＋3t ＋4
t ＋3
(t >0)， 令h (t )＝t 2＋3t ＋4t ＋3＝t ＋4
t ＋3(t >0)，
h ′(t )＝1－
4t ＋
2
，
因为t >0，所以h ′(t )>0， 即当t >0时，h (t )>h (0)＝4
3，
所以a ≤4
3
，
即实数a 的取值范围为?
????－∞，43. 6.????
??12，2
解析 根据题意，可得－2≤(k －1)x －1≤(x ＋1)ln x 在[1,2]上恒成立，
当x ∈[1,2]时，函数y ＝(k －1)x －1的图象是一条线段，于是?
??
??
f
－2，f －2，
解得k ≥1
2
，
又由(k －1)x －1≤(x ＋1)ln x ， 即k －1≤x ＋
x ＋1x 在x ∈[1,2]上恒成立，
令m (x )＝
x ＋
x ＋1
x
＝ln x ＋ln x x ＋1x ，则m ′(x )＝x －ln x
x
2
，且x ∈[1,2]， 又令u (x )＝x －ln x ， 则u ′(x )＝1－1
x
≥0，
于是函数u (x )在[1,2]上为增函数，
从而u (x )min ＝1－ln1>0，即m ′(x )>0，即函数m (x )在x ∈[1,2]上为单调增函数， 所以函数的最小值为m (1)＝1， 即k －1≤1，所以k ≤2，
所以实数k 的取值范围是????
??12，2.
k52006年高考第一轮复习数学：14.1 导数的概念与运算
知识就是力量
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※第十四章
●网络体系总览
导 概 数 念 的 导 数
导数
的 性 导 求 函 单 数 法 数 调 的 的 导 应 函 极 数 用 数 值 的 函 最 数 大 的 值 小 与 值 最
●考点目标位定位 要求： （1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率 等） ，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. （2）熟记基本求导公式〔C，xm（m 为有理数） ，sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数〕 ，掌握 两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. （3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件（导数在极值点两侧异号） ，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值 和最小值. ●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求 导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解 决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数 运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.
14.1
●知识梳理
导数的概念与运算
1.导数的概念： （1）如果当Δ x→0 时，
?y 有极限，我们就说函数 y=f（x）在点 x0 处可 ?x
导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 f （ x ） 在 点 x0 处 的 导 数 ， 记 作 f ′ （ x0 ） 即 f ′ （ x0 ） = ，
?x ?0
lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x ?x?0 ?x
（2）如果函数 f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说 f（x）在开区间（a,b）内 可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′（x0）,这样 就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做 f（x）在开区间（a,b）内的导函 数，记作 f′（x）,即 f′（x）= lim
?x ?0
f ( x ? ?x) ? f ( x) ，导函数也简称导数. ?x
2.导数的几何意义：函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0,f（x0） ）处的切线的斜率. 3.几种常见的导数： － C′=0（C 为常数）;（xn）′=nxn 1;（sinx）′=cosx;（cosx）′=－sinx;（ex）′=ex;
高考数学导数题型归纳(文科)-
文科导数题型归纳 高度重视： 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；２变更主元;3根分布；４判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴（重视单调区间) 与定义域的关系 （２）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元)； (请同学们参看2０10省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常 数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3］上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--
高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p
集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对 称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的 图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒 成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？ [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？ 例题讲解 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ，解得：33≤≤m － 【分析】忽略A =φ的情况.
高中数学导数及微积分练习题
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
高考数学真题导数专题及答案
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
高三数学一轮复习导数导学案
课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时 一、考点梳理： 1.导数、导数的计算 （1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′. （3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几 何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． ! （4）．基本初等函数的导数公式 （5）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)??? ?f x g x ′ ＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值 （1）导数和函数单调性的关系： (1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________． (2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数． [ （2）函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________. （3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ` 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) ； f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x > f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________
高考数学导数题型归纳
导数题型归纳 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 例2：设函数),10(323 1)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2 1121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是), (∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32 f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间； （II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。子集思想 例6、已知函数232 )1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1） 求实数k 的取值范围； （2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
教育高中数学一对一冲刺课程专题简介
高中数学一对一冲刺课程专题简介 第一讲集合 第二讲函数概念与基本初等函数(基础理论,重难点,高考考点) §2.1函数及其表示 §2.2函数的基本性质 §2.3一次函数和二次函数 §2.4指数与指数函数 §2.5对数与对数函数 §2.6幂函数 §2.7函数的图象 §2.8函数的值域和最值 §2.9函数的应用 第三讲立体几何初步(基础理论,重难点,高考考点) §3.1空间几何体的结构、三视图和直观图 §3.2空间几何体的表面积和体积 §3.3点、线、面的位置关系 §3.4直线、平面平行的判定与性质 §3.5直线、平面垂直的判定与性质 第四讲平面解析几何初步(基础理论,重难点,高考考点) §4.1直线方程和两条直线的位置关系 §4.2圆的方程 §4.3直线与圆、圆与圆的位置关系 第五讲算法初步与框图(基础理论,重难点,高考考点) 第六讲基本初等函数(基础理论,重难点,高考考点) §6.1三角函数的概念 §6.2三角函数的图象和性质 §6.3三角函数的最值与综合应用 §6.4三角恒等变换 §6.5解三角形 第七讲平面向量(基础理论,重难点,高考考点) §7.1向量、向量的加法与减法、实数与向量的积 §7.2向量的数量积和运算律、向量的应用 第八讲数列(基础理论,重难点,高考考点) §8.1数列的概念及其表示 §8.2等差数列及其前n项和 §8.3等比数列的综合应用 §8.4数列的综合应用 第九讲不等式(基础理论,重难点,高考考点) §9.1不等关系与不等式 §9.2一元二次不等式及其解法 §9.3简单的线性规划 §9.4基本不等式 §9.5不等式的综合应用 第十讲计数原理(基础理论,重难点,高考考点) §10.1排列与组合 §10.2二项式定理 第十一讲概率与统计(基础理论,重难点,高考考点)
高考文科数学专题复习导数训练题文
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数
高考数学第一轮复习导数概念和几何意义
第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2014年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝ li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ；
高中数学导数题型总结
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
2015年高中数学导数解答题尖子生辅导(有答案)
高中数学导数尖子生辅导 一．解答题（共30小题） 1．（2014?遵义二模）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）证明：f（x2）＞． ，其对称轴为 ，得 ，∴ ）当）在 减．∴ 2．（2014?武汉模拟）己知函数f（x）=x2e﹣x （Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
． ）设切点为（ ﹣ ， 的斜率为负数，∴（ 时， ，解得 时，）单调递增；当 时，函数）取得极小值，也即最小值，且= ）∪ 3．（2014?四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x2． （Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值； （Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．
结合题意，列出方程组，证得函数 ，，当且仅当 ∴，可得 ，令 ， ，得 ∵，∴ ）单调递减；若当）取得极小值，极小值为 ，由④ 式变为 所以函数
，即，也就是 4．（2014?河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0，且f′（x） ≥0在R上恒成立． （1）求a，c，d的值； （2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0； （3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由． ∴x+c，有 上恒成立，即 =a ，于是由二次函数的性质可得 ，解得：， ）∵．∴ 时，解集为（时，解集为（）时，解集为 ）∵，∴= ∴
高中数学导数练习题(有答案)
导数练习题（含答案） 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 （1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ） （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】 一、求下函数的导数 （1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx
（9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1） （）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10
高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数
2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．
2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．
高三数学一轮复习 导数的综合应用
导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )
解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
高中数学培训班一对一辅导答题技巧
高中数学培训班一对一辅导答题技巧怎么让数学这个科目变成自己的优势呢？其实，高中数学要变成优势并不难。接下来一对一辅导教你如何进行高三复习？ 高三的数学教材是人教版，只有54页，好像就一个最基本的导数和统计，不知道大家现在是不是也用的这本书。这个别落下，估计可以拿到8分左右。 这个几十页的教材学完后，就开始复习了。若平时只有三四十分，说明有很多最基本解题思路的都是没有掌握的。如果把这些最基本的答题技巧都掌握了的话，效果肯定会好很多。 高三一对一辅导一般来说，老师会分三轮复习，第一轮是细到每个知识点的复习（我觉得基本上就是快速的讲一轮新课了）；第二轮是梳理一遍，整理归纳；第三轮式 选择题 一、易错点归纳： 九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。 针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。 二、答题方法：
选择题十大速解方法： 排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法; 填空题四大速解方法： 直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。 解答题 专题一、三角变换与三角函数的性质问题 1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h ④结合性质求解。 2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。 专题二、解三角形问题 1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。 (2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。 2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。③求结果。④再反思：在实施边角
高考数学理科导数大题目专项训练及答案
高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.
