人教版八年级数学下册 第十六章 二次根式 培优练习

二次根式 培优练习

一、选择题

1．下列式子中二次根式的个数有 （ ）

⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸23

1)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

2．当22

-+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ）

A ．a≥2

B ．a ＞2

C ．a≠2

D ．a≠－2

3、已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）

（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0

4．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ）

A ．它是一个正数

B ．是一个无理数

C ．是最简二次根式

D ．它的最小值是3

5．把ab a

123分母有理化后得 （ ）

A ．b 4

B ．b 2

C ．b 21

D ． b b

2

6．若b a

是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ）

A ．a ，b 均为非负数

B ．a ，b 同号

C ．a ≥0，b>0

D ．0≥b a

7．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ）

A ．23a

B ．31

C ．153

D ．143

8．计算：ab ab b a

1

?÷等于 （ ）

A ．ab ab 21

B ．ab ab 1

C ．ab b 1

D ．ab b

9、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）

（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y

10、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1

(2-+x x 等于………………………（ ）

（A ）

x 2 （B ）－x

2 （C ）－2x （D ）2x 11．化简a

a 3

-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a

12．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）

（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---

二、填空题

11．当x___________时，x 43-在实数范围内有意义．

12．比较大小：23-______32-．

13、把y x x 823

化为最简二次根式得______________。

14、若2a =－a,则实数a_________

15、已知最简二次根式2-+b a 和b a -2能够合并，则a-b=

16、使式子1

3x -有意义的x 的取值范围是_____________

17．若x x x x --=--32

32成立，则x 满足_____________________．

18、把a a 1

-中根号外面的因式移到根号内的结果是________________

三、解答题

19．计算：

⑴222

2

d c ab d c ab +-； （a 、b 、c 为正数，d 为负数）

⑵（235+-）（235--）；

⑶

1145-－7114-－732+；

⑷．（a 2

m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2m n ；

(5)、（a ＋

b a ab b +-）÷（b ab a +＋a

ab b -－ab b a +）

（6）()()353

353+--+

(7)（25＋1）（

211+＋321+＋431+＋…＋100

991+）．

20．把下列各式化成最简二次根式： ⑴2712135272

2-； ⑵b a c abc 4322-．

21、已知：2420-=x ，求221x x +的值．

培优专题：二次根式

二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a

②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。

《二次根式》培优试题及答案

1 《二次根式》提高测试 （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】 2 )2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2． （ ）【提示】 231-＝432 3-+＝－（3＋2）．【答案】×． 3． 2 )1(-x ＝2)1( -x ．…（ ）【提示】 2 )1(-x ＝|x －1|，2)1( -x ＝x －1（x ≥1） ．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4． ab 、 3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ）【提示】 3 1 b a 3、b a x 2- 化成最 简二次根式后再判断．【答案】√． 5． x 8， 3 1，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 2 9x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子 3 1 -x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225a ＝_．【答案】－2a a ． 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 【提示】（a －12 -a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12 -a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10．方程 2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】2 2d c ＝|cd |＝－cd ． 【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2 )(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12．比较大小：－721_________－3 41 ．【提示】27＝28，43＝48． 【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－ 28 1 与－48 1的大小． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 【答案】40． 【点评】 1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0． 15．x ，y 分别为8－ 11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．

二次根式培优习题

《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性：二次根式a 中被开方数a ≥0，且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)

3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ； . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a

二次根式培优提高训练

《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解

基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0=

数学二次根式的专项培优练习题(含答案

数学二次根式的专项培优练习题(含答案 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．916916+=+ B ．2222-= C ．() 2 23 6 = D ． 1515533 == 2．若3x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＞－3 C ．x≥－3 D ．x≤－3 3．下列各式中，正确的是（ ） A ．42=± B ．822-= C ． () 2 33-=- D ．342= 4．要使2020x -有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020 B ．x≤2020 C ．x> 2020 D ．x< 2020 5．下列各式中正确的是（ ） A ．36＝±6 B ．2(2)2--=- C ．8＝4 D ．2(7)-＝7 6．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A ． 1 2 B ．7 C ．4 D ．48 7．已知( )( ) 4 4 2 2 0,24,180x y x y x y x y >+=++-=、.则xy=（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A ．2xy B ． 2 ab C ． 12 D ．422x x y + 9．关于代数式1 2 a a + +，有以下几种说法， ①当3a =-时，则1 2 a a ++的值为-4. ②若1 2 a a + +值为2，则3a =. ③若2a >-，则1 2 a a + +存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ） A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 10．若a 、b 、c 为有理数，且等式 成立，则2a ＋999b ＋1001c 的 值是（ ） A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．不能确定

《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)

《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算

例1. 化简a a 1-的结果是（ ） A ．a - B ．a C ．-a - D ．-a 分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B 形式最简单, 所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A 或D;这些都是错误的.本 题对概念的要求是较高的,题中隐含着0a <这个条件,因此原式的结果应该是负值,并 且被开方数必须为非负值. 解：C. 理由如下: { ∵二次根式有意义的条件是1 0a -≥,即0a <， ∴原式= 211 ()()()a a a a a ---=--?-=--.故选C. 例2. 把（a －b ）－1 a － b 化成最简二次根式 解： — 例3、先化简，再求值： 11()b a b b a a b ++++，其中a=51+，b=51 -． 3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。（1）； （2） ! 4、比较数值 （1）、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b

《二次根式》培优试题及答案

《二次根式》提高测试 4. . ab 、1 . a 3b ' 次根式?…（ 3 xF b 简二次根式后再判断.［答案】". = _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性 12a 3 质的运用. 8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是 (a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a + 9 .当 1 o, . y — 3 > 0.当.x 1 + y — 3 = 0 时，x +1 = 0, y — 3 = 0. 1 < x v 4时，x — 4, x — 1是正数还是负数? （一）判断 题: （每小题1分，共5 分） 1. .(-2) ab = — 2 Jab . 2. )【提示】 (-2)2 =| — 2|= 2.【答案】X . = 73 + 2 = .3-2 3 - 4 .(x-1)2 = ("-1)2 .-( )【提示】 (x-1)2 = x — 1|， .3 — 2的倒数是.、3 + 2 .（ ）【提 示】 (y ［3 + 2).【答案】 X. 3. 式相等，必须x > 1?但等式左边x 可取任何数.【答案】X. (? x -1)2 =x — 1 (x > 1).两 5 . 8x ，、.. 3， （二）填空题：（每小题 9 x 2都不是最简二次根式.（ ） 9 x 2是最简二次根式.【答案】x. 6.当x 不等于零. 2分，共20分） 时，式子——1 有意义.【提示】?、x 何时有意义？ x > 0.分式何时有意义？分母 Vx -3 【答案】x > 0且X K 9 . J2 (x —1 )= X + 1的解是 ______________ .【提示】把方程整理成 ax = b 的形式后，a 、b 分别 ,2 -1， :. 2 1.［答案】x = 3+ 22 . ab -c 2d 2 a 、 b 、 c 为正数， d 为负数，化简 ----------------- J0E&c 2d 2 _ 【答案】I ab + cd .［点评】T ab = ( , ab)2 (ab >0)，二 ab — c 2d 2= ( 、. ab cd ) ( , ab - cd ). —— 尸.［提示】2空7 = J 28，4^3 = v 48 . 4”3 10?方程 是多少？ 11.已知 1 12.比较大小：— ------- 2J7 .【提示】c 2 d 2 = |cd|=— cd . ）【提示】 —v a 3b 、— — f a 化成最 3 x '\ b 7?化简一 )=a 2

人教版数学八年级下册《二次根式》单元培优练习卷(含答案)

人教版数学八年级下册《二次根式》 单元培优练习卷 一、选择题 1.如果式子化简的结果为5-2x，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为( ) A．3 B．4 C．6 D．9 3.已知, 则2xy的值为( ) A.-15 B.15 C.-7.5 D.7.5 4.已知，，则代数式的值是( ) A.9 B.-3或3 C.3 D.5 5.已知a为实数，则代数式的最小值为( ) A．0 B．3 C． D．9 6.如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示， 那么化简|a﹣b|+的结果等于( ) A.﹣2b B.2b C.﹣2a D.2a 7.把(2﹣x)根号外的因式移到根号内，得( ) A. B. C.﹣ D.﹣ 8.当a＜0，b＜0时，把化为最简二次根式，得 ( ) A. B.－ C.－ D. 9.若a、b分别是8-的整数部分和小数部分，则a-b的值是( ). A.3- B.4+ C.4- D. 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简的结果 为( ) A.3a+b﹣c B.﹣a﹣3b+3c C.a+3b﹣3c D.2a

11.按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是( ) A．7 B．11﹣6 C．1 D．11﹣3 12.观察下列各等式： ；； ；；……， 则第n个等式可表示为( )． A． B． C． D． 二、填空题 13.若实数m、n满足，则(m+n)10= ． 14.小明发明了一种用“二次根式法”来产生密码的方法，如对于二次根式的计算结果是 13，则在被开放数和结果时间加上数字0，就得到一个密码“169013”，则对于二次根式，用小明的方法产生的这个密码是（密码中不写小数点） 15.已知等式|a﹣2018|+=a成立，a﹣20182的值为 16.当0＜x＜4时，化简的结果是． 17.如果x2﹣3x+1=0，则的值是． 18.计算：= 三、解答题 19.计算：．

(完整版)二次根式培优题

二次根式培优题 1. 若02=+a a ，则a 的取值范围是___________. 2. 若代数式1681222+-++-x x x x 的结果是5-2x ，则x 的取值范围是__________. 3. 已知ABC ?的边长为c b a 、、(c b a 、、为整数),且满足04412=+-+-b b a ，求ABC ?的周长。 4. 若x 满足23)31(2x x --=-，则x 的整数解的个数有_____个. 5. 在实数范围内分解因式： (1) 32-a ; (2)742-a ; (3))0,0(2>>++y x y xy x . 6. 已知实数a 满足()a a a =-+ -2 20072006，那么 2006-a 的值是_______. 7. 若m 满足等式 y x y x m y x m y x --?+-=-++--+19919932253， 试确定m 的值。 8. 要使代数式2 113----x x 有意义，实数x 的取值范围是 _______________. 9. 比较大小：25 , 32 , 23---. 10.化简： (1) )0(48342>+-y y y ;(2)()( )()02 2 2222 >--+ab b a b a (2) 161213b - ; (4)2 3322-; (5)b a 3--; (6) )0(12122>>+-b a b ab a a ;(7)32416++?. 11.把下列各式中根号外的因式移到根式内： (1) x y xy -; (2)a a --?-11)1(. 12.计算：(1)3232245-;(2)3 612-;(3))5131(15-÷ (3)()( ) 2012 2011 2 323-? +;(4)? ?? ? ? ?-?÷7225283212; (5) ()( ) ( )( ) 131 32 13132 2 +--++ - (6) ( )( ) 6326 32+ --+ (7) b a b a ab a b a a a +----;(8) ( )() 2 33623346++++ 13.等式3 223 22+=成立吗？8 3 38 33+=呢？由此可猜想 出的规律请用字母n(n 为大于1的自然数)的等式表示并验证. 14. 若0,0>>b a ，且有)5(3)(b a b b a a +=+，求ab b a ab b a + -++32的值。 15. 已知,347,347-=+=y x 求x y y x +的值。 16. 若523,253-=--=+y x y x ，求xy 的值。 17. 已知,1,2=-=+ab b a 求a b b a +的值。 18. 设t t t t y t t t t x -+++=++-+= 11,11，当t 为何值时，代数式22204120y xy x ++的值为2001？ 20.是否存在正整数)(b a b a <、,使其满足1404=+b a ？ 若存在，试求出a,b 的值；若不存在，请说明理由。 21. 化简： 15 106232+++ +. 22.计算：3232++-

(完整版)培优专题：二次根式

二次根式培优 一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中 a 0- a 0 。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0 ，由此我们判断下列式子有 意义的条件： ____ ____ ____ 1 / x 1 (1 八 x 1 \1 x ; (2) 、 -- 2 ； 2 V x (3) <1—T J —2； (4) —-; (5) V3—r (x 竺 x 1 Vx 2 (1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a ⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------ ⑥ 计算：J ( 4研&妬5 )2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围 教科书中给出： 一般地，根据算术平方根的意义可知：' a a(a 0) ，在此我们可将其拓展为: 2、也2的化简 a(a 0) a(a 0) ②化简求值 : 1 其中a= 5 ③已知, 3 ,化简 2m 4m 2 m 1 .m 2 6m 9 1 2 a

m J 2m m2 1,求m的取值范围 ①若 ②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________ ③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值； ④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。 .二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0 ②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x 应满足( ). J2x 1 1 11 1 A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 3 2 2 2 2 例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ . (2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为() (A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . 例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为() A. 2 B. 0 C. —2 D.以上都不是 ⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①訂，②(a "Ja

最新二次根式化简练习题含答案(培优)

基础巩固： 1、二次根式的性质 ①二次根式.a中被开方数一定是非负数，并且二次根式a_0 ; ②(柘 f =a(a^0)； a(a 色0) ③+'a = |a| = 0(a = 0) -a(a 乞0) 2、最简二次根式与同类二次根式： 一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式(simplest quadratic radical ). 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式. 3、移因式到根号内、外的方法： ①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时，把负号留在根号外面，然后把这个数的平方移到根号内，即 a.b二- a2b (a<0)；当根号外的数是正 数时，直接把它平方后移到根号内，即 b = a 2b (a>0); ②把根号内的数移到根号外：当根号内的数是正数时，直接开方移到根号外，即a2b二a b (a>0)；当根号内的数是负数时，开方移到根号外后要添上负号，即,a2b = -a b (a<0). 4、a2与 a $的联系与区别 ①存，(需2都是非负数； a(a 色0) ②Q a j =a(a 王0)，M a2=|a| = 0(a = 0)结果不同； —a(a 兰0) ③、.a中a的取值范围是a 一0，a2中a的取值范围是全体实数.

练习： 1、有这样一类题目：将詐±2扁化简，如果你能找到两个数m n, 使m2 且mn = . b ,则将将变成m+n2士2mn,即变成(m± n)2开方, 从而使得a二2 .. b化简. 请根据提示化简下列根式： (1) Q-2.6 ⑵.4 23 2、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 3、计算: _ 1 0.25 2 2 -3 厂一j.-3 2 2什気一』2 ° 4、已知m是2的小数部分，则.m2-2m ■ 1的值是(). 5、对任意不相等的两个数a、b,定义一种运算※如下：b二'a+ b a - b 则代※4= _____ . 答案与解析：

八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(附解析

一、选择题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（） A．9B．1 3 C．20D．7 2．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（） A．（8﹣3cm2B．（4﹣3cm2 C．（16﹣3cm2D．（﹣3）cm2 32的倒数是（） A2B． 2 2 C．2 -D． 2 2 - 4．下列各式是二次根式的是（） A3B1-C35D4 π- 5．已知：x3，y31，求x2﹣y2的值（） A．1 B．2 C3D．3 6．设a3535 +-b633633 +- 21 b a -的值为（） A621 +B621 +C621D621 7．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是 0.0133 23 )＝5；④如果点P（3－2n，1）到两坐标轴的距离相等，那么n＝1，其中假命题的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8．以下运算错误的是（） A3535 ?=B．2222 ?=C169 +169 D23 42 a b ab b =a＞0） 9．使式子 21 2 4 x x + - x的取值范围是（） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2

10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A ．3x + B ． 1 3 x - C ． 1 3 x + D ．3x - 二、填空题 11．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________． 12．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……． ⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为 234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值； ⑵根据以上规律写出n a 的表达式． 13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则 2b c +=________． 14．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作 后变为1的所有正整数中，最大的是________． 15．已知72 x = -，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.

八年级数学二次根式提高培优复习过程

二次根式典型习题训练 一、概念 （一）二次根式 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式 、1x x>0）1x y +x ≥0，y?≥0）． （二）最简二次根式 1（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 2．（x ≥0） 3．_________． 4. 已知?xy 0，化简二次根式_________． （三）同类二次根式 1．以下二次根式：；是同类二次根式的是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2是同类二次根式的有______ （四） “分母有理化”与“有理化因式” 1.的有理化因式是________； _________． _______． 2.把下列各式的分母有理化 （1 （2； （3； （4．

二、二次根式有意义的条件： 1．（1）当x 在实数范围内有意义？ （2）当x是多少时， 1 1 x+ 在实数范围内有意义？ （3）当x 是多少时， x +x2在实数范围内有意义？ （4）当__________ 2. 有意义的未知数x有（）个． 3. A．0 B．1 C．2 D．无数 3．已知 y= ，求 x y 的值． 4 ． 5. 1 1 m+ 有意义，则m的取值范围是。 6．要是下列式子有意义求字母的取值范围 （1 (2) (3) (4) (5) (6)

三、二次根式的非负数性 1 ，求a 2004+b 2004的值． 2 ，求x y 的 3. 2440y y -+=，求xy 的值。 四、?????-==a a a a 2 的应用 1． a ≥0 ）． A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求 甲的解答为：原式（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．若│1995-a │=a ，求a-19952的值． 4. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│ a ≥0 a ＜0

中考数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及答案

中考数学数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及答案 一、选择题 1．下列运算正确的是（ ） A ．732-= B ． () 2 55-=- C ．1232÷= D ．03812+= 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ． 15 B ．8 C ． 13 D ．26 3．已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x?2＋x?2等于( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 4．下列各式计算正确的是（ ） A ．6 23 212 6()b a b a b a ---?= B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy C ．23a a a += D ．2x ?3x 5=6x 6 5．二次根式23的值是（ ） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．3 6．化简x 1 x -，正确的是（ ） A ．x - B ．x C ．﹣x - D ．﹣x 7．下列计算不正确的是 （ ） A ．35525-= B ．236?= C 77 4= D 363693=+== 8．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（233a ；（3642；（42 2 (8)±；（565 -65 ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．如果2a a 2a 1-+，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0= B ．a 1= C ．a 1≤ D ．a=0a=1或 10．下列计算正确的是（ ） A 366=± B ．422222=C ．83266= D a b ab = （a≥0，b≥0） 11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）

A ．3x + B ． 1 3 x - C ． 1 3 x + D ．3x - 12．下列根式中是最简二次根式的是（ ） A ． 23 B ．10 C ．9 D ．3a 二、填空题 13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简 () 2 22144a a ab b +--+=_____________； （2）已知正整数p ，q 满足32016p q +=，则整数对()p q ， 的个数是_______________； （3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．观察下列等式： 第1个等式：a 1= 2112=-+， 第2个等式：a 2= 3223 =-+， 第3个等式：a 3=32 +=2-3， 第4个等式：a 4=5225 =-+， … 按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________ 15．已知a ＝﹣ 73 +，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 16．若0xy >，则二次根式2 y x x - 化简的结果为________． 17．已知20n 是整数，则正整数n 的最小值为___ 18．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简() 2 22a b a b -+ -＝_____． 19．1+x 有意义，则x 的取值范围是____．

数学二次根式的专项培优练习题(附解析

数学二次根式的专项培优练习题(附解析 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A = B = C = D =2．下列各式计算正确的是（ ） A B ． C =3 D ． 3．下列运算正确的是（ ） A = B ． 3 C ＝﹣2 D =4．下列各式中，正确的是（ ） A 2=± B = C 3=- D 2= 5．下列计算正确的是（ ） A = B 3= C = D ．21= 6．下列式子中，是二次根式的是( ) A B C D ．x 7．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数 B ．1≤x ≤4 C ．x ≥1 D ． x ≤4 8．已知a ( ) A ．0 B ．3 C ． D ．9 9．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0= B ．a 1= C ．a 1≤ D ．a=0a=1或 10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是 0.01 )＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那 么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．若|x 2 ﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 12．230x -=成立的x 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对 二、填空题 13．使函数2 1 2y x x =+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 14．已知实数,x y 满足(2008x y =，则

2232332007x y x y -+--的值为______. 15．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____． 16．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____． 17．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________． 18．()()2 2 2 2 3310x y x y ++-+=，则22 2516 x y +=______. 19．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____． 20．化简：3222＝_____． 三、解答题 21．阅读下面问题： 阅读理解： 2221(21)(21) ==++-1； 32 3232(32)(32)==++- (55252 (52)(52) = =-++-． 应用计算：（176 + （21 1n n ++（n 为正整数）的值． 归纳拓展：（3122334 989999100 + +++++ 【答案】应用计算：（17621n n + 归纳拓展：（3）9． 【分析】 由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（17-6分母利用平方差公式计算即可，（2n 1-n +（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】

(完整版)二次根式培优专题讲座

第16章二次根式培优专题 一、二次根式的非负性 1 ．若2004a a -=，则22004a -=_____________． 2．代数式13432---x x 的最小值是（ ） （A ）0 （B ）3 （C ）3.5 （D ）1 3．若m 适合关系式 =，求m 的值． 4．已知x 、y 为实数，且499+---=y x y ，求y x +的值． 5．已知1888+-+-=x x y ，求代数式x y y x xy y x y x ---+2的值． 6．已知：211881+-+-=x x y ，求22-+-++x y y x x y y x 的值． 二、二次根式的化简技巧 （一）构造完全平方 1 _____________． （拓展）计算 222222222004 1200311413113121121111++++++++++++ Λ． 2．化简241286+++． 3．化简：2 32 46623+--． 4 5 6

（二）分母有理化 1．计算：49 4747491 7557153351331++++++++ΛΛ的值． 2．分母有理化：5 326 2++． 3．计算：3 212 32+++ -． （三）因式分解（约分） 1．化简：253 2306243 +--+． 2 3 4．化简：( )( ) 7 52 37 553++++． 5．化简： ． 6 ． 7 ． 8 三、二次根式的应用 （一）无理数的分割 1．设a ，为5353--+的小数部分，b 为336336--+的 小数部分，则 a b 1 2-的值为（ ） （A ）126+- （B ）41 （C ）12 -π （D ）832π--

八年级初二数学 数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及答案

八年级初二数学 数学二次根式的专项培优易错试卷练习题及答案 一、选择题 1．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x > B ．3x ≥ C ．3x ≤ D ．x 是非负数 2．下列各式中，无意义的是（ ） A ．23- B ．()3 33- C ． () 2 3- D ．310- 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．12 B ．0.1 C ． 12 D ．21a + 4．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A ．4 B ．3 C ．12 D ．20 5．要使2020x -有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020 B ．x≤2020 C ．x> 2020 D ．x< 2020 6．下列各式中正确的是（ ） A ．36＝±6 B ．2(2)2--=- C ．8＝4 D ．2(7)-＝7 7．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： ()()()S p p a p b p c =---，其中2 a b c p ++= ,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ） A ．3154 B ．3152 C ．352 D ． 354 8．设,n k 为正整数，()()1314A n n = +-+，()2154A n A =++， ()3274A n A = ++，()4394A n A =++，…()1214k k A n k A -=+++，….，已知 1002005A =，则n =( ). A ．1806 B ．2005 C ．3612 D ．4011 9．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．下列计算不正确的是 （ ） A ．35525-= B ．236?= C 77 4= D 363693=+== 11．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A 6 B 18 C 27 D 12