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高三数学综合测试(二)

鸡泽一中高三数学综合测试（二）

2009-3-13

一、本大题共12小题，每小题5分，共60分（1）设椭圆C 1的离心率为

5，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭

圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为

（A ）

2=-

y x （B ）

2=-

y x （C ）

2=-

y x （D ）

112

2=-

y x

（2）已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足

||,0)()(c c b c a 则=-?- 的最大值是

（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）

（3）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）－15 （B ）85

（C ）－120 （D ）274

（4）复数i

21121-+

+-的虚部是

（A ）i 51

（B ）

（C ）－i 5

（D ）－

（5）已知)67sin(,35

4sin )6

cos(πααπ

α+

=+-

则的值是

（A ）53

2- （B ）

2 （C ）5

4- （D ）

（6）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手. 若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（A ）

1 （B ）

1 （C ）

306

1 （D ）

408

（7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（A ）

1 （B ）

1 （C ）

2 （D ）

（8）已知}{n a 是等比数列，=+++=

=+1321322

1,2n n a a a a a a a a a 则

（A ）)4

1(16n

-- （B ）)2

1(16n

-- （C ）

1(3

32n

-- （D ）

1(3

32n

（9）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙工人发排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（A ）24种（B ）36种（C ）48种（D ）72种

（10）如图，AB 是平面α的线段，A 为斜是，若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是

（A ）圆（B ）椭圆（C ）一条直线（D ）两条平行直线（11）设二元一次不等式组???

??≤-+≥+-≥-+.0142,08,

0192y x y x y x 所表示的平面区域为M ，使函数

),0(>=a a y x

a ≠1）的图象过区域M 的a 的取值范围是

（A ）[1，3] （B ）]10,2[ （C ）[2，9] （D ）]9,10[

（12）设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时)(x f 是单调函数，则满足

)(-+=x x f x f 的所有x 之和为

（A ）－3 （B ）3 （C ）－8 （D ）8

二．填空题：（13）函数??

?+=x

x y ,10

0≥

（14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若,c o s c o s )3(C a A c b =-则=A cos .

（15）已知t 为常数，函数|2|2

t x x y --=在区间[0，3]上的最大值为2，则t = .

（16）若)

,(,,1,1,0,0,0,0b a P b a by ax y x y x b a 为坐标的点

则以恒有时且当≤+??

??≤+≥≥≥≥所形成的平面区域的面积等于 .

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）已知函数)0,0)(cos()sin(3)(><<+-+=

ωπ??ω?ωx x x f 为偶函数，且函数

)(x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为

（Ⅰ）求)8

(

f 的值；

（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象向右平移

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标

伸长到原来的长度，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求)(x g 的单调递减区间.

（18）（本小题满分12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分. 假设甲队中每人答对的概率均为3

2，乙队中3人答对的

概率分别为

2，

1，且各人回答正确与否相互之间没有影响. 用ξ表示甲队的总得分.

（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（Ⅱ）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P （AB ）.

将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1 a 2 a 3

a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10 ……

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1= a 1=1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足

).2(122

≥=-n S S b b n

n n n

（Ⅰ）证明数列{

S 1}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91

481-

=a 时，求上表中第k （k ≥3）行所有项的和.

如图，已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC =60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.

（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ；

（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为2

6，求二面角

E —A

F —C 的余弦值.

在数列n n b a ,中，4,211==b a ，且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列)(*

?N n

（Ⅰ）求432432,,,,b b b a a a 及由此猜测n n b a ,的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.12

51112

1<++

+++

n b a b a b a

如图，设抛物线方程为)0(22

>=p py x

，M 为直线y=－2p 上任意一点，过M 引抛物

线的切线，切点分别为A ，B .

（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M 点的坐标（2，－2p ）时，104||=AB . 求此时抛物线的方程；

（III ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线)0(22

>=p py x

上，

其中，点C 满足OB OA OC +=（O 为坐标原点）. 若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

鸡泽一中高三数学综合测试（二）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，共60分. （1）A （2） C （3）A （4）B （5）C （6）B （7）C （8）C （9）B （10）B （11）C （12）C 二、填空题：（13）???≥<-=.

1,ln ,1,1x x x x y （14）

3 （15）1 （16）1

三、解答题

17．解：（Ⅰ）)cos()sin(3)(?ω?ω+-+=

x x x f

sin(2)(21

)sin(232π

?ω?ω?ω-

+=?

?????+-+=x x cox x 因为 )(x f 为偶函数，

所以对)()(,x f x f R x =-∈恒成立，因此 ).6

sin()6

-sin(π

?ωπ

?ω-

+=-

+x x

即

),6

sin(cos )6

cos(sin )6

sin(cos )6

cos(sin π

?ωπ

?ω-

-x x x x

整理得 .0)6

c o s (s i n =-

?ωx

因为 ,,0R x ∈>且ω

所以 .0)6cos(=-

又因为 ,0π?<< 故 .2

6π

所以 .cos 2)2

sin(2)(x x x f ωπ

ω=+=

由题意得

22π

所以2=ω 故x x f 2cos 2)(= 因此.24

cos

2)8

(

=π

（Ⅱ）将)(x f 的图象向右平移6

个单位后，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，

纵坐标不变，得到)6

x f 的图像，得到)6

(π

x f 的图象. 所以)3

2cos(

2)]6

2cos[2)6

4()(π

=-=x x x f x g

当),(23

22Z k k x k ∈+≤-≤

πππ

即4)(,)(8

343

2x g Z k k x k 时∈+

≤≤+

ππππ单调递减，

因此)(x g 的单调递减区间为).](3

84,3

24[Z k k k ∈+

ππππ

18．（I ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且

.27

)3(,9

4)3

21()3

)2(,

321(3

2)1(,271)

21()0(3

232

?===

??===-

??===

-?==C P C P C P C P ξξξξ

ξ的数学期望为E ξ=0×27

1+1×92+2×9

4+3×27

8=2.

解法二：根据题设可知，),3

2,3(~B ξ

因此ξ的分布列为

.3,2,1,0,3

21()3

)(3

333=?

??==-k C C k P k k

因为),3

2,3(~B ξ所以.23

23=?

=ξE

（II ）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙

得0分”这一事件，所以AB =C ∪D ，且C 、D 互斥，又

10]

21()3

)(=

??=C C P

4)2

)(=

??=C D P

由互斥事件的概率公式得

.243

343

10)()()(5

+=D P C P AB P

解法二：用A k 表示“甲队得k 分”这事件，用B k 表示“乙队得k 分”这一事件，k =0，1，2，3. 由于事件A 3B 0，A 2B 1为互斥事件，故有

)()()()(12031203B A P B A P B A B A P AB P +=?=

由题设可知，事件A 3与B 0独立，事件A 2与B 1独立，因此

243

34)

2)2

)

()()()()()()(2

12031203=

?=+=+=C C B P A P B P A P B A P B A P AB P

19．（I ）证明：由已知，当n ≥2时，

122

=-n

n n n S S b b 又n n b b b S +++= 21，

所以

1)()(22

11=-----n

n n n n n S S S S S S 即

,1)(211=----n

n n n S S S S

所以

1111=

-n n

S S 又.1111===a b S

所以数列{n S 1}是首项为1，公差为

1的等差数列.

由上可知

1)1(2

111+=

=n n S n

即.1

2+=

n S n

所以当n ≥2时时，.)

1(221

21+-

-=-n n n

n S S b n n n

因此??

??≥+-==2,)1(2

,1,

1n n n n b n

（II ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0. 因为,782

121221=?=

+++

所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项，故a 81在表中第13行的第三列，因此.91

1381-

=?=q b a

又14

13213?-

=b ，

所以q =2.

记表中第k （k ≥3）行所有项的和为S ，

则).3)(21()

1(22

1)21()

1(21)1(≥-+=

--?

=--=

k k k k k q

q b S k

20．（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，可得△ABC 为正三角形。因为 E 为BC 的中点,所以AE ⊥BC 又 BC ∥AD ，因此AE ⊥AD

因为 P A ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以P A ⊥AE 而 P A ?平面P AD ，AD ?平面P AD 且P A ?AD ＝A ，所以 AE ⊥平面P AD ，又PD ?平面P AD 所以AE ⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB ＝2，H 为PD 上任意一点，连接AH, EH. 由（Ⅰ）知 AE ⊥平面PAD ，

则 ∠EHA 为EH 与平面P AD 所成的角. 在R t △EAH 中，AE ＝3，所以当AE 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大，

此时 ,263t a n =

∠AH

AE EHA

因此 2.2==

AD AH 又，所以∠ADH ＝45°，所以 P A ＝ 2.

解法一：因为 P A ⊥平面ABCD ，P A ?平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面ABCD.

过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ，

过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E －AF －C 的平面角，在R t △AOE 中，EO ＝AE ·2

330

cos ,2

330

sin =

?==

AE AO ,

又F 是PC 的中点，在R t △ASO 中，SO=AO ,4

345

sin =

又 ,4

308

在R t △ESO 中，,5

154

30423cos =

∠SE

SO ESO

即所求二面角的余弦值为

（21）本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力，满分12分.

解：（Ⅰ）由条件得.,212

11+++-+=n n n n n n b b a a a b

由此可得

.25,20,16,12,9,6443322======b a b a b a ……2分

猜测2

)1(),1(+=+=n b n n a n n ……4分

用数学归纳法证明：

①当1=n 时，由上可得结论成立. ②假设当k n =时，结论成立，即

)1(),1(+=+=k b k k a k k ，

那么当1+=k n 时，

).2)(1()1()

1(222

1++=+-+=-=+k k k k k a b a k k k

所以当1+=k n 时，结论也成立.

由①②，可知2

)1(),1(+=+=n b n n a n n 对一切正整数都成立. ……7分

（Ⅱ）

546

111

+b a .

2≥n 时，由（Ⅰ）可知n n n n b a n n )1(2)12)(1(+>++=+ ……9分

故

)

1(14

313

21(2

11112

1+++?+?+<++++++n n b a b a b a n

1141313121(216

1+-++-+-+

=n n .12

1)1

(

综上，原不等式成立 22．（I ）证明：由题意设).2,(,),2,

(),2,

(0212

1p x M x x p

x x B p

x x A -<

(2),(2.

,,,220201212

x x p

x p y MB x x p

x p y MA p

x k p

x y p

y py x

MB MA -=

+-=

=的方程为

直线的方程为直线因此所以则得由

所以

),(220112

x x p

x p p

x -=

+ ①

).(220222

x x p

x p p

x -=

+ ②

由①、②得

0212

1x x x x x -+=+因此 .2,2

2102

10x x x x x x +=+=

即

所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. （II ）解：由（I ）知，当20=x 时，将其代入①、②并整理得：

222,

4,4,

044,

044,04402

1122

21212

212

121p k

p x p

x x x x p

x p

x k

p x x x x p

x x

x x p

x x p x x AB

==+=

-==+=--=--=--所以又因此的两根是方程、所以

42,21,104||.

1616414)

(1||2

212

y x

p p AB p p

x x x x k

AB =====++

-++=或因此所求抛物线方程为

或所以又

（III ）解：设),,(),,(212133y y x x C y x D ++由题意得

(),

1013

213

21x x p

x y y AB y y y x x x Q CD -=-++++的方程为

设直线的中点坐标为

则

2()0,0(.20,

22,),(.

(

00033303

3333032

x x D D x x x x x py

x y x D x p

x y AB y y x x AB Q 若即或因此则在抛物线上若代入得上也在直线并注意到

上在直线由点=====++

（1）当)2,0(,,02,00210p M x x x x -==+=点此时则时适合题意。

（2）当,422),2,

2(),0,0(,00

212

210px

x x x p x x k p

x x x C D x CD +=

+≠此时对于

0),2,

2(),2,

2(.,4,

144,

,02

102

002

2210

22100≠=

+-=+-=+=

?⊥=

x k y CD p

x x x C p x x D p x x p

x x px

x x p

x k k CD AB p

x k AB CD AB AB 又轴，

平行于此时直线因为对于矛盾即所以又

所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，

所以00≠x 时，不存在符合题意的M 点，综上所述，仅存在一点)2,0(p M -适合题意。

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A． B． C．D． 6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f （）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（） A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ= 8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（） A．[﹣2，2] B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为． 10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为． 11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为． 13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为． 14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

高三数学(理科)综合测试题(一)

2007—2008学年崇雅中学高三考试理科数学综合测试题（一）本卷满分150分试卷用时120分钟第一部分选择题(共40分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列语句不属于基本算法语句的是（） A .赋值语句 B .运算语句 C .条件语句 D .循环语句 2.已知i 是虚数单位，那么=-+2 )11( i i （） A .i B .-i C .1 D .-1 3.已知A 、B 是两个集合，它们的关系如图所示，则下列式子正确的是( ) A .A ∪ B =B B .A ∩B =A C .(A B )∪B =A D .(A B )∩A =B 4.空间四点A 、B 、C 、D 共面的一个充分不必要条件是 ( ) A .A B ∥CD B . ABCD 构成四边形 C .AB=C D D . AC ⊥BD 5.关于数列3，9，…，729，以下结论正确的是( ) A .此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列 B .此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列 C .此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列 D .此数列能构成等差数列，也能构成等比数列 6.甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，若甲x 、乙x 分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是( ) A .甲x >乙x ，乙比甲稳定 B .甲x >乙x ，甲比乙稳定 C .甲x <乙x ，乙比甲稳定 D .甲x <乙x ，甲比乙稳定 7.以双曲线19 162 2=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A .191622=+y x B .116922=+y x C .192522=+y x D .125 922=+y x A B 甲乙 4 7 7 7 8 8 2 8 6 5 1 9 2

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题模拟试题一及答案

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题模拟试题一及答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若i i m -+1是纯虚数，则实数m 的值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D 2 2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=x x N x x M ，则N M ?=( ) A ．φ B ．}0|{