数学建模设计报告—减肥问题
数学建模设计报告
专业：网络工程
班级：网络工程1101班
组员姓名：（1108020104）
（1108020105）
（1108020106）
日期：2013年1月17日
一、题目
减肥问题
假定某人每天的饮食可产生A焦耳热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为B焦耳，用于锻炼所消耗的热量与体重成正比（可设为C焦耳／千克）．为简单计，假定增加(或减少)体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为D 焦耳／千克．讨论节制饮食、加强锻炼，调节新陈代谢对体重的影响。
要求：
1）建立反映人的体重随时间变化规律的数学模型；
2）求解模型，讨论节制饮食、加强体育锻炼和调节新陈代谢对体重的影响；
3）.进一步讨论限时减肥（例如举重运动员参赛前体重要降到规定的数值)或限时增肥(例如养猪场要在一定时间内使猪的重量达到一定值)问题；
4）按要求写出课程设计报告。
二、摘要
肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。该模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。
在问题中，我们找到营养的供给、成人（男、女）每天需要的热量、热量的主要构成、活动强度系数表以及三种热量构成物的单位产热量等方面数据，并结合肥胖的三个要素（进食、活动、新陈代谢），建立了如下的数学模型：w(t)=w D e-a+a/c（1-e-a）其中a=∑3i=1w i r i/∑3i=1r iηi;c=(1+10+μi)4.2)4.2×103/Σ3i=1r i ηi .
（1）、相关数据
1 、每日膳食中,营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标
准,营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量,如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量,将使身体产生不利的影响. (每天膳食提供的热量不少于5000 ———7500J ,这是维持正常命活动的最少热量)
2 、成人每天需要的热量= 人体基本代谢需要的热量+ 体力活动需要的热量+ 食物的特殊动力的作用所需要的热量
①人体基本代谢的需要的热量的简单算法: 女子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×9 (千卡) = 体重(斤)×3.78 ×310J 男子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×10 (千卡) = 体重(斤)×4. 2 ×310J
②食物的特殊动力的作用所需要的热量≈10 % ×人体基本代谢的最低热量
③体力活动所需要的热量= 人体基本代谢的需要的本热量×活动强度系数
3 、热量主要由3 种物质即由脂肪、蛋白质、碳水化合物转化而得,因此在减肥期间应当限制膳食的总热量,而不仅是限制脂肪的摄入。正确的摄入比例为: 碳水化合物:55 %———60 %
脂肪:20 %———25 %
蛋白质:15 %———20 %
在减肥的过程间适量增加蛋白质的摄入,降低另两类的摄入,但也不该过分改变上述比值
4 、人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。
5 、由于热量的3 种来源是碳水化合物、脂肪、蛋白质我们不妨以人体这3 种物质的重量作为体重的标志。记这3 种物质的转化系数分别为r= 1. 7 ×710J / kg，2r = 1. 7 ×710J / kg，3r = 3. 8 ×710J / kg
三．模型假设
1 、假设人的体重由碳水化使物、脂肪、蛋白质三部分组成,不考虑其它成分;
2 、假设人每天摄入的食物中能转化为热量的只有碳水化使物、脂肪、蛋白质;
3 、摄入的食物全部转化为热量。
1 8000千卡增加体重1kg
2
200千卡至32070kg的人每天消耗2000千卡~3200千卡;
3
4 1.5kg
于10000千卡
四．模型建立
某甲体重10020000
肥至75千克。
1在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
1
10000
2
3
五．模型分析
1、体重的变化是由于体内能量守恒破坏所引起的
2
3
六、模型求解
a=1/8000(kg/kcal)b(因人而异)
变化的基本模型为w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)k=0,1,2,3……
1、不运动情况下两阶段的减肥计划
1因为目前甲每周吸收20000
w(k+1)=w(k)=w c=20000 即w=w+ac-bw, b=ac/w=20000/8000 /100=0.025
2m=1kg吸收热量减至下限min c=10000千卡,即w(k) –w(k+1)=m=1, w(k)=w(0)-mk=w(0)-又w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)
化简得c(k+1)=b(w(0))/a-(1+bk)/a c(k+1)=12000-200k>=min c=10000 得k<=10,即第一阶段共10周每周减减1kg,所以第10周末体重达到90kg。吸收热量为c(k+1)=12000-200k, k=0,1,2 (9)
3min c, w(k)减至75kg,由基本模型w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k) 可得W(k+1)=(1-b)w(k)+a min c
将此式递推并代入数据可得w(k+n)= 0.975n[w(k)-50]+50 又已知w(k)=90,要求w(k+n)=75,求n。则75=0.975n (90-50)+50 得到n=19 即每周吸收热量保持下限1000075kg 体重按w(n)=40×0.975n+50 n=1,2……19 减少到75kg
2、第二阶段增加运动的减肥计划
记每周运动时间为t 将基本模型改为
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-b+a t w(k)
取a t=0.003t=24.则代谢系数b+a t=0.025+0.003=0.028
令'=b+a t=0.028
解得n=14 即运动t=24 (每周跳舞8小时或骑自行车10小时), 14周就可成功减肥
3.达到目标体重75千克后维持不变的方案
每周吸收热量c(k)保持某常数C使体重w不变
w=w+ac-(b+a t)w
解得c=b+a t w/a 代入数据可以算出
不运动c=8000×0.025×75=15000千卡
c=8000×0.028×75=16800千卡. 所以说人的体重变
b
同的环境下也会有所改变。所以在应用这个模型是要对代谢系数b做仔细的核对。
b
型是要对代谢系数b做仔细的核对。
第一阶段要求体重每周减少m=1kg min c=10000千卡。
c(k+1)=12000-200k, k=0,1,2……9。这个我们需要靠均衡的饮食来达到。所谓均衡的饮食[3]
需要的七大养分水份、糖类、蛋白质、脂肪酸(来自蔬果和豆类)、维他命、矿物质和纤维，但热量和油脂不超标纤维足量每日以五谷和蔬果为主食，作为每日热能的主要来源，维他命和矿物质不缺，水份够，蛋白质也够。均衡的饮食对减肥者的新陈代谢是极为重要的。
七、对模型的限时增肥的进一步讨论
在生活中无论是增肥或者是减肥我们都需要保证正常的能量摄入量，以下是我的进一步建议：
1.饮食方面
少吃多餐，但不要增加每餐的饭量。因为身材消瘦的人大多肠胃功能较弱，一餐吃得太多往往不能有效吸收，反而会增加肠胃负担，引起消化不良。可以把每天的进餐次数改为4~5餐。
食物以易消化、高蛋白、高热量为原则，用循序渐进的方式逐步提高各种营养物质的摄入，如鸡肉、鱼片、绿色蔬菜、海参、黄油、奶油等。
2.运动方面
增肥”的真正概念是增加肌肉和体重，并不仅仅是简单的增肥、增胖。因此身体消瘦的人除了以上几点的饮食调整以外，应该积极参加适度的运动，对身形的重塑是大有益处的。
要令身材匀称伟岸，瘦弱者不妨先选用慢跑、打乒乓球、游泳、俯卧撑等小运动体育项目，然后随着身体运动状态的调整和适应，再到健身中心去进行一些有利于局部肌肉塑造、体形恢复的大运动量的健美器械的运动锻炼。
3.生活习惯方面
保证高质量的睡眠。睡眠是人体能量形成的重要时期，也是促进肌肉生长的“生长激素”分泌活跃的时期，所以保证夜晚的睡眠品质是让体形魁梧健美起来的前奏。
临睡前可以喝一杯牛奶，能宁心安神，促进睡眠；上床后还可缓缓地做几下深呼吸，使脑部纷乱活跃的思维逐渐转为平静。此外，在睡前痛快地洗个热水澡或用热水浸泡双足，亦能解除困乏，有助于顺利地进入梦乡。
要注意口腔健康。牙齿及口腔是食物消化的第一关，而在全力“增肥”的过程中时，由于用餐次数的增多，更要多注意你的口腔卫生，必须比平常更勤于刷牙和漱口。