2019年高考数学命题热点全覆盖专题09导数与不等式的解题技巧文

专题09 导数与不等式的解题技巧

一．知识点

基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数

①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________；

③(x 2

)′＝________； ④? ??

??1x ′＝________；

⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式

①(x n

)′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x

)′＝________； ⑤(a x

)′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________．

【详解】如图所示，直线l 与y ＝lnx 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ|即为所

求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x ＝1.故P(1,0)．由点到直线的距离公式得|PQ|min=＝，

故选C.

（三）构造函数证明不等式

例3．【山东省烟台市2019届高三数学试卷】已知定义在（﹣∞，0）上的函数f （x ），其导函数记为f'（x ），若

成立，则下列正确的是（ ）

A．f（﹣e）﹣e2f（﹣1）＞0 B．

C．e2f（﹣e）﹣f（﹣1）＞0 D．

【答案】A

【分析】由题干知：，x＜﹣1时，2f（x）﹣xf′（x）＜0．﹣1＜x＜0时，2f（x）﹣xf′（x）＞0．构造函数g（x）=，对函数求导可得到x＜﹣1时，g′（x）＜0；﹣1＜x＜0，g′（x）＞0，利用函数的单调性得到结果.

练习1．设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式

恒成立，若，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小.

【解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，

故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以

，，，根据单

调性有.故，即，故选D.

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

练习2.设函数，的导函数为，且满足，则（）

A． B．

C． D．不能确定与的大小

【答案】B

【解析】令g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，

【详解】令g（x）=，

则g′（x）==，

∵xf′（x）<3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）<0，

∴g′（x）<0在（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递减，

∴g（）>g（），即>，则有

故选B.

练习3.定义在[0，+∞）上的函数满足：．其中表示的导函

数，若对任意正数都有，则实数的取值范围是（）

A．（0，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[4，+∞） D．[4，+∞）

【答案】C

【解析】由可得，令

，则，利用导数可得函数在区间上单调递减，从而由原不等式可得

，解不等式可得所求范围．

【详解】∵，

∴，当且仅当且，即

时两等号同时成立，

∴“对任意正数都有”等价于“”．

由可得，

令，则，

∴．

令，

则，

∴当时，单调递增；当时，单调递减．

∴，

∴，

∴函数在区间上单调递减，

故由可得，

整理得，解得或．

∴实数的取值范围是．

故选C．

【点睛】本题难度较大，涉及知识点较多．解题的关键有两个，一是求出的最小值，在此过程中需要注意基本不等式中等号成立的条件，特别是连续两次运用不等式时要注意等号能否同时成立；二是结合条件中含有导函数的等式构造函数，并通过求导得到函数的单调性，最后再根据单调性将函数不等式转化为一般不等式求解．主要考查构造、转化等方法在解题中的应用．

（四）不等式中存在任意问题

例4．【安徽省皖南八校2019届高三第二次（12月)联考数学】已知函数，

，对于，，使得，则实数的取值范围是

A． B．C． D．

【答案】D

【解析】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得.

【详解】对于，，使得,

等价于

，

因为是增函数，由复合函数增减性可知

在上是增函数，

所以当时，，

令，则，

若时，，，

所以只需，解得.

若时，，，

所以只需，解得.

当时，成立.

综上，故选D.

练习1.已知函数，函数（），若对任意的，总存在

使得，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.

【详解】由题意，函数的导数为，

当时，，则函数为单调递增；

当时，，则函数为单调递减，

即当时，函数取得极小值，且为最小值，

又由，可得函数在的值域，

由函数在递增，可得的值域，

由对于任意的，总存在，使得，

可得，即为，解得，故选B.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在

的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

练习2．函数，，若对，，，则实数的最小值是_________．

【答案】14

【解析】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数f（x），g（x）的最值，将问题转为求f（x）min≥g （x）min即可．

【详解】，在递减，在递增，所以

，在单调递增，，由已知对

，，，可知只需f（x）min≥g（x）min

即

练习3．已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】存在，使得对任意的，恒成立，即，由在

上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由，可求得的范围；

【详解】的定义域为，，

当时，，，为增函数，

所以；

若存在，使得对任意的，恒成立，

即，

，

当时，为减函数，，

∴，，

∴

故答案为：.

【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

（五）数列与不等式

例5．【湖北省武汉市2019届12月高三数学试题】等差数列的前项和，若，

，则下列结论正确的是（）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】设f（x）=x3+2 018x判断函数的奇偶性以及函数的单调性，然后判断a8+a2011=2，且a2011＜a8，推出结果．

【详解】设f（x）=x3+2 018x，则由f（﹣x）=﹣f（x）知函数f（x）是奇函数．

由f′（x）=3x2+2 018＞0知函数f（x）=x3+2 018x在R上单调递增．

因为（a8﹣1）3+2 018（a8﹣1）=1，（a2011﹣1）3+2 018（a2011﹣1）=﹣1，

所以f（a8﹣1）=1，f（a2011﹣1）=﹣1，得a8﹣1=﹣（a2011﹣1），

即a8+a2011=2，且a2011＜a8，

所以在等差数列{a n}中，S2018=2 018?=2 018?=2 018．

故选：A．

（六）极值点偏移与证明不等式

例6．【福建省福州市2018-2019学年高三第一学期质量抽测】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：.

【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析

【解析】（1）求出的导数，求得切线的斜率，由得切点由点斜式方程可得切线的方程；

（2）（ⅰ）函数与函数的图像总有两个交点转化为函数有两个零点的问题，进而研究的导数及图像即可.

（ⅱ）先由（ⅰ）得的单调性，分析出、不可能在同一单调区间内；设，将导到

上，利用函数在上单调性，欲证,只需证明，结合，只需证明.再构造，结合单调性即可证明结论．

【详解】（1）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲线在点处的切线方程为：.

（2）（ⅰ）令，

∴，

由得，；由得，易知，为极大值点，

又时，当时，

即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.

由题意，只需满足，

∴的取值范围是：

（ⅱ）由题意知，，为函数的两个零点，由（ⅰ）知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，

只需证明，而，

所以，只需证明.

令，则

∴.

∵，∴，即

所以，，即在上为增函数，

所以，，∴成立.

所以，.

【点睛】

本题属于极值点偏移问题，主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，教学中的重点和难点．

练习1．已知函数的极小值为.

（1）求的值；

（2）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论；（2）求出后把用，

表示，再把与作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最小值大于0，从而得到，运用同样的办法得到，最后得到要证的结论.

【详解】（1）显然，，令，解得.

当时，若，为减函数；

若，为增函数,∴在处取得极小值，∴解得

当时与题意不符，综上，.

（2）由（1）知，，

∴,∴，即.

=.

设，则

再设，则，在上是减函数

∴，即，又

∴ ，即，∴，∴,

同理可证得, ∴.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；解题的

关键亦为其难点即通过构造函数和，利用函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型．

练习2．已知函数，.

(Ⅰ)当时，求函数在区间上的最值；

(Ⅱ)若，是函数的两个极值点，且，求证：.

【答案】(Ⅰ) 最小值为，最大值为；(Ⅱ)证明见解析。

【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，运用导函数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．

（Ⅱ）x1，x2是函数的两个极值点，所以（x1）＝（x2）＝0．令通过及

构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，推出,所以

，即可证明结论．

【详解】

(Ⅰ)当时，，函数的定义域为，

所以，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以函数在区间上的最小值为，

又，

显然

所以函数在区间上的最小值为，最大值为.

(Ⅱ)因为

所以，因为函数有两个不同的极值点，

所以有两个不同的零点.

因此，即有两个不同的实数根,

设，则,

当时，，函数单调递增；

当，，函数单调递减；

所以函数的最大值为。

所以当直线与函数图像有两个不同的交点时，，且

要证，只要证，

易知函数在上单调递增，

所以只需证,而，所以

即证，

记，则恒成立，

所以函数在上单调递减，所以当时

所以，因此.

练习3.已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】 (1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；

(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.

【详解】（1）的定义域为，.

（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（ii）若，令得，或.

当时，；

当时，.所以在单调递减，在

单调递增.

（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于

，

所以等价于.

设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.

所以，即.

【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.

练习4.已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若有极值，对任意的，当，存在使，证明：

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】（1）求导数后根据a可分类讨论，找到导数大于零、小于零的解即可求出单调区间;

（2）由（1）有极值，则，由题设化简得，作差比较

，构造函数

，利用导数可得，进而可得，再利用由

知在上是减函数，即可得出结论.

【详解】

（1）的定义域为，

.

①若，则，所以在上是单调递增.

②若，当时，，单调递增.

当时，,单调递减.

(2)由（1）当时，存在极值.

由题设得

又，

设.则.

令，则

所以在上是增函数，所以

又，所以，

因此

即

又由知在上是减函数，

所以，即.

（七）构造函数

例7．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸考】已知函数.（1）讨论的单调性；

（2）当,为两个不相等的正数，证明：.

【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区

间内为减函数；（2）见解析.

【解析】 (1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数

增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于

，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.

（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，

令，则原不等式也等价于即..

下面证明当时，恒成立.

设，则，

故在区间内为增函数，，即，

所以.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高

考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 练习1.设函数.

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）对函数图像上任意两个点，，设直线的斜率为（其中为

函数的导函数），证明：.

【答案】（1）（2）证明过程详见解析

【解析】（1）恒成立即，利用导函数研究函数的单调性与极值即可；

（2）由要证，即证，令，，即证

.

【详解】（1）解法一：

，

，

在为减函数，在为增函数.

∴，

由已知，

所以所求范围为.

实数的最大值为.