴△ADC是直角三角形．

线段中点练习题

1.如图所示,AC＝_____＋_____＝______－______；若AB＝BC＝CD,那么图中有______个点是线段的中点. ? 2、如图，CB=4cm,DB=7cm，点D为 ?AC的中点，则AB的长为多少？ ? ? ? 3. 在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB=5㎝，BC=3㎝，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？ ? ? ? 4、如图，CB=5cm,DB=9cm，点D为 ?AC的中点，则AB的长为多少？ ? 5、如图，已知点C是线段AB上一点，AC=6，BC=4，点M是AC的中点,点N是CB的中点，则线段MN的长度是多少？ 6、已知B、C、D是线段AE上的点，如果AB = BC = CE，D是CE的中点，BD = 6，则AE是多少？

7、如图，已知线段AB=6，延长线段AB 到C ，使BC ＝2AB ，点D 是AC 的中点. 求：（1）AC 的长；（2）BD 的长. 8．如下图已知线段AD =16cm ，线段AC =BD =10cm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF 长为多少？ 9、在数轴上有两个点A 和B ，A 在原点左侧到原点的距离为6，B 在原点右侧到原点的距离为4，M ，N 分别是线段AO 和BO 的中点，写出A 和B 表示的数；求线段MN 的长度。 10.如图，延长线段AB 到C ，使BC=3AB,点D 是线段BC 的中点，如果CD=3㎝，那么线段AC 的长度是多少? 11. 已知M 是线段AB 所在直线上任一点，且C 为AM 的中点， D 为BM 中点, 若AB=10, 求CD 的长. F E B C D A B

专项训练1 巧用线段中点的有关计算

专项训练1巧用线段中点的有关计算方法指导：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．线段中点问题类型1与线段中点有关的计算 1．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M，N分别是线段AC，BC的中点． (1)求线段MN的长． (2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由． (第1题) 类型2与线段中点有关的说明题 2．画线段MN＝3 cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ；延长线段MN到点A，使AN＝1 2MN；延长线段NM到点B，使BN＝3BM. (1)求线段BM的长； (2)求线段AN的长； (3)试说明点Q是哪些线段的中点．

线段分点问题类型1与线段分点有关的计算(设参法) 3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是线段AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长． (第3题) 类型2线段分点与方程的结合 4．A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，A，B两点分别以1个单位长度/s，4个单位长度/s的速度同时向左运动． (1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？ (2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2? (第4题)

参考答案 1．解：(1)因为点M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，所以CM ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，CN ＝12BC ＝12 ×6＝3(cm )．所以MN ＝CM ＋CN ＝4＋3＝7(cm )． (2)MN ＝12 a cm . 理由如下：同(1)可得CM ＝12AC ，CN ＝12 BC ，所以MN ＝CM ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12 a cm . 2．解：如图． (第2题) (1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12 MN. 因为MN ＝3 cm ，所以BM ＝12 ×3＝1.5(cm )． (2)因为AN ＝12 MN ，MN ＝3 cm ，所以AN ＝1.5 cm . (3)因为MN ＝3 cm ，MQ ＝NQ ，所以MQ ＝NQ ＝1.5 cm . 所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1.5＋1.5＝3(cm )， AQ ＝AN ＋NQ ＝3 cm . 所以BQ ＝QA. 所以点Q 是线段MN 的中点，也是线段AB 的中点． 3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为CD ＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2. 所以AD ＝18 cm . 又因为M 是线段AD 的中点，

中点想到的辅助线

中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。一、三角形的一条中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD= SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求： ΔCDF的面积。解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD= SΔABC= ×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故S ΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF= SΔCDE= ×1= 。 ∴ΔCDF的面积为。二、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分

别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ∵ ME是ΔBCD的中位线， ∴ ME CD，∴∠MEF=∠CHE， ∵ MF是ΔABD的中位线， ∴ MF AB，∴∠MFE=∠BGE， ∵ AB=CD，∴ ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。三、由中线应想到延长中线，使延长的部分等于中线长例3．如图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中， ∵ AD=ED，∠ADC=∠EDB， CD=BD， ∴ΔACD≌ΔEBD，∴ AC=BE，从而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，

与中点有关的引辅助线方法

与中点有关的引辅助线方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．例1．已知：如图，AD 为ABC ?中线，求证： AC AB 2>+ 类题 1．已知：如图，AD 为ABC ?的中线，AE=EF.求证：二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形 . 例2．已知：如图，在ABC ?中，?=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=. B D C B C A M B