分式整理

分式整理(整理人：谢明)

一、本章知识结构

二、具体知识点分析

分式：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A

B

叫做分式。其中A 叫做分子，B 叫做分母。

分式的意义：当A 和B 都表示有理数且B 不等于0时，则式子

A

B

表示一个分数。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。由于分式中的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式中的分母不能为0 ，即当B ≠0时，分式

A

B

才有意义。 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。 用式子表示为

A A C

B B

C = ， A A C

B B C

÷=

÷（C ≠0），其中A ，B ，C 是整式。 分式的约分与最简分式：与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去2

2x

x x

-的分子和分母的公因式x ，不改变分式的值，使2

2x x x -化为1

2

x -，这样的分式变形叫做分式的约分。经过约分后的分式

1

2

x -，其分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果化为最简分式或整式。

分式的通分与最简公分母：与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。 分式的运算：

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

a c a c ac

b d b d bd == a

c a

d a d

b d b

c b c

÷=?=

在分式的计算中，运算结果应化为最简分式，分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分。 根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得：

分式的乘方：一般地，当n 是正整数时，()n

n n a a b b

= 即分式的乘方要把分子、分母分别乘

方。

分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母分式相加减：先通分，变为同分母分式，再加减。

a b a b c c c ±±= a c a d b c a d b c

b d b d b d b d

±±=±=

式与数有相同的运算法则：先乘方，再乘除，然后加减。 负数整数幂的意义；一般地，当n 是正整数时，1

(0)n

n a a a

-=

≠，这就是说，n a -(0)a ≠是n

a 的倒数。

整数指数幂的运算性质：

(,m n m n a a a m n += 是整数）

(),m n mn a a m n =（是整数） ()n n n

ab a b n =（是整数）

0,,m

n

m n

a a a a m n -

÷=≠（是整数） ()n n n a a n b b

=（是整数） 0

10)a a =≠（ 小数的科学记数法：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示为10

n

a -?的形式，其中a 是整数数位只有一位的正数，n 是正整数。这种形式不仅便于记数，而且便

于比较熟的大小。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程的思路：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

注意：一般的解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

三、考点整理 分式的概念

在代数式3

,252,43,3,2,1,32222x

x x x x xy x x -++中，分式共有 ( )．

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

下列各式a π，11x +，15

x y +，22a b a b --，23x -，

0中，是分式的有___________ ；

分式的值

若分式2

22---x x x 的值为零，则x 的值为 ( )．

(A)－1

(B)1

(C)2

(D)2或－1

当x ________时，分式

1

22

+-x 的值为正．当x 时，分式15x -+的值为正；

当x 时，分式24

1x -+的值为负． 当x= 时，分式3

92

--x x 的值为0。

C

x 为何值时，分式234

55

x x

x x ++-

+值为零？

当x 为何整数时，分式

124

+x 的值为正整数 当x 为何整数时，分式2

)1(4

-x 的值为正整数？

分式的意义 A

当x ________时，分式1

21

-+x x 有意义． 分式24

x

x -，当x 时，分式有意义， B

若分式216

(3)(4)

x x x --+有意义，则x ;

若

33a

a

-有意义，则33a a -( ).

A. 无意义

B. 有意义

C. 值为0

D. 以上答案都不对

C

要使分式24

12a a

-+

没有意义，求a 的值.

x = 时，分式

1

122x

+

+有意义。

若分式25011250x x -++有意义，则x ；若分式250

11250x x

-++无意义，则

x ；

分式的基本性质 A

下列变形从左到右一定正确的是 ( )．

(A)22--=b a b a (B)bc ac b a = (C)b

a bx ax =

(D)22b

a b a =

把分式y

x x

+2中的x 、y 都扩大3倍，则分式的值 ( )．

(A)扩大3倍 (B)扩大6倍 (C)缩小3倍 (D)不变

B 把分式

xy

y

x +中的x 、y 都扩大2倍，那么分式的值 （ ）． A ．扩大2倍 B ．扩大4倍 C ．缩小2倍 D ．不变 当

232123x k

xy x y

-=时，k 的值为 ． 根据分式的基本性质，分式

a

a b

--可变形为（ ）． A ．a a b -- B ．a a b + C ．-a a b - D ．a

a b

+

C

下列各式中，正确的是 ( )．

(A)y x y x y x y x +-=--+- (B)y x y x y x y x ---=--+- (C)y x y x y x y x -+=--+- (D)y

x y x y x y x ++-=

--+- 下列等式：①

()a b c

--=-a b

c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a b c +; ④m n m --=-m n m -中,成立的是（ ）．

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④

下列等式中成立的是 （ ）． A ．

1x y x y --=-- B ．()()a b c d a b c d -=--- C ．221

a b a b a b -=

-- D ．

0.01515000.220y y y y

--=

约分 A

填上适当的代数式，使等式成立：

(1);)(2222

2

b a b a b ab a +=--+ (2);

2122)(2x x x x --=- (3)a b b

a b a

-=-+

)(11 (4)?=)(22xy xy 约分：

（1）22699x x x ++-； （2）22

32m m m m

-+-． 分式2

211

2m

m m -+-约分的结果是________． B

有这样一道题，计算2222

()(21)

,(1)()

x x x x x x x +-+--其中x ＝2080．某同学把x ＝2080错抄成x ＝2008，但他的计算结果是正确的．你能解释其中的原因吗？ C

如果x ＜y ＜0，那么

x

x ||+xy xy |

|化简结果为 ． 若x 2－12y 2＝xy ，且xy ＞0，则分式y

x y

x -+23的值为________． 已知31

1=-y x ，求分式

y

xy x y xy x ---+2232的值．

已知x 2+3x+1=0，求x 2+

21

x

的值．

已知x+1x

=3，求242

1x x x ++的值． 已知,52

12=+x x 求14

2+x x 的值

已知3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，求yz

yz xy z y x 22

22++-+的值．

通分 A 分式

22(1)x x --，3

23(1)x x --，5

1

x -的最简公分母为（ ）． A ．（x-1）2 B ．（x-1）3 C ．（x-1） D ．（x-1）2（1-x ）3

把下列各组分式通分： (1)

;65,31,22abc

a b a - (2)

?--2

22,b a a

ab a b

B

把分子、分母的各项系数化为整数： (1);04

.03.05

.02.0+-x x

(2)

?-+

b a b a 3

2

232

不改变分式的值，使分式的分子与分式本身不含负号： (1);22y

x y

x ---

(2).2)

(b

a b a ++--

约分和通分：

235832x yz xyz -； 58()y x x y --； 14

542

2-+-x x x . 26x ab ，29y a bc ； 2121a a a -++，26

1a -

分式的乘除 A

下列计算中正确是（ ）．

A.322a b cd ·223c d a b ＝32ac db

B.2ab c

÷23a c ＝34a b c C.22a b ÷22b a ＝1 D.22a b ÷22b a ＝44a b 若x 等于它的倒数，则263x x x ---÷2356

x x x --+的值是（ ）．

A ．-3

B ．-2

C ．-1

D ．0

分式的乘除

???

? ??????? ??-?y x x y x y x 224

2

6438 2223x y mn ·2254m n xy ÷53xym n

222441214a a a a a a -+-?-+- 22121

a a a -++÷21a a

a -+

（2b a ）2÷（b a -）·（-34b a ）3 22

16168m m m -++÷428m m -+·2

2

m m -+

222241

2144

a a a a a a --?-+++

269(3)2y y y y -+÷-+

2

26

44

x x x --+÷（x+3）·263x x x +--

分式的加减 A 计算

34x x y -+4x y y x +--74y

x y

-得（ ）．

A ．-

264x y x y +- B ．264x y

x y

+- C ．-2 D ．2

化简

a b

a b a b

-

-+等于( )． A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222

()a b a b +- 分式的加减

x x x x 3922+++96922++-x x x 22

21244

x x x x x x +----+

y y y y y y y y 4

4412222--+--+-+ 4133

m m m -+

-+ B

若0≠-=y x xy ，则分式

=-x

y 1

1（ ）

． A.1 B.x y - C.xy

1

D.－1 分式的加减

2

1

x x --x-1 ?-+-+

+222244242x y y x y x y y x a

b a b a -++2

C

若x ＜0，则

=---|

3|1

||31x x __________． 实数a 、b 满足ab ＝1，设,11,1111b b

a a N

b a M ++

+=

++

+=

则M 、

N 的大小关系为（ ） A ．M ＞N B ．M ＝N

C ．M ＜N

D ．不确定

化简

222

222a b c b c a c a b

a a

b a

c bc b bc ab ac c ac bc ab

------++--+--+--+ 22

()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b b a c a

---+++---------

2232

3972431

111

x x x x x x x x x +++-++--+--

分式的混合运算 A 计算()a b a b

b a a +-÷

的结果为（ ）．

A ．a b b -

B ．a b b +

C ．a b a -

D ．a b a +

下列各式中，计算结果正确的有（ ）．

①;2)1(2223n m mn n m =-? ②8b a b a b a 32326)43(-=-÷； ③（;1)()b a b a b a b a +=+?-?+ ④（2232)()()b

a b a b a b a =-÷-?-

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

分式的混合运算

2424422x y x y x x y x y x y x y ?-÷-+-+ 22

214244x x x x x x x x +--??-÷ ?--+??

（2122

2---+x x x x ）÷x 2; ?-÷+--+1

1)1211(2

2

x x x x y

y y y y y

y y 4

)4

4122(

2

2

-÷

+--+

-+ 2

12(1)1a a a a --++-

242

4422

x y x y x x y x y x y x y

?-÷-+-+ B C

指数幂的运算

A

下列各式中正确的是（ ）

A ．363223)23(y x y x =

B ．22224)2(b a a b a a +=+

C ．2

22

22)(

y x y x y x y x +-=+- D ．33

3)()()(n m n m n m n m -+=-+ 计算

3223

22()()32a ay xy x ÷- )2(2562

22

235b a b a a b b a ÷???? ???

B

n

a b 22)(-（n 为正整数）的值是（ ） A ．n n a

b 222+

B ．n n a b 24

C ．n n a b 21

2+-

D ．n n

a

b 24-

计算

1

3

2

12

().(2).(2)ab a a b ----- 22324

()()()a b c bc c ab a

-?÷--

()()()5

43

32

2

2

ab b a b a -÷-?- 2

34()

()().a a

a b b

b

--?-÷-

(3×10-8)×(4×103)； (2×10-3)2

÷(10-3)3

；

??

? ??-÷??? ??----42318521q p q p 化简求值 A

232

282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x=-4

5

??? ?

?+---÷--1121122

2x x x x x x ，其中21

=x

已知│3a-b+1│+（332

a b -）2

=0．求2b a b +÷[（b a b -）·（ab a b +）]的值．

B

已知a －2b=2（a ≠1）求b

a b a b a 2442

22

2++--－a 2+4ab －4b 2的值． 8、已知：212z

y x ==，求zx yz xy z y x +++-222522的值． 已知235x y z z x

==-+，化简52x y y z -+

化简

14++x x ＋3

2

1432++-

-----x x x x x x

负数指数幂和0指数幂 A

下列各式中正确的有（ ）

①;9)3

1(2=-②2－2＝－4；③a 0＝1；④（－1）－

1＝1；⑤（－3）2＝36．

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．1个

下列计算中正确的是 ( )．

(A)(－1)0＝－1

(B)(－1)－

1＝1

(C)33212a a =

- (D)47

31)()(a

a a =-÷- 若（x -3）-2有意义，则x_______；若（x-3）-2

无意义，则x_______．

5-2的正确结果是（ ）．

A ．-

125 B ．125 C ．110 D ．-1

10

B

已知a ≠0，下列各式不正确的是（ ）．

A.（-5a ）0=1

B.（a 2+1）0=1

C.（│a │-1）0=1

D.（1a

）0

=1 下列计算中正确的是 ( )．

(A)(－1)0＝－1

(B)(－1)－

1＝1 (C)33212a a =

- (D)47

31)()(a

a a =-÷-

C

小数指数幂 A

一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m . 用科学记数法表示—0.000 000 0314= ． B

用小数表示下列各数：10－5＝______，2.5×10－

3＝______．

分式方程 A

指出下列方程中，分式方程有（ ）．

①

211

23x x -=5 ②223x x -=5 x 2-5x=0 5x -+3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

若分式方程

127723=-+-x

a

x x 的解是x ＝0，则a ＝______．

方程

58

)1()(2-=-+x a a x 的解为,5

1-=x 则a 等于（ ）

A ．6

5

B ．5

C ．6

5-

D ．－5

已知方程

26

1=311x

ax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C 、2 D ．－2 如果

2

54

52310

A B x x x x x -+=-+--，则 A=____ B ＝________.

解方程 1

617222-=

-+

+x x

x x

x

)

2(6

223-+

=-x x x x

.32121=-+--x

x x ?-+=+-x x x x x 25

316

B

若关于x 的方程

x

k

x --

=-1113有增根，则k 的值为 ( )． (A)3

(B)1

(C)0

(D)－1

若关于x 的方程

01

11=----x x

x m 有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1 若方程114

112=---+x x x 有增根，则增根是________．

m 为何值时，关于x 的方程2243

2

x mx x x -+-=

+2会产生增根？

解方程

?+=+--1

211422x x

x x x

C

关于x 的方程

11

=+x a

的解是负数，则a 的取值范围为________． 若关于x 的方程

3

23-=

--x m

x x 有正数解，则 ( )． (A)m ＞0且m ≠3 (B)m ＜6且m ≠3 (C)m ＜0 (D)m ＞6

关于x 的方程32

4+=-b x

a 的解为________． 解方程

32322241016161051257351

x x x x x x x x x x +++++-=++++ ?---=---71

614131x x x x

41313

2

=-+--++x x x x x x x x x x x x x +++++=+++

++12672356

24

240

1111x x x x x x x x +++=-+++ 32651222-=+----x x

x x x x x 67

5691089++-

++=++-++x x x x x x x x

解方程组：11131129

x y x y ?-=??

???=??

分析：此题不宜去分母，可设1x ＝A ，1y -＝B 得：13

2

9A B A B ?

+=?????=-??

，用根与系数的关系可解

出A 、B ，再求x y 、，解出后仍需要检验。

分式方程的实际应用

在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）。

A 、

2

2

1v v +千米 B 、2121v v v v +千米 C 、21212v v v v +千米 D 无法确定

a 个人

b 天可做

c 个零件(设每人速度一样)，则b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是

( )．

(A)c

a 2

(B)2a

c

(C)a

c 2

(D)

2

c a 将公式

2

11

11R R R +=（R ，

R 1，R 2均不为零，且R ≠R 2）变形成求R 1的式子，正确的是（ ） A ．R

R RR R -=22

1 B ．R R RR R +=22

1 C ．2

2

11R RR RR R +=

D ．2

2

1R R RR R -=

完成某项工作，甲独做需a 小时，乙独做需b 小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．

(A))(54

b a +小时

(B))1

1(54b a +小时

(C))

(54b a ab +小时

(D)b

a a

b +小时

“五一”期间，东方中学“动感数学”活动小组的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“动感数学”活动小组有x 人，则所列方程为（ ）． A ．

18018032x x -=- B ．180180

32x x -=+ C ．18018032x x -=+ D ．18018032x x

-=-

行程问题

某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ）

A ．1%206060++=x x B. 1%2060

60-+=x x C. 1%2016060++=）（x x D. 1%2016060-+=）

（x x

在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米／时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为多少？

小明离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆。已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。 （1）小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ （2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？

甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？

2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km 缩短至154 km ，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．

甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的

81；如果甲走3

2

小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？

某客车从甲地到乙地走全长480Km 的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km 的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

工程问题

进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这

是记者与驻军工程指挥官的一段对话:

某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4 公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是 （ ）．

A ．240

24054x x +=+ B ．240

240

54x x -=+ C ．24024054x

x +=

- D ．240

240

54

x x -=-

有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？

较复杂的分式方程应用

用大小两种箱子包装720件产品，有三种包装方案：

方案一：产品的一半用大箱装，一半用小箱装，要用75只箱子； 方案二：产品56用大箱装，其余用小箱装；

方案三：产品23用大箱装，其余用小箱装，那么比“方案一”少用5只箱子．

如果每只大箱子的包装费比每只小箱子的包装费高k%，试确定选择哪种包装方案能使包装费用最低？

一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多

少人？

新题型举例 定义新运算题

通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.

对于a 、b ，我们规定两种运算：a △b=2

a 1

b -，a ＊b=b a +1

,请计算m △n ÷2（m ＊n ）。

阅读理解题

先阅读下面解分式方程

122+-+

-x x

x x =0的过程，然后回答后面的问题。 解：将原方程整理为01

2

2=+---x x x x

方程两边同除以（x-2），得1

1

1+-x x =0

方程两边同乘以x （x+1），得x+1-x=0 整理，得1=0，所以原分式方程无解。 在上述解题过程中：

（1）出现错误的一步是 （2）方程正确的解应是

先阅读下面解方程x 2的过程，然后填空.

解：（第一步）将方程整理为x －20；（第二步）设y y 2

＋y ＝0；（第三步）解这个方程的 y 1＝0，y 2＝－1（第四步）当y ＝0时，

0；解得 x ＝2，当y ＝－11，方程无解；（第五步）所以

x ＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是 ，第四步中，能够判定方程

＝－1无解原根据是 。上述解题过程不完整，缺少的一步

是 。

规律探究题

观察有规律的一列数：

21 ，52，103，174

，。。。37

6，。。。 （1） 第5个数是

（2） 写出第n 个数的表达式 。

（1）观察下列各式：

21-1121121=?=； 31-2132161=?=； 41-31431121=?=； 5

1-41541201=?=； 由此可推测：=421 ，72

1

=

（2）用含字母n （n 为整数）的等式表示（1）中各式特点的一般规律； （3）用（2）中的规律计算：

()()()()()()

2x 1x 1

3x 1x 13x 2x 1--+

-----

阅读下列材料：

方程3x 1

2x 1x 11x 1--

-=-+的解为x=1； 方程4x 13x 11x 1x 1--

-=--的解为x=2; 方程5

x 14x 12x 11x 1--

-=---的解为x=3； 。。。

（1） 请你观察上述各方程与其解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出

这个方程的解；

（2） 根据（1）中所得的结论，写出一个解为-5的分式方程。 证明题

例96 已知a+b+c=0，求证a （c 1b 1+）+b （c 1a 1+）+c （b

1

a 1+）+3=0 信息题 阅读下面对话：

小红妈：“售货员，请你帮我称些梨。”

售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高．” 小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱．”

对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克．

试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价．

在学完分式的基本性质后，王老师让同桌之间交流一下，看看对这部分知识的理解情况。 小亮说：“

xy

x x

1=。” 小红说：“

a

ab b 2

2=。

” 他们互相批评对方不对，于是请邻座小华评判，她说他们两个都对，请你盘对一下他们三人谁对谁错。

八年级上册第十五章分式知识点总结及练习

第十五章 分式 一、知识概念： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ???

8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ??? （n 是正整数） ⑹1 n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

农业生态学总结.

农业生态学 第一章绪论 第一节生态学及其发展 1、1866年，德国生物学家海克尔在其著作《有机体的普通形态学》中第一次正式提出生态 学的概念，并将生态学定义为：生态学是研究生物与其环境互相关系的科学。 2、1971年，奥德姆在其所著作的《生态学基础》中，认为生态学是研究生态系统的结构和 功能的科学。 3、1866年，德国学者海克尔提出生态学定义，标志着生态学的诞生。 4、1935年英国生态学家坦斯列首次提出生态系统的概念，把生物有机体与其环境看成是一 个整体，提出生态系统是在特定的区域互相作用的全部生物与无机环境的综合体。 5、1942年，美国生态学家林德曼提出食物链

6、20世纪30年代，贝塔朗菲提出系统论；40年代美国科学家香农创立信息论。 7、生态工程是20世纪60年代有奥德姆和马世俊分别提出的。 8、生态学按其性质一般分为理论生态学和应用生态学两大类。 第二节 1、1983年正式确定在农业院校开设农业生态学课，并在1986年有国家教委将农业生态学 列为农学专业的主要课程，同时在部分农业院校开始试办农业生态专业。 第三节 1、农业生态学的研究对象主要是农业生态学系统。 2、农业生态学的主要内容包括农业生态系统的组成、结构、功能及其调控的原理和技术途 径。 3、农业生态学的特点：理论实用性、学科交叉性、研究统一性、宏观层次性 第二章

第一节 1、系统：有互相依赖的若干组分结合在一起，能完成特定功能，并朝特定目标发展的有机 整体。 2、一个系统的组成，必须满足3个条件：第一，系统必须具备两个以上的构成要素：第二， 各要素之间必须具有某种联系；第三，各要素必须以整体的形式完成特定的功能。 3、系统的特征：系统结构的有序性、系统的层次、系统的整体性、系统功能的整合性 4、生态系统：在一定的时间和空间范围内，生物与生物之间、生物与非生物环境之间密切 联系、相互作用并具有一定结构及完成一定功能的综合体，或者说是由生物群落与非生 物环境互相依存所组成的一个生态学功能单位。 5、1935年，英国生态学家A.G.Tansley首次提出生态系统的概念。 6、生态系统分为生物组分和非生物组分

初中数学·分式知识点归纳总结

分式知识点归纳 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

人教版八年级数学上册 第15章 分式 小结与复习精选练习2(含答案)

A ． b - = -1 B . 1 ÷ b ? a = 1 D ． ? = 第 15 章分式 一、选择题：（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各式 a - b ， x + 3 ， 5 + y ， 3 ( x 2 + 1) ， a + b ， 1 ( x - y ) 中，是分式的 2 x π 4 a - b m 共有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2．如果分式 x 2 - 4 的值等于 0，那么（ ） x - 2 A. x = ±2 B. x = 2 C. x = -2 D. x ≠ 2 3．与分式 - a + b 相等的是（ ） - a - b A. a + b B. a - b C. - a + b D. - a - b a - b a + b a - b a + b 4．若把分式 x + y 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ） 2xy A ．扩大 3 倍 B ．不变 C ．缩小 3 倍 D ．缩小 6 倍 5．化简 m 2 - 3m 的结果是（ ） 9 - m 2 A. m m + 3 B. - m m + 3 C. m D. m m - 3 3 - m 6．下列算式中，你认为正确的是( ) a a - b b - a a b C ． 3a -1 = 1 3a 1 a 2 - b 2 1 (a + b ) 2 a - b a + b 7．甲乙两个码头相距 s 千米，某船在静水中的速度为 a 千米/时，水流速度 为 b 千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时.

生态学重要知识点归纳总结

生态学重要知识点归纳总 结 Revised by Hanlin on 10 January 2021

环境：指某一特定生物体或生物群体周围一切的综合，包括空间及直接或间接影响该生物群体生存的各种因素。 生物环境：A大环境：地区环境（地球环境，宇宙环境）/a大气候：离地面以上的气候，由大范围因素决定。B小环境：对生物有直接影响的领接环境/b小气候：生物所处的局域地区的气候 大环境直接影响小环境影响生物，生物反作用环境。 生态因子：指环境要素中对生物起作用的因子(CO2 、H2O 、食、天敌……）分类：A性质：1气候因子 2土壤因子 3地形因子 4生物因子 5人为因子B有无生命特征：1生物因子 2非生物因子C生态因子对动物种群数量的变动作用：1密度制约因子（食物，天地） 2非密度制约因子（气候，降水）D生态因子的稳定性及作用特点：1稳定因子（引力，光强）2变动因子{周期性变动因子（四季，潮汐）非周期性变动因子} 生态因子的作用特征：1综合作用 2主导因子作用 3阶段性作用 4不可代替性和补偿性作用 5直接或间接作用 生境：特定生物体或群体的栖息地的生态环境（所有生态因子构成生态环境） 利比希最小因子定律：地域某种生物余姚的最小量的任何特定因子，是决定该生物生存和分布的根本因素 限制因子：任何生态因子，当接近或超过某生物的耐受性极限而阻碍其生存，生长，繁殖或扩散时之歌因素称为限制因子 耐受性定律：任何一个生态因子在数量上或质量上的不足或过多，即当接近或达到某种生物的耐受限度时会使该生物衰退或不能生存

生态幅：每一种生物对每一种生态因子都有一个耐受范围，即一个生态上的最高点和最低点，在最高点和最低的之间的范围称为生态幅 光质的生态作用：尽管生物生活在日光全光谱下，但不同的光质对生物的作用是不同的，生物对光质也产生了选择性适应 光合有效辐射：光合作用系统只能够利用太阳光谱的一个有限带，即380-710nm 波长的辐能，这个带对应于辐射能流的最大节 黄化现象：一般植物在黑暗中不能合成叶绿素，但能形成胡萝卜素，导致叶子发黄 植物物种间对光照强度表现出的适应性差异，是已进化的两类值物间的差异：1阳地植物 2阴地植物 动物对光照强度的适应：1昼行动物 2夜行动物自然条件下，动物每天开始活动的时间常常是由光照强度决定的，当光照强度达到某一水平时，动物才开始活动，因此不同季节随着日出日落的时间差异，动物活动时间也有变化 生物光周期现象：植物的开花结果，落叶及休眠，动物的繁殖，冬眠，迁徙和换毛换羽毛等，是对日照长短的规律性变化的反应。 植物的光周期现象：1 长日照植物：日照超过某一数值或黑夜小于某一数值时才能开花的植物 2 短日照植物：日照小于某一数值或黑夜长于某一数值时才能开花的植物 3 中日照植物：昼夜长度接近相等才能开花的植物 4 日中性植物：开花不受日照长度影响的植物 动物的光周期现象：A繁殖的光周期1 长日照动物 2 短日照动物 B昆虫滞育的光周期现象 C换卖鱼换羽毛的光周期现象 D动物迁徙的光周期现象

分式知识点总结

分式知识点总结 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 2.分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。 3.分式值为零的条件： 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。 （分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.） （分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检 验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。） 4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不 变。 用式子表示为（），其中A、B、C是整式 注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误； （3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式C； （4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。 5.分式的通分： 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成 相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点： （1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的； （2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； （3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。 6.分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。 （1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母 分解因式，然后再约分； （2）找公因式的方法： ①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就 是公因式； ②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）； （2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前； （3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母； 7.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是： 提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘， 然后约去公因式，化为最简 分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分， 然后再相乘； （2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

八年级数学上册第15章分式小结与复习导学案无答案新版新人教版

分式小结与复习 【学习目标】： 了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。 学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。 学习难点 ：分式方程的应用。 学习过程 ： 一、知识点复习： 1. 分式的概念 （1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件： 分式的分母不能为 0，即A B 中， B ≠ 0 时，分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00A B =??≠?时，A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。 A A M B B M ?=?, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分 （1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母; （3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母 ①取各分母系数的最小公倍数。 ②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。 ③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 ④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 7. 分式的约分 （1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。 8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为：a a a b b b -==--；a a a a b b b b ---=-==-- 9. 分式的乘除法则 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

生态学研究方法知识点总结

生态学研究方法知识点概括 第一章绪论 1.生态学研究的基本方法： ①原地观测 ②受控实验 ③生态学研究方法分析 2.原地观测的容： ①野外考察 ②定位观测 ③原地实验 3.生态学综合研究的研究方法： ①资料的归纳和分析 ②生态学的数值和排序 ③生态学的数学模型和仿真 4.生态学研究的基本指导思想： ①层次观 ②整体论 ③系统学说 ④协同进化 5.生态学研究的组织层次 基因—细胞—器官—个体—种群—群落 6.名解： 受控实验：是在模拟自然生态系统的受控生态实验系统中，研究单项或多项因子与相互作用及其对种群或群落影响的方法技术 协同进化：两个或多个物种在种群动态上的相互影响彼此在进化过程和方向上的相互作用，包括生物与生物之间和生物与环境之间的协同进化 7.原地观测：指在实地对生物与环境关系的考察 第二章野外环境生态因子的观测 1.名解： 环境因子：组成环境的所有要素的总和 生态因子：指环境中对生物的生长，发育，生殖，行为和分布有着直接或间接影响的环境要素 地形因子： 气候因子： 溶解氧：在水中溶解分子态的氧 电导率：电导反应了水中含盐量的多少，水越纯净，含盐量越少电阻越大，电导越小。 色度：颜色，浊度，悬浮物等都是反应水体外观的指标 2.生态因子的分类 按生命特征：（1）生物因子（2）非生物因子 按性质分：（1）气候因子（2）土壤因子（3）生物因子（4）地形因子（5）人为因子 按种群数量变动的影响：（1）密度制约因子（2）非密度制约因子

按生态因子稳定性：（1）稳定因子（2）变动因子 3.地形因子包括哪些？ 地理位置海拔高度海陆位置经纬度坡度 4.气候因子包括那些数据？ 太阳辐射强度光照强度空气温度空气湿度土壤温度大气降水风速风向降水量 5.地温（土壤温度）用曲管地温表测量；大气降水用雨量器和雨量计测量；空气湿度用温度计或干湿球温度表测量。 6.水样的采集：现场测定的有PH值、电导率和溶解氧。 7.色度的测量方法： ①铂钴标准比色法 ②稀释倍数法 ③分光光度法 8.了解GPS 统，称为全球卫星定位系统，简称GPS。GPS是由美国国防部研制建立的一种具有全方位、全天候、全时段、高精度的卫星导航系统，能为全球用户提供低成本、高精度的三维位置、速度和精确定时等导航信息，是卫星通信技术在导航领域的应用典，它极提高了地球社会的信息化水平，有力地推动了数字经济的发展。 第三章生态学观测的取样设计 1.取样的定义与类型：抽取其中一部分作为样本来获取数据并进行分析，进而推断总体的特征，这个过程成为取样。 ①主观取样 ②客观取样（概率取样法） 2.客观取样包括哪些取样方法并了解各取样方法： ①随机取样：样方的设置是随机的，即每一样品单位被抽取的机会是相等的；一般随机取样的方法是将研究地区放入一个垂直坐标中用成对的随机数作为坐标值来确定样方的位置。（缺点：在实际研究中往往难以确切设置，尤其是地形复杂等地；优点：可用于统计分析）②系统取样：根据某一规则系统的设置样方，也叫规则取样；在大多数情况下，先用地形等因素确定第一个样方设置（优点：取样简单，样品分布普遍，代表性强，在植被变差较小的情况下效果好；缺点：好坏不能客观评价，数据也不能进行统计分析） ③限定随机取样（系统随机取样）：是系统取样和随机取样的结合，兼有二者的优点，先用系统法将研究地段分成大小相等的区组，然后在每一小区再随机地设置样方（优点：每个区组每个样品被抽取的机会更大，且数据可进行统计分析；缺点：在野外可能更费时间） ④分层取样：将研究地段按自然的界限或生态学标准分成一些小的地段，小地段的划分不是统计学方法，而是自然的界限或生态学的标准（优点：简便易做，也是应用最多的方法；缺点：小地段的大小一般是很难知道的，不等的所以难以进行统计分析） ⑤集群取样：是一种二维水平取样，即首先随机选取样点，在每一个样点取一些样方（而不是一个样方），在这特殊调查中更有效，可有多种设计方案，根据所研究的对象不同而有差异 ⑥环境因子取样：对环境因素，某些因子的值只与样方位置有关 3.群落的最小面积的定义及几种需要了解的群落最小面积

第十五章分式知识点归纳与整理

第十五章分式知识点归纳与整理 §15.1分式 1.分式的概念 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分 子,B 叫做分式的分母 整式和分式统称有理式。 情况 需要满足条件？ 例子 分式B A 有意义 分母0≠B 已知 当x 为何值时，分式有意义? 分式B A 的值为0 分母0≠B 且分子A=0 已知 当x 为何值时，分式值为0？ 特别注意：1 π不是分式。 2.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 M B M A M B M A B A ÷÷=??=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式） 【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。 【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。 2 42+-x x 2 42+-x x

方法 例子 找 公因式 （1）分子分母是单项式时，先找 分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 （2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的方法找公因式 找 最简公分母 若分母为单项式： 1.找各分母系数的最小公倍数。 2.找各分母所含所有因式或字母 的最高次幂。 3.所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积。 若分母为多项式： 1.先把分母因式分解。 其余步骤同分母为单项式。 ⑵ §15.2 分式的运算 1.分式的乘除 【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。 【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2.分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。 3.分式的乘方 【乘方法则】n n n b a b a =?? ? ?? 【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。 【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。 3 43123) 1(ab c b a -2 222444) 2(b a b ab a -+-231 x xy 125 ⑴ ， 4 ,)2(12 2—x x x -

分式及分式方程知识点总结

分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解 一、分式 1、分式的概念 一般地,用A 、B 表示两个整式，A ÷Ｂ就可以表示成B A 的形式,如果B 中含有字母,式子B A 就叫做分式。其中,Ａ叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 (1）分式的基本性质: 分式的分子和分母都乘以(或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算法则 ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? );()(为整数n b a b a n n n = ;c b a c b c a ±=± bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是: (１)去分母,方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 (3）验根：将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根，应该舍去；若不等于零,就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值 【例1】(２0１5·黑龙江绥化）若代数式6 265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=___＿_____. 【点睛】分式6 265x 2-+-x x 的值为零则有ｘ2-5x ＋6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】 1.要使分式x 1x 2 +-有意义,则x 的取值应满足( ) A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=- ２.（2０15·湖南常德)若分式211 x x -+的值为０，则x ＝ 考点典例二、分式的化简 【例2】化简：2x x x 1x 1 ---=（ ） Ａ、0 B 、1 C 、x Ｄ、 1 x x - 【点睛】观察所给式子,能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果. 【举一反三】 1．化简22 a b ab b a --结果正确的是【 】 2.若241()w 1a 42a +?=--，则w ＝（ ）

生态学各章小结整理.

生态学课后小结 题型：单选20分，填空20分，多选10分，名词解释15分，问答20分，综合分析15分 绪论 生态学是研究有机体与环境相互关系的科学。环境包括非生物环境和生物环境。生物环境分种内的和种间的，或种内相互作用和种间相互作用。按生物组织划分，生态学家最感兴趣的研究对象是有机体(个体)、种群、群落和生态系统。生态学是在很广泛的尺度上进行研究的。现代生态学承认的尺度有空间尺度、时间尺度和组织尺度。生态学研究的方法分为野外的、实验的、和理论的三大类。 1 生物与环境 环境的概念是对应于特定主体而言，因此不同学科对环境的范围有不同的理解。生物生活的环境，是指生物体周围影响该生物生存的全部因素。环境可以分为大环境和小环境，大环境影响了生物的生存与分布;小环境直接影响到生物的生活，更受生态学研究重视。 生态因子是指环境要素中对生物起作用的因子。环境中有多种多样的生态因子作用于生物。每种因子不是孤立的、单独的存在，总是相互联系、相互制约综合性地对生物作用。生态因子有主次之分，并非等价的，并有阶段性作用，有不可替代性和补偿性作用。 环境生态因子影响了生物的发育、生长、繁殖和生存，生物的存在又改变了生态环境。 最小因子定律指出低于某种生物的最小需要量的生态因子，成为该生物生存的限制因子。’事实上，任何生态因子，当接近或超过某种生物的耐受极限，而阻止生物生存、生长、繁殖或扩散时，都成为限制因子。当一种生态因子在数量上或密度上的不足或过多，即当其接近或达到某种二生物的耐受限度时，会影响该种生物的生存与分布。 生物的生态幅反映了生物对生态因子的耐受范围，通过生物驯化和维持体内环境稳定，可调整和扩大生物对生态因子的耐受范围，提高适应能力。 2能量环境 太阳辐射能到达地球表面，带来光和热，成为地球上的能量环境。由于太阳高度角大小不同，地球轴心倾斜的位置、地面的海拔高度、朝向和坡度等不同，导致地球表面不同纬度、不同海拔、不同季节，太阳辐射的时间、强度及光质呈昼夜节律及年周期性变化。地表温度差异的形成主要取决于太阳辐射量和地球表面水陆分布，地形变化及海拔高度等也产生了影响，使各地的温度日节律及年周期性变化有所不同。 生物对光的适应表现在三方面:①对光质的选择性适应。如人类和许多脊椎动物能看见的光只是在可见光波范围内，植物光合作用利用的波长在380~710 nm，吸收最强的是红光和蓝紫光，光质影响了光合强度。②植物对光照强度的适应性，表现在阳地植物和阴地植物在生理及形态上的差异，以及C4植物和C3植物光合作用速率的差异。③生物随光照长度的日周期和年周期变化，也出现适应性的昼夜节律与光周期现象。如动物的活动行为、体温变化，植物的光合作用、蒸腾作用等均具昼夜节律变化。根据动/植物繁殖/开花对日照长度的反应，可把动植物分成长日照动/植物与短日照动/植物。动物的换毛、换羽、迁徙均具有光周期现象。光周期成为生物生命活动的定时器和启动器。 生物机体酶的活性有一最适温度范围，超过低温限与高温限，生物将因冰晶冻结或蛋白

分式方程知识点归纳总结

分式方程知识点归纳总结 This manuscript was revised on November 28, 2020

分式方程知识点归纳总结 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字 母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项， 或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的 值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的 值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分 母。 4. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的 符号。 5. 条件分式求值 1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体” 直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。 例：已知 ，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数 法。 例：若 ，则求 6. 分式的运算： 1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的， 按从左到右的顺序运算 5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 7. 整数指数幂. 1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10 ≠=a a ； 2） 任何一个不等于零的数的-n 次幂（n 为正整数），等于这个数的n 次幂的倒数，即 n n a a 1=- （)0≠a bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=n n b a a b )()(=-

(完整版)人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)

分式知识点总结和题型归纳 第一部分 分式的运算 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或? ??<<00 B A ）

分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ） 【例1】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式3 2 +-x x 为非负数. 【例2】解下列不等式 （1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x 题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 思维拓展练习题： 1、若a>b>0,2a ＋2b －6ab=0,则 a b a b +=- 2、一组按规律排列的分式：25811 234,,,,b b b b a a a a --L L （ab ≠0），则第n 个分式为

环境生态学课程总结

课程总结 第一章 环境生态学（Environmental Ecology）的概念；环境生态学发展的重要标志：《寂静的春天》；环境生态学的主要任务； 第二章 第一节：物种（Species）的概念；协同进化概念（coevolution）；生物多样性（Biodiversity）概念及4个层次；影响生物多样性的因素（7点）；Gaia假说的主要论点（5点）； 第三节：光饱和点和光补偿点的概念；短日照和长日照植物概念和例子；Bergman规律和Allen规律；陆生植物和水生植物如何适应环境？环境因子作用的一般特征（5点）；最小因子定律和耐受性定律的概念； 第三章 第一节：种群（Population）和群落（Community）的概念 第二节：种群的基本特征；种群空间分布特征的3种类型；种群的群体特征；种群年龄锥体的3种类型；种群增长的模型（重点了解逻辑斯谛模型）；种群动态中生物入侵（ecological invasion）概念；种群调节理论的几个理论（外源性调节和内源性调节） 第三节：集群的生态学意义（5点）；最小种群原则和阿利规律；高斯假说；生态位（Niche）的概念及内涵（空间生态位、营养生态位；基础生态位和实际生态位）；捕食、竞争、寄生和共生的实例；r-对策和K-对策的在生物学特征和生态学上的差别； 第四节：群落的定义及基本特征；生物群落的结构（生活型life form、生态型ecotype和生长型growth form概念）；群落的边缘效应（edge effect）；群落演替的类型（重点理解原生演替primary succession和次生演替secondary succession）；群落演替的几种类型（重点了解单元顶级论）；演替包含的6个阶段； 第四章 第一节：生态系统（Ecosystem）概念及要素；关键种和冗余种的概念；食物链的分类及相关实例；顶位种、中位种和基位种的概念；生态效率（林德曼定律，10%定律）； 第二节：能量流动的特点（4点）；生物地球化学循环（biogeochemical cycle）概念；流通率的概念；物质循环的类型（水循环、气体型循环和沉积型循环的实例）；氮循环的几个关键过程（固氮作用、氨化作用、硝化作用和反硝化作用）；生态平衡（ecological balance）的概念；生态危机。 第五章 第一节：生态系统服务的概念； 第二节：生态系统服务的主要内容（10点） 第三节：生态系统服务功能价值的特征（6点）；UNEP系统关于生态系统服务功能价值的分类（5种）；内涵（直接价值、间接价值、选择价值、遗产价值和存在价值的内涵）。 第六章 第一节：景观（Landscape）及景观生态学（Landscape ecology）概念；斑块（Patch）、廊道（corridor）、基质（matrix）的概念；斑块的分类及实例；斑块的边缘效应； 第三节：景观异质性（landscape heterogeneity）与景观破碎化（landscape fragmentation）的概念； 第四节：干扰（Disturbance）概念；根据不同角度的分类；人为干扰的主要形式（5点）；干扰的生态学意义（3点）；从景观生态学角度出发，干扰的生态学意义（4点） 第七章 第一节：环境污染物（environmental pollutant）概念；影响毒作用的主要因素（环境因素5点、毒物的礼花性质；个体因素）及如何影响；污染物的独立作用、相加作用、协同作用和

分式知识点总结和题型归纳

分式知识点总结和题型归纳 （一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件 分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ） 【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ） 分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ） （1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；

生态学总概论总结.

第一章绪论 3. 全球变暖：是指地球表层大气、土壤、水体及植被温度年际间缓慢上升。 4. “温室效应”假说：即大气中对地表长波反辐射具有吸收屏蔽作用的气体浓度增加，使较多的辐射能被截留在地球表层而导致温度上升。这些气体被称为温室气体。 6. 全球变暖导致的严重后果：冰川融化，海平面上升，使许多沿海和低洼地区被淹没；物种灭绝，尤其是极地和高山生物的灭绝，生物多样性减少；造成某些疾病发病率升高（如血吸虫，杆状痢疾、钩虫、雅司病和霍乱等）；大大影响食物生产和稳定性，农业生产力和贸易都可能收到影响；影响温带地区国家的能量供求。 7. 酸雨：被大气中存在的酸性气体污染，pH小于5.65的雨称为酸雨，此外还有酸雪、酸雾。 8. 引起酸雨的主要物质是人为排放的SOx（SO2，SO3）（化石燃料燃烧）和NOx（NO、NO2）（机动车排放和硝酸基化肥）。 14. 可持续发展：既满足当代人的需求，又不对后代人满足其自身需求的能力构成危害的发展。 15. 可持续发展的基本思想包括三个方面，即经济持续、环境持续、社会持续。 第二章生态系统 0．系统的基本性质 1. 系统功能整合作用：系统的整体功能不等于它各组分功能的相加，而是一种集体效应，既有各组分的功能，又有各组分之间交互作用产生的新功能，这种整体功能大于部分功能之和的特性称为系统功能整合作用。 4. 生态系统：是在一定时间、空间范围内，生物与生存环境、生物与生物之间密切联系、相互作用，通过能量流动、物质循环、信息传递构成的具有一定结构的功能整体。（ppt） 5. 生态系统4个基本组成成分：无机环境、生产者、消费者、分解者。 6. 就营养方式来说，一个完整的生态系统都由生产者、消费者、分解者和无机环境等4个基本成分所组成。 7. 生态系统的基本功能：能量流动、物质循环和信息传递。 9. 生态系统的类型：生物圈生态系统、水域生态系统、湿地生态系统、陆地生态系统、农业生态系统和城市生态系统。 10. 按人类对生态系统的影响划分：自然、半自然（驯化）、人工 11. 生物圈也叫生态圈，它由大气圈下层、水圈、岩石圈以及活动于其中的生物组成。从距地球表面23km的高空，到地表以下11km的深处，都属于生物圈的范围。 14. 湿地与森林、海洋一起并列为全球三大生态系统。 15. 湿地的效应：调节水循环，湿地还可以容纳地下水和地面水，具有排洪、蓄洪功能；净化环境，湿地成为“自然之肾“，在水分和化学物质循环中具有一定功能，并在下游作为自然和人类废弃源的接收器的功能；调节气候；提供水产，工农业用水。 16. 湖泊湿地是地球上淡水的主要贮存库。 18. 按地带性的气候特点和相适应的森林类型，可分为热带雨林、亚热带常绿阔叶林、温带落叶阔叶林和温带针叶林。 19. 森林生态系统的生态效应： 涵养水源，保持水土；调节气候，增加降雨；防风固沙，保护农田；净化空气，防治污染；减低噪音，美化景观；提供燃料，增加肥源 22. 生态系统服务：是指人类直接或间接从生态系统得到的利益，是对人类生存和生活质量有贡献的生态系统产品和服务。产品是在市场上用货币表现的商品，如食物、原材料等；服务是不能在市场上买卖，但具有重要价值的生态系统性能，如净化环境、保持水土、减轻灾害等。