高中数学第一章导数及其应用1.4第1课时生活中的优化问题举例学案新人教A版

1.4第一课时 生活中的优化问题举例

一、课前准备

1．课时目标

（1）了解函数极值和最值的基本应用.

（2）会用导数解决某些实际问题.

2．基础预探

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域.

(2) 求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0,求定义域内的根，确定 .

(3) 比较函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值.

(4) 还原到原 中作答.

三、学习引领

1. 常见的优化问题

主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.

2.解决优化问题的方法

首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决优化问题的基本程序是：

读题 建模 求解 反馈

（文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）

3. 需要注意的几个问题

(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.

(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性.

四、典例导析

题型一 几何图形中的优化问题

例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =FB =x cm

（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2

）最大，试问x 应取何值？

（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.

解：设该盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得.300),30(22260,2<<-=-==x x x

h x a

（1）由题意包装盒侧面积,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，

S 取得最大值.

（2）由题意知,)20(26),300(),30(22322x x V x x x h a V -='<<-==.由0='V 得

0=x （舍）或20=x .由于当)20,0(∈x 时，0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当,所以当20=x 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时

12h a =该盒的高与底面边长的比值为1.2

规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.

变式训练1今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？

题型二 费用最省问题

例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

803

π立方米，且r l 2≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千

元，半球形部分每平方米建造费用为)3(,>c c .设该容

器的建造费用为y 千元.

（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .

思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.

解:（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3243

r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-,所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2160833

r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π,所以y =21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2

l ).

（Ⅱ）因为'

y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:r >

令'0y <得:0r <<所以r =, 该容器的建造费用最小. 规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.

变式训练2 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省?

题型三 利润最大问题

例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3

a y x x =+--，其中63<

销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.

（I ）求a 的值;

（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

思路导析:问题（I ）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求a 的值.问题（II ）,用x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.

解: （I ）因为当5=x 时,11=y ,代入210(6)3a y x x =

+--得,2,11102

==+a a . （II ）由（I ）知,该商品每日的销售量为2)6(103

2-+-=x x y ,所以商场每日销售该商品所获得的利润为22)6)(3(102])6(1032)[3()(--+=-+--=x x x x x x f )3612)(3(1022+--+=x x x ,)63(<

)6)(4(30)6)(3(20)6(10)(2--=--+-='x x x x x x f .于是,当x 变化时,)(),(x f x f '

由上表可知,4=x 是函数)(x f 在)6,3(上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当4=x 时,函数)(x f 取得最大值,最大值为42.

答:当销售价格为4元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大.

规律总结: 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.

变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系，t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）.

（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002t 2（元），在乙方按照获得最大利

润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？

五、随堂练习

1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积为最大,则高为( )cm. A.33 B.3310 C.3316 D.3

320 2. 以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) .

A.10

B.15

C.25

D.50

3. 若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 ( ) .

A.22r π

B.2r π

C.24r π

D.22

1r π 4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长和宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为 .

5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升),关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：)1200(880

312800013≤<+-=x x x y ，已知甲乙两地相距100千米.当汽车以 (千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?

6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

六、课后作业

1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A. 3V B. 32V C. 34V D.32V

2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ） A. b a 2 B.b a 22 C. a b 2 D. a

b 22 3. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是π27,且用料最省则圆柱的底面半径为 .

4. 去年初,某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p 元，则销售量q (件)与零售价p (元)有如下关系21708300p p q --=．那么该商品零售价 为 元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)

5. 现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别

为x 和y 时，得到的回报是32

31y x P =

．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.

6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，

梯形面积为S ．

（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域;

（2）求面积S 的最大值．

1.4第一课时 生活中的优化问题答案及解析

一、2. 基础预探

（1）数学模型；函数关系（2）极值点 （3）区间短点 （4）实际问题

三、变式练习

1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为2(0)2a a x x -<<，高为tan 30h x =??=

设：容积为V ，则21(2)sin 602V sh a x x ==- 2324a x ax x =-+.函数求导得: 22

324a V x ax '=-+,令0V '=得,62a a x x ==（舍去）,当06a x <<时，0V '>；当6a x >时，0V '<,所以当a x b =时，333334216362421654

a a a a a V =-+==最大. 答：x 为6a 时，盒子的容积最大为354

a 2.解 ： 设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2

220+x ,|CD|=x -100.如果公路运费为a 元/km,那么铁路运费为5

3a 元/km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y 为:=y )100(53x a -+a 4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得:

y '=53a -+400

2+x ax =4005)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2x 400+),解之得

1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一极小值点,所

以1x =15是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距15km 处时,运费最省.

3. 解：（I ）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为： )0(2000≥-=t st t w 因为s

s t s st t w 221000)1000(2000+--=-=， 所以当21000()t s =时，w 取得最大值. 所以乙方取得最大利润的年产量21000()t s

=吨 . （II ）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-，将21000(

)t s =代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式：23

4100021000v s s

?=-， 又2323255

1000810001000(8000)s v s s s ?-'=-+=，令'0v =得20s =,当20s <时，'0v >；当20s >时，'0v <.所以20s =时，v 取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是20元.

四、随堂练习

1. 答案：D. 解析：设圆锥的高为h ,则体积)200(,)400(3

12<<-=h h h V π, 034002=+-='ππh V ,解得3320=h ,由导数的意义,当3

320=h 时,V 取极大值且唯一,故为最大值.故选D.

2. 答案:D.解析:设圆的内接矩形的一边长为x ,则另一边长为2

100x -,内接矩形的面积2100x x S -=,24222100)100(x x x x S +-=-=,02004)(32=+-='x x S ,解得0=x (舍去),50=x ,根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50.

3. 答案：A.解析:设内接圆柱的底面半径为)0(,r x x <<，则圆柱的侧面积224x r x S -=π，)(1622222x r x S -=π，求导，判断极大值点r x 22=

,其侧面积最大为22r π.

4. 答案:300m 3 解：设长为xm ，则宽为(20

)x m -，仓库的容积为V,则

2(20)33+60V x x x x =-?=-.660V x '=-+，令0V '=得10x =,当010x <<时，0V '>；当10x >时，0V '<,∴10x =时，3300()V m =最大.

5.答案:80.解析;由题意可知,以速度

x (千米/小时)从甲地到乙地耗油量为:=?=x y W 100415800128012-+x x ,08006402=-='x

x W ,解得80=x ,且为唯一极小值点,所以80=x 为最小值点.

6. 解:设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3Q kx =，由3610k =?可得3500

k =，∴33500Q x =，∴总费用3231396(96)500500y x x x x =+?=+，2696500y x x

'=-，令0y '=得20x =，当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增，∴当20x =时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．

五、课后作业

1. 答案: C.解析:设底面等边三角形的边长为0,>x x ,直棱柱的高为h ,则h x V ?=4

32

,所以234x V

h =.表面积x V x x x V x S 3423343432222+=??+?=,03432=-='x V x S ,解得34V x =,S 取极小值且唯一,即最小,故选C.

2. 答案 C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为h r ,,则2

2,r V h h r V ππ=

=,总造价r bV r a r V r b r a y 2222222+=?+=ππππ,0242=-='r bV r a y π,得b r

V ar ?=22π即a

b h r 2=时取极大值,即最大值.故选C. 3. 答案：3.解析：设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则2227,27r

h h r ==ππ.无盖圆柱形水桶表面积r r r r r S ππππ54272222+=?+=,05422=-='r r S ππ,解得:3=r ,为唯一极小值点,即最小值点.

4 .答案:30.解析:设毛利润y ,则q q p y 20-?==)20(-p q =)20)(1708300(2---p p p

=1660001170015033-+--p p p ,所以01170030032=+--=p p y ,解得30=p 或130-=p （舍去）. 根据导数的意义知，当30=p 时,y 最大.

5. 解：由于10000=+y x ，所以100000,)10000(32

313231≤≤-==y y y y x P ．

考虑23)10000(y y P -=，由0320000)(23=-='y y P 得3

20000,021==y y ， 由于当320000<

y 时，0)(3>'P ；当3

20000>y 时，0)(3<'P ， 所以3

200002=y 是3P 的极大值点，从而也是P 的极大值点．故当投到产品开发的资金为3

20000元时，得到的回报最大. 6． 解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为22

2214y x r r

+= 设(,)C x y 则y =

（1） 1(22)2(2

S x r r x =+?=+定义域为 {}0x x r <<．

（2） 由（1）知22(()S r r x =+-.设222g(x)=(r+x)(r -x ) 则22()(2)g (x)x r x r '=-+-. 由0g (x)'=得2r x =

当02r x << 0g (x)'> 当2r x r << 0g (x)'<,∴当2

r x =时g(x)取最大值,S 取最大

值,

人教版高中数学《导数》全部教案

导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

高中数学导数及微积分练习题

1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，

底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

高中数学导数经典习题

导数经典习题 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ） 4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 5．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- A x D C x B

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

(完整word)高中数学导数练习题

专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴

高等数学导数的概念学习教案.docx

教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：

教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 ２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

人教版高中数学《导数》全部教案课程

导数的背景 （5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量 （即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?， 所以，割线PQ 的斜率x x x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22.

函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题

知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)

人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案

导数的概念及运算 【考点指津】 1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义． 2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数． 【知识在线】 1．函数y =14223++x x 的导数是 ． 2．曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6，则点P 的坐标是 ． 3．设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8，则0 lim →?x f(x+Δx)-f(x)Δx = ． 4．已知使函数y=x 3+ax 2- 43 a ，若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a ． 【讲练平台】 例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ） A ． (6x+1)(2x+3) B ． 2(6x+1) C ． 2(3x 2+x+1) D ． 18x+22x+5 分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数． 解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3 ∴y'=18x 2+22x+5，故应选D 点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式． 例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5， 若f'(x 0)=0，则x 0= ． 分析 x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0 解 f(x)=x 3-2x 2+x+5， 求f'(x)=3x 2-4x+1 由f'(x 0)=0， 得3x 2-4x+1=0 解得x 0=1或13 ∴应填写答案为1或13 点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n ．x n -1， 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导 数的常用工具． 例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1， 求a ，b ，c 的值． 分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a ，b ，c ． 解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过（1，1）点和（2，1）点 ∴a+b+c=1 (1) 4a+2b+c=-1 (2) 又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3) 由(1)(2)(3)可得，a=3，b=-11，c=9． 点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求． 【知能集成】 1．两种常见函数的导数：c'=0 （C 是常数）；(x n )'= nx n - 1(n ∈N *)． 导数和运算法则：若 f(x)，g(x)的导数存在，则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x)， [cf(x)]' = cf '(x)．（C 是常数） 2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式，掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数．

高中数学导数教案

个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：林老师授课时间：

.B ()()f x g x < .C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+ 问题2．()f x 的导函数()y f x '= 的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 问题3．求下列函数的导数： ()1()2 1sin y x =+； ()41 1 x x e y e +=-； ()6ln x y e x =? () 7sin 1cos x y x = +； ()8()21sin cos y x x x x =-?+? ()932x x x y e e =?-+ ()10()()33421y x x x =-?- 问题4．()1求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程. ()2（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 .A 220x y ++= .B 330x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+= ()3（08届高三攸县一中）已知曲线m x y += 3 3 1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或13 3 - （三）课后作业： 1.若0()2f x '=,求0 lim →k k x f k x f 2) ()(00-- 2.（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ()1求)(x f 在(,)a b 内的极值； ()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p 9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法. 10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主 元为辅元，变分式为整式. 11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为 助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. （二）典例分析： 问题1．()1函数)(x f y =在定义域)3,2 3 (-内可导，其图象如图所示，记)(x f y = 的导函数为 )(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为 .A [)3,2]1,31 [Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]2 1 ,23[Y - .D ?? ??????? ??--3,38]34,21[1,23Y Y ()3设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+ ()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ?<的解集是 .A ()()2,02,-+∞U .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞U .D ()(),20,2-∞-U 问题2．()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间 []2,2-内，则b 的取值范围为 ()2已知2()12f x x x =+-，那么[]()()g x f f x = .A 在区间()2,1-上单调递增 .B 在()0,2上单调递增 .C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增 ()3函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x -恒成立，求实数k 的取值范围.

人教A版高中数学选修《导数综合练习题》

导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f

北师大版数学高二-高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2

高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式 教学过程： 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y x ?→?→?'===? 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22 ()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==??? 222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x ==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???

高中数学导数专题训练

精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是.

13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求 y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，