高考创新题的解法(续) (2)
高考创新题的解法（续）
以此类推f (n )=f (n -1)+(1)2n n +,于是累加得f (n )=1[26(1)]2n n ++++ =2221
[(12)(12)]2
n n ++++++ =
(1)(2)6n n n ++。所以答案应填10；(1)(2)
6
n n n ++.
点评 将数列的通项公式、数列的求和融合到2006年4月24至5月1日举行的世乒赛这一实际情景当中，重点考察累加法求通项公式和常规数
列的求和，此外观察分析数据的能力也是本题考查的一个重要方面。当然要顺利解出此题，个人的空间想象能力也是一个非常重要的方面，要求考生在头脑中能清晰建立起“堆成正三棱锥”这一空间模型，并要注意相邻两堆个数变化的根本原因.
2. 若01
>a 、11≠a ，n
n
n a a a +=
+121),,(，?=21n
(1)求证：n n a a ≠+1
；
(2)令2
1
1=
a ，写出2a 、3a 、4a 、5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ； (3)证明：存在不等于零的常数p ，使}{
n
n a p
a +是等比数列，并求出公比q 的值.
讲解 (1)采用反证法. 若
n n a a =+1，即
n n
n
a a a =+12, 解得 .10，=n a 从而1011,===??==-a a a n n 2a 与题设
01>a ,11≠a 相矛盾，
故n n a a ≠+1成立.
(2) 211=
a 、322=a 、543=a 、984=a 、1716
5=a , 1221+=-n n a . （3）因为n n n n a p a p a p a 2211++=+++)( 又q a p
a a p a n
n n n ?+=+++11
,所以02122=-+-+)()(q p a q p n , 因为上式是关于变量n a 的恒等式，故可解得2
1
=
q 、1-=p . 3.观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=
4
3,sin 215°+cos 245°+sin15°cos45°=
4
3，
写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 答案：
sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=
4
3
四、类比型
类比在数学解题中有着十分重要的作用。
类比推理可用如下图式描述：根据(
)()
A类对象模型具有a b c d属性B类对象原型具有a b c 属性,,,,',',',??
???
其中a b c '''
,,分别与a b c ,,相同或相似，
推论：B 类对象也具有与d 相同或相似的属性d '
。
这种题目的特点是给出一个数学情境或一个数学命题，要求解题者发散思维去联想，类比，推广，转化，找出类似的命题，推广的命题，深入的命题. 常用的类比有： 1、平面与空间的类比
1.（2002年上海春季高考）如下图．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点
12M M 、与点12
N 、N
，则三角形面积之比
1122
11
22
OM N OM N S OM ON S OM ON ??=
?．若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点1
2P P 、，点12Q Q 、和点12R R 、，则类似的
结论为：_______
111222
111
222
O PQ
R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=
??_______________________．
把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，也利于化难为易，启迪思维。 如，关于勾股定理，可有几个类比：
勾股定理：在直角边长为a,b ，斜边长为c 的直角三角形中，有 a
b c 2
22+=
类比1：长、宽、高分别为p,q,r,对角线长为d 的长方体中，有 p q r d 2222++=
类比2：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q,r,长方体对角线长为d ，则有 p q r d 2222
2++=
类比3：四面体交于一个顶点O 的三条棱两两互相垂直，与O 相邻的三个面的面积分别为A ，B ，C ，与O 相对的面的面积为D ，则有：
A B C D 2222++=
我们知道正三角形内任一点P 到各边距离之和为常数。分别从三条边相等与三个角相等类比，“在各边相同的凸多边形内任一点P 到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P 到各边距离之和为常数”。可以证明这两个命题都是正确的（利用面积法证明）。
在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则
2
222BCD AD B ACD ABC S S S S ????=++.”
提醒：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … …
2.同类之间类比（椭圆与双曲线类比） 2.若数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n =
*12()n
a a a n N n
+++∈ ，则{b n }也为等差数列.类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数
列，且c n >0，数列{d n }满足d n = ，则数列{d n }也为等比数列. 答案：d n （n ∈N *）
3.（2000年上海市高考试题）在等差数列{an}中，若 a10= 0 ,则有等式a1 + a2 + … + an = a1 + a2 + … + a19-n (n ＜19 , n ∈N +)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9= 1 ，则有等式__________________成立．
4.有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.
定理：过圆)0(,222
>=+r r y x
上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1.
（Ⅰ）写出该定理在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 中的推广,并加以证明；
（Ⅱ）写出该定理在双曲线中)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性
结论吗？请写出你的结论.
解：（Ⅰ）设直径的两个端点分别为A 、B ,由椭圆的对称性可得,A 、B 关于中心O （0,0）对称,所以A 、B 点的坐标分别为A （),11y x ,B （),11y x --.
P （),y x 上椭圆122
22=+b
y a x 上任意一点,显然|||||
|||11y y x x ≠≠,
因为A 、B 、P 三点都在椭圆上,所以有
2221221222
12
211b a y a x b b
y a x =+=+, ①
2222222
2
221b a y a x b b y a x =+=+, ②.而2
122121
11
1
x x y y k k x x y y k x x y y k PB PA PB PA --=
?++=
--=, 由①－②得：2
2222211()()0,b
x x a y y -+-=
2
2
2
1222
1
y y b
x x a -∴
=-
-.
所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜
率之积为定值22
a
b -.
（Ⅱ）该定理在双曲线中的推广为：过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线
的斜率之积为定值.22
a
b
该定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线)0(12
2≠=+AB By Ax 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,
则两条连线的斜率之积为定值－A B
.
同类之间的类比在圆锥曲线中，常常以姐妹题形式出现，这样对学生思维和素质的考查具有很好的功能，而且题型新颖，避免了传统的考法的单调。
3.与已知数学方法类比 5.设
()2
21+=
x
x f ，利用推导等差数列前n 项和的方法——倒序相加法，求
()()()()()65045f f f f f +++++-+- 的值
为_______________。
解：本题类比数学方法，即利用倒序相加法，通过合情猜想即可解决。由()().2
12
212
2111=
++
+=
-+-x x x f x f ()()()()()，
设65045f f f f f S +++++-+-= 又()()()()()，又54056-+-+++++=f f f f f S ∴()()[]2
1265122=+-=f f S ，∴23=S 。
4.与已知概念类比
6.（2004年北京）定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛a n ｝等和数列，且21=a ，公和为
5。那么18a 的值为_______________，这个数列前n 项和n S 的计算公式为
_______________。
分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。 解：∵｛a n ｝是等和数列，21=a ，公和为5，
∴32
=a ，则23=a ，34=a ，…知32=n a ，212=-n a （n ∈N*）。
∴18a ＝3，数列｛a n ｝形如：2，3，2，3，2，3，……。
∴()()???????-=为奇数为偶数n n n n S n 212
52
5
。
评注：这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n 为奇数时，()2
1252125
21-=+-=
+=-n n S S n n
五、存在性型
存在性探索型命题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则假设不成立，若推出结果，则假设成立，即指定的数学对象存在。
一般来说，是否存在型问题，实质上是探索结论的开放性问题．相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论，有些时候须讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的命题者的青睐．
解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性．探索过程要充分挖掘已知条件，注
意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素．
1．已知数列
{}n a 中，11=a ，且对于任意自然数n ，总有21
-=
+n n n a a a ，是否存在实数b a ,，使得n
n b a a ??
?
??--=32对于任意自然
数n 恒成立？证明你的结论．
讲解：n
n b a a ?
?
?
??--=32是一个一般性的结论，为了探求b a ,是否存在，我们可从特殊的n 出发，求出b a ,的值，再检验是否满足一般的
条件．
由11=a ，12112a a a ==--，代入n
n b a a ??? ??--=32，可解得15
95a b ?=-???
?=??
． 代入检验，可知当4n
=时，一方面由21
-=
+n n n a a a 得415a =-，另一方面，由n
n b a a ??
?
??--=32得4
116
545
a =--，矛盾．
所以，这样的实数b a ,不存在．
点评：探索，常常遵循“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维方法．先从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证．
2．已知函数
()21bx c y f x ax +==
+（,,0,a c R a b ∈>是自然数）是奇函数，()f x 有最大值1
2
，且
()2
15
f >
． （Ⅰ）试求函数
()f x 的解析式；
（Ⅱ）是否存在直线l 与()y f x =的图象只交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点的中点为（1，0）点，若存在，求出直线l 的方程；若不
存在，说明理由． 讲解：（Ⅰ）由
()f x 为奇函数易知：0c =．
又因为0,a b >是自然数，所以，当0x
<时，()f x <0；当0x >时，()0f x >．所以，()f x 的最大值
1
2
必在0x >时取得．
当0x
>时，(
)211/bx b f x ax ax x =
=≤
++，等号当且仅当1/ax
x =时取得．
12
=
． 又
()215f >
，所以，
2
15
b a >+．结合0,a b >是自然数，可得：1a b ==． 所以，
()21
x
f x x =+．
（Ⅱ）对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛盾，或者从部分．．结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分．
根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线l ，则P 、Q 的坐标可为P ()00,x y ，()002,Q x y --．
且这两点都在函数()21
x
f x x =+的图像上．即：
()0
020
002
01221
x y x x
y x ?=?+??-?=-?-+?
消去
0y ，得200210x x --=
，解得：01x =．
所以，
1,1
P Q
??
????
或1,1
P Q
??
????
．
所以，直线l的方程为：0
1
4=
-
-y
x．
l的存在性还须通过充分性的检验．
把直线l的方程与函数()21
x
y f x
x
==
+
联立，不难求得，共有三组解：
111
,1
2
x x x
y
y y
??
===
?
???
???
=
==
????
??
－
，
－
．因此，直线l与()
y f x
=的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾．所以，满足条件的直线l不存在．
在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数()
f x的性质（如奇偶性）并没有得到充分的应用．若能充分运用这个已知条件，则可以得到其他不同的探索过程．
解2：设)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
Q
y
x
P，则由)
(x
f为奇函数可知：P关于原点的对称点)
,
('
1
1
y
x
P-
-也在()x f的图像上，又2
,0
2
1
2
1
=
+
=
+x
x
y
y，所以，2
'=
Q
P，且轴
x
Q
P//
'，故问题等价于：
是否存在直线b
y
m=
:，使得m与)
(x
f
y=有两个距离为2的交点．
将b
y
m=
:代入
1
2+
=
x
x
y，解之得：
b
b
x
2
4
1
12
2,1
-
±
=，令2
2
1
=
-x
x，解得：
4
2
±
=
b，2
1
2,1
±
=
x，
所以，
?
?
?
?
?
?
-
-
?
?
?
?
?
?
+
4
2
,2
1
,
4
2
,2
1Q
P，此时直线的方程为
1
4=
-
-y
x
充分性的检验过程同上．
以上两种解法都是从求出直线的方程入手．如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法．
解3：当直线l的斜率不存在时，:1
l x=，此时l与函数()
f x的图像只交于一点，不满足题设，所以，可设直线PQ的方程为：b
kx
y+
=，
与
1
2+
=
x
x
y联立，消去y得：
)1
(
2
3=
+
-
+
+b
x
k
bx
kx（#）
由P、Q关于点（1，0）对称，可得：点（1，0）在直线PQ上，所以，k
b-
=．
对于上述方程（＃），若0
k=，则方程只有一解，不符合题意．
若0
k≠，则方程（#）的实根个数可能为1个或3个．不可能有两个．即过点（1，0）的直线l与()
y f x
=的图象不可能只有两个交点，所以，这样的直线不存在．
点评：敏锐的观察，丰富的想象，是进行有效探索的法宝．
3. 设等比数列{}n a的公比为q，前n项和为n S，是否存在常数c，使数列{}c
S
n
+也成等比数列？若存在，求出常数c；若不存在，请明理由.
讲解存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数c，使数列{}c
S
n
+成等比数列.
2
1
2
)
(
)
)(
(c
S
c
S
c
S
n
n
n
+
=
+
+
+
+
2
1
1
2
2
2(
+
+
+
+
-
-
=
-
?
∴
n
n
n
n
n
n
S
S
S
c
S
S
S
(i) 当1
=
q时，
1
na
S
n
=代入上式得
()[])2
(
)1
(
(
1
)2
(
1
2
2
1
2
1
+
-
-
+
=
+
-
+n
n
n
a
ca
n
a
n
n
a即21a=0
但0
1
≠
a, 于是不存在常数c，使{}c
S
n
+成等比数列.
(ii) 当 1≠q 时，q q a S n n --=1)1(， 代 入 上 式 得 1,)1()1()1()1(12122
21-=∴--=---q a c q q q ca q q q a n
n .
综 上 可 知 , 存 在 常 数 1
1
-=
q a c ，使{}c S n +成等比数列.
等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比1=q 的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !
4. 已知数列))(,(,1,}{11
N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x-y+1=0上.
（1） 求数列{a n }的通项公式； （2）若函数
),2,(1
111)(321≥∈++++++++=
n N n a n a n a n a n n f n
且 求函数f(n)的最小值；
(3)设n n
n
S a b ,1=
表示数列{b n }的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得)()1(1321n g S S S S S n n ?-=++++- 对于
一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.
（1）011=+-+n n a a
.
1,01,,
01,01,
011113221n n a a n a a a a a a a a n n n n =-+==-+-=+-=+-=+-∴-得以上各式相加
（2） n
n n n f 212111)(+++++=
,
2
21121213121)1(+++++++++=
+n n n n n n f 01
1
22122111221121)()1(=+-+++>+-+++=
-+∴n n n n n n n f n f
,)(是单调递增的n f ∴
.12
7
)2()(=
f n f 的最小值是故 （
3
）
n
s n b n n 12111+++=?=
,
,1)1(),2(1
111+=--≥=-∴---n n n n n s s n ns n n
s s 即
1)2()1(221+=---∴---n n n s s n s n .
,12112+=-s s s
,11211-++++=-∴-n s s s s ns n n
.)(),
2()1(121n n g n n s n ns s s s n n n =∴≥?-=-=+++∴- 故存在关于n 的整式,)(n n g =使等式对于一切不小2的自
然数n 恒成立.
事实上, 数列{a n }是等差数列, 你知道吗？
六、解题策略开放型
1．（2006上海）三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数,作出函数图像”．
参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a 的取值范围是 ． 思路分析:采用乙说的思路.∵x ∈[1,12],∴原题等价于x +25x
+|x 2
－5x |≥a 在[1,12]上恒成立. 下面求函数y =x +
25x
+|x 2
－5x |的最小值.
∵x+25
x
≥10(当且仅当x=5∈[1,12]时,取最小值10)
且∵|x2－5x|≥0(当且仅当x=5时,取最小值0),
∴当且仅当x=5时,函数y=x+25
x
+|x2－5x|取最小值10.
从而原题所求a的取值范围是(－∞,10].
点评在传统的求参数的取值范围的基础上糅合三位同学的说法，贴近生活，既考查了明辨是非的能力，也为该题本身降低了难度。知道为什么不采用另外两条思路吗？就甲说的而言,能否在x取同一值时取得最值值得讨论；就丙说的而言,要准确无误作出函数y=x2＋25＋|x3－5x2|的图像比
较困难；只有乙说的是常规思路,但如果观察不出x+25
x
与|x2－5x|在同一处取得最小值这一细节,求解过程也会很复杂.
2.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值）．
讲解：本题为策略开放题，过程需学生自己设计．
由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们
可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2
．不难算得，此时体积为
12
．
作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形．
由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1．
如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2．简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的．
如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2．
综上，共3种情况．如图：
．
高中数学应用题汇总
高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数 有最小值 （注：该题可用基本不等式求最小值。）
2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。 （1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2 一道高考数学几何题的多种解法探究 本文通过一个高考填空题的四种解法着重阐明解析 几何的思想和方法。解法一打破题目所给的坐标系的禁锢，重新建立坐标系另辟蹊径。解法二根据直线AC⊥BD以此建立新的坐标系，这是本题的又一个另辟蹊径。有了参数α，写出新坐标系下的圆的方程，再数形结合用根与系数的关系求弦长。解法三采用直线参数方程，再一次另辟蹊径为解决本题寻求新的方法，其根本目的是便于计算弦长。解法四是几何法，用添加两条垂线的巧妙运用，结合几个重要定理求出弦长，用重要不等式求四边形的最大值。有了这些好方法，使本来很难做的问题得以迎刃而解。 命题：如图⑴已知AC、BD为⊙O：x?+y?=4的两条互相垂直的弦， 垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值是__. 解法一： 由于|OM|= ，考虑到原来的坐标系中两条弦长的计算比较繁琐，因此可改变方法，以 直线OM为x轴，建立新的直角坐标系，此时M的坐标是（，0）。 1.直线AC与BD有一条斜率不存在时，另一条的斜率 为0.不妨设BD的斜率 不存在，则BD⊥x轴，另一条|AC|为直径4，弦|BD|= 此时四边形ABCD 的面积S=1/2|AC|?|BD|=4 2.当直线AC与BD的斜率都存在时，不妨设AC的斜率为k，（k≠0）则BD的斜率为-1/k.所以AC的直线方 k?x-y-k=0，BD的直线方程为x+k?y-=0 。 设O到AC、BD的距离分别是d1，d2，则d1=，d2= 由垂径定理和相交弦定理得|AC|?=4（|AC|/2）?=4（2+d1）（2-d1）=4（4-d1?）类似地可得到|BD|? S?=（1/2|AC|?|BD|）? ∴S ≤ 5. 当k?=1/k?时k=±1时等式成立，此时四边形ABCD的面积S取得最大值5。 坐标系的恰当建立是解析法解题的重要基础和关键，否则会使计算繁琐。本题解法打破题目所给的直角坐标系的禁锢，重新建立坐标系，这就是另辟蹊径的重要途径。然后再综合运用圆的垂经定理和相交弦定理，点到直线的距离公式和重要不等式定理就可解决问题。 解法二：由于AC⊥BD，分别以AC、BD所在直线为x′、y′轴，建立如图新的直角坐标系设∠xMx′=α，则M的坐标为（0，0），O的坐标是（-cosα，sinα），圆的方程是（x′+cosα）?+（y′-sinα）?=4 一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: S?ABCDABCD为平行四边形底面,四棱锥中, CBBCS?A面侧.已知底面2BC?23?SA?SB2?AB45??ABC. ,,,BC?SA; 证明(Ⅰ)SABSD. 与平面所成的角的大小(Ⅱ)求直线下面只列,第一问证法较多,第二问相对作法较少: 举几种第一问的证法AOO?BCSSO. ）垂足为证法一:过（如图作,连接1,?SOCDBC?ABS面底得由侧面底面 ABCDSASBCDAOBOAB内的射,、分别是、在底面影. ?OBOASA?SB? ,又45??ABC?ABO?, 形直,角三角又是等腰?OB?OA. BC?SA. 由三垂线定理得SOOAO?BCA1). 连接如图,垂足为(:证法二过,作?SBCSBCSASOSBC?ABCDAO?且由侧面,在侧面底面内的射 影得是,侧面BO,AO?AO?SO. 45?ABO??SBO????SA?ABO?SBSAOOBOA?. .,在又,中90SOA???SOB??SOOB?. 即BCSA?. 由三垂线定理得 OBCAC连接,记证法三:连接的中点为,ABCAOSO?中2).、在(如图 2BC?245??ABC?2AB?ABC?,,,?BCAO?) .(是等腰直角三角形, 下同证法二OACBC连接的中点为,记,证法四:连接 2BC?245ABO???2AB?ABC?SOAO?ABC是等腰直角,中,,2).、(如图在?BC?AO. 三角形, ??SBCSOSASBCSBCABCDAO?. 在侧面,是又侧面底面,内的射影侧面3?cosSBA?SAB?. 在中易得3． 6???SBCcosCBAcos??cos?SBCcos?SBA. 又3?3SC?SO??BCSBC. 中由余弦定理得,在SA?BC. 由三垂线定理得AAO?BCOSO(如图,连接,垂足为过证法五:1). 作?SOSA?SBCSBCSBC?ABCDAO内的射影侧面由侧面,,底面在侧面得且是AO?SO,AO?BO. OA?OB?245??ABC?2AB?ABO?Rt. ,在中,AOS?SORt??12SA?3,AO?. ,在中BOSSO?1?OB?SO?2BO?SB?3,. 中在,,SA?BC. 由三垂线定理得?SBABCDABCDBCSBC?. ,证法六: 侧面在底面内的射影为底面 3??SBAcosSAB?. 中易得在36?cos?SBC?CBA??SBA?cos?SBCcoscos又. 3 SC?3SBC?. 在中由余弦定理得?AO?ABCDBC?SOBCOAOSOSO?是记则的中点为,连接底面、,(如图1),SAABCD内的射影. 应用题题型归纳 在备考中,需要重点关注以下几方面问题: 1、掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起重视; 2、加强阅读理解能力的培养,对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强; 3、对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视; 4、应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线,如圆,抛物线等围成的图形;空间旋转体等的面积、体积的最值问题 5、熟悉应用题的解题过程:读题、建模、求解、评价、作答、 一、利润问题 1、某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新与 营销策略改革,并提高定价到．x 元.公司拟投入21(600)6 x -万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．． 之与？并求出此时商品的每件定价. 2某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件,现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5、5元/件到7、5元/件之间,经调查,顾客的期望价格为4元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格与顾客期望价格的差成反比,比例系数为k ,该商品的成本价格为3元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。 (2)设2k a =,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？ 3、近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年 的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0、5、 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能与电能互补供电的模式、 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C (与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的 函数关系就是 ()(0,20100k C x x k x = ≥+)、 记F 为该村安装这种太阳能供 电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之与、 (1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式; (2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值就是多少万元? 4、某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件. (Ｉ)求该连锁分店一年的利润L (万元)与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; 2019年高考数学一轮复习最实用的填空题 答题方法 数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一。查字典数学网为大家精心准备了最实用的 最实用的填空题答题方法，供大家参考学习，希望对大家有所帮助! 填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。 一、直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等 过程，直接得到结果。 例1设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。例2已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是。解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。 例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。 解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是 一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。 例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则。 解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。 例5 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点， 函数、不等式型 1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3 a y x x = +--，其中3 一道高考选择题的多种解法 题目：两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（ ） A. 45 B. 30 C. 5.22 D. 15 解法一：力矩平衡 辅助线如图所示，其中ON 垂直ab ，OM 垂直水平虚线，则θ=∠MON 。又由于R ab 2=，所以三解形aOb 为等腰直角三角形。以O 点为转轴，用力矩平衡原理有（图中未做出转轴到力的作用线的距离）： ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin gR m gR m b a 整理得 ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin 3…………………………（1） 将四个选项代入可知，选项D 正确。 附：若将上面的（1）式展开来看，可以直接求出关于关于θ的三角函数值，但从下面的计算可以看出，这样做来选择正确选项，并不是容易的。 θθθθcos 2 2sin 22sin 223cos 223+=?-? 整理可得： 32tan -=θ 图2 图1 可以很容易的知道A 和B 是不正确的，但由于我们没有记住C 和D 的角度的正切值，所以说不易找到结果。这说明了解选择题和解答题的解法是不同的。 解法二：共点力平衡——正弦定理 受力分析如图3所示，由于两物体处于平衡状态，所以所受到的三个力将分别构成封闭的三角形。 由两直线平行，同位角相等，可知a 、b 两物体所受支持与直方向的夹角分别为θπ -4和 θπ +4。在两个三角形中分别用正弦定理，有 4sin 4sin 1π θπg m F =??? ??- (2) 4sin 4sin 2π θπg m F =??? ??+ (3) （2）式除以（3）式，整理可得 34sin 4sin 12==?? ? ??-??? ??+m m θπθπ 将四个选项分别代入上式可以找到正确答案。 解法三：共点力平衡——正交分解法 如图对a 进行受力分析并建立直角坐标系。由共点力平衡条件可知 图4 图3 高考数学填空题怎么填 浙江泰顺县第一中学（325500）曾安雄 除了上海卷外，高考数学填空题是在高考试卷中的第二部分（或Ⅱ卷），在近两年的高考中其题量已稳定在4道，每道4分，计16分，占总分的%．填空题是数学高考中的三种题型之一，属于客观题，它与选择题不同的是没有偶然性，与解答题不同的是没有书写过程. 因此解这类问题需注意以下四项：审题要仔细，要求要看清，书写要规范，小题要小(巧)做． 一、审题要仔细 这是解答好填空题的前提，要从看清题目中的每一个字、词、数据、符号，到理解题意、分析隐含条件、寻找简洁的解题方法，以及推理运算做到准确无误.例1 抛物线y ＝ax 2 (a ＞0) 的焦点坐标是_____. 解析 这是一道容易题，但若审题不仔细或推演粗心，极易把结果写 ,02a ?? ???，,04a ?? ???或10,2a ?? ?? ?．实际上，所给的抛物线属x 2 ＝2py 型，故应先化为标准式，得x 2 ＝ 1a y ，从而求得焦点为10,4a ?? ??? ． 例2(2002年北京高考题) 关于直角AOB ∠在平面α内的射影有如下判断：①可能是?0的角； ②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是?180的角．其中正确判断的序号是 （注：把你认为正确判断的序号都填上）． 解析：审题时要仔细，括号内提示：把你认为正确命题的序号都填上，有些同学只填其中的一个或两个等部分正确命题，则就被扣分；其实对于肯定一个命题，需要严格又缜密的的证明（可借助于课本中的正确命题而达到快速判断），而否定一个命题，只需举一反例即可．本题逐一判断，显然五种情形都有可能，故填①②③④⑤． 二．要求要看清 对要作答的要求要看清楚，如“正确的是”、“不正确的是”、“精确到”、“用数字作答”、“填上你认为正确的一种条件即可”、“把你认为正确的命题的序号都．填上”、“结果保留π”等，由于填空题没有解答过程，没有步骤分，一笔失误则徒劳无功、前功尽弃． 例3 ⑴在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_____m (精确到． ⑵不等式x x 28 3312-->? ? ? ??的解集是___________． ⑶ (x ＋2)10 (x 2 －1)的展开式中x 10 的系数为_________（用数字作答）． ⑷把半径为3cm ，中心角为23 π的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积是_______cm 3 (结果保留π)． ⑸如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中， 当底面四边形ABCD 满足条件____________时， 有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种 条件即可，不必考虑所有可能的情形．) ⑹关于函数f (x )=4sin(2x ＋ 3 π )(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； 一道高考题的五种解法-中学数学论文 一道高考题的五种解法 高成龙 （首都师范大学数学科学学院，北京100048） 摘要：数学被称为思维的体操，一题多解可以透过多个角度来审视一道题目，对学生的解题能力有很大提高。本文通过对一道高考题进行深入分析，得出五种解法，拓展了解题思路，培养学生探究式学习的兴趣。 关键词：三角函数；一题多解；高考 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0025-01 题目：（2012年全国大纲卷·理7）已知α为第二象限角，且si nα+cosα=33，则cos2α=（） A.－53 B.－59 C.53 D.59 分析一：利用三角函数基本公式sin2α+cos2α=1，联立方程组来求解得sinα,cosα的值，进而求得cos2α的值. 解法一：sin2α+cos2α=1（1），sinα+cosα=33（2），联立（1）式与（2）式消去cosα得：2sin2α－233sinα－23=0， 求得sinα=3+156或sinα=3－156. 又由题设α为第二象限角，所以sinα0，即sinα=3+156 ，代入（2）式得cosα=3－156，由cos2α=cos2α－sin2α得cos2α=－53，选A. 分析二：在解法一中求得sinα的值之后，无需在求cosα，直接利用cos2α=1－2sin2α来求cos2α的值. 解法二：由解法一求得sinα=3+156，由cos2α=1－2sin2α得cos2α=1－ 2sin2α=1－23+1562=－53，选A. 分析三：根据sinα+cosα=33先求得sin2α的值，进而求得cos2α的值. 解法三：因为sinα+cosα=33，将其两边完全平方得: sinα+cosα2=1+sin2α=13，解得:sin2α=－23，利用sin22α+cos22α=1得cos2α=±53，由题设α∈π2,π，则2α∈π,2π，即2α位于第三或第四象限，这样cos2α的符号不唯一，因此这种方法不能确定cos2α的符号. 下面从另一个角度来确定cos2α的符号：根据二倍角公式cos2α=cos2α－sin2α=cosα+sinα·cosα－sinα，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，从而cosα－sinα0，另外sinα+cosα=330，因此cos2α0，从而cos2α=－53，选A. 分析四：解法思路同解法三相同，区别在于判断cos2α的符号取决于cosα与sinα的大小. 解法四：同解法三实质一样，求得cos2α=±53，下面来判断cos2α的符号，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，且sinα+cosα=330，从而sinαcosα，因此cos2α=cosα2－sinα20，从而cos2α=－53，选A. 分析五：由已知sinα+cosα的值，利用恒等式去求解cosα－sinα的值，进而求得cos2α的值. 解法五：由于题目已知sinα+cosα=33,为避免求sin2α的值，直接利用恒等式cosα+sinα2+cosα－sinα2=2得cosα－sinα2=53，又由解法三cosα－sinα0，因此cosα－sinα=－153，从而cos2α=cosα+sinα·cosα－sinα=33×－153=－53,选A. 作者简介：高成龙，首都师范大学数学科学学院，2012级研究生，研究方向： 高考数学选择题解题技巧 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ） 125 27 . 12536.12554.12581.D C B A 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于 （ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．16 解析：由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入，得|AF 1|+|BF 1|＝11，故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．[2，+∞） 解析：∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数，∵ log (2)a y ax =-在[0，1]上是减函数。 ∴a>1，且2-a>0，∴1 一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面S B C ⊥底面A B C .已知 45ABC ∠=,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成的角的大小. 第一问证法较多,第二问相对作法较少,下面只列 举几种第一问的证法: 证法一:过S 作SO BC ⊥,垂足为O ,连接AO （如图1）. 由侧面S B C ⊥底面A B C D 得SO ⊥底面 A B C D ,AO 、BO 分别是SA 、SB 在底面ABCD 内的射 影. 又SA SB =,∴OA OB = 又45ABC ∠=,∴ABO ?是等腰直角三角形, ∴OA OB ⊥. 由三垂线定理得SA BC ⊥. 证法二:过A 作AO BC ⊥,垂足为O ,连接SO (如图1). 由侧面SBC ⊥底面ABCD 得AO ⊥侧面SBC ,∴SO 是SA 在侧面SBC 内的射影,且,AO SO AO BO ⊥⊥. 在ABO ?中45ABO ∠=,∴OA OB =.又SA SB =,SAO SBO ∴???. 90SOB SOA ∴∠=∠=即OB SO ⊥. 由三垂线定理得SA BC ⊥. 证法三:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接 AO 、SO (如图2).在ABC ?中 45ABC ∠=,2AB =,BC =∴ABC ? 是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥.(下同证法二) 证法四:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接 AO 、SO (如图2).在ABC ?中45ABO ∠=,2AB =,BC =∴ABC ?是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥. 又侧面SBC ⊥底面ABCD ,∴AO ⊥侧面SBC ,SO 是SA 在侧面SBC 内的射影. 在SAB ?中易得cos SBA ∠= 填空题的解法技巧 题型概述 填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力． 由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”． 方法一直接法 直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法． 例1 (1)已知函数f (x )＝? ???? log 2(1－x )＋1， x <1， x －2， x ≥1，若f (a )＝3，则a ＝________. (2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝________. 解析 (1)∵a ≥1时，f (a )≤1，不适合． ∴f (a )＝log 2(1－a )＋1＝3，∴a ＝－3. (2)由余弦定理： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝7 4， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝1 8， ∴sin C ＝37 8， ∴sin 2A sin C ＝2×34×7437 8＝1. 答案 (1)－3 (2)1 思维升华 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键． 跟踪演练1 (1)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2 16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等 于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． (2)(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案 (1)44 (2)2n －1 解析 (1)由题意，得|PQ |＝16，线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义，可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加，得， |PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ， 则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28， 故△PQF 的周长为44. (2)由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，∴联立方程????? a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得 ????? a 1＝1，a 4＝8或???? ? a 1＝8，a 4＝1， 又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8， 第3讲应用问题中的“瓶颈题” 数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下: 分类解密———专题突破 函数与不等式模型的应用题 例1 某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x). (1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式; (2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少? 练习如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S. (1) 用x,y,a,b表示S; (2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形 木雕总面积的最大值及对应的x,y 的值. (练习) 函数与导数模型的应用题 例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分 为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax 2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)). (1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t); (2) 若在t=1 2处,S(t)取得最小值,求此时a 的值及S(t)的最小值. (例1) 练习 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m 的水底进行 作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4; ③返回水面时,平均速度为2v (米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在 此次考古活动中,总用氧量为y. (1) 求出y 关于v 的函数解析式; 1 高考数学-应用题 应用题类型： 1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型 2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型 １. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ． 由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+< 2 ２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式； （Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得??? ????=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()?? ???≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()?????≤≤-<≤.20020,2003 1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=?； 当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312 =??????-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值 3 10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 一道初中几何题的多种解法 【题目】已知：过ABC ?的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E . 求证： FB AF ED AE 2=. 【分析】平行线分线段成比例 【提示】系数2既是难点，又是突破点 【解法1】 证：连BE ，则由同高三角形面积关系得 BCF ACF BEF AEF S S S S FB AF ????==，CDE AEC S S ED AE ??= 根据等比性质得： BCE ACE BEF BCF AEF ACF S S S S S S FB AF ??????= --= ∵D 为BC 的中点， ∴D CE BCE S S ??=2 ∴ DE AE FB AF 2=，即FB AF ED AE 2= 【解法2】 证：过D 作CF DM //交AB 于M ， ∵CF DM //， ∴ FM AF ED AE = ∵D 为BC 的中点，CF DM // ∴M 为BF 的中点，即BF MF 2 1 = ， ∴BF AF ED AE 2 1 = ，即FB AF ED AE 2= 【解法3】 证：过D 作AB DN //交CF 于N ， ∵AB DN //， C D B C C ∴ DN AF ED AE = ∵D 为BC 的中点，AB DN // ∴N 为CF 的中点， ∴DN 为BCF ?的中位线，则BF DN 2 1 = ∴ BF AF ED AE 2 1= ，即FB AF ED AE 2= 【解法4】 证：过B 作CF BG //交AD 延长线于G ， ∵CF BG //， ∴ EG AE FB AF = ∵D 为BC 的中点，CF BG // ∴D 为GF 的中点，即DE EG 2= ∴ DE AE FB AF 2=， 即FB AF ED AE 2= 【解法5】 证：过B 作AD BH //交CF 延长线于H ， ∵AD BH //， ∴BH AE FB AF = ∵D 为BC 的中点，AD BH // ∴E 为CH 的中点， ∴DE 为BCH ?的中位线，则DE BH 2= ∴DE AE FB AF 2=，即FB AF ED AE 2= 【解法6】 证：过A 作BC AK //交CF 延长线于K ， ∵BC AK //， G C C A 2 18．(本题满分16分) 如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。设细绳的总长为y （1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。 18. （Ⅰ）解：在Rt △COA 1中， θ cos 2 1= CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθ tan 22cos 2 331-+? =+=CB CA y = 2cos )sin 3(2+-θθ（4 0π θ<<）……7分 （Ⅱ）θ θθθθθ222/ cos 1 sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ， 令0='y ，则3 1sin =θ ………………12分 当3 1sin >θ时，0>'y ；3 1sin <θ时，0<'y ， ∵θsin =y 在]4 ,0[π 上是增函数 ∴当角θ满足31sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 2 2 2-=m …16分 19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量 ()P t （单位：吨）与上 市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格() Q t （单位：元／千克） 与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为 顶点）． （1）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份 （2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），求5z x y =-的最大值； （3） 由（2），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘 法运算（如1233x y ≤-≤类比为2 313x y ≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相 应的最大值． （图1） （图2） 19.解(Ⅰ)503,136,()1169,7912 t t t t P t t t t t -+≤≤??-<≤? =?-+<≤??-<≤? 21 ()(4)6(012)16 Q t t t =- -+≤≤． 21 ()()(1)[(4)6]16 P t Q t t t ?=-- -+ （36)t <≤ '23 (()())[(3)33]16 P t Q t t ?=- --0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增 当t =6时，max [()()]P t Q t =． ∴6月份销售额最大为34500元 ． (Ⅱ) ?? ?≤-≤≤+≤7 111 5y x y x ，z =x —5y ． 令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则? ? ?=-=??? ?-=-=+32 51B A B A B A ， ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ， ∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ．一道高考数学几何题的多种解法探究
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