概率论与数理统计作业及解答
概率论与数理统计作业及解答
第一次作业
★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为
;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB
AC
BC =或;AB
AC
BC =
或;ABACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++
(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.
22
1M m
M C C --或1122
(21)(1)m M m m M
C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.
A ={8只鞋子均不成双},
B ={恰有2只鞋子成双},
C ={恰有4只鞋子成双}.
61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414
8726
16()80
()0.5594,143C C C P B C === 22128626
16()30
()0.2098.143
C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:
(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.
(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392
C C C ==
5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求:
(1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.
(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4
},9=
(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5
},9
=
或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45
}1.99
=-=
6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.
记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.
(1) 253101();12C P A C ==(2) 2
43101
().20
C P B C ==
7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,
求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.
311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8
()1(),9
P D P B =-=
3328(),327P E ==311(),327P F ==2
()2().27
P G P A ==
☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.
☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14
第二次作业 1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1) ()()
0.85(|),()0.850.080.068,()10.92
P AB P AB P B A P AB P A ==
==?=-
()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=
()0.058
(|)0.83.()10.93
P AB P A B P B =
==-
(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=
2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}. 21(|).63
P B A ==
★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.
4001(),20005P A ==取整2000285,7??
=????28557(),2000400P B ==200057,57??=?????
57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+
15757
10.686.54002000
=--+=
3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).
()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103
(|),()4/158
P AB P B A P A ===
()()()()P A B P A P B P AB =+-47119
.15151030
=+-=
4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．
记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i = 1231213121793()()(|)(|)111.21010200
P A A A P A P A A P A A A ???
???==---= ???????????
5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券
概率．
记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =
由古典概率直接得1231
()()().P A P A P A n ===
或212121111
()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n
-====-
31231213121211
()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n
--====--
或 第一个人中奖概率为11
(),P A n
=
前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21
(),P A n
=
前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31
().P A n
=
6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率.
记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.
(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==?=
(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=
★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};
(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.
(1) ();()
k n k
k n k
k k n
n
n
a b a b P A C C a b a b a b --????
== ? ?
+++????
(2) 1
1
();()k k k
b a ab P B a b a b a b --??
== ?
+++?? (3) 111
1
().()
r
k r
r k r
r r k k k
a b a b P C C
C
a b a b a b ------????== ? ?+++????
8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80
.81
求该射手射击一次命中目标的概率.
设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133
q q p q =-
===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.
(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式
11
1
1
(
)()()()(1)(
).n
n n n i i i i j i j k i i i i j
i j k
P A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+
+
+-∑∑∑
证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +?只计算1次概率．
(1,,n i i 是1,
,n 的一个
排列,1,2,,.k n =)分块概率重数为
1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -+
+-任取k 个,即
121(1)1k k k k k C C C --+
+-=? 121(1)(11)0.k k k k k k C C C -++
+-=-=
将,互换可得对偶加法(容斥)公式
11
1
1
(
)()()()(1)(
).n
n
n n i i i i
j i
j k i i i i j
i j k
P A P A P A A P A
A A P A -===<<<=-+
+
+-∑∑∑
☆.证明 若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立. 证明
(())()()()()
P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+- ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:?
(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:?
(())()()P A B C P A P B C =()(()()())P A P B P C P BC =+-
()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.
☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为
[()]()()()()()()()()()()()
[()()()()]()()()
P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=
[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()
[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-
所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业
1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.
(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444
p p
p -=+=+ 当0.6p =时,13130.67
()0.7,444410
p P B ?=+
=+==
当0.3p =时,13130.319()0.475.444440
p P B ?=
+=+== (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344
P AB p p
P A B p P B p ===++
当0.6p =时,440.66
(|),13130.67p P A B p ?=
==++? 当0.3p =时,440.312
(|).13130.319
p P A B p ?=
==++? 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.
()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A ===
(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==?=
(2) ()0.588
(|)0.735,()0.8P AB P A B P B =
== (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+
10.70.80.5880.088.=--+=
☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.
3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
111n N m N
n m N M n m N M +=+
++++++().()(1)n N n m n m N M ++=+++
☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？
★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.
记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=?+-?= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=
(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.812
0.923;0.5213?=== (4)2222()()(|)(|)()()
P A B P A P B A P A B P B P B =
=
0.40.93
0.75.0.484?=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一
故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,
(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=?+?=
(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.9
0.9.0.75?== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成,
每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.
(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.
(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
2222(44)(1)(2)p p p p p p p =?-++-- 23452252.p p p p =+-+
第四次作业
1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.
2213
3
15
(),0,1,2.k k C C P X k k C -=== X
0 1 2 P 22/35 12/35 1/35
☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X X
3- 5 8
0,3,
(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.
x F P X x F x F P X P X x F x <-??-==-=-≤
2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.
(8,2/3),X B n p ==8821(),0,1,,8.33k k
k P X k C k -????
=== ? ?????
3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.
(0.35),X G p =11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===?= ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ??
?
??
奇偶偶奇 解得0.6513()=
0.394.110.6533
q P X q ==++偶
4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:
(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==
(1) 2
224
(2)0.10.90.00486,P X C ==??= (2) 3
344
(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==??+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=
(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=
5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘
客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==
(1) 40
231(40)8.271810,4P X -??
===? ???
(2) 40
39
40
140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ??????≥=-=-==--?=-? ? ? ???
????
10.0001340880.999865912.=-=
(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==
20
20
202040404011(20)0.1268.222C P Y C ????==== ? ?????
(精确值)
应用斯特林公式!
2,n
n n n e π?? ???
20
20
20
20404040
11(20)222C P X C ????=== ? ???
??
240
40!(20!)2= 40
2
204040202e e ?
?
??
???
???
?
0.1262.=
其中 1.7724538509.π==
参:贝努利分布的正态近似.
6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率.
受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=?=
(1) 24
41480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --??
=+== ???
(3) 4
31211130.761897,P P P e
-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=
7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超
过2个为合格品, 求产品的合格品率.
产品合格品率2 1.2 1.2
1.2 1.21
2.920.879487.1!2!P e e --??=+=== ??
? ★8. 设随机变量X
求:X 的分布函数, 以及概率(||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为
0,3,
(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.
x F P X x F x F P X P X x F x <-??-==-=-≤
(36)(5)0.5,P X P X <≤===
(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=
(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=
第五次作业
1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是
2,00.5
()0,kx x x f x ?+≤≤=??
其他
试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到
20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.5
0.52
320
0111(0.5),21,3
2248k
k F kx xdx x x k ??==+=+=+= ????
(2) 23200,0
1()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.
x x F x P X x x xdx x x x F x
=≤=+=+≤
=≥???
(3) 32
20
11119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ??????
=≤=+=+== ? ? ????????
(4) 3
2
1
2316111111129217.6336424108P X F F x xdx ??????????
≤≤=-=+=+= ? ? ? ? ???????????
?
2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3
P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1
()3
P X <.
(1) 1111
(1),3,223a
a P X dx a a a ->====?
(2) 1
3311115
()3.36639
P X dx -??<==+= ????
3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25 ()|,0.x x x x x S x P X x e dx e e x θθθθ+∞ --+∞->==-=>? (1) 504502 (50)(50),0.08,25 x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====? (2) 由()(),,0,rx r S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1 ,2,2 r =得 12282 (25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,= 其中 2.7182818284.e 28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为 1 800 的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率. (1) 1 31200800 2 (1200)0.2231301602,P X e e - ?->=== 1.6487212707001.= (2) 93 2 (1200)0.0111089965.P X e ->== 5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62 (2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ- 0.894359956010.88995,=+-= (3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-?= 6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4, 19 ). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率. (1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -?????? >=-≤=-Φ=-Φ=-= ? ? ??????? (2) (4)(0)0.5,P X <=Φ= (3) 72525/647/24261/31/3P X --?????? <<=Φ-Φ ? ? ??????? 13122???? =Φ+Φ- ? ?????0.691460.9331910.62465.=+-= ★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率. (1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --?? >=>==-Φ=-= ??? (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ?-? -<=<=Φ-=?-= ??? (3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p == 61 56(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----= 第六次作业 ★1.设随机变量X 的分布律为 (1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1) (2) ★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为 (())|()|,()(), ()0,X Y f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=?=?? 极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤ ()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导, ()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥ ()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导, ()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<< 因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明 ()(),()0, ()()(()())()1(),()0, X Y X P X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>?=≤=≤=? '≥=- (),()(), X Y X dF x dx dx dy f y dF x dx dx dy ???=??-?? 或两边微分 ()(), ()()()(),X X Y Y X X dF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =?==?-=-? (), ()(),X Y X dx f x dy f y dx f x dy ??=?-?? (())|()|,.X f x y x y y αβ'=<< 2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1 Y X = ; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='2 1(),1x y y = +由连续型随机变量函数的密度公式得 '21()(())|()|(arctan ).1Y X X f y f x y x y f y y == + 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'2 1(),1i x y y = + '21()(())|()|(arctan ).1Y X i i X i i f y f x y x y f i y y π+∞ +∞ =-∞ =-∞ = =++∑ ∑ (2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y == (3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+-> ★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数. 2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤ 两边对y 求导得随机变量Y 的密度为 ()115.Y f y y = -≤≤ 或解 反函数支12()()x y x y == '' '112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+== -≤≤ ★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时 , 2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得 ()Y X f y f '= =0,()0. Y y f y >=? 或 反函数y x ='()()0.Y X y y f y f x x y ==> ★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时, ()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为 ''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ??=Φ= ={} 2 (ln ),0,2()0,0. Y y y f y y ->=≤? 或 反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ??= ={} 2(ln ),0.2y y = -> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时 , 2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-. 两边对y 求导得Y 的密度函数为2 ,0,()0. y Y y f y ->=? 或 反函数支12()()x y x y = '' 2 1122()(())|()|(())|()|,0.y Y X X f y f x y x y f x y x y y -=+= > 6. 设随机变量X 的密度函数是2 1 ,1 ()0, 1X x f x x x ?>?=??≤?, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===> 第七次作业 ☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律. 1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为 (1,1)0,P X Y ===1 (1,2)(2,1)(2,2).3 P X Y P X Y P X Y ========= (2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33 P X P X ==== (3) X 与Y 不独立. 2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0, (,)0,. x y e e x y F x y --?-->=??其它 求(,)X Y 联合密度. 2 (,)(,),f x y F x y x y ?=??3515,,0,(,)0,. x y e x y f x y --?>=??其它 ★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立. 分布区域面积2 1 312 320 0211,3 33x S x dx x x ??==-=-= ???? ? 联合密度2 13,1, (,)0,. x y f x y S ?=<< 边缘X 的密度为22()),01,X x f x dy x x ==-<< 边缘Y 的密度为22()),0 1.Y y f y dy y y ==<< (,)()(),X Y f x y f x f y ≠?因此X 与Y 不独立. 或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立. 4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是 问,p q 取何值时X 与Y 两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12 ,.1015p q == ★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0, (,)0,.y Ax e x y f x y -?-<<>=?? 其它求:(1)常数A ;(2)概率 1 (0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？ (1) 2220 ()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞ +∞ --====-< ? ? 1 1 2112()1,3X f x dx Ax dx A --== =??3.2 A = (2) 11 2201113(0,1)(0)(1).22216 y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>== ?? (3) 23 (),11,2X f x x x =-<< 111221113()(,),0.2 y y y Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>??? (4)由23,11,0 ()()(,),2 0,y X Y x e x y f x f y f x y -?-<<>??==???其它 得X 与Y 独立. 或 因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<< 11211 2()1,3X f x dx Ax dx A --===??3.2 A = 11 2201113(0,1)(0)(1).22216 y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==?? 6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0, ()0,y Y e y f y -?>=??其它. 且,X Y 独立.求:(1)X 的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤ (2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0, (,)0,y e x y f x y -?≤≤>=??其它. 第八次作业 ★1. 求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律. (1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111 (1)(0,1)(1,0),362 P Z P X Y P X Y ====+===+= 1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11 (3)(1,2).6 P Z P X Y ===== (2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223 (0)1(1).4 P Z P Z ==-== (3) 31 (0)(0),6 P Z P X Y ===== 31117 (1)(0,1)(1,1)(1,0),312612 P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++= 3111 (2)(0,2)(1,2).1264 P Z P X Y P X Y ====+===+= 2. 设随机变量( 求函数Z =X /Y 的分布律. (/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-=== 3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()0 0,x X e x f x x -?>=? ≤?0()0 0, y Y e y f y x -?>=? ≤? 试求Z =X +Y 的概率密度. ()(,)()()z z Z X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-?? 20 222(1),0.z z x z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->?? ★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数. ,01,0, (,)0,y e x y f x y -?<<>=? ?其它, 当01z <≤时, ()(,)()()z z Z X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-??0 1,z z z x z x z x e dx e e -+-+-====-? 当1z >时, 1 1 110 ()(,)()().z z x z x z z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-??? 因此 11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---?-≤≤? =->??? 其它 ★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为() 1 01,0(,)10 x y e x y f x y e -+-??<<<<+∞=?-??其它 (1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min (X , Y )的分布函数. (1) 1,01,()10,x X e x f x e --?< 其它. ,0,()0,y Y e y f y -?>=??其它. (2) 11000,0, 1()(),01,111,1x x x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤??-?===< min{,1}1 0,0,1,01x x e x e --≤?? =?->?-?. 0,0, ()1,0Y y y F y e y -≤?=?->?. 2 1 (1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---?-< ==-??-≥? . min{,1}1 (1)(1),0.1x x e e x e -----=>- (3) 11 1,0,()1(),01,10,1x X X x e e S x F x x e x ---≤??-?-=< min{,1}1 1 1,0,,01x x e e x e ---≤?? =?->?-?. 1,0, ()1(),0Y Y y y S y F y e y -≤?-=?>?. 112111 ()11,01,()1()()111,1x x x x V X Y e e e e e e x F x S x S x e e x ---------?---+- =< . 1min{,1}11 1,01x x x e e e x e --------+=>-. 6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率. 随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -?? ≤=Φ=Φ= ??? 没有一只寿命小于180小时的概率为 444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-= 第九次作业 ★1. 试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |). 20.110.210.320.130.10.4,i i i EX x p ==-?-?+?+?+?=∑ 2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i i EX x p ==-?+-?+?+?+?=∑ 22(5)57.2,E X EX +=+= ||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i i E X x p ==?+?+?+?+?=∑ 2. 设随机变量X 的概率密度为0 0, () 01, 1. x x f x x x Ae x -?≤?=<≤??>?求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望. (1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞ +∞ --==+= +? ?? ,2e A = (2) 12100114 ()2.2323 x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+?=??? ★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π); (2)球的体积的数学期望(体积316 D π). (1) 22 2 22()();3b a x E D ED dx a a b b b a π πππ===++-? (2) 333 22()().66 24b a x E D ED dx a b a b b a ππππ??===++ ?-??? ★4. 设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为 求E (X ), E (Y ), E (XY ). 2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i i EX x p ==-?++++?+++∑ 20.320.350.1,=-?+?= 1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j j EY y p ==?+++?+∑ 3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+?+++?++= ,()i j i j i j E XY x y p =∑∑ 2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05) =-??+?+?+?+??+?+?+? 1.5 1.50.=-+= ★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x < ()0, 1.y Y e y f y y --?>=?≤? (1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y . (1) 112002 ()2,3 X EX xf x dx x dx ===?? 3(1)1 14 ()3,3 y Y EY yf y dy ye dy +∞ +∞ --===? ? 或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 14 1,,33 EZ EY EY =-== 24 (25)25258.33 E X Y EX EY +=+=?+?= (2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===??由X 和Y 独立得22142 ().233 E X Y EX EY ==?= 第十次作业 1. 设离散型随机变量 试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) . (1) 20.110.210.320.130.10.4,i i i EX x p ==-?-?+?+?+?=∑ 2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i i EX x p ==-?+-?+?+?+?=∑ 2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-= (2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=?= ★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02, ()0,Ax x x f x ?+<<=??其他， 试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) . (1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+??解得9 .8A =- (2) 22095 ()(2).86 EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=?? (3) 2 2 2 2 2094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞ -∞==-+=??2 224519 .56180 DX EX E X ??=-=-= ??? (4) 21919 (23)24.18045 D X DX -==?= ★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01, (,)0,x y x y f x y --<<< 试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+ (1) 103 ()(,)(2),01,2 X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-< 由,x y 的对称性3 (),0 1.2 Y f y y y =-<< 1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞??==-== ????? 12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞?? ==-== ??? ?? 2 2 2 1511 ,412144 DX EX E X DY ??=-=-== ??? 11 001 ()(,)(2),6 E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞ +∞ -∞ -∞ ==--=? ? ? ? 因此 2 151 (,)(),612144 Cov X Y E XY EXEY ??=-=-=- ??? ,1.11X Y ρ==- (2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得 (21)(2)()2(2,) D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+- 2259 2(1)22(1)(,).144 DX DY Cov X Y =+-+??-?= ★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律 试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为 由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i i EX x p ==-?+?+?=∑ 22222(1)0.4500.4510.450.9,i i i EX x p ==-?+?+?=∑220.9.DX EX E X =-= (2) Y 的分布列为 (,)X Y 取值关于原点中心对称 由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j i EY y p ==-?-++?=∑ 222222 (2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j i EY y p ==-?+-?+?+?=∑ 22 2.1.DY EY E Y =-= (3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j i j E XY x y p ==∑∑ (,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此 ,0.X Y ρ= = 5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分 布(0,6),U 且,X Y 的相关系数 ,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =06 3,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-?=- (2) 2(60)2, 3. 12DX DY -== =由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得 2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--= 第十一次作业 ★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间. 出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 10000.5500,EX np ==?=10000.50.5250,DX npq ==??= 应用切比雪夫不等式,有 239 (400600)(|500|100)1.10040 DX P X P X ≤≤=-≤≥-= 2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率. 第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑ 实例1 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X , 则X 10000 5000 1000 100 10 0p 51/1052/10510/105100/1051000/100p 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010E X p =? +?++? 0.5(),=元每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(), --=元因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().?=元实例2 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?解：设 X 为投资利润，则 X 8 -2p 0.3 0.7()80.320.71(),E X =?-?=万元存入银行的利息:故应选择投资.1050.5(),%?=万元实例3 商店的销售策略某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定1,1500;12,2000;23,2500; 3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为试求该商店一台家用电器收费的数学期望定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术、电气课校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料、电气设备调试高中中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 关于“概率论与数理统计”课程中案例教学的研究“概率论与数理统计”是理工院校绝大部分理工科专业重要的基础课程，它是 从数量化的角度来研究现实世界中的一类不确定现象及其规律性的一门应用数学学科。在当前现代化的教学改革之中，加强案例的应用，对提高学生在应用数学方面的兴趣和创新能力具有重要意义。本文将结合相关案例探讨案例法在“概率论与数理统计”课程教学中的应用与研究。 标签：概率论与数理统计；课程案例；教学改革 以往的教学内容、教学方法、教学手段已不能满足新形势下的教学要求，应改变“重理论，轻应用”的思想。案例教学是以培养学生的能力为目标，以相关案例为媒介，以分析案例为切入点，以与学生共同探究为主的一种教学手段和方法。案例教学法是一种创新的教学理念，有利于调动教师与学生教和学的积极性，实现师生之间、学生与学生之间的多方面的互动，能够促进理论与实践有效地结合，实现理论向实践的转化，能够培养学生的创造性思维和分析处理实际问题的能力。 1.案例教学引入到“概率论与数理统计”课程的实践 下面我们通过两个案例来说明案例教学在“概率论与数理统计”课程中的作用。 全概率公式和贝叶斯公式是概率论的重点和难点，它们都反映了“因果”的概率规律，然而区别在于：全概率公式做出的是“由因溯果”的推断，而贝叶斯公式则是“由果溯因”。 案例1：某市统计局三名统计员登录一批工业经济调查表，王宁登录了38%，李红登录了40%，张建登录了22%。根据以往的经验，王宁的出错率为1%，李红的出错率为2%，张建的出错率为0.8%。局长从三人登录的调查表中随机抽取一张，试问该表有误的概率是多少？另外，若发现这张表有误，试问是王宁登录的可能性是多少？ 让学生从问题出发，体会“由因溯果”和“由果溯因”，思考如何正确地使用全概率公式和贝叶斯公式来解决上述两个概率问题。另外，注意贝叶斯公式归根结底是个条件概率问题。 另外，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每个因素都起不到主导作用（作用微小），则它近似服从正态分布。这就是中心极限定理所要表明的结论。这个定理也是结合案例讲解更加清楚明了。 案例2：一盒同型号的螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一随机变量，期望值是100克，标准差是10克，求一盒螺丝钉的重量超过10.2千克 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k 第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的 第一章测试题 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21 8．设A ，B 是两个随机事件，且0 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 概率论与数理统计MOOC课程中的案例设计 发表时间：2018-07-06T10:44:29.247Z 来源：《防护工程》2018年第5期作者：郭珂琪 [导读] 概率论与数理统计是工程数学非常重要的组成部分，甚至有西方学者提出：在大数据时代，统计比微积分更基础。 北京计算机技术及应用研究所北京 100854 摘要：概率论与数理统计是工程数学非常重要的组成部分，甚至有西方学者提出：在大数据时代，统计比微积分更基础。在西方，这门课是几乎所有大学生都要学习的必修课程，在我国，概率论与数理统计也是理工，农林，经管，医药卫生等各领域学生的必修课程，如何让学生学好这门课程一直是很多教师关注的热点。这门课程成为MOOC 课程，可以面向更多的学生，整合并充分利用优质教育资源，方便不同专业的交流；但同时也面临了学生专业跨度大，数学基础差别大的困难。针对这样的学生群体，该课程的MOOC 课程制作面临更大的挑战，必须深入浅出，形象生动，难度层次递进，且有连贯性，才能达到更好的教学效果，并有效降低学生辍学率。 关键词：MOOC 课程；概率论与数理统计；案例教学；概率统计 随着各种MOOC资源平台的涌现和推广，新的在线教学模式—MOOC已经成为大学教育中不可忽视的一种教育模式。MOOC对学校而言，能更好地整合教育资源；对学生而言，能更好地锻炼自学、思考和反思的能力。但MOOC也存在一些较难克服的障碍，对于内容抽象、学习难度大的课程，基础有欠缺、自制力缺乏的学生的辍学率始终居高不下，故可以预见，在较长时期内，部分学生还是会选择以传统课堂教学课程为主的学习方式。对于这门内容抽象、学习难度大的课程，如何保证学生课下自学的效果，不影响课程内容的进度，成为翻转课堂实施的一个关键问题，MOOC相关课程的资源便成为学生课下自学中最好的辅助；同时在课上讨论中，为了更好地提高学生的兴趣，锻炼学生的思考能力，也可以适当结合和借鉴MOOC灵活开放的教学方式。 一、案例教学对概率论与数理统计课堂教学的意义 在概率论与数理统计课堂教学中积极提倡案例教学是十分必要的，并具有其独特的意义。 1、概率论与数理统计的教学目标，既有学习理论方面的目标，又有实践层面的目标，既培养学生具有扎实的概率统计基础理论，又能将该理论和实践结合起来。而案例教学能将理论和实践很好地结合起来，可以使两个目标得以同时实现，且在两者结合方面拉近了距离，使得理论不再是空中楼阁，而是活生生的理论，实践也不是盲目的实践，而是有指导、有方向、有目的的实践。概率论与数理统计是一门应用性很强的学科，很适合用案例教学方法来组织课堂教学。 2、概率论与数理统计是一门研究随机现象的学科，在学习中有许多难点，需辅以案例教学才能理解概率论与数理统计的思想方法、基本原理和统计工具。概率论与数理统计这门课程不同于以往学习的确定性数学，其中随机变量、分布函数、大数定理、中心极限定理、极大似然估计方法以及假设检验的思想方法等都是该课程中难以理解的内容，如果教师在课堂教学上照本宣科，只强调教学过程的理论性、严谨性和逻辑性而脱离实际应用，学生要真正掌握和理解概率统计思想方法和概率统计模型是很困难的，必须从案例出发，才能清晰地阐明其概念和统计思想，必须通过案例的描述、假设、建模与求解，演示理论与方法的应用过程。 3、在概率论与数理统计课堂教学中实施案例教学也是教学改革的必然要求。案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与相互讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法，它是连接理论和实践的桥梁。将理论教学与实际案例有机地结合起来，使得课堂讲解生动而清晰，可收到良好的教学效果。同时案例教学可以促进学生全面地看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实生活中得到更好的应用，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。 二、案例教学在概率论与数理统计课堂教学中的运用 案例教学一般适合于既要注重理论教学，又注重实际操作的课程，而概率论与数理统计作为一门应用性很强的随机学科，在课堂上很适合采用案例教学方法，根据该学科的特点，在案例教学时应按照以下步骤组织实施： 1、案例的选择。选择合适的案例是整个案例教学的核心，同时也是一项十分复杂的工作，这主要是由于大学各理工科的专业性质不同，对案例的选择也不同，一般来说，所选择的案例要与相应专业比较接近，这样才能调动学生学习的积极性，以达到好的教学效果。因而在选择案例时需把握以下几点：一要考虑案例的实用性；二要考虑案例的典型性；三要考虑案例的针对性。根据案例的选择原则，这就要求我们在选择案例时要深入各个相关专业进行调研，与专业教师交流探讨，对专业教材阅读分析，收集专业课程中使用概率论与数理统计知识的案例和学生感兴趣的案例，安排教研活动组织专题讨论，进行分类汇总，编写《概率论与数理统计案例选编》，对于来自各个学科专业的数学应用案例，要有问题的提出和分析，有模型的建立与求解，有应用的讨论和评注。 2、明确案例教学思路，做好案例教学设计。根据教学内容，结合学生的专业特点，从概率论与数理统计案例选编中选取合适案例，选取好案例后，要合理分配好课堂上案例讨论与分析的时间，选择好教学方法和教学手段，并以多媒体的形式在课堂上呈现。概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程有本质的不同，因此其基本概念的引入就显得更为重要。在教学中，应首先从案例出发引入概率统计的相关概念、概率统计的基本原理、统计方法，然后再选择合适案例来说明概率统计原理与方法的应用。当然，在课堂上不是要一味地讲解案例，也不是案例越多越好，而是要把握好案例与课堂知识点的结合，不能公式化，在教学过程中要充分体现“实践—理论—实践”的认识过程，做到理论与实际的有机结合。 3、有效组织案例教学，做好案例的讨论、分析。案例的讨论与分析是案例教学的中心环节，对案例进行讨论的目的是提出解决问题的途径与方法，可以从自身角度出发来剖析案例，说明自己的观点和看法，教师要掌握讨论的进程，让学生成为案例讨论的主体，同时把握好案例讨论的重点和方向，进行必要的引导。同时在组织案例教学时要辅以各种有效的教学方法，如启发式教学、讨论式教学，让学生积极参与，大胆发表意见，提出观点，深入思考，激发学生的学习热情及科研兴趣，使案例教学效果达到最佳，培养学生运用概率统计原理解决实际问题的能力。 4、案例的总结。案例总结是保证和提高案例教学质量的必备环节。对案例的总结一般要包括以下内容：一是对讨论过程进行总结，对于一个案例，让学生提出各种观点及其案例所包含的概率统计原理，让学生通过分析和评价案例，掌握正确处理和解决复杂多变的现实 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC ) 实例1 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润. 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010 E X p =?+?++? 0.5(),=元 每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(),--=元 因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().?=元 实例2 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资? 解：设 X 为投资利润，则 ()80.320.71(),E X =?-?=万元 存入银行的利息:1050.5(),%?=万元故应选择投资. 实例3 商店的销售策略 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定 1,1500;12,2000;23,2500;3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元 10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为 试求该商店一台家用电器收费的数学期望 解：1 1001{1}e d 10 x P X x -≤=?0.11e -=-0.0952,= 21011{12}e d 10 x P X x -<≤=?0.10.2e e --=-0.0861,= 31021{23}e d 10 x P X x -<≤=?0.20.3e e 0.0779,--=-= 1031{3}e d 10x P X x +∞->=?0.3e 0.7408.-== Y 因而一台收费的分布律为 ()2732.15,E Y =得2732.15.即平均一台家用电器收费元 例1 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候? 解： 令),260,2,1(01 =? ??=k k k X K 个分机不要用外线第个分机要用外线第，26021,,,X X X 是260个相互独立的随机变量，且04.0)(=i X E ，26021X X X m +++= 表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x 使%95}{≥ . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）概率论与数理统计第4章作业题解
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