(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第十一章 推理与证明、算法、复数 第1节 合情推理与演绎推理学案

第1节 合情推理与演绎推理

最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

.

知 识 梳 理

1.合情推理

2.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ) 解析 (1)类比推理的结论不一定正确.

(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.

(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于( ) A.28

B.32

C.33

D.27

解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 推出x －20＝12，所以x ＝32. 答案 B

3.正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2

＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2

＋1)是奇函数，以上推理( ) A.结论正确

B.大前提不正确

C.小前提不正确

D.全不正确

解析 f (x )＝sin(x 2

＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案 C

4.(2018·咸阳模拟)观察下列式子：1×2<2，1×2＋2×3<9

2，1×2＋2×3＋3×4

<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252

，…，根据以上规律，第n (n ∈N *

)个不等式是______________________.

解析 根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）2

2.

答案

1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）

2

2

5.(选修1－2P35A6改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋

a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{

b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝

________.

答案 b 1b 2b 3…b 17－n (n ＜17，n ∈N *

)

考点一 归纳推理

【例1】 (1)(2018·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋

4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21

＋22

，28＝22

＋23

＋24

，…，按此规律，8 128可表示为_____________. (2)(2018·济宁模拟)已知a i >0(i ＝1，2，3，…，n )，观察下列不等式：

a 1＋a 2

2

≥a 1a 2；

a 1＋a 2＋a 3

3

≥3

a 1a 2a 3；

a 1＋a 2＋a 3＋a 4

4≥4

a 1a 2a 3a 4；

……

照此规律，当n ∈N *

，n ≥2时，

a 1＋a 2＋…＋a n

n

≥________.

解析 (1)由题意，如果2n

－1是质数，则2n －1

(2n －1)是完全数，例如：6＝21＋22＝21(22

－

1)，28＝22

＋23

＋24

＝22

(23

－1)，…；若2n －1

(2n

－1)＝8 128，解得n ＝7，所以8 128可表

示为26

(27

－1)＝26

＋27

＋…＋212

.

(2)根据题意有

a 1＋a 2＋…a n n

≥n a 1a 2…a n (n ∈N *

，n ≥2). 答案 (1)26

＋27

＋…＋212

(2)n

a 1a 2…a n 规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.

(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.

【训练1】 (1)(2018·郑州一模)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )

A.45

B.55

C.65

D.66

(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为

n （n ＋1）2＝1

2n 2

＋12

n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12

n ， 正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32

n 2－12

n ， 六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n

……

可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝______. 解析 (1)第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……

故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×11

2＝55个，即a 10＝55.

(2)三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ＝n 2

＋n

2，

正方形数 N (n ，4)＝n 2

＝2n 2

－0·n

2

，

五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ＝3n 2

－n

2，

六边形数 N (n ，6)＝2n 2

－n ＝4n 2

－2n

2

，

k 边形数 N (n ，k )＝（k －2）n 2

－（k －4）n

2

，

所以N (10，24)＝22×102

－20×102＝2 200－200

2＝1 000.

答案 (1)B (2)1 000 考点二 类比推理

【例2】 (1)(一题多解)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }?

?

?

??

b n ＝

a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差

数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达

式应为( ) A.d n ＝

c 1＋c 2＋…＋c n

n

B.d n ＝

c 1·c 2·…·c n

n

C.d n ＝n c n 1

＋c n 2＋…＋c n n

n

D.d n ＝n

c 1·c 2·…·c n

(2)(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相

等.设由椭圆y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体

(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________.

解析 (1)法一 从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝n

c 1·c 2·…·c n .

法二 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋

n （n －1）2

d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2

d ＝d

2

n

＋a 1－d

2

，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n

1·q

1＋2＋…＋(n －1)

＝

c n

1·q

n （n －1）

2

，∴d n ＝n

c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q

n －12

，即{d n }为等比数列，故选D.

(2)椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2? ????π×b 2×a －13π×b 2a ＝43πb 2a .

答案 (1)D (2)43

πb 2

a

规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.

2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；

数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.

【训练2】 (1)(2017·安徽江南十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在

2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式

却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋

11＋…＝

( ) A.－5－12

B.5－1

2 C.1＋52

D.

1－5

2

(2)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则

OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1

CC 1

＝1，类比猜想：点O 是空间四面体VBCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1

，C 1，D 1，则有________________.

解析 (1)令1＋11＋

11＋…＝x (x >0)，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝

1－52舍)，故1＋11＋

11＋…＝1＋5

2，故选C.

(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1

DD 1

＝1. 用“体积法”证明如下：

OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBC V D －VBC ＝V V －BCD

V V －BCD

＝1. 答案 (1)C (2)

OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1

DD 1

＝1 考点三 演绎推理

【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝

n ＋2

n

S n (n ∈N *).证明：

(1)数列????

??

S n n 是等比数列；

(2)S n ＋1＝4a n .

证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2

n

S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴

S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 1

1

＝1≠0，(小前提) 故????

??S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知

S n ＋1n ＋1＝4·S n －1

n －1

(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·

S n －1n －1＝4·n －1＋2

n －1

·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)

又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)

(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.

【训练3】 (2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩

解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩. 答案 D

基础巩固题组

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1.观察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，则式子3?5是第( )

A.22项

B.23项

C.24项

D.25项

解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3?5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.

答案 C

2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )

A.使用了归纳推理

B.使用了类比推理

C.使用了“三段论”，但推理形式错误

D.使用了“三段论”，但小前提错误

解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.

答案 C

3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )

A.f(x)

B.－f(x)

C.g(x)

D.－g(x)

解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).

答案 D

4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( )

A.28

B.76

C.123

D.199

解析观察规律，归纳推理.

从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它

前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10

＝123. 答案 C

5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；

②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“

a ·c

b ·

c ＝a

b

”. 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A.1

B.2

C.3

D.4

解析 ①②正确；③④⑤⑥错误. 答案 B

6.(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”.

结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( ) A.甲，丙

B.乙，丁

C.丙，丁

D.乙，丙

解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D. 答案 D

7.(2018·郑州调研)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为( ) A.42

B.65

C.143

D.169

解析 可以通过列表归纳分析得到.

∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝13×10

2＝65条对角线.

答案 B

8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )

A.6

B.7

C.8

D.9

解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *

)层的点数为6(n －1).设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6（n －1）2×(n

－1)＝3n 2

－3n ＋1，由题意得3n 2

－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层. 答案 C 二、填空题 9.

仔

细

观

察

下

面

○

和

●

的

排

列

规

律

：

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.

解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n （n ＋3）

2

，易知f (14)＝119，f (15)

＝135，故n ＝14. 答案 14

10.观察下列等式：13

＝12

，13

＋23

＝32

，13

＋23

＋33

＝62

，13

＋23

＋33

＋43

＝102

，…，根据上述规律，第n 个等式为________.

解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13

＋23

＋…＋n 3

＝????

??n （n ＋1）22

＝n 2（n ＋1）2

4

.

答案 13＋23＋…＋n 3

＝

n 2（n ＋1）2

4

11.(2018·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝

a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：_____________________.

解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .” 答案 在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n

12.已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x

(a ＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论

a x 1＋a x 2

2

＞a x 1＋x 22

成立.运用

类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立. 解析 对于函数y ＝a x

(a ＞1)的图象上任意不同两点A ，

B ，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论

a x 1＋a x 2

2

＞

a

x 1＋x 2

2

成立；对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，

sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方， 类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立.

答案

sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22

能力提升题组 (建议用时：15分钟)

13.(2017·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

解析 根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：

由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D. 答案 D

14.(2018·南昌调研)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1>1，a 2 016a 2 017>1，a 2 016－1

a 2 017－1

<0，下列结论中正确的是( )

A.q <0

B.a 2 016a 2 018－1>0

C.T 2 016是数列{T n }中的最大项

D.S 2 016>S 2 017

解析 由a 1>1，a 2 016a 2 017>1得q >0，由

a 2 016－1

a 2 017－1

<0，a 1>1得a 2 016>1，a 2 017<1，0

{a n }的前2 016项都大于1，从第2 017项起都小于1，因此T 2 016是数列{T n }中的最大项. 答案 C

15.若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切

点弦P 1P 2所在的直线方程是

x 0x a 2＋y 0y

b 2

＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在

直线的方程是________.

解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是

x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y

b

2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有

x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，

x 2x 0a 2－y 2y 0

b

2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a －y 0y

b ＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y

b 2

＝1. 答案

x 0x a 2－y 0y b 2

＝1 16.(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数；

(2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________.

解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得????

?x >y ，y >z ，2z >x ，

且x ，y ，z 均

为正整数.

①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.

②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >5

2

，此

时z ＝3，y ＝4.

∴该小组人数的最小值为12. 答案 ①6 ②12