湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练6

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（六）

姓名： 班级 ： 分数 ：

一、填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1．已知复数m 满足11=+

m

m ，则=+

2009

2008

1m

m

．

2．设2cos sin 2

3cos

2

1)(2

++

=x x x x f ，]4

,6[π

π-

∈x ，则)(x f 的值域

为 ．

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15

1522

11,,,a S a S a S 中最大的是 ．

4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且

5102=+y x ，则=∠BAC cos ．

5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为 ．

6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ?}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）

7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为 ．

8．设p 是给定的正偶数，集合},3,2

2|{1

N ∈=<<=+m m x x x A p p

p 的所有元素的

和是 ．

二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题

20分。）

9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2

122n m n m n m a a n m a a +=

+-+-+，其中

n m n m ≥∈,,N ．

（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； （2）证明：

11112009

2

1

<+

++a a a ．

10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．

11．已知抛物线C ：2

2

1x y =

与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，

过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点．

(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；

12．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：

2

2

2

2

2

)(4b a a

d

d

c

c

b

b

a

-+≥+

+

+

．

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（六）

详细解答

一、填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1．已知复数m 满足11=+

m

m ，则=+

2009

2008

1m

m

0 ．

2．设2cos sin 2

3cos

2

1)(2

++

=x x x x f ，]4

,6[π

π-

∈x ，则)(x f 的值域为

3[2,2

]

4

．

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则

15

1522

11,,,a S a S a S 中最大的是88

S a ．

4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且

5102=+y x ，则=

∠BAC cos 13

．

5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点．则四面体1MNB O -的体积为

748

．

6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ?}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 1600 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．）

7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值

为

1

-

．

8．设p 是给定的正偶数，集合},3,2

2|{1

N ∈=<<=+m m x x x A p p

p 的所有元素的

和是21

1

2

2

p p ---．

二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）

9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2

122n m n m n m a a n m a a +=

+-+-+，其中

n m n m ≥∈,,N ．

（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； （2）证明：

11112009

2

1

<+

++a a a ．

证明 （1）在已知关系式)(2

122n m n m n m a a n m a a +=

+-+-+中，令n m =，可得

00=a ；

令0=n ，可得

m a a m m 242-= ①

令2+=n m ，可得

)(2

12242222n n n a a a a +=

-+++ ②

由①得)1(24122+-=++n a a n n ，62412=-=a a ，)2(24242+-=++n a a n n ，

n a a n n 242-=，

代入②，化简得

2212+-=++n n n a a a ． ------------------------------------------7分

（2）由2212+-=++n n n a a a ，得2)()(112+-=-+++n n n n a a a a ，故数列}{1n n a a -+是首项为201=-a a ，公差为2的等差数列，因此221+=-+n a a n n ．

于是∑∑==-+=+=

+-=

n

k n

k k k

n n n k a a a

a 1

1

01)1(0)2()(．

因为)1(111)

1(11≥+-

=

+=

n n n

n n a n ，所以

12010

11)2010

12009

1(

)3

12

1(

)2

11(1

112009

2

1

<-

=-

++-

+-=+

++ a a a ．

------------------------------------------14分

10．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数． 解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ． 先考虑不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．

1

,2,3≥≥≥z y x ，

12

3215≤--=∴y x z ，

21≤≤∴z ．----------------------------------5分

当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为

)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x ．

当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x ． 所以不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为

)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(=z y x ． ------------------------------------

------10分

又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为21

x C -，方程y x x =+54)2,(≥∈x N y 的正整数解的组数为1

1C -y ，故由分步计数原理知，原不定方程

的正整数解的组数为

81693036C C C C C C C C 1

12

41

32

31

22

61

12

9=+++=+++． ------------------------------------------15分

11．已知抛物线C ：2

2

1x y =

与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的

动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点．

(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；

(2)若点P 与（1）中的定点Q 的连线交抛物线C 于M ，N 两点，证明：

QN

QM PN

PM =

．

证明 (1)设11(,)A x y ，则2

112

1x y =．

由2

2

1x y =

得x y ='，所以11|x y x x ='=．

于是抛物线C 在A 点处的切线方程为)(111x x x y y -=-，即11y x x y -=． 设)1,(00-kx x P ，则有11001y x x kx -=-． 设22(,)B x y ，同理有22001y x x kx -=-．

所以AB 的方程为y x x kx -=-001，即0)1()(0=---y k x x ， 所

以

直

线

AB

恒

过

定

点

)1,(k Q ． ------------------------------------------7分

(2)PQ 的方程为002()1kx y x k x k -=

-+-，与抛物线方程2

2

1x y =

联立，消去y ，得

02)22(42002

002

=---+

---

k

x k x k

x k

x kx x ．

设),(33y x M ，),(44y x N ，则

k

x k x k

x x k

x kx x x ---=

--=

+002

4300432)22(,42 ①

要证

QN

QM PN

PM =

，只需证明

k

x x k x x x x --=

--430

403，即

02))((2043043=+++-kx x x x k x x ②

由①知， ②式左边=

0000002

242)

(4)22(2kx k

x kx x k k

x k x k

+--+----

0)

(2)42)((4)22(20000002

=--+-+---=

k

x k x kx kx x k k x k

．

故②式成立，从而结论成

立． ------------------------------------------15分

12．设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：

2

2

2

2

2

)(4b a a

d

d

c

c

b

b

a

-+≥+

+

+

．

证明 因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明

d

c b a b a

d c b a a

d

d

c

c

b

b

a

+++-+

+++≥+

+

+

2

2

2

2

2

)

(4 ①

----------------5分

事实上， )(2

2

2

2

d c b a a d

d

c

c

b

b a

+++-+

+

+

)2(

)2(

)2(

)2(

2

2

2

2d a a

d

c d d

c

b c c

b

a b b

a

-++-++-++-+=

2

2

2

2

)(1)(1)(1)(1a d a

d c d

c b c

b a b

-+

-+

-+

-=

②

----------------10分

由柯西不等式知 2

2

2

2

()()()()

[]()a b b c c d d a a b c d b

c

d

a

----+

+

+

+++

2

|)||||||(|a d d c c b b a -+-+-+-≥ ③

----------------15分

又由||||||||a b a d d c c b -≥-+-+-知

2

2

)(4|)||||||(|b a a d d c c b b a -≥-+-+-+- ④

由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立． ------------------------------------20分

各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012各省数学竞赛汇集

目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：

2016年全国高中数学竞赛湖北省预赛(word高一含答案)

2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一) 一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．） 1.已知函数f (x )满足：f (1) = 2，()()1(1)1f x f x f x ++= -对定义域内任意x 都成立。那么f (2016)=____。答案：13 。 2.等式213328x x +-+≥的解集为_____________。 答案：(,2][1,)-∞-+∞ 。 3.从五个正整数a , b , c , d , e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{44, 45, 46, 47}则a + b + c + d + e = _____________。 答案：57。 4.求值：97cos 95cos 93cos 9cos ππππ+++=_____________。 答案：12 。 5.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，D 是BC 的中点，若a = 4，AD = c -b ，则△ABC 的面积的最大值为_______________。 答案： 6.如果存在实数a ，使得关于x 的不等式a cos x +b cos2x >1无实数解，则实数b 的最大值为_________。 答案：1。 7.已知质数p ,q 满足q 5- 2p 2=1，则p + q = 。 答案：14。 8.已知实数x , y 满足：2315112 23,83282x y x y x y --+=+≤-≥，那么，xy = 。 答案：45 。 9.已知MN 是边长为62的等边△ABC 的外接圆的一条动弦，MN ＝4，P 为△ABC 的边上的动点，则MP PN ? 的最大值为_________。 答案：4。 10.设[a ]表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ????=+???????? 的最大正整数解为_________。 答案：104。 二、解答题（本题满分60 分，每小题20 分。） 11.已知△ABC 的三边长a ，b ，c （a ≤ b ≤ c ）均为整数，且满足：（1）a ，b ，c 构成等比数列； （2）a ，b ，c 中至少有一个等于100，求符合要求的三元数组(a ，b ，c )的个数。

2012年全国高中数学联赛模拟试题二

2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

2019年湖北省数学竞赛试

2019年湖北省数学竞赛试 （2019年1月3日上午9：00----11：00） 一、选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、已知是正数，且a a 2-=1，则224a a -等于（ ） （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）－3 2、如果某商品进价降低5%而售价不变，利润可由目前的a%增加到（a+15%），则a 的值为（ ） （A ）185 （B ）175 （C ）155 （D ）145 3、在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）个 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4、为了调查学生的身体状况，对某校毕业生进行了体检，在前50名学生中有49名是合 格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校毕业生体检合格率在90%以上，则该校毕业生的人数最多有（ ） （A ）180 （B ）200 （C ）210 （D ）225 5、如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动， 切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 弧的度数（ ） （A ）从30°到60°变动 （B ）从60°到90°变动 （C ）保持30°不变 （D ）保持60°不变 6、用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最好大值是（ ） （A ）13．5 （B ）11.5 （C ）11 （D ）10.5 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分） 7、 已知2,322-=+=+y xy xy x ,则=--2232y xy x 8、 如图，在△ABC 中AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长是 9、 与铁路平行的一条公路上有一行人与骑车人同时向南行进，行人的速度是每小时 3.6km 骑车人的速度是每小时10.8km ，如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒，则这列火车的身长是 m 10、如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°， ∠B=90°，AB=2，CD=1，则BC= 11、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点， 则AP ：PQ ：QC= 三、解答题：（本题共3小题，每小题20分，共60 13、已知关于x 的方程022)13(2 2=+++-k k x k x （1） 求证：无论k 取何实数值，方程总的实数根； （2） 若等腰三角形ABC 的一边长a=6，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求 此三角形的周长。 A C M

(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min

2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品

2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.

湖北省十堰市四年级数学竞赛试题

湖北省十堰市四年级数学竞赛试题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、单选题 (共10题；共10分) 1. （1分） 330+340+350+360+370=（） A . 330×5 B . 340×5 C . 350×5 D . 360×5 2. （1分） (2019二上·高密期中) 数一数，包含★的长方形有（）个。 A . 1个 B . 3个 C . 4个 3. （1分）小张手中拿着一份杂志，不经意间从中掉出一张纸，这才发现装订的订书针脱落了，捡起这张纸发现第8页和第21页在同一张纸上，请你判断一下，这份杂志共有（） A . 27页 B . 28页 C . 29页

D . 以上答案都不对 4. （1分）小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．那么爸爸出发（）分钟后追上小明． A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 5. （1分） 396－45－96的简便算法是（）。 A . 396－(96－45) B . 396－96－45 C . 396－(45＋96) 6. （1分）世界杯小组赛，每个小组有4支球队，每2支球队都要进行一场比赛，这个小组一共要进行（）场比赛． A . 4 B . 6 C . 8 7. （1分）一列长300m的火车以900m/min的速度过桥．正好上午9：00火车头在桥的一端，9：03正好通过了这座桥．这座桥有（）m长． A . 3000 B . 2700 C . 2500 D . 2400 8. （1分）3+5+7+...+21（）2+4+6+8+ (20)

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 （高一年级） 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤准确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分． 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．设集合??????-∈= =)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 ． 2．已知函数4 6)(2++=x b x x f 的最大值为49，则实数=b ． 3．若1|lg |

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2

高中数学竞赛预选赛试题

2020年学科知识竞赛预赛遴选 高中数学试题 考试时间：2020年5月10日 10:00-11:30 （全卷共120分） 一、填空题.（每题8分，一共10个题目） .______________,4)1,1,21122的方程为最小时，直线为圆心，当两点，交于：（与圆的直线、过点l ACB C B A y x C l M ∠=+-??? ??._________,2343cos ,,,,,,,2=+=?=?c a BC BA B c b a c b a C B A ABC 则，且成等比数列，已知的对边分别为中，内角、在._______1,23的最大值为那么满足、如果复数++=-++i z i z i z z .______________0)10(,2110)(4为的解集则或的解集为、已知一元二次不等式>??????>-<

全国高中数学联赛预赛试题(含详细答案)

全国高中数学联赛江西省预赛试题 一、选择题（每小题6分,共36分） 1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞U ． 2、设2 2 1a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y + =有公共点，则a b 的取值范围是（ ）. A 、11,22?? -???? ； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞U ； D 、[]2,2-. 3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = . A 、7 ； B 、13 ； C 、18 ； D 、27． 4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3． 5、设(21 2n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）． A 、必为无理数； B 、必为偶数； C 、必为奇数； D 、可为无理数或有理数． 6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和. 你的判断是（ ） A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分） 7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22 194 x y + =所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 . 8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 . 9、 四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ?的垂心，G 是ABC ?的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ． 10、000sin 20sin 40sin80??= . 11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，

2019年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

2019年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1．已知复数m 满足11=+ m m ，则=+200920081m m 0 ． 2．设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4 ,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为3[2,2]4． 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是88S a ． 4．已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若y x +=，且5102=+y x ，则 = ∠BAC cos 13 ． 5．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的 中点．则四面体1MNB O -的体积为748 ． 6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ?}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 1600 组．（注：C B A ,,顺序不同视为不同组．） 7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为1． 8．设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p p p 的所有元素的和是21122p p ---． 二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。） 9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a += +-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ． （1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； （2）证明：11112009 21<+++a a a ． 证明 （1）在已知关系式)(2 122n m n m n m a a n m a a += +-+-+中，令n m =，可得00=a ； 令0=n ，可得 m a a m m 242-= ① 令2+=n m ，可得 )(2 12242222n n n a a a a +=-+++ ② 由①得)1(24122+-=++n a a n n ，62412=-=a a ，)2(24242+-=++n a a n n ，n a a n n 242-=， 代入②，化简得2212+-=++n n n a a a ． ------------------------------------------7分 （2）由2212+-=++n n n a a a ，得2)()(112+-=-+++n n n n a a a a ，故数列}{1n n a a -+是首项为201=-a a ，公差为2的等差数列，因此221+=-+n a a n n ． 于是∑∑==-+=+=+-= n k n k k k n n n k a a a a 1101)1(0)2()(． 因为)1(1 11)1(11≥+-=+=n n n n n a n ，所以

2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题+Word版含答案

2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 一、填空题（本题满分80分,每小题10分.） 1.若对任意的[0,]2π θ∈，不等式42sin cos sin cos 0a a θθθθ+--≤恒成立，则实数a 的 最小值为 ． 2.设数列{}n a 满足：11a =，11449n n n n a a a a ++-+=，则2018a = ． 3.设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有 2[()2log ]4f f x x -=，则不等式()6f x <的解集为 ． 4.已知点P 22 221(0,0)x y a b a b -=>>上，1F ，2F 为双曲线的两个焦点，且120PF PF ?=，则12PF F ?的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为 ． 5.设G 为ABC ?的重心，若BG CG ⊥，BC =，则AB AC +的最大值为 ． 6.一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为 ． 7.设正实数x ，y 满足2211274x y x y +++=，则1534P x y =-的最小值为 ． 8.设数列{}n a 的通项公式为3n a n n =-，*n N ∈，该数列中个位数字为0的项按从小到大的 顺序排列构成数列{}n b ，则2018b 被7除所得的余数为 ． 二、解答题（本题满分70分，第9题20分，第10题、第11题25分.） 9.已知O 为坐标原点，(1,0)N ，M 为直线1x =-上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程； （2）过点11(,)22 Q - -作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围. 10.对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 如下： ①(1,1)1f =；

2020年全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版

2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级） 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为 1:2 ． 2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=L 4022 ． 3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈． 4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ． 5．设z 是模为2的复数，则1 ||z z -的最大值与最小值的和为 4 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3 |23||1||23|2 x y y y x a -++-+--≤恒成 立，则实数a 的最小值为 232 ． 7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根 0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ． 8．已知关于x 的方程||2 x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 01 k <≤． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1 ()2 f x -是偶函 数. （1）求()f x 的解析式；

全国高中数学联合竞赛试题(校模拟)附答案

全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。

2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准 讲明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题〔此题总分值56分，每题7分。〕 1．复数m 满足11=+m m ，那么=+200920081m m 0 ． 2．设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4 ,6[ππ-∈x ，那么)(x f 的值域为3[2,2]4． 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设0,01615<>S S ，那么15152211,,,a S a S a S 中最大的是88 S a ． 4．O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，假设AC y AB x AO +=，且5102=+y x ，那么=∠BAC cos 13 ． 5．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分不是棱A 1D 1和CC 1的中点．那么四面体1MNB O -的体积为748 ． 6．设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ?}4,3,2,1{，那么符合条件的),,(C B A 共有 1600 组．〔注：C B A ,,顺序不同视为不同组．〕 7．设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，那么||y 的最小值为 1． 8．设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p p p 的所有元素的和是21122p p ---． 二、解答题〔此题总分值64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。〕 9．设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a += +-+-+，其中n m n m ≥∈,,N ． 〔1〕证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； 〔2〕证明：11112009 21<+++a a a ． 证明 〔1〕在关系式)(2 122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+中，令n m =，可得00=a ；

2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷(高一年级)

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 （高一年级）（附答案） 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且 B A N }1{=，则=+b a 1 ． 2．已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，则 =++++963741a a a a a a ． 3．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为． 4．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα1 3-． 5．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数， ?????+=+, ,13,,21为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ． 6．在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，则=A sin ． 7．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则q p 的值为32 ． 8．设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，则535251x x x ++的值为 －5 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列}{n a =且11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．

全国高中数学联赛模拟试题(三)

全国高中数学联赛模拟试题(三) 学校_____ 姓名______得分_______ 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这 样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集 2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4 辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给 定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1 n i i a 等于 （A ）2 （B ）-1 （C ）1 （D ）0 4、已知、是方程ax 2 +bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，β α2 是实 数，则∑=??? ? ??5985 1k k βα的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）3i 5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()ab b a ac c a bc c b A 2 2 2 2 2 2 111111--+--+--= ，则A 的 值是 （A ）3 （B ）-3 （C ）4 （D ）-4 6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2 11 += ∑=n n x n i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9 二、填空题：（每小题9分，共54分） 1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距 离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使 n n h a h a h a +++Λ22 11（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．