2015年初中数学联赛考前辅导 模拟试题二

初中数学联赛考前辅导 模拟试题二

第一试

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．已知实数a 、b 满足,22b a b a +=+则a + b 的取值范围是

（ ）

A ． 0a b +≥

B ．02a b ≤+≤

C ．022a b ≤+≤

D ．03a b ≤+≤

2．在3×4的方格表中左上角一个1×1的小方格被染成红色，则在这个表格中包含红色小方格的矩形的个数共有（ ）个．

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

3．锐角 ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB >BC >CA , 若BC 边上的高为AD ,则BD - DC =（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

4．梯形ABCD 中，AD ∥BC , BC =BD , AD = CD ,且∠C =80o，则∠A 的度数为

（ ）

A ．120°

B ．130°

C ．140°

D ．150° 5．有理数a 、b 、c 满足),(212

2

2

a b ab c b a -++=++则c b a --的值为 （ ）

A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．1

6．已知点P 、Q 、R 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且BP =PQ =QR =RC = 1，那么△ABC 面积的最大值为 （ ）

A ．3

B ．2

C ．5

D ．3

二、填空题（每小题7分，共28分）

7．在1，2，3，…，2010这2010个整数中，能表示为[x [ x ] ]形式的整数有______ 个．

8．某王国有32名骑士，其中某些骑士是另外骑士的仆从，每名仆从最多只能有一名主人，每名主人必须比他的任意一名仆从富有，如果一名骑士拥有不少于4名仆从，那么他就被封为贵族，若规定A 的仆从的仆从不是A 的仆从，则贵族数目的最大可能值为______

9．已知,120111==x x |,1|||1+=+n n x x ,2010

,,2,1 =n 则+++ 21x x =2010x ______

10．由两个不大于100的正整数m ，n 组成的整数对（m ，n ）中，满足

<<+21

n m

n

m 1

+的有______对，

第二试

一、（20分）解方程组：

??

???=++=++=++.33;33;

33232

32.3x z z z z y y y y x x x 二、（25分）已知15个一元二次方程02=+-q px x 的系数i i q p 、

取值于1，2，3，…，30，(i =1，2，…，15)，且这些系数两两不等，若一个方程有大

于20的根，则称该方程为“好方程”，求“好方程”个数的最大值，

三、（25分）如图，已知点A 、B 是圆O 外两个相异的点，O 是圆心，点P 在圆O 上，P A 、

PB 分别交圆O 于另一异于P 点的点D 、C ，且AD ·AP =BC ·BP . （1）证明：△OAB 为等腰三角形；

（2）已知AD ·AP =2p 2 +p ，OA =m -1，圆O 的半径为3，若p 为质数，m 为正整数，OA 的

长度．

A

B

C D

O

P

第一试

1.B

设+a b t =，则22

t t ab -=，从而()()22

20=+42a b a b ab t t ≤--=-，解得02t ≤≤

2.B

在这个表格中的矩形可有对角线两点确定，由于要包含红色小矩形，故一个顶点被确定，对角线另一顶点由34=12?种选择 3.B

用勾股定理可得：2222AB BD AC CD -=-，则()()+(+)()BD CD BD CD AB AC AB AC -=-。设+2,+1,AB n BC n AC n ===。则++1BD DC n =，代入上式即可得解

4.D

易知：20BDA =?∠，以CD 为边向内作正CDO △，连接OB ，则ABD OBD ?△△，从而150A DOB ==?∠∠ 5.B

原方程可化为()2

2+12a b c -=，a b c 、、为有理数，从而0,+10c a b =-=，所以1a b c --=- 6.B

首先1111sin 22BPQ S BPQ =???≤△∠，同理，11

,22PQR QRC S S ≤≤△△，

设DPR △与QPR △关于PR 对称，若D 与A 重合，1

2

P

A R P

Q R

S S

=≤△△

，若D 与A 不重合，则()180+D PQR B C A ==?-=∠∠∠∠∠，所以A P R D 、、、四点共圆，不难知道A 到直线PR

的距离不大于D 到直线PR 的距离，所以1

2

PAR PQR S S ≤≤△△，总之，2ABC S ≤△ 7.990

设+,[],01x k a k x a ==≤＜，则2[[]][(+)]+[]x x k k a k ka ==所以222,+1,,+1k k k k -，都能表示

为[[]]x x 形式，1,2,,44k =所以总个数为1+2+3++44990=

8.依题意，最富的骑士不是其他骑士的仆人，故至多31名骑士成为其他骑士的仆人，又每

位贵族至少拥有四名仆人，故至多有7名贵族，将32名骑士编号为1,2,32,，财富随序号增

大

而

递

减

，

则

()()()()()()()

12,34,556,7,8,9910,11,12,131314,15,16,17;1718,19,20,21;2122,23,24,25;2526,27,28,29，；；；，每个括号外的骑士是贵族，括号内的骑士为仆人，这说明7名贵族是可能的。 9.1005

由已知易得：22

+1+2+1,1,2,

,2010n n n x x x n ==，将这2010个等式累加并整理得：()2

20111220102++++2011x x x x =

所以122010+++=1005x x x -

10.171

因为212+2n m n -＜＜，对每一个n ，m 的个数由[2+2][21]n n --给出 又因为7121100712-＜

＜，从而71n ≤，但当71n =时，100m =，所以m 的个数为： {}

701Σ2+221+272+7122171n n n =????????--=-=????????

第二试

一、 原方程可化为：()()()3

3

3

+1+1;+1+1;+1+1x y y z z x ===

若x y ＞，则有()()3

3+1=+1+1+1y x y z =＞，即y z ＞

从而()()3

3+1=+1+1+1z y z x =＞，即z x ＞，从而y x ＞，矛盾，同法可得：若x y ＜，则x y ＞矛盾，所以x y =，同理y z =，所以x y z == 当x y z ==时，()3

+1+1x x =，解得2,1,0x =--

总之原方程组有三组解：()()()(),,0,0,0;2,2,2;1,1,1x y z =------

二、 首先若存在方程2+0i i x p x q -=的两根12x x 、，且有根大于20，易知：方程若有根，则

两根均为正，从而两根之和大于20，但1,2,3,,30中大于20的数仅10个，所以“好方程”至多10个。

其次考虑()220++0,1,2,,10x k x k k -==这10个方程

其较大根()

2

220++

20+420+++36+40020+++18

=+19202

22

k k k

k k k k k x k -=

=≥＞

所以“好方程”个数的最大值为10

三、 （1）作AT 切圆O 于T ，连结OT ，设圆O 的半径为R ，则222AD AP AT OA R ==-g ，

同理22BC BP OB R =-g ，由已知易得：OA OB =

（2）从⑴的证明可知：()()2

2+119p p m =--，即222+28p p m m =-- 从而：2272+363672288p p m m =--，于是：()()2

2

271++18361p p m =-

所以()()2716246++12p m p m p =--，解得符合条件的解为：9,5m p ==，从而8OA =