作业8 函数的连续性
作业8 函数的连续性
1．设)(x f 在点0=x 处连续，且对一切R x x ∈21,适合)()()(2121x f x f x x f +=+ 证明：)(x f 在),(+∞-∞上连续．
证：令120x x ==，得()(0)(0)(0),00f f f f =+= 再令12,x x R x x =∈=?，得()()()f x x f x f x +?=+?
又，则[]()0
lim ()lim ()()x x f x x f x f x f x ?→?→+?=+?=
从而)(x f 在任点x R ∈处连续，即)(x f 在),(+∞-∞上连续．
2．确定常数b a ,的值，使得?????=-≠--+=1
,
11,12)(x x x b ax x f 在1=x 处连续．
解：由已知，
1
11(1)x x f →→-===从而1
lim 40,4,4,4x ax b a b b a b a →+-=+=-=-=-
因此
1
1,4,84
x a
a b →-==
==-=
1． 指出下列函数的间断点及其类型：
（1）)
1(||)(2
2--=x x x
x x f ； 解：该初等函数函数孤立的没定义的点1230,1,1x x x ===-均为间断点，
222200(00)lim 1,(00)lim 1,(1)(1)x x x x x x
f f x x x x →-→+---==-+==---
2222101011
(10)lim ,(10)lim ,(1)2(1)2
x x x x x x f f x x x x →-→+---==+==-- ()221010(1)(10)lim ,(10)lim ,(1)1(1)
x x x x x x f f x x x x x →--→+----==+∞-+==-∞--+--
从而10x =为第一类跳跃间断点，21x =为第一类可去间断点，31x =-为第二类无穷型间断点
（2）|
4
5|ln 3
2)(22---=x x x x f ．
解：1234561,1,3,3x x x x x x ====-==-均为该初等函数函数孤立的没定义的点，因而均为间断点，
()()0,x x f x f x ==因分母为无穷大量而分子趋于有限数。
()3
1
lim lim (),x x f x f x →-→==∞因分母趋向于零而分子趋于有限数。
()()
()()()()2
30
3031318(30)lim
lim
(30)333
49ln 4
4x x x x x x f f x x x →-→--+-+-====
+-+??+- ?
??
()()
()()()()
210
303131(10)lim
lim 8(10)1141ln 4
4
x x x x x x f f x x x →--→--+-+--===-=
-++-??+-
??
?
从而12451,3x x x x ===-=为第一类可去间断点，361,3x x ==-为第二类无穷型间断点
2． 求下列极限：
（1）2013sin cos
lim
(1cos )ln(1)
x x x x x x →+++； 解：原式=0
3sin 33
lim
(1cos )1cos 02
x x x x →==++
（2
）csc π
)
4
x
x x →．
解：原式=1cos 1
24sin cos 1
1
22
cos 2
2sin 24
ππlim(2cos )
lim (1cos )4
2x
x x x
x
x x x
x e →→????
=+=??????
3． 设)(x f 在],[b a 上连续，且)()(b f a f =，证明：存在点),(b a c ∈使得
)2
()(a
b c f c f -+
=． 证：设()()()2b a g x f x f x -=-+
，则()g x 在,2a b a +??
???
?上连续
且()()(
),()(),222a b a b a b g a f a f g f f b +++??
=-=- ???
()()f a f b = ，若()0g a =，则()0,,22a b a b g c a b ++??
==∈ ???
若()0g a ≠，则()02a b g a g +??
<
???
，由零点定理，()(),,0,c a b g c ?∈=
从而有),(b a c ∈使得)2
()(a
b c f c f -+
=． 4． 设)(x f 在],[b a 上连续，证明：在],[b a 上至少存在点ξ，使得∑==n
i i x f n f 1
)(1)(ξ．
证：因为)(x f 在],[b a 上连续，所以在],[b a 上连续可取得最大值和最小值，设它们为,M m ，则对于],[,,,21b a x x x n ∈ ，有(),1,2,,i m f x M i n ≤≤= 从而()()()1
11
11,,n
n n
i i i i i i nm f x nM m f x M f x n n ===≤
≤≤≤∑
∑∑介于两个最值之间，
由闭区间上连续函数的介值定理，在],[b a 上至少存在点ξ，使得∑==n
i i x f n f 1
)(1)(ξ．
数学总结(函数连续性)
命题：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数 关键词：初等函数，定义区间，连续函数 相关词：基本初等函数，复合函数，函数极限 一．6个基本初等函数： ①常量函数②幂函数③指数函数④对数函数⑤三角函数⑥反三角函数 形式： ①f （x ）＝C （C 为常数） ②f （x ）＝x a ③f （x ）＝a x （1,0≠>a a ） ④f （x ）＝log a x （1,0≠>a a ） ⑤f （x ）＝sinx f （x ）＝cosx f （x ）＝tanx …… ⑥f （x ）＝arcsinx f （x ）＝arccosx f （x ）＝arctanx 二．函数连续的定义： 设函数)(x f 在 x 的某个邻域U （ x ）上有定义，若 )()(0lim x f x f x x =→ ，则称函数)(x f 在x 0处连续 注：定义中涉及“)(lim 0 x f x x → ”即为函数之极限 三．函数极限的定义：
为极限 极限存在，且以时当，则称A x )(A )(0::,0,0x 00→<-?<-?>?x f x f x x x εδδε 由此也可用""δε-定义)(x f 在x 0处的连续性： εδδε<-?<-??>?>?)()(::,0,000x x f x f x x 四．初等函数的定义： 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数 要证明原命题，先解决以下几个问题： （Ⅰ）复合函数的连续性 定义：若函数)(x f 在点x 0处连续，函数g （u ）在点u 0连续， u 0 ＝)(0 x f ，则复合函数g （f （x ） ）在点x 0 连续 证明： ∵ g （u ）在点u 0连续 ∴ εεδδ<-?<-?>?>?)()(:,0,00101u u g u g u 而)(x f 在点x 0处连续， 取δδδδε102021' )()(:,0,0<-?<-?>?>=x x f x f x 即δ10)(<-u x f 故：ε<-))(())((0x f g x f g 综上：εεδδ<-?<-?>?>?))(())((:,0,00202x x f g x f g x 即：g （f （x ））在x 0处连续 证毕！ （Ⅱ）反函数的连续性 定义：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数 )(1 y f - 在其定义域[])(),(b f a f 或[])(),(a f b f 上连续且单调性与原函数相同
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第八章多元函数微分学自测题答案
《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=???
=''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=.
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
第八章多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、区域 1.邻域 设P o（x°,y。）是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点P o（X o，y°）距离小于：的 点p（x,y）的全体，称为点p的「?邻域，记为U（P0,、），即 U（P°,、）= ｛P PPo < ｝， 也就是 U （P o,、）= ｛（X, y）丨..（X -X。）2（y - y o）2、｝。 在几何上，U（P o「J就是xoy平面上以点p o（x o,y。）为中心、：-0为半径的圆内部 的点P（x,y）的全体。 2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U（P） E， 则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。 如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，集合E, =｛（x, y）1 vx2+ y2￡4｝中每个点都是E,的内点，因此E,为开集。 如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E ），则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o
设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称点集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，｛(x, y) x + y a 0｝及｛( x, y)d
多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法
高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册
. 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ）
. 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：
第八章多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、 平面点集、n 维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。我下面的资料是从P7开始 的。 2、 在数轴上（一维空间），当0x x →时，只有两种趋近方式：一是x 从左边趋近于0x ，即0x x - →； 二是x 从右边趋近于0x ，即0x x + →。在平面直角坐标系中（二维空间），点(,)x y 趋近于点 00(,)x y 时，即00(,)(,)x y x y →的方式有无穷多种，例如，当(,)(0,0)x y →时，点(,)x y 既可 以沿x 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x + →，也可以沿x 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x - →；点(,)x y 既可以沿y 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y + →，也可以沿y 负半轴趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y - →；同时点(,)x y 也可以沿直线3y x =趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,3)x f x x →；也可以沿正弦函数图象sin y x =趋于点 (0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,sin )x f x x →。我们应该意识到，点(,)x y 还可以 沿着一些不规则的路径趋于点(0,0)。这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里 0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ”这句话的涵义。 3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函 数的极限，如本节例5、7、8这些题型。考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。但是要会判断 (,)(0,0) lim (,)x y f x y A →≠这类题型，就是通过找一条特 殊路径求出它的极限不等于A 。如P8页给出的那个例题： 22 22 22,00,0 (,){ xy x y x y x y f x y +≠++== 4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看 就行了。 5、 习题8——1第 6、7题，结合答案看看就行了。
分段函数连续性讨论书写格式
讨论分段函数在分段点的连续性与可导性涉及分段函数概念、连续概念、导数概念，既是重点，又是难点。建议同学们认真模仿以下3道题的解答过程，注意讨论的函数是整个分段函数()f x ，而不是其中的某段函数（以下解答中标红的不要省了）；务必精准写出连续、导数定义；答题过程较长时最后要加以总结． 例1：讨论20,1,()0 1,x x e f x x ≠?-=?=?在0x =的连续性与可导性． 解： (0)1f =． 020 li l m im (1)()0x x x f x e →→=-=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =不连续，从而也不可导． 例2：讨论20,1,()0sin , x x e f x x x ≤?-=?>?在0x =的连续性与可导性． 解：先讨论连续性． (0)0f =． 因020li l m(1im )0()x x x f x e --→→=-=，且00 lim l s i m ()n 0i x x x f x ++→→==， 得0 lim ()0x f x →=． 因0 lim ()(0)x f x f →=，故 ()f x 在0x =连续． 再讨论可导性． 因021()(0)(01lim )lim 02x x x f x f f x e x --→-→-'=--==， 但00sin l ()(0)(0)im l 1im x x f x f x f x x ++ +→→==-='， 得1()(0) (1)lim 0x f x f f x →-'=-不存在，故 ()f x 在0x =不可导． 总之， ()f x 在0x =连续，但不可导．
第八章多元函数微分法及其应用.doc
第八章多元函数微分法及其应用 一、内容提要 多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时应 注意对比，搞清界同. 1. 基本概念与定理 设函数U = f(P),点P 可以是1,2,3,…丿维的.当n>2时,称此函数为多 ① 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面. ② 二元函数z = /(x,y)在点心(巾,儿)处的极限、连续、偏导数、全 微分的定义及关系. 极限 lim f(x,y) = A ： V^>0,3t> >0,当 X->X0 .v->yo ()< p = J(_r_x ())2 +(y _y ())2 < 6时，有 I f(x, y) - A \0 Ay 二阶偏导数. 类似,可定义三阶以上的偏导数. _ 可微 若全增量A< = f(x 0 + 心,y ()+ Ay) - f(x 0,y 0)町表示为 Az = AAx + BAy + o(p),其中 q 二 J (心尸 +(2\)护， 则称z = f (x, y)在点P 0(x 0,y 0)可微.而AAx + BAy 为函数z = f (x, y)在点 P ()(w )，y ())的全微分，记 作 dA. . =AAx + B^y 定理1若函数z = /(x,y)的二阶混合偏导数f xy (x,y)及 /vx (x,y)在区域D 内连续，贝I 」在该区域内(x, y) = /VA .(x,y) ? 偏导 高阶偏导 —阶偏导数f x (x, y), fy (x, y)的偏导数，称为函数f (x, y)的 a? = /.u-UoO=￡ dydx 空、 dx )
函数的连续性复习--例题及解析
分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(l i m )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根
函数连续性
第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增 量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述， 即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续．
多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微分学总结
`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，
函数的连续性
高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当
左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~
高数教案_函数连续性8
课 题: 函数连续性 目的要求： 掌握函数连续的充要条件及应用 初步掌握间断点的分类及示例 掌握闭区间上连续函数的性质及应用 会利用函数连续性求极限 教学重点： 掌握函数连续的充要条件及应用 教学难点： 掌握函数连续的充要条件及应用 教学课时：2 教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤： 函数的连续性 从图上可看出, ?(x )在x 0间断. 但 f (x )在x 0连续. ?(x )在x 0的极限不存在, 而 00lim ()().x x f x f x →= 定义1. 设f (x )在x 0的某邻域U(x 0)内有定义. 且0 0lim ()().x x f x f x →=则称f (x )在x 0连续, x 0称为f (x )的连续点. 否则称f (x )在x 0间断, x 0称为f (x )的间断点, 或称为不连续点. 因为：0 0lim cos cos x x x x →=：余弦函数在任何点x 0处连续
连续的δ-ε 语言描述：若对?ε >0, ?δ>0,使得当|x -x 0|<δ时, 对应的函数值f (x )满足| f (x ) - f (x 0) |<ε，则称f (x )在x 0处连续. 注: 与极限定义比较, 将"a "换成" f (x 0)" 证：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因，00lim ()lim()0x x f x x --→→=-=，00 lim ()lim ||0x x f x x →→==故 又因为f (0)=0.从而：0 lim ()(0)x f x f →= ()||0f x x x ==故在处连续 定义：设f (x )在x 0的某右邻域0()U x +(某左邻域0()U x - )内有定义, 若0 0lim ()()x x f x f x +→=,则称函数在 0x 处右连续, 若0 0lim ()()x x f x f x -→=,则称函数在 0x 处左连续. 定理1. f (x )在x 0处连续? f (x )在x 0左连续且右连续. 上例证明：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因=f(0)，00 lim ()lim()0x x f x x --→→=-==f(0), ()||0f x x x ==故在处连续 注：判断x 0处连续的步骤：1，x 0处是否有定义，2，左右极限是否存在，3，左右极限是 否相等，4，极限值是否等于函数值. 到某一步不成立时，不执行下一步骤。 ()f x 在区间内连续： 如果()f x 在区间(,)a b 内每一点都是连续的，就称()f x 在区间(,)a b 内连续，记作 f (x )∈C (a , b ).若()f x 在(,)a b 内连续，在x a =处右连续，在x b =处左连续， 则称()f x 在[,]a b 上连续，记作 f (x )∈C [a , b ]. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线． f (x )在x 0处连续的增量描述： 函数的增量 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 0x 变到0x x +?时，函数 y 相应由0()f x 变到0()f x x +?，函数相应的增量为00()()y f x x f x ?=+?-. 其几何意义如右图所示．
函数的连续性及极限的
第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义， lim x x →f (x )存在，且0 lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0 lim x x →f (x )存在； (3)0 lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点 的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0 处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)， ) ()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。 ②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。 4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义： 如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数 f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在 函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限
存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )， 在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义： 如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有 + →a x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有- →b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x ) 在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、 问题讨论 ●点击双基 （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A
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