矩阵理论第1章-zyl

2013年工程矩阵理论期末试题A卷

杭州电子科技大学研究生考试卷（A 卷） 课程名称： 工程矩阵理论 1. 在R 2?2 中，求矩阵A=a b c d ????? ?在基 12341001000000001001????????====???????????????? E E E E ，，，下的坐标. 2. 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p (x ) = 1+2x 3在基 1，x -1，(x -1)2，(x -1)3下的坐标. 3. 设1V 和2V 是线性空间 V 的两个子空间。证明维数公式： 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 4. 已知矩阵A 相似与矩阵B ，证明：trace(AB ) = trace(BA ). 5. 已知矩阵A = ??? ? ? ?????-311111002，（1）求多项式 2012()p λαλαλα=++使得 2012()At p A A A I e ααα=++= （2）说明多项式()p λ是二次多项式的理由 （3）利用（1） 的结果计算At e . 6. 利用初等变换把λ-矩阵 2 (1)0 00000(1)λλλλ+?????? +???? 化为 Smith 标准型。 7. 已知矩阵A = ???? ? ?????-00i 001i 10， （1）A 是对称矩阵还是反对称矩阵，或者都不是？ （2）A 是Hermite 矩阵还是反Hermite 矩阵，或者都不是？ （3）A 是正规矩阵吗？A 可对角化吗？A 可酉对角化吗？ （4）求酉矩阵U 使U H AU 为对角矩阵.

矩阵论答案

习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4 A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2．设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注：2 A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，

东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09

东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09 一、求C 中，V1=í?2′2的子空间V1,V2的交空间V1?V2及和空间V1+V2的基和维数，其ì?x ?èxy?üì?xy?ü|x,y?C,V=|x,y?Cy2í?y、 ÷÷y?t?è-y-x?t 二、欧氏空间R[x]3中的内积定义为：对"j,y?R[x]3， =òjydx。令a=1，b=x，h=x2， W=L。-11 求h在W中的正投影，即求h0?W，使得-h0=min-x、 x?W 三、在2′2矩阵空间C2′2上定义线性变换f如下：对任意矩阵X?C2′2， ?a2a?f=?÷，其中，a为X的迹tr。 è3a4a? 1、求f在C2′2的基E11,E12,E21,E22下的矩阵M； 2、分别求f的值域R及核子空间K的基及维数； 3、求f的特征值及相应的特征子空间的基； 4、问：是否存在C2′2的基，使得f在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？ ?1a7??÷四、根据参数a,b不同的值，讨论矩阵 A=?02b÷的Jordan标准形，并求矩 ?001÷è?

阵100的秩。 ???÷五、假设矩阵A=?002÷、 ?÷è? 1、求A的广义逆矩阵A； At 2、求一个次数不超过2的多项式f，使得f=Ae、 + 六、假设f是n维酉空间V上的线性变换，若对任意 a,b?V，有 b,=)a ) 1、证明：在V的标准正交基下，f的矩阵为Hermite矩阵； 2、证明：存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵为对角阵。 七、假设s′n矩阵A的秩为r ，证明A2￡AF￡2。 八、假设A是A?C+s′n的广义逆矩阵，证明：Cn=K?R，其中， K,R分别表示矩阵A的核空间和A+的值域、 九、假设A,B都n阶Hermite矩阵、 1、如果A是正定的，证明：存在可逆矩阵C，使得 CHAC,CHBC都是对角阵； 2、如果A,B都是半正定的，并且A的秩r=n-1，证明：存在可逆矩阵C，

东南大学《工程矩阵理论》06(下)工程矩阵理论统考试卷(A)

工程矩阵理论试卷（A ） 2006年10月 系别 学号 姓名 成绩 一． （20%）记22C ?为复数域C 上的22?矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，矩阵1100A -??= ??? ，{}22|V X C AX XA ?=∈=。 1．证明V 是22C ?的子空间，并求V 的基和维数； 2．假设22C ?的子空间0|,a W a b C a b b ????=?∈?? ?-???? ，求W 的基和维数； 3．求,V W V W +?的基和维数。 二． （12%）假设矩阵000 0050000310031A ?? ? ?= ?- ?-??，试求A 的广义逆矩阵A +。 三． （16%）设矩阵101101000A ?? ?=- ? ??? 。 1. 分别求A 的特征多项式及Jordan 标准型； 2. 写出A 的最小多项式； 3. 将At e 表示成关于A 的次数不超过2的多项式，并求At e 。 四． （20%）记22C ?为复数域C 上的22?矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的 线性空间，对固定的矩阵22,A B C ?∈，定义22C ?上的变换如下：对任意22X C ?∈， ()f X AXB =。 1. 证明：对给定的矩阵22,A B C ?∈，f 是22C ?上的线性变换； 2. 设1011,1000A B ????== ? ????? 。分别求11122122,,,E E E E 在f 下的像，并求f 在22C ?的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；

3. 假设1011,1000A B ????== ? ????? ，求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组 基及它们的维数； 4. 问：22()()C R f K f ?=⊕是否成立？为什么？ 五． (12%)设矩阵21000403A x ?? ?= ? ???，32020003y B ?? ?= ? ??? 。 1. 根据x 的不同的值，讨论矩阵A 的所有可能的Jordan 标准形； 2. 若A 与B 是相似的，问：参数,x y 应满足什么条件？试说明理由。 六． (10%)假设3R 的由12,ξξ 生成的子空间12(,)V L ξξ=，其中 12(0,1,0),(1,0,2)ξξ== 。设(1,0,1)η=。在V 中求向量0η，使得 0min V ξηηηξ∈-=-。 七． (10%)证明题 1. 证明：Hermite 阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不 是Hermite 矩阵，也不是酉矩阵。 2. 若n 维列向量n C α∈的长度小于2，证明：4H I αα-是正定矩阵。

上海交大研究生矩阵理论答案

n k r n n 1 2 习题 一 1．（ 1）因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ，故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx （ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A n A 4 k A r ( 1) A ， 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 （ 3 ）记 J= ，则 ， 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 ， 其中 P 为任意满秩矩阵，而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注： A 2 E 无实解， A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 1

东南大学《工程矩阵理论》试卷09-10-A

一. （10％）求22×C 的子空间12,V V 的交空间12V V ∩及和空间12V V +的基和维数，其中，V x ∈?． 12,y ?????? |,|,C V x ???=∈??????x y x y x y y x ??=??????y C ??二. （10%）欧氏空间3[]R x 中的内积定义为：对3(),()[]x x R x ?ψ?∈， )1 1(),()()(x x ?ψ?<>∫x ?ψ=x dx 。令1α=，x β=，2x η=， (,)W L αβ=。求η在W 中的正投影，即求0W η∈，使得 0min W ξηηη∈ξ?=?． 三. （20%）在22×矩阵空间22C ×上定义线性变换f 如下：对任意矩阵22X C ×∈， ?，其中，a 为234a a a a ?()f X ??=?? X 的迹()tr X 。 1. 求f 在22C ×的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ； 2. 分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及维数； 3. 求f 的特征值及相应的特征子空间的基； 4. 问：是否存在22C ×的基，使得f 在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？ 四. （10%）根据参数,a b 不同的值，讨论矩阵b ??的Jordan 标准形，并求矩阵100的秩。 1702001a A ???=????? ()A I ?五. （14%）假设矩阵． 101002101A ????=?????? 1. 求A 的广义逆矩阵A + ； 2. 求一个次数不超过2的多项式()f λ，使得()At f A Ae =． 六. （10%）假设f 是n 维酉空间V 上的线性变换，若对任意,V αβ∈，有())((),)(,f f αβα=β。 1. 证明：在V 的标准正交基下，f 的矩阵为Hermite 矩阵； 2. 证明：存在V 的一组标准正交基，使得f 的矩阵为对角阵。 七. （8%）假设s n ×矩阵A 的秩为r ，证明22F A A A ≤≤。

东南大学工程矩阵理论样卷及答案1

工程矩阵理论试卷样卷10a 一、假如n n A C ?∈。 1、记} { ()n n V A X C AX XA ?===。证明：()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，求()V A 。 3、若2n =，0011A ?? = ?-?? 。求这里V （A ）的一组基及其维数。 4、假如} { 22 ()W A X C AX O ?===。问：对上一题中的()V A 和()W A ，()()V A W A +是否为直和？ 说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()x y V A ∈，()()x y V A +∈，()kx V A ∈。 设,()x y V A ∈，k F ∈， ()()A x y A x A y x A y A x y A +=+=+=+，()()x y V A +∈∴ ()( )A k x k A x k x A k x A ===， ()kx V A ∈∴ ∴()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，则} { ()n n V A X C IX XI ?===，因为对单位阵I 来说，IX XI =恒成立，故， ()n n V A C ?=。 3、若2n =，0011A ??= ?-??，设a b X c d ?? = ??? ，有AX XA =，即， 000011110 00a b a b c d c d b b a c b d d d b a c d b d d ???????? = ??? ???--???????? -????= ? ? ---???? =?? -=??-=-? ，有0b a c d =??-=?，故0a X c a c ??= ?-??=0000a c c a ????+ ? ?-???? 故X 的一组基为00101101,???? ? ?-???? ，维数为2。

工程矩阵理论试题A

杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论 一、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 设A∈C m?n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是： （1）存在且唯一（2）存在但不唯一 （3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n?n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!, （1）收敛于零（2）发散 （3）收敛与否与具体A有关（4）收敛 3. 设A∈C n?n满足A3= E，则下列说法正确的是： （1）A的最小多项式与特征多项式相同 （2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n （4）不能确定A是否可对角化 4. 设A为n阶方阵，则有： （1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n （3）R(A) ⊕ N(A T )= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n 5. 设A为n阶Hermite矩阵，则： （1）A的n个特征值全大于零 （2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E （3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R （4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分） 1. 设ε 1, ε 2 , ε 3 为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。σ在基ε 1 , ε 2 , ε 3 下的

矩阵为???? ??????3332 31 232221 1312 11 a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。 2. 设方阵A 满足A 2 = 3A, 则sin (3A ) = 。 3. 矩阵A = diag 21312,,0203? ????? ? ????????? ?，则A 的最小多项式为 。 4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ?n 为常矩阵，则： ， () =HX X X T D D 。 5. 设A ∈C n ?n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ， 则： X X AX X H X H 0max ≠ = 。 三、计算和证明题(1-4题，每题10分，第五题20分，共60分) 1. 已知矩阵A = 1 0111113??????-???? ， （1）求多项式212 0)(αλαλαλ++=p 使得At e I A A A p =++=2120)(ααα （2）说明多项式)(λp 是二次多项式的理由 （3）利用（1）的结果计算At e . 2. 设矩阵A 的奇异值分解为：H V U A ??????∑=000，其中),,(diag 1r σσ =∑。验证H U V A ?? ????∑=-+ 00 01是矩阵A 的Penrose-Moore 逆。 3. 证明：12121122()() A A B B A B A B ??=? 4 利用初等变换把λ-矩阵???? ??????++2)1(000000 )1(λλλλ化为Smith 标准型。 5 设方阵A 、B 满足AB = BA 证明 ( 1 ) N(A ) 是B 不变子空间 （2）()At Bt A B t e e e +=

东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案

工程矩阵理论试卷 一、假如n n A C ?∈。 1、记} { ()n n V A X C AX XA ?===。证明：()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，求()V A 。 3、若2n =，0011A ?? = ?-?? 。求这里V （A ）的一组基及其维数。 4、假如} { 22 ()W A X C AX O ?===。问：对上一题中的()V A 和()W A ，()()V A W A +是否为直和？ 说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()x y V A ∈，()()x y V A +∈，()kx V A ∈。 设,()x y V A ∈，k F ∈， ()()A x y Ax Ay xA yA x y A +=+=+=+，()()x y V A +∈∴ ()()A kx kAx kxA kx A ===， ()kx V A ∈∴ ∴()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，则} { ()n n V A X C IX XI ?===，因为对单位阵I 来说，IX XI =恒成立，故， ()n n V A C ?=。 3、若2n =，0011A ??= ?-??，设a b X c d ?? = ??? ，有AX XA =，即， 00001111000a b a b c d c d b b a c b d d d b a c d b d d ???????? = ??? ???--???????? -????= ? ?---????=?? -=??-=-? ，→ 有0b a c d =??-=?，故0a X c a c ??= ?-??=0000a c c a ????+ ? ?-???? 故X 的一组基为00101101,???? ? ?-???? ，维数为2。

上海交大研究生矩阵理论答案

|讪 而由a = 0时， 〔0 其中P 为任意满秩矩阵，而 注：A = -E 无实解，A n =E 的讨论雷同。 性方程AX -XA=0有n 2 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵, 习题 -cosnx sin nx[ 1-("因[L sinnxcosnx 丄sin C0SX sin x = COs(n 1)x sin(n 1)x ，故由归纳法知 x cosx f-sin(n 1)x cos(n 1)x A n cosnx sin nx '-sinnx cosnx (2)直接计算得 A 4 - -E ，故设 n =4k r(r =0,1,2,3)，则 A n = A 4k A r =(-1)k A r ，即 只需算出A 2, A 3即可。 (3 )记 J= ，则 a n C ：a n n i i n _i_ A =(aE J) = 6 C n a J i =0 n 』亠2 n _2 C n a C ；a nJ n a III c ：〕 III c^a C ： a n 」 n a 2?设 A =P F a 1 -0 /一 2 _ P’yo),则由 A 2 =E 得 冷0 1 〔0 1 一 ,B 2 = 【0 -0] ，艮 0] 。 -1 i 0 -k 0 1 2 _0 所以所求矩阵为PB i P’ , 3?设A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有AX=XA ，即把X 看作n 个未知数时线

通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。a n ? a n 1 ■ 11（ ? = 0 5.先证A 或B 是初等到阵时有 AB *=B *A * ，从而当A 或B 为可逆阵时有 AB 、B *A *。 考虑到初等变换 A 对B 的n 阶子行列式的影响及 A 二A‘即可得前面提到的结果。 下设PAQ = E r 0 ,（这里P , Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可: 〔0。」 6 .由 r(A)二 r(A —)及 AX 二 0= (AX)—AX = 0，即 AX = 0 与 A —AX = 0 同解，此即所 求证。 7.设其逆为 a j ，则当I 固定时由可逆阵的定义得 n 个方程 .i 1 . 1 2 . 1 n-1 ? a

矩阵理论试题

矩阵理论2007年考试 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?） 1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，'''120n σσσ≥≥≥> ， 如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ) 2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 3、设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323121000a a A a a a a -?? ?=- ? ?-?? 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵. ( ) 5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ) 6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ) 7、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 8、0010140110620 118A ??????=?????? 至少有2个实特征值. ( ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞与向量的1-范数相容. ( ) 10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵n n A C ?∈可逆, 矩阵范数||||?是n C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||1 1||||1max ||()||||||||||min ||()||v v v x v y L x A A L y =-==?. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==, 1 1100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,

工程矩阵理论

双语国际教育版 系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生） 倪郁东编著 合肥工业大学数学学院

目录 第一章线性空间与线性变换 1 §1.1 线性空间 1 §1.2 线性变换及其矩阵 3 §1.3 内积空间8 §1.4 正交变换及其几何与代数特征 §1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章矩阵的标准形理论 §2.1 线性变换的特征值和特征向量29 §2.2 矩阵的相似对角化32 §2.3 特征矩阵的Smith标准形34 §2.4 矩阵的Jordan标准形34 §2.5 矩阵的最小多项式 第三章矩阵分解29 §3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 §3.2 矩阵的QR分解32 §3.3 矩阵的满秩分解34 §3.4 矩阵的奇异值分解34

§3.5 矩阵分解的应用 第四章矩阵范数理论及其应用16 §4.1 范数与赋范线性空间 §4.2 向量范数及其性质17 §4.3 矩阵的范数18 §4.4 范数的应用19 第五章矩阵分析及其应用20 §5.1 矩阵序列20 §5.2 矩阵级数21 §5.3 矩阵函数22 §5.4 矩阵的微分和积分25 §5.5 矩阵函数的一些应用26 §5.6 梯度分析和最优化27 第六章特征值估计及极性38 §6.1 特征值的估计38 §6.2 广义特征值问题40 §6.3 对称矩阵特征值的极性41 §6.4 广义特征值分析的应用42 第七章广义逆矩阵43 §7.1 投影矩阵43 §7.2 广义逆矩阵46 §7.3 总体最小二乘方法49

第八章Matlab中的矩阵运算简介50 §8.1 基本矩阵运算50 §8.2 矩阵分解52 §8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57 编著者说明 1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。 2、章节内容包括：定义，结论，例题，定理，推论，注记。其中，定理和例题均有证明或解答，而结论和推论则不加详述。

矩阵论考试试题(含答案)

矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 ()??? ? ??-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()?t dt t A 0和(()?2 0t dt t A )'。 解：()?t dt t A 0=()???? ? ??-????t t t t tdt tdt dt t dt t 0 sin cos cos sin =??? ? ??---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()?2 t dt t A )'=()??? ? ? ?-=?22 22 2sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 ????? ??-=1111α，????? ??-=1202α，??? ?? ??-=1013α 变为基 ????? ??-=0111β，????? ??-=1102β，??? ? ? ??-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ； (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解：(1)不难求得： ()2111ααβασ-== ()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==

因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 ??? ? ? ??---=110211111A (2)设()??? ?? ??=321321,,k k k αααξ，即 ??? ? ? ??????? ??---=????? ??321111021101 321k k k 解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 ???? ? ??--=????? ??--????? ??---=????? ??1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ??? ? ? ??-=????? ??--????? ??--=????? ??---61519410011111101 94101A ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 ????? ??--=????? ??--????? ??--=????? ??---94101332230111111011332231A 三、(20分)设??? ? ? ??-=301010200A ，求At e 。 解：容易算得 ()()()()212--=-=λλλλ?A I

东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案3

东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案3 一、假如n n A C ?∈。 1、记} { ()n n V A X C AX XA ?===。证明：()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，求()V A 。 3、若2n =，0011A ?? = ?-?? 。求那个地点V （A ）的一组基及其维数。 4、假如} { 22 ()W A X C AX O ?===。问：对上一题中的()V A 和()W A ，()()V A W A +是否为直和？ 说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()x y V A ∈，()()x y V A +∈，()kx V A ∈。 设,()x y V A ∈，k F ∈， ()()A x y Ax Ay xA yA x y A +=+=+=+，()()x y V A +∈∴ ()()A kx kAx kxA kx A ===， ()kx V A ∈∴ ∴()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，则} { ()n n V A X C IX XI ?===，因为对单位阵I 来说，IX XI =恒成立，故， ()n n V A C ?=。 3、若2n =，0011A ??= ?-??，设a b X c d ?? = ??? ，有AX XA =，即， 00001111000a b a b c d c d b b a c b d d d b a c d b d d ???????? = ??? ???--???????? -????= ? ?---????=?? -=??-=-? ，→ 有0b a c d =??-=?，故0a X c a c ??= ?-??=0000a c c a ????+ ? ?-???? 故X 的一组基为00101101,???? ? ?-???? ，维数为2。

东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)1

工程矩阵理论试卷样卷10b 一、已知22 C ?的子空间 1,x x V x y C y y ???? =∈?? ?????，2,x y V x y C x y ??-??=∈?? ?-???? ，分别求121212,,,V V V V V V +I 的一组基及它们的维数。 解：1V 的基为：11000011,???? ? ????? ，2维。 2V 的基为：10011001,-???? ? ?-???? ，2维。 设12V V η∈I ，比较12,V V ，则y x =-，x x x x η??= ?--??，所以基为1111η?? = ?--?? ，1维。 12V V +为由12,V V 生成的空间，121100100100111001(,,,)V V L -???????? += ? ? ? ?-???????? ，其极大线性无关组为：110010001110,,?????? ? ? ?-?????? ，即为12V V +的基，3维。 二、设22 C ?上的线性变换f 定义为： ()t t f X t t ??= ???，22 a b X C c d ????=∈ ??? ，其中，t 表示矩阵X 的迹()tr X a d =+。 1、求f 在V 的基11E ，12E ，21E ，22E 下的矩阵A ； 2、求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及它们的维数； 3、问：()()R f K f +是否为直和？为什么？ 解：1、11221()()tr E tr E == 12120()()tr E tr E == 11221111()()f E f E ??== ??? 1221 0000()()f E f E ?? == ???

东南大学工程矩阵理论样卷及答案3

工程矩阵理论试卷样卷10c 一、已知矩阵1111A ??= ?--?? ，22 C ?的子集{} 22,V X AX O X C ?==∈ 1、证明：V 是22 C ?的子空间； 2、求V 的一组基及V 的维数； 3、证明A V ∈，并求A 在上小题所提基下的坐标； 4、试给出22 C ?的两个不同的子空间W 及'W ，使得22 'C V W V W ?=⊕=⊕ 解：1、设,x y V ∈，k F ∈ ()A x y Ax Ay O +=+= ()()A kx k Ax O == 所以，V 对加法和数乘封闭，故V 是22 C ?的子空间。 2、设a b X c d ?? = ??? 11111111a b a c b d X O c d a c b d ++????????=?== ? ? ? ?--------???????? 00a c b d +=??+=? a b X a b ??= ?--??，所以V 的基为11010,α??= ?-??20101α??= ?-?? ，2维。 3、11100111111001A ?????? ==?+? ? ? ?----?????? ，A 在12,αα下的坐标为11(,)。 4、V 实际为A 核子空间，()V K A =，令W V ⊥ =即可构成22 C V W ?=⊕，则有 ()()H W V K A R A ⊥⊥====H A 的极大线性无关组。（此处概念有点不清楚，是否正确，请周老师 指教！） 1111H A -??= ?-??，H A 的极大线性无关组为11?? ??? 。

二、假设3维线性空间V 上的线性变换f 在V 的基123,,ααα下的矩阵为202001a c J b ?? ? = ? ?-??。问：当,,,a b c d 满足什么条件时，存在V 的一组基，使得f 的矩阵是20020222K d ?? ? = ? ??? ？ 解： Q J 、K 为同一线性变换下的矩阵，故J ∽K ，有相同的jordan 标准形，相同的特征值，相同的迹， 相同的秩。 根据J 、K 迹相同(即主对角元素的和相同)得：1d =-，200210222K ?? ? =- ? ??? ， 22 002 1 122 2 2 ()()I K λλλλλλ--=-+=+----， 2λ=时，00022302220()r I K r ?? ?-=-= ? ?--??，求得100021002K J -?? ? = ? ??? 22 02 120 1 ()()a c I J b λλλλλλ----= --=+-+ 2λ=时，02002003()a c r I J r b --?? ? -=-= ? ??? ∴0b ≠，0a c == 或0b =，0ac ≠ 三、设矩阵1111A ??= ?--?? ，22 C ?上的变换f 定义如下：22(),f X XA X C ?=?∈ 1、证明：f 是线性变换； 2、求f 在22 C ?的基111000E ??= ???120100E ??= ???210010E ??= ???220001E ?? = ??? 下的矩阵M ； 3、求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及它们的维数；

矩阵理论试题参考答案

矩阵理论2007年考试参考答案 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?） 1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥ ≥>，'' ' 120n σσσ≥≥ ≥>， 如果'(1,2, ,)i i i n σσ>=，则22||||||||A B ++>. ( ? ) 2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323 12 1 00a a A a a a a -?? ?=- ? ?-?? 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ ) 5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ∨ ) 6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ? ) 7、如果12(,, ,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ? ) 8、00101 40110620 1 1 8A ????? ?=?????? 至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ∨ ) 10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵， 则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( ∨ ) 二、计算与证明（60分） 1. (10分)设矩阵n n A C ?∈可逆, 矩阵范数||||?是n C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令()L x Ax =, 证明: ||||11||||1 max ||()||||||||||min ||()||v v v x v y L x A A L y =-==?. 证明: 根据算子范数的定义, 有||||1 max ||()||||||x L x A ==, 1 11 00||||1||||1 0||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min |||| y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠===== ,

2009矩阵理论试题]

电子科技大学研究生试卷 一、选择题（20分） 1、设11(1)1 n x R n n ?? ?=∈> ? ??? ,T B I xx =-，其中I 为单位矩阵, 则下面正确的选项为 ( ) 1.|| ||1A B =; .||||1B B ∞=; 2.||||1C B =; 2 .|||| 1.m D B = 2、设G 为矩阵()m n r A C r n ?∈<的一个广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则 1 ||||m DGB =( ). A . 1; B . r; C . 0; D . n. 3、 下列说法错误的是( ) A . 矩阵A 与H A 有相同的奇异值; B . 矩阵收敛的充分必要条件是其谱半径小于1; C . 矩阵A 的右逆1 R A -是A 的自反广义逆; D . |||||||||||| m m m AB A B ∞ ∞ ∞ ≤. 4、设n 阶矩阵A 满足2A A =，但A 不是单位矩阵，则下列说法正确的是( ). A . 矩阵A 不是严格对角占优; B . 矩阵A 为严格对角占优; C . 矩阵A 左可逆; D . 矩阵A 的M-P 广义逆A A +=. 5、设n n A C ?∈且矩阵A 的谱半径()1r A <，则0 k k kA ∞ ==∑( ). .() A A I A -; 2 .()B A I A -; 1 . () C A I A --; 2 .() D A I A --. 二、填空题（20分） 1、设A 为三阶矩阵且0A x =、(3)0I A x -=和(3)0I A x +=都有非零解，其中I 为 三阶单位矩阵，则矩阵A 的谱半径()r A = . 2、设002A ππ?? ? = ? ?? ? ，则2||sin ||A = . 3、1/41/41/41/41/5 2/51/51/5 1/61/63/61/61/71/7 1/7 4/7A ?? ? ?= ? ? ?? ? 的谱半径()r A = . 4、设n n A C ?∈是可逆矩阵，0是n 阶零矩阵, 则000A + ?? = ??? . 5、设m n n A C ?∈且12||()||T T A A A A -= .

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 1 3 3 1 22222222111001100(1)c c r r λλλλλλλ λλλλλλλλλλλλλλ+-??????-?????? -???→-???→-????????????+---+? ????? 2 3221311(1)10 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,

从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ????-????-??-?? ； （3）对矩阵作初等变换 1332212 13 2132222222222242322 (2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------???? +--+----????+--+-???→---????????+-----?????? -+--++-??????→--????--??312 2131211342322 (2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+?+--?-???-+--++-???????→--?? ??????-+---++-??????→-?? ???? ??--+???????→-???→-????-?? 1)????????+?? 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ? ?????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换