广东省2018届中考复习专题—分式及分式方程
第三讲 分式及分式方程
明确目标?定位考点
分式，主要考查分式的概念及利用分式的基本性质进行分式的相关运算，灵活运用简单的分式的加、减、乘、除运算，正确的约分与通分，用适当的方法解决与分式有关的问题；分式方程，主要考查分式方程的性质和可化为一元一次方程的分式方程，能运用分式方程解决简单的实际问题。
归纳总结 思维升华
1、分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子
B
A 叫做分式，A 为分子，
B 为分母。 2、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（0B ≠）
②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（?
??≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<0
0B A ）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或?
??><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
3、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C
B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B
B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
4、分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母 相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
5、最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
6、分式的通分
① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分
式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
6、分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，式子表示为：d
b c a d c b a ??=?。 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，式子表示为c
c ??=?=÷b
d a d b a d c b a 。 ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方，式子表示为n n n b a b a =??
? ??。 ③ 分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为c
b a
c b ±=±c a 。 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为bd
bc ad d c ±=±b a 。 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵
活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以
便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
7、分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知
数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
【产生增根的条件】①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
8、 列分式方程解应用题的基本步骤
①审—仔细审题，找出等量关系。②设—合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程（组）。④解—解出方程（组），注意检验。
⑤ 答—答题。
热点聚焦﹒考点突破
热点一 分式的概念及有无意义的条件
【例1】要使分式
21+x 无意义，则x 的取值应满足 。
【变式训练1】代数式
1
-1x 有意义时，x 应满足的条件为 。
规律方法 考查分式的概念及有无意义的条件：
(1)当分母值不为0时，分式有意义；（2）但分母值为0时，分式有意义。
热点二 分式的值为0的条件
【例2】当x = ，分式
21-+x x 的值为0。
【变式训练2】分式
33+-x x 的值为0，则x 的值为 。
规律方法 当分母值不为0，分子值为0时，分式值为0。
热点三 分式的基本性质
【例3】计算2
42--x x ，结果是 。 【变式训练3】 若分式b
a a +2中的a 、
b 的值同时扩大到原来的10倍，由此分式的值（ ）。 A.是原来的20倍 B.是原来的20倍 C.是原来的
101 D.不变
规律方法 分式的分子和分母都乘（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
热点四 分式的运算
【例4】化简x
x x -+-1112的结果是 。
【变式训练4】计算
)1(2
2b a a b a b +-÷-的结果是 。
规律方法 分式的四则运算
热点五 分式的化简求值
【例5】先化简：a
a a a 21)11(2-+÷+，若41<<-a 时， 请代入你认为合适的一个a 值，并求出这个代数式的值.
【变式训练5】
1、先化简，再求值：231(1)24
a a a ++÷--，其中a 是小于3的正整数.
2、先化简)112(1222x
x x x x x --÷+-+，再从-2 规律方法 在进行分式的约分或通分运算时，要注意因式分解的应用。化简求值时，一要注意整体思 想，二要注意代入的数值要使分式有意义。 热点六 分式方程的定义及解 【例6】若关于x 的分式方程21 1=--x m 的解为非负数，则m 的取值范围是（ ）。 A.1- m B.1-≥m C.1- m 且1≠m D.1-≥m 且1≠m 【变式训练6】关于x 的方程 12 1-=-+x ax 的解是正数，则a 的取值范围是 。 规律方法 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m 的范围即可。 热点七 分式方程的增根问题 【例7】若关于x 的方程 x m x x 21051-=--无解，则m = 。 规律方法 由增根求参数的值：（1）将原方程化为整式方程（2）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。 【变式训练7】若分式方程211=---x m x x 有增根，则这个增根是 。 热点八 分式方程的解法 【例8】分式方程 01 73=+-x x 的解是 。 【变式训练8】1.解分式方程：211x x x -=-； 2.解方程：2 13-=x x 3.解方程： 11322x x x -+=-- 规律方法 去分母时要准确找出分式方程中各分式的最简公分母，求出整式方程的根后，要注意验根。 热点九 分式方程的应用 【例9】某工厂原计划生产24000台空气净化器，由于雾霾天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势， 生产任务的数量增加了12000台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产100台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器？ 规律方法 用分式方程解决实际问题时，要认真审题，恰当设未知数，准确找出题意中所涉及的等量关系。在解题过程中，要注意检验，所求根既要满足方程，又要满足题意。 【变式训练9】有几位同学计划租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前又增加了两位同学，租车价格不变，结果每人比原来少分摊了3元车费，求原计划有多少位同学参加旅游？ 专题训练，对接中考 一、选择题 1、若分式x x x --2632的值为0，则x 的值为（ ）。 A.0 B.2 C.-2 D.0或2 2、化简mn m n m +-22 2的结果是（ ）。 A.m n m 2- B.m n m - C.m n m + D.n m n m +- 3、下面各式中，正确的是（ ）。 A.b a m b m a =++ B.0=++b a b a C.11 11--=--c b ac ab D.y x y x y x +=--1 22 4、化简x y x x y y x -÷???? ??-的结果是（ ）。 A.y 1 B.y y x + C.y y x - D.y 5、将分式方程2 1 2x x =-去分母后得到正确的整式方程是（ ）． A.2x x -= B.222x x x -= C.22x x -= D.24x x =- 6、若分式方程021 2 =-+-ax x a 的解为3=x ，则a 的值是（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 7、对于公式212 1 1 1(2)f F F f f =+≠，已知F ，2f ，求1f 。则公式变形的结果为（ ） A.2122f F f F f =- B.2122f F f f F -= C.21222f F f f F += D.2 12f F f f F =- 8、一个数与6的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x ，列方程得 （ ） A.1 1 6x x =+ B.1 6x x =-+ C.1106x x ++= D.1106x x +=+ 9、甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若 设甲每天做x 个零件，列方程得（ ） A. 360480140x x =- B.360480140x x =- C.360480140x x += D.360480140x x -= 10、某面粉厂现在平均每小时比原计划多生产面粉330kg ，已知现在生产面粉33000kg 所需 的时间和原计划生产23100kg 面粉的时间相同，若设现在平均每小时生产面粉x kg ，则 根据题意，可以列出分式方程为（ ） A. 330023100330x x -= B.3300023100330x x =- C.3300023100330x x =- D.3300023100330x x =+ 二、填空题 1、计算b a b b a ++-2 2= 。 2、计算x y y x 323-2 2 2÷= 。 3、化简11 112++-+x x x = 。 4、使分式 3 1-+x x 有意义的x 的取值范围是 。 5、若代数式112--x 的值为0，则x = 。 6、为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召老师和学生自愿捐款，第一次捐款总额为20000元， 第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多 20元，求第一次捐款的人数是多少。若设第一次捐款的人数为x ，则根据题意可列方程为 。 三、解答题 1、计算a b b b a b a a -÷??? ??+--122。 2、先化简，再求值：222 2()a b ab b a a a --÷-，其中，a=1+ ，b=1—． 3、已知094=-+-b a ，求22222b a a b a b ab a --?+的值。 4、设1 ,122-=-=x x B x A ， (1) 求与的差； (2) 若与的值相等，求的值。 5、某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合做，12天 恰好完成；若两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5天时间，现需从这两个工程队 中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？ A B A B x 6、在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价 80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元。 （1）求每张门票原定的票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价 后降为324元，求平均每次降价的百分率。 作业： 一、选择题 1、分式方程11128 x -=-的解为（ ） A ．83x = B ．83 x =- C ．8x = D ．8x =- 2、对于分式方程 3233x x x =+--,有以下说法: ①最简公分母为(x －3)2；②转化为整式方程x ＝2＋3，解得x ＝5；③原方程的解为x ＝3；④原方程无解，其中，正确说法的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3、若1 4+n 表示一个整数，则整数n 可取值的个数是（ ）。 A ．6 B.5 C.4 D.3 4、已知 411=-b a ，则ab b a b ab a 7222+---的值等于（ ）。 A.6 B.-6 C.152 D.7 2- 5、关于x 的方程112=++x a 的解是非正数，则a 的取值范围是（ ）。 A.1-≤a B.2-≤a C.1≤a 且2-≠x D.1-≤a 且2-≠x 3、若m 为正实数，且31=- m m ，则=-221m m 。 4、若关于x 的方程 23 32+-=--x m x x 无解，则m 的值是 。 5、若关于x 的两个方程022=--x x 与a x x +=-221有一个解相同，则a = 。 三、解答题 1、先化简，再求值：??? ? ??++÷--ab b a ab b a b a 2122222 2，其中115-=a ,113+-=b 。 2、已知 032≠=b a ，求代数式)(4252 2b a b a b a -?--的值。 3、已知A=1-1 1222--++x x x x x （1）化简A ； （2）当x 满足不等式组 301<-≥-x x ，且x 为整数时，求A 的值。 4、某商店开学前用2000 元购进一批学生书包，开学后发现供不应求， 商店又购进第二批同样的书包，所购数量比第一批数量多了20 个，但每个书包的进货价比 第一批提高了20%，结果购进第二批书包用了 3600 元． （1）求第一批购进书包时每个书包的进货价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是80 元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 5、铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元 资金购进该品种苹果，但这次进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍。 （1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？ （2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定 价的七折（“七折”即定价的70%）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？ 6、在新华南北路改造过程中，某路段工程招标时，工程指挥部接到甲、乙两个工程队的投标书．根 据甲、乙两队的投标测算；若让甲队单独完成这项工程需要40天；若由乙队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作20天可完成。 （1）若安排乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）为了缩短工期方便行人，若安排甲、乙两队共同完成这项工程需要多少天？ 7、某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件。 （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数。 一、选择题 1． 函数y =x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ≥﹣2且x ≠1 C ．x ≠1 D ．x ≥﹣2或x ≠1 2．把分式22 10x y xy +中的x y 、都扩大为原来的5倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小为 15 D ．扩大25倍 3．下列分式是最简分式的是（ ） A ．22a a ab + B ．63xy a C ．211x x -+ D ．211 x x ++ 4．计算2 21 93x x x +--的结果是（ ） A ． 13 x - B ． 13 x + C ． 13x - D ． 233 9 x x +- 5．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 6．计算32-的结果是（ ） A ．-6 B ．-8 C ．1 8 - D ． 18 7．如果 112111S t t =+，212111 S t t =-，则12 S S =（ ） A ． 1221t t t t +- B ． 21 21 t t t t -+ C ． 12 21 t t t t -+ D ． 12 12 t t t t +- 8．下列变形正确的是（ ）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93 x x x -=-- 9．已知有理式：4x 、4a 、1x y -、34x 、12 x 2、1 a ＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 10．下列各式中的计算正确的是（ ） A ．2 2b b a a = B ． a b a b ++=0 C ． a c a b c b +=+ D ． a b a b -+-=-1 11．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示该数据为 （ ） 分式方程与实际问题 ——工程问题 一、教学目标 1．通过对工程问题的逐步探究，明确工程问题中三个量之间的基本关系，同时让学生学会从实际问题中寻找与这个量有关的等量关系． 2．经历从实际问题到建立分式方程的过程，体会建立分式方程模型解决实际问题的作用． 3．类比整式方程模型解决实际问题和分式方程模型解决实际问题的基本思路，突出分式方程模型解决实际问题的双检验特点． 二、学情分析 1．通过对工程问题的逐步探究，明确工程问题中三个量之间的基本关系，同时让学生学会从实际问题中寻找与这个量有关的等量关系． 2．经历从实际问题到建立分式方程的过程，体会建立分式方程模型解决实际问题的作用． 3．类比整式方程模型解决实际问题和分式方程模型解决实际问题的基本思路，突出分式方程模型解决实际问题的双检验特点． 三、重点难点 教学重点：工程问题中数量相等关系的探究． 教学难点：工程问题中分式方程模型的建立． 四、教学过程 （一）复习旧知，知识铺垫 有一项工程，甲单独完成需x天，乙单独完成比甲单独完成多用4天，那么乙单独完成这项工程需_____天， 则甲的工作效率是____,乙的工作效率是___ . 若这项工程甲先单独做3天，然后甲乙合作做2天， 则甲完成的工作量是____,乙完成的工作量是_____. 设计意图：通过简单的工程问题，让学生回顾工程问题中的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间，并且让学生回顾工程问题中当工作总量没有具体值时通常设工作总量为“1”。 （二）创设情境，提出问题 甲乙两个清洁队共同参与了城中垃圾的清运工作，甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成。哪个队的施工速度快？ 设计意图：引导学生从问题出发，分析题中的已知量和未知量，通过设未知数来表示未知量，找出题中等量关系，利用分式方程解决问题。在这个问题中让 分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3、解分式方程： 3131=---x x x 4、解方程： 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程： x x x -=+--23123. 7、解分式方程： 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--． 方程与不等式之分式方程难题汇编附答案 一、选择题 1．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）. A．900900 2 13 x x ?= +- B． 900900 2 13 x x =? +- C．900900 2 13 x x ?= -+ D． 900900 2 13 x x =? ++ 【答案】A 【解析】 【分析】 设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】 设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍， ∴900900 2 13 x x ?= +- ， 故选：A. 【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程. 2．方程 100 20x + ＝ 60 20x - 的解为（） A．x＝10 B．x＝﹣10 C．x＝5 D．x＝﹣5 【答案】C 【解析】 【分析】 方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】 解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x）， 得100（20﹣x）＝60（20+x）， 整理，得8x＝40， 解得，x＝5， 经检验，x＝5是方程的根， ∴原方程的根是x＝5； 故选：C． 【点睛】 本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键． 3．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程( ) A．24002400 8 (120%) x x -= + B． 24002400 8 (120%)x x -= + C． 24002400 8 (120%)x x -= - D． 24002400 8 (120%) x x -= - 【答案】A 【解析】 【分析】 求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8． 【详解】 原计划用的时间为：2400 x ，实际用的时间为：() 2400 120% x+．所列方程为： 2400 x -() 2400 120% x+=8． 故选A 【点睛】 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效． 4．解分式方程11 2 22 x x x - += -- 的结果是（） A．x="2" B．x="3" C．x="4" D．无解【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D． 考点：解分式方程． 5．已知关于x的分式方程12 1 11 m x x - -= -- 的解是正数，则m的取值范围是() A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6 10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ； 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则 （n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】 例1：计算的结果是（） A. B. C. D. 分析：原式 故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解： 第九章 分式 一．填空题： 1．当______=x 时，分式2 1|52|x x +-的值为零； 2．如果2=b a ，则2 22 2b a b ab a ++-=____________； 3．若31=+x x ，则_______122=+x x ； 4．在等号成立时，右边填上适当的符号：22y x x y --=____________y x +1； 5．当________x ，分式x 321-的值为负数； 6．分式9 43222--+m m m 的最简分式是____________； 7．_________) (_________;2)(_________2123 3222y x y x y xy x a a a a -=-++--=--； 8．不改变分式的值，使分子、分母都不含负号： （1）______32=-x ；（2）______=--yz z ；（3）_____2=---ab ；（4）______5=---x y ； 9．在下列横线上填上“=”或“≠”号： （1） a c b a c b )(__+--+ ； （2） y x z y x z 22___---； （3） y x x y x x --=--1____1 ； （4） x y y x y x y x 3223_____2332---- 10．当a 、b 满足条件 时，) (552 b a a ab a --=-； 11．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数化为整数： （1）_______________6 2332=+-y x y x ；（2）_______________7.0203=+--t a t x ； 12．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母的最高次项系数化为正数的形式： （1）_____________332=---a a ；（2）____________8)2(32 =---x x ； 二．选择题： 1 分式化简、解分式方程与应用题三个重要问题 一、分式化简 1、 在分式的运算中,有整式时,可以把整式瞧做分母为1的式子,然后再计算。 2、 要注意运算顺序,先乘方、再乘除、后加减,同级运算从左到右(谁在前先 算谁)依次进行。有括号的先算括号里面的 3、 如果分式的分子分母就是多项式,可先分解因式,再运算。 4、 注意分式化简题不能去分母、 1、先化简,再求值:23393 x x x ++--,其中1x =-. 2.先化简,再求值 4 421642++-÷-x x x x ,其中 x = 3 . 3.先化简,再求值:22424412 x x x x x x x -+÷--++-,其中x ＝2－2. 4、计算:2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5、化简:35(2)482y y y y -÷+--- 6、化简,:2211()22x y x y x x y x +--++, 7、先化简,再求值:211122 x x x -??-÷ ?++??,其中2x =. 8、计算:22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+. 二.分式方程: 解分式方程的步骤: 1、去分母,化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母,分子要括起来, 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 2 3、检验-------带入最简公分母,若为零,则为増根,应舍去。 1、解分式方程:2131 x x =--． 2、解方程223-=x x 3、解分式方程: 3131=---x x x 4、解方程:22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程:x x x -=+--23123、 7、解分式方程: 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--. 三.列分式方程——基本步骤: ① 审—仔细审题,找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程(组)。 ④ 解—解出方程(组)。注意检验 ⑤ 答—答题。 列方程解应用题 1、为加快西部大开发,某自治区决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工,则刚好如期完成;如果乙工程队单独施工就要超过6 分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1=3 1 C （-2）2=4 D （）-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 2021中考数学专题复习分式一、选择题（本大题共10道小题） 1. 计算÷-的结果为() A.a B.-a C.- D. 2. 分式可变形为() A.B.-C.D.- 3. 已知分式（x－1）（x＋2） x2－1 的值为0，那么x的值是() A. －1 B. －2 C. 1 D. 1 或－2 4. 如果m+n=1，那么代数式+·(m2-n2)的值为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 5. 下列分式中，最简分式是() A. x2－1 x2＋1 B. x＋1 x2－1 C. x2－2xy＋y2 x2－xy D. x2－36 2x＋12 6. 化简a2 a－1 －(a＋1)的结果是() A. 1 a－1 B. － 1 a－1 C. 2a－1 a－1 D. － 2a－1 a－1 7. 下列运算结果为x－1的是() A. 1－1 x B. x2－1 x· x x＋1 C. x＋1 x÷ 1 x－1 D. x2＋2x＋1 x＋1 8. 一辆货车送货上山，并按原路下山.上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时，则货车上、下山的平均速度为多少千米/时() A.(a+b) B. C.D. 9. 化简a 2－b 2ab －ab －b 2ab －a 2等于( ) A. b a B. a b C. －b a D. －a b 10. 如图，若x 为正整数，则表示的值的点落在 ( ) A .段① B .段② C .段③ D .段④ 二、填空题（本大题共6道小题） 11. 若分式有意义，则x 的取值范围是 . 12. 若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2 a 2－ab 的值为________． 13. 计算：x x －1－1x －1 ＝________． 14. 计算1－4a 2 2a ＋1 的结果是________． 15. 观察下列等式: 第1个等式:x 1= =1-; 第2个等式:x 2= =; 第3个等式:x 3= =; 第4个等式:x 4==， 则x 1+x 2+x 3+…+x 10= . 16. 观察下列各式: =1-=， + =1-+=， + +=1-+ +=， … 根据你发现的规律可得+++…+= .(n 为正整数) 一、选择题 1．若分式的值为0，则x 的值为 A ． B ． C ．D．不存在 2．如图，设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 （a＞b＞0），则有（）甲乙 甲 （A ）k ＞2 （B ）1＜k ＜2 （C ） 121< 8．分式 (a 、b 均为正数)，字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的 C ．不变 D ．缩小为原来的 9．若分式2 1 1 x x -+的值为零，则x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1 10．使代数式726 x x --有意义的x 的取值范围是( ) A ．x≠3 B ．x ＜7且x≠3 C ．x≤7且x≠2 D ．x≤7且x≠3 11．分式 （a ，b 均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来2倍 B ．缩小为原来倍 C ．不变 D ．缩小为原来的 12．如果把 223y x y -中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A.扩大5倍 B.不变 C.缩小5倍 D.扩大10倍 13．无论x 取何值，总是有意义的分式是（ ） A ． 21 x x + B ． 2 21 x x + C ． 3 31 x x + D ． 21x x + 14．如果为整数，那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 15．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( ) A ． 2 1 a a + B ． 21 1 a a -+ C ． 21 1 a - D ． 11 a + 16．下列式子：2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．若分式 的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B -3 C ．4 D ．-4 18．已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则 abc ab bc ca ++的值是（ ） A ． 121 B ．122 C ．123 D ．124 19．已知实数 a ， b ，c 均不为零，且满足 a ＋ b ＋c=0，则 222222222 111 b c a c a b a b c ++ +-+-+-的值是（ ） 数学学科导学案（第—次课）教师:_ 学生:—年级:八日期: ___________ 星期: _____ 时段: ____ 乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道? 例：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付 乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的2 ,厂家需付甲、丙两队共5500 3 元. ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由. 分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量?对于工期，一般情况下把整个工作量看成1,设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为X天，y天，Z天，可列出分式方程组. 练习1:某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 ___________ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程； (3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5万元，甲工程队至少要单独施工 多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超 过64万元？ 练习2:某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款 1.5万元, 乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；(专题精选)最新初中数学—分式的易错题汇编及答案
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