函数与导数学案极值与零点
函数与导数学案（3）-----极值与零点
一、思想与方法
1．极值是函数的局部概念，可以用来判断方程的根及函数的零点个数；
2．研究极值问题要明确极值存在的必要条件与充要条件；要善于利用数形结合思想研究；
3．函数的零点与方程的根是等价的，零点的存在性定理是基础，找出区间(,)a b ，使得()()0f a f b <；
4．研究函数一定要注意函数的定义域.而且函数的单调性是基础. 二、典型试题
1．设函数()ln ,m
f x x m R x
=+
∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极值；
（2）讨论函数()()3
x
g x f x '=-零点的个数； （3）若对任意()()
0,
1f b f a b a b a
->><-恒成立，求m 的取值范围.
2．已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,,a b R e ∈为自然对数的底数.
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；
（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围.
3．设函数2()ln()f x x a x =++
（1）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于ln 2
e ．
4．已知函数3
2
()32,f x x x ax =-++曲线()y f x =在点(0,2)
处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；
（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与2y kx =-只有一个交点.
5.已知函数
8
()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，
2()3()cos 4(1sin )ln(3)x
g x x x x ππ
=--+-
证明：（1）存在唯一0(0,)2
x π
∈，使0()0f x =；
（2）存在唯一1(,)2
x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的0x ，
有01x x π+<.
跟踪训练
1.已知函数32
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，
且00x >，则a 的取值范围是
A ．()2,+∞
B ．()1,+∞
C ．(),2-∞-
D ．(),1-∞- 2.设函数(
)x f x m
π=，若存在()f x 的极值点0x 满足
()2
22
00x f x m +
A. ()(),66,-∞-?∞
B. ()(),44,-∞-?∞
C. ()(),22,-∞-?∞
D.()(),11,-∞-?∞
3.设函数()f x 满足2
2
()2(),(2)8
x e e x f x xf x f x '+==，则0x >时，()f x
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值也无极小值 4.若函数3
2
()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且
11()=f x x ，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实
根个数是
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5.已知a 为常数，函数()(l n )f x x x
a x =-有两个极值点1212,()x x x x <，则
A. 121()0,()2f x f x >>-
B. 121
()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121
()0,()2
f x f x <>-
6.设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，
()f x '是()f x 的导函数，当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2
x π
≠
时，()()02
x f x π
'-
>. 则函数
()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为
A. 2
B. 4
C. 5
D. 8
7.已知函数()2
3f x x x =+，x R ?．若方程()f x -
10a x -=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为
________．
8.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，
21
()22
f x x x =-+
，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 . 9．若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知,a b 是实数，1和1-是函数
32()f x x ax bx =++的两个极值点.
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.
10. 已知函数22()x
x f x ae
be cx -=--(,,)a b c R ∈的导函数
()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜
率为4.c -
（1）确定,a b 的值；
（2）若3c =，判断()f x 的单调性； （3）若()f x 有极值，求c 的取值范围.
11.设函数2()x x
f x c e
=
+(e 是自然对数的底数，c R ∈). (1)求)(x f 的单调区间、最大值； (2)讨论关于x 的方程()ln x f x =根的个数.
三、提升与总结
函数的极值与导数优秀教学设计
函数的极值与导数教学设计 【内容分析】 本节内容选自人民教育出版社A版的理科选修2-2或者文科选修1-1的导数及其应用的内容，这些是在学生学习了函数的单调与导数的下一节课的内容，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而导数是研究函数的最有效的工具，运用导数研究函数的性质，从中可以体会到导数在研究函数中的巨大作用. 【学情分析】 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值.在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫. 【教学目标】 （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 【学法指导】阅读自学、探究交流、合作展示. 【数学思想】数形结合、合情推理. 【知识百科】 1.函数的最值 函数最值一般分为函数最小值与函数最大值.简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值.函数最大（小)值的几何意义---函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值. 2.函数的极值 函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值.当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值;当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值.这里的极大值和极小值只具有局部意义.函数极值点的几何意义---函数图像的某段子区间内上极
函数的图像与零点试题
高三数学函数的图像、零点 一：选择题 1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）有唯一零点，则b 的取值围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0） 2.设，用二分法求方程在（1，3）近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，1.5） B 、（1.5，2） C 、（2，3） D 、无法确定 3.已知函数31 )21()(x x f x -=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ） （A ）)31,0( （B ）)2 1 ,31( （C ）)32,21( （D ）)1,3 2( 4.设函数，则函数y=f （x ）（ A ） A 、在区间（0，1），（1，2）均有零点 B 、在区间（0，1）有零点，在区间（1，2）无零点 C 、在区间（0，1），（1，2）均无零点 D 、在区间（0，1）无零点，在区间（1， 2）有零点 5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根，则21x x 的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ） A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0 B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0 C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0 D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0 ∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞）， ∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2） 故选B ． 7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ） A ． ﹣1或0 B ． 0 C ． ﹣1或1 D ． 0或1 解答：
函数的极值与导数教学设计一等奖
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
导数与函数零点问题解题方法归纳
导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.
《函数的单调性与极值》教学案设计
《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1
2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
函数图像与零点
3. 【2014南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2 ()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠??=?=??，， ， ． 则函数()f x 和()g x 的图象在 区间[]510-， 内公共点的个数为 ． 【答案】15 【文·山东实验中学高三三模·2014】5．函数y= 1x n x x 的图象大致是 【答案】B 5.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知函数f (x )＝32 , 2,(1),02x x x x ????-<0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取 值范围是________． 答案：[1 2 ，1)∪(1,2] 9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：
则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－ 2 高二数学选修1-1 3.3.2函数的极值与导数学案 一、学习任务： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤. 二、探究新知： 复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 . 探究任务一： 问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？ 看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值. 试试：（1）函数的极值 （填“是”，“不是”）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点. 自学检查：例1 求函数31 443 y x x =-+的极值. 变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值. 小结：求可导函数f (x )的极值的步骤: 变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+. （1）写出函数的递减区间； （2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象. 练1. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-. 练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 巩固训练： 1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也极小值 2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A ．3269y x x x =++ B ．3269y x x x =-+ C ．3269y x x x =-- D ．3269y x x x =+- 3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ） A ．3,3a b ==-或4,11a b =-= B ．4,1a b =-=或4,11a b =-= C ．1,5a b =-= D ．以上都不正确 4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为 5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为 6.如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？ 7. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =++； （2）3()48f x x x =-. 8.已知函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，求c 的值. 三、本节课收获： o 1 2 y 专题2.3导数中的零点问题 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x ==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。所以21a e e =+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可 例3.已知函数2()ln 2f x x x b x =++--在区间1[,]e e 上有两个不同零点，求实数b 的取值范围。 1.3.2《函数的极值与导数》导学案 制作马冰审核高二数学组2016-03-16 【学习目标】 1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用． 2．掌握函数极值的判定及求法． 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力． 【预习导航】 已知y＝f(x)的图象(如图) [问题1]当x＝a时，函数值f(a)有何特点？ [问题2]试分析在x＝a的附近导数的符号． [问题3]f′(a)值是什么？ 【问题整合】 1.极小值点与极小值 2.极大值点与极大值 3.函数极值的求法 【问题探究】 探究活动一求函数的极值 例1求下列函数的极值： (1)f(x)＝ 1 3x 3－x2－3x； (2)f(x)＝x4－4x3＋5； (3)f(x)＝ ln x x. 探究活动二已知函数极值求参数 例2、设函数f(x)＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值． 探究活动三极值的综合应用 例3 已知a为实数，函数f(x)＝－x 3 ＋3x＋a. (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ 【课堂巩固练习】 1．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3 －12x ； (2)f (x )＝x 2 e －x . 2．已知函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c ，当x ＝－1时，取得极大值7， 当x ＝3时，取得极小值．求这个极小值及a ，b ，c 的值． 3．将例3中(2)改为： ①f (x )＝0恰有三个实数根；②若只有一个实数根． 试求实数a 的取值范围． 【总结概括】 【课后作业】 习题1.3A 组4,5 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 1 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上 面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 )(x f ' )(x f 2 (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2--=存在唯一 的极大值点0x ,且2022)(--< 利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 基础梳理 1．确定函数的图像 ①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点； ②．特征线：渐近线，对称轴． 2．函数的零点 ⑵．求函数的零点的知识提示： ①．判别式； ②．介值定理； ③．单调性． 两个注意 ⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域． ⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点． 三个防范 ⑴．． ⑵．． ⑶． 常见函数的图像 ⑴．函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像． ⑵．函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像． ⑶．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像． ⑷．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像． 双基自测 ⑴．画函数1ln y x x =--的图像． ⑵．画函数2x y e x =-的图像． ⑶．画函数x e y x =的图像． ⑷．画函数ln x y x = 的图像． ⑸．关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 ．1 初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点 考点一 函数的图像问题 题型⑴．画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像． 【练习1】画函数2x y x e =-的图像． 含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 （1）因式分解求零点 例1 讨论函数)(12)2 1 (31)(23R a x x a ax x f ∈+++-= 的单调区间 解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2 --=++-=x ax x a ax x f 可以因式分 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+ --=23)1(2 1 31)1()(，R a ∈，的极值情况 解析：)1)(()1()()('2 -+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就是01=-+x e x 的根，不能解。 例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有2 4)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数）， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例5，也可以直接设函数来求， ①当10≤ 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 《函数的最大(小)值与导数》教案 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念： 极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时： （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不 导数中的零点问题解决方法 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+ =，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。 解析：22()ln ()22g x x f x e a x ex x x =-?=-+，令2ln ()2x h x x ex x =-+，'21ln ()22x h x x e x -=-+，令'()0h x =，则x e = 当0x e <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；当x e >时，'()0h x <，()h x 单调递 减，2max 1()()h x h e e e ==+ 注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是 如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x = =-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。 所以21a e e =+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） 二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间 3．3.2函数的极值与导数 学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 知识点一极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 图1 如图1，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 如图1，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 特别提醒：如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (5)单调函数一定没有极值． 知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 专题14 运用函数的图像研零点问题 一、题型选讲 题型一： 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上 题型二： 运用函数图像研究复合函数零点个数 复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层( )f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进 而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原 题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题 求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝? ?? ??－x 3＋3x 2＋t ， x ＜0，x ，x ≥0， t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x ) －1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________． 2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?- §1.3.3 函数的最大（小）值与导数 宜宾市四中李斌 一、教学内容分析 1.在教材中的位置： 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》人教A版，第三章、第三节“导数在研究函数中的应用” 2.学习的主要工具： 基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。 3.学习本节课的主要目的： 本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后“生活中的优化问题”打好基础。 4.本节课在教材中的地位： 函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。 二、学情分析 学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。 三、课堂设计思想 培养学生学会学习、学会探究、学会合作是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。 四、教学目标 1．知识和技能目标 （1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。 （2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法 和步骤。 2．过程和方法目标 （1）问题驱动，自主探究，合作交流。 （2）培养学生在生活中学习数学的方法。 3．情感和价值目标 （1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 五、教学重点与难点 重点：求闭区间上连续可导的函数的最值的求解，理解确定函数最值的方法，并联系函数单调性的应用。 难点：求函数的最值的方法的提炼，同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系 六、教学方法 发现探究式、启发探究式 本节课教学基本流程： 复习检查→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、课后升华、当堂检测→布置作业 七、教学过程设计3.3.2函数的极值与导数学案
导数中的零点问题(学生版)
人教版选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数导学案
函数零点问题(讲解)
利用导数解决函数零点问题
利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6
数学高考导数难题导数零点问题导数
函数的零点问题
《函数的最大(小)值与导数》教案
导数中两种零点问题解决方法
人教版高中数学选修1-1导学案第三章 §3.3 3.3.2 函数的极值与导数
专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)
3.3.3函数的最大(小)值与导数教学设计
- 高中数学选修2-2学案1：1.3.2函数的极值与导数
- 《函数的极值与导数》教育教学设计
- 1.3.2函数的极值与导数优秀教学设计
- 《函数的单调性与极值》教学案设计
- 高中数学选修1-1学案：3函数的极值与导数
- 1.3.2 函数的极值与导数 导学案(教师版)
- 函数的极值与导数导学案
- 高二数学《函数的极值与导数》学案
- 函数的极值与导数(教案)
- 3.3.2函数的极值与导数学案
- (完整word版)函数的极值与导数导学案
- (完整版)函数的极值与导数导学案
- 函数的极值与导数教学设计
- 函数的极值与导数优秀教学设计
- (完整word)高中数学《§1.3.2函数的极值与导数》导学案.doc
- 3.3.3函数的最大(小)值与导数教学设计
- 《函数的极值与导数》教学设计
- 函数的极值与导数经典教案
- 导数与函数的单调性、极值、最值----教学设计
- 函数的极值与导数教学设计一等奖