第十二章 微分方程

第十二章 微分方程

§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题

1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( )

2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( )

3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )

4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）

5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1.

微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0,

y 'x=0=1的曲线是 。

三、选择题

1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2

+y 2

=a 2

(B)、 y+

0)(arctan =x

e

dx

d (C)、

2

2

x

a ??+

2

2

y

a ??=0 （D ）、y ''=x 2+y 2

2.下列方程中 是二阶微分方程

（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx

3.微分方程

2

2

dx

y d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数

（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx

4. C 是任意常数，则微分方程y '=32

3y 的一个特解是

（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．22

C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x

x

e

C e

C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）

五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

12-2 可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解

1． sec 2.tacydx+sec 2

ytanxdy=0

2． (x+xy 2)dx-(x 2y+y)dy=0

3． (e x+y -e x )dx+(e x+y -e y )dy=0

4． y '=cos(x-y).(提示令.x-y=z)

二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解

1． cosydx+(1+e -x

)sinydy=0. y x=0=

4

π

2.1.1sec 2

32

-==+=

πx y

xdx dy y

x

三 、设f(x)=x+?x 0

f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)

四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解 1 y x '-xsin 0

=x y 2 (x+ycos

)x

y dx-xcos

x

y dy=0

二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解

1．xy

ax

dy =x 2+y 2

y

x=e =2e 2.x 2dy+(xy-y 2

)dx=0y

x=1=1

三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解

四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ?对于A O ?上任一点 P （x ，y ）,曲线孤与P O ?直线段OP -

所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ?的方程。

12.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解

1.x y '+y=xe x

2.y '+ytanx=sin2x

3.y '+

x

x y x sin 1=

4.

y

e

y x y dx

dy 3

+=

二、求下列微分方程满足初始条件的特解

1．y 'cosy+siny =x y 4

0π==x 2.(2x+1)e y y '

2e y =4 y

00

==x

三、已知f(π),曲线积分b

a ?[]

dy x f dx x

y x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).

四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、 求下列伯努利方程的通解

1．y ′+x y x

=12y 5 2. xy ′+y-y 2lnx=0

12-4 全微分方程

一、求下列方程通解

1．[cos(x+y 2)+3y]dx+[2ycos(x+y 2

)+3x]dy=0

2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0

3.e y dx+(xe y -2y)dy=0

二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解 1 ydx-xdy+y 2xdx=0

2 y(2xy+e x )dx-e x dy=0

三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x 2

y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。

12-7 可降阶的高阶微分方程

一、求下列各微分方程的通解

1．y ''=xsinx 2. y ''-y '=x

3.y y ''+(y ')2=y '

4. y ''(1+e x )+y '=0

二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解

1．2y ''=sin2y y 2

0π

==x y '10==x

2. x y ''-y 'ln y '+y 'lnx=0 y

21

==x y '

2

1

e x ==

三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及f '(x)-

0)()(2

1

=-

?

dt t

t f x

x f x

,求f(x).

四、一物体质量为m,以初速度V o 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为α，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。

12-8 高阶线性的微分方程

一、选择题

1．下列方程中 为线性微分方程 （A ）（y '）+x y '=x (B)y x y y =-'2 (C) x

e y x

y x y =+

'-

''2

22 (D)y xy y y cos 3=-'-''

2.已知函数y 1=2

2

1x

x e

+

，y 1=2

2

1x

x e

-

，y 3=e

(x-

2

)

1x

则

（A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关 （C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关

3．若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ''+p(x)y '+4(x)y=0两个特解，c 1c 2为任意常数，则y=c 1y 1+c 2y 2

(A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解 （C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解 4．下列函数中哪组是线性无关的

（A ）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln x , lnx 2 二、证明：下列函数是微分方程的通解

1y=c 1x 2+c 2x 2lnx(c 1 c 2是任意常数)是方程x 2y '

'-3x y '+4y=0的通解

2y=c 1e -x +c 2e x e x +2

(c 1c 2是任意常数)是方程2x

e y y 2='+'''的通解

三、设y 1(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)y 2(x).y 3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为：()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++=

四、试求以y=1(1c x

e x +c 2e -x

)+

2

x

e

(c 1,c 2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。

12-9 二阶常系数齐次线性微分方程

一、选择题

1以y 1=cosx,y 2=sinx 为特解的方程是

（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y 2．微分方程20=-'+''y y y 的通解是

（A ）x x e c e c y 221--=（B ）221x

x e c e c y -=-（C ）2

21x x e

c e c y -

-= (D)x x e c e c y 221+=-

3．常微分方程0)(2121=+'++''y y y λλλλ，（其中21,λλ是不等的系数），在初始条件y 1x=0=00

='

=x y 特解是

（A ）y=0 (B)y=x

x

e

c e c 2121λλ+ (C)

21x y λλ= （D ）2

21)(x y λλ+=

4．x e y 2=是微分方程06=+'+''y y p y 的一个特解，则此方程的通解是 （A ）x x e c e c y 3221-+= （B ）x e xc c y 221)(+=

（C ）x x e c e c y 3221+= （D ）)3cos 3sin (212x c x c e y x += 5．x x e c e c y -+=21是微分方程 的通解 （A ）0=+''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0='-''y y

二、求下列微分方程的通解

1．05='-''y y 2．044=+'-''y y y

3．04=+'+''y y y 4．065=+'-''y y y

5．01036=+'+''-'''y y y y 5. 02)

4(=''+'''-y y y

三、求下列微分方程满足初始条件的特解 1．0102=+'+''y y y 10

==x y 20

1==x y

2．032

=-+

x dt

dx dt

x d 00

==t x

10

='

=t x

四、一质量为m 的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大

小成正比（比例系数为k ），求此质点的运动规律。

12-10 二阶常数非齐次线性微分方程

一、选择题

1微分方程，形式为的特解*2y x y y ='-'' (A)ax (B)ax+b (C)ax 2 (D)bx ax +2 2.微分方程形式为的特解*1y e y y x +=-'' （A ）b ae x + （B ）b axe

x

+ （C ）bx ae

x

+ （D ）bx axe

x

+

3．微分方程x xe u y 22='-''的特解y *形式为 （A ）x e b ax x 2)(+ （B ）x

e

b ax 2)(+ （C ）x xe 2 （D ）x

e

c bx ax 22)(++

4．微分方程x y y 2cos 4=+''的特解y *形式为

（A ）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x 5. 微分方程x x y y 2

sin

=-''的特解形式为y*=

（A ）（ax+b ）sin 2x (B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x

（C ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f 6. 微分方程x e y y y x

5sin 54+=-'-''-的特解形式为

（A ）x b ae

x

5sin +- (B)x c x b ae x

5sin 5cos ++-

（C ）x b axe

x

5sin +- （D ）x c x b axe x

5sin 5cos ++-

二、求下列各方程的通解

1．x

xe y y y =+'+''2 2．x y y y sin 67=+'-''

3．x e y y y x sin 52=+'-'' 4．x x y y cos +=+''

三、求微分方程x y y cos 9=+''满足02

2

='

==

=

π

π

x x y y 的特解

四、已知二阶常系数微分方程)2(+=+'+''x y y y γβα有特解x x e y x 612*--+=，求

γβα,,的值，并求该方程的通解

五、k 为常数。试求x e y k y k y =+'-''22的通解。

六、设?

?-+=x

x

dt t f x dt t f x x f 0

)()(sin )(，其中f(x)为连续的数，求f(x)。

七、一链长18cm ，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm ，另一边垂下10cm ，问整个链子滑过钉子需要多少时间？

第十二章 微分方程(习题及解答)

第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：

第十二章 微分方程(习题及解答)说课材料

第十二章微分方程(习题及解答)

第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答： arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：

第十二章微分方程习题及解答

第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ??=+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．

常微分方程第一章

第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、

第十二章 微分方程

第十一章 微分方程 函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。 第一节 微分方程的基本概念 定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。 如： 12=+'+''xy y y 二阶方程；0 2 =+'xy y 一阶方程； x y ='''三阶方程，等等 讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之， x y ='''，方程两边三次积分，得方程的解 322 14 21241C x C x C x y +++=（321,,C C C 为任意常数） 。当4 24 1x y =时，也满足方程。可见 322 14 2 124 1C x C x C x y +++ = 包括了所有的解的形式。则称它为通解。 定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。 注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注2：一阶方程的几种形式：一般形式：0),, (='y y x F ，从这个方程种有可能解出y '，也有可能解不出来；一阶显 式方程： ),(y x f y ='；对称形式： ) ,(),(y x Q y x P dx dy = 或0=+Qdy Pdx 注3：在一阶方程种， x 和y 的关系是等价的.因此，有时可将x 看成函数， y 看做变量。 第二节 可分离变量方程 定义1：称能改写为形式： dx x g dy y f )()(=的一阶方程为可分离变量方程。 注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。 定理1：若 )()(y f y F ='，)()(x g x G =，则dx x g dy y f )()(=的通解为C x G y F +=)()( 证： （1）先证C x G y F +=)() (是方程的解。 两边对 x 求导，得)()(x g dx dy y f =，即dx x g dy y f )()(= 故 C x G y F +=)()(是方程的解 （2）设) (x y ?=是方程的任一解，则 dx x g dx x x f )()()]([='?? 两边关于 x 积分，得 ? ?= 'dx x g dx x x f )()()]([?? 又 )(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是)(x g 的一个原函数 则 C x G x F +=)()]([?，即 )(x y ?=在C x G y F +=)()(中 所以， C x G y F +=)()(为 dx x g dy y f )()(=的通解。

高数 第七章题库 微分方程

第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1

第十二章 微分方程(已改)

第十二章微分方程 一、微分方程的基本概念（A:§12.1; B:§6.1） Ⅰ、内容要求－了解微分方程及其解，阶，通解，初始条件和特解等概念． Ⅱ、基本题型： （ⅰ）有关微分方程基本概念的客观题。 1．（4）下列微分方程为二阶微分方程是---------------------------------------------------（ C ） （A）（B）（C）（D） 2．（4）函数（为任意常数）是微分方程的----（ D ） （A）通解（B）特解（C）非解（D）是解，但不是通解，也不是特解． （ⅱ）验证题。 3．指出给出的函数是否为微分方程的解 （1）（4）， 解： 即是原方程的解。 （2）（4）， 解： 而 故，即是原方程的解。 （ⅲ）由通解及初始条件确定特解。 4．（4）若是某二阶微分方程通解，求其满足的特解。 解： 由得 二、一阶微分方程（A:§12.2,§12.3,§10.4; B:§6.2,§6.3,§6.4） Ⅰ、内容要求： （ⅰ）掌握以及型一阶方程解法。 （ⅱ）自学齐次方程，自学伯努利方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想。 （ⅲ）知道全微分方程（自学）。 Ⅱ、基本题型： （ⅰ）型方程的求解。 5．求下列微分方程的解：（每题6分）

（1）（2） 解：（1） （2） 由代入得 故 （ⅱ）型方程的求解。 6．求下列微分方程的通解：（每题6分）（1）（2） （3） 解：（1） （2） 即 （3） 即 7．求下列微分方程的特解：（每题6分）（1）（2） 解：（1） 即 由得 故原方程的特解为 （2） 由得 故原方程的特解为 （ⅲ）型的简单微分方程。 8. 求下列微分方程的通解：（每题7分）（1）（2） 解：（1）令则 故原方程可化为 （2）令则 故原方程可化为

常微分方程第四章考试卷

常微分方程第四章测试试卷(3) 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分） 1．——————称为n 阶齐线性微分方程。 2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里 ()t a 1 和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2 是方程解的冲要条件是― ——————。 ３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。 ４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。 ５．若方程()()022=++y x q dx dy x p dx y d 中满足————条件，则方程有形 如∑∞ ==0 n n n x a y 的特解。 ６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。 ７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________ ８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________. １０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.

二． 计算（30分） １． 求通解y y y 2'1''2 += ２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y ３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为 x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解 ４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、 三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+?x tdt t x x x φφ，求()x φ 四．证明题（20分） 1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w 2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。

第12章--MATLAB-Simulink系统仿真-习题答案

, 第12章 MATLAB Simulink系统仿真 习题12 一、选择题 1．启动Simulink后，屏幕上出现的窗口是（）。A A．Simulink起始页 B．Simulink Library Browser窗口 C．Simulink Block Browser窗口 D．Simulink模型编辑窗口 2．模块的操作是在（）窗口中进行的。D A．Library Browser B．Model Browser ( C．Block Editer D．模型编辑 3．Integrator模块包含在（）模块库中。B A．Sources B．Continuous C．Sinks D．Math Operations 4．要在模型编辑窗口中复制模块，不正确的方法是（）。B A．单击要复制的模块，按住鼠标左键并同时按下Ctrl键，移动鼠标到适当位置放开鼠标 B．单击要复制的模块，按住鼠标左键并同时按下Shift键，移动鼠标到适当位置放开鼠标 C．在模型编辑窗口选择Edit→Copy命令和Edit→Paste命令 D．右键单击要复制的模块，从快捷菜单中选择Copy命令和Paste命令 | 5．已知仿真模型如图12-41（a）所示，示波器的输出结果如图12-41（b）所示。 （a）仿真模型

（b ）示波器输出结果 图12-41 习题仿真模型及仿真结果 则XY Graph 图形记录仪的输出结果是（ ）。C A ．正弦曲线 B ．余弦曲线 C ．单位圆 D ．椭圆 】 二、填空题 1．Simulink （能/不能）脱离MATLAB 环境运行。 2．建立Simulink 仿真模型是在 窗口进行的。模型编辑窗口 3．Simulink 仿真模型通常包括 、系统模块和 三种元素。 信号源（Source ），信宿（Sink ） 4．由控制信号控制执行的子系统称为 ，它分为 、 和 。 条件执行子系统，使能子系统，触发子系统，使能加触发子系统。 5．为子系统定制参数设置对话框和图标，使子系统本身有一个独立的操作界面，这种操作称为子系统的 。封装（Masking ） % 三、应用题 1．利用Simulink 仿真来实现摄氏温度到华氏温度的转换：9325f c T T = +。 2．利用Simulink 仿真)5cos 2513cos 91(cos 8)(2t ωt ωt ωπ A t x ++= ，取A=1，ω=2π。 3．设系统微分方程为 '(1)2y x y y =+??=? 试建立系统模型并仿真。 4．设计一个实现下面函数模块的子系统并对子系统进行封装。 Output = (Input1+ I nput2)×Input3-Input4

常微分方程第1章教案

第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）

常微分方程第4章习题答案

习 题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解 利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解 利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211

由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解 将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+==

微分方程(习题及解答)

第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=

常微分方程第一章初等积分法

第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

常微分方程第四章考试卷1

常微分方程第四章测验试卷（1） 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分） 1、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这 一齐线性方程的所有解可表为————————————————。 2、形如————————————————的方程称为欧拉 方程。 3、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x i 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为————————————。 4、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表为—————————————————————。 5、微分方程t x x 3 sin 1 = +''的基本解组为——————————。 6、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗基行列式为—————————。 7、若),...,2,1)((n i t x i =b t a ≤≤上线性相关，则伏朗基行列式满足——————。 8、解线性方程的常用方法有————、————、————、————。 9、n 阶齐线性方程的线性无关解的最大个数为————。 二、 计算（50分） 1、 求32254+=-'+''-'''t x x x x 的通解。 2、 求方程0)()(32='+'-''x x x x

3已知。的解，试求方程的通解是0sin 2=+'+''= x x x t t x t 4、求方程t t x x t x t ln 22=+'-''的通解。 5、的解。求方程1)0()0()0()0(,2)4(='''=''='==+x x x x e x x t 三、 证明题（20分） 1、 ),...,2,1)((n i t x i =是齐次线性方程组的n 个解，则有：当 )()......,(1t x t x n 在[a,b]上线性无关时，伏朗斯基行列式w(t)≠0, t ],[b a ∈. 2、若()(1,2)i x t i =是非齐次线性方程43sin x x x x ''''''++=的2个解，则 有：当12lim ()()n x t x t →∞ -存在。

第十二章微分方程(二)

二、 高阶微分方程 1．高阶微分方程的定义：'''()(,,, ,)0n F x y y y = 2．可降阶的高阶微分方程类型及解法 可降阶的高阶微分方程有三种类型： （1）()()n y f x = 解法：逐次积分 （2）),(y x f y '='' 特点：不显含y 的方程 解法：设p y ='，则p y '=''，代入方程中得),(p x f p ='。已降为一阶。 （2）),(y y f y '='' 特点：显含x 的方程 解法：设p y ='，则dy dp p dx dy dy dp y =?= '' 代入方程中得),(p y f dy dp p =，已降为一阶。 【例1】求微分方程(1)ln (1)x y y x '''++=+的通解. 解：由于不显含y ，令()y p x '=，则y p '''=，代入原方程得(1)ln(1)x p p x '++=+ 即 ln(1) 11p x p x x +'+= ++ 为一阶线性微分方程 利用公式得 11ln(1)ln(1)111111ln(1)ln(1)()() 111 (ln(1))ln(1)111dx dx x x x x x x p e e dx C e e dx C x x C x dx C x x x - -++++++?? =+=+++=++=+-+++??? 即 1 ln(1)11C y x x '=+-+ + 积分得 12()ln(1)2y x C x x C =++-+ 【例2】求微分方程2()0y y y '''-=满足初始条件001 1, 2 x x y y =='== 的特解。 解：由于不显含x ，令()y p y '=，所以y pp '''=，代入原方程得 20ypp p '+= 所以 0p = 或 0yp p '+= 当0yp p '+=时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得 dp dy p y =-

常微分课后答案第一章

第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．

解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；

【免费下载】常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解

第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(222222222 2)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x x p p p x px y p x px p y x C x dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dx dy ++-=?++-+=?+-=?-=?=+-=+-=?-=?=+=++?=+++?+++=++= =++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x C x C x C dx dp x x x x x x x x x dx dp dx dp dx dp dx dy +=?+=?=?=+-=+-=?-+-=?-=?-=?=+=++?++++==+=（特解）解：dy dq q y q y y dy dq q y dy dx p y p p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：y y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y y y t y y y y y q y C dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y q y y dy dq 32323232sin 2cos 231313322323232 2sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0 )(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=?=?=?=-+=?=?-=?=+=-+?=+-+?=-++?-（通解） 2．用参数法求解下列微分方程：、接口不严等问题，合电气设备进行调试工作案。高中资料试卷保护装置调