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向量

平面向量

1．给出下列命题：①凡零向量都相等；②凡单位向量都相等；③凡相等向量必是共线向量；④凡长度相等的向量必是相等向量。⑤若//,//，则//；⑥若),,(),,(d c B b a A 则

??++=2,22d b c a AB 。其中正确的个数为（）A 。1 B 。2 C 。3 D 。4 2．两个非零向量相等的必要而不充分条件是（） A ．两个向量长度相等 B ．两个向量方向相反

C ．两个向量长度相等但方向相反

D ．两个向量起点与终点分别重合 3．下列命题正确的是（）

A ．00||=?=

B b a >?>

C ．b a =?=b a //?= 4．向量b a ,都是非零向量，下列说法不正确的是（）

A ．若向量,同向，则+与同向

B ．若向量,反向，则+与反向

C ．若向量,>+与同向

D ．若向量,<+与同向

5．在四边形ABCD 中，+=，则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

6．给出下列式子：①OC AO +；②OC AO -；③OC OA -；④OC OA +-。其中结果为的有（）A 。①②B 。②③C 。③④D 。①④

7．已知AB ,58||== ） A ．[3，8] B ．（3，8） C ．[3，13] D ．（3，13）

8．若,不共线，且),(0R b a ∈=+μλμλ，则（）

A ．0==b a

B ．0==μλ

C ．0,0==b λ

D ．0,0==a μ 9．已知不共线向量,，实数y x ,满足向量等式()(),2542y x y x -+=+-则

=+y x （） A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2

10．若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB =41e ，26e BC =。则1223e e -等于（）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．若PP P OP a 则

2121,λ===等于（）

A ．λ+

B ．+λ

C ．()λλ-+1

D ．

b a λ

λλ+++111 12．已知点B 的坐标为（m ，n ），的坐标为（i ，j ），则点A 的坐标为（） A ．（m －i ，n －j ）B ．（i －m ，j －n ）C ．（m ＋i ，n ＋j ）D ．（m ＋n ，i ＋j ） 13．若()),,(,,2211y x y x ==则“

121y y

x x =”是“//”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．以上都不对 14．已知三点A （0，－3），B （3，3），C （x ，－1）共线，则x 的值为（） A ．－5 B ．－1 C ．1 D ． 5

15．已知两点A （4，1），B （7，－3），则与向量同向的单位向量是（） A ．??? ??-

54,53

B ．??? ??-54,53

C ．??? ??-53,54

D ．??

? ??-53,54 16．若连接A （－3，4）和B （x ，y ）的线段中点的坐标为（1，－1），则点B 的坐标为（）

A ．（－5，6）

B ．（5，－6）

C ．（－5，－6）

D ．（5，6） 17．如果AP ∶PB =1∶3，则=BA PB :（）

34 B. 43 C.－43 D.－3

18．已知点P 分有向线段21P P 的比为

λλ=的值为（） A ．－5或3 B ．－4或2 C ．5或－3 D ．4或－2

19．已知点n P P P ,,,21 是线段AB 的n 个等分点。若P ∈｛n P P P ,,,21 ｝，则P 分有向线段的比λ的最大值为（）

A ． n ＋2

B ．n ＋1

C ． n

D ．n －1 20．若)(≠?=?则( )

A. =

B. ≠ = D. ,分别在方向上的投影必相等 21．若0

0π B.??????ππ,2 C.（ππ,2） D.??

? ??ππ,2

22．若?ABC 中,AB=3,BC=2,∠B=30o,则?的值为( ) A.－3 B. 3 C.

3D. －3

23．点O 为?ABC 所在平面上的一点,且满足OA OC OC OB OB OA ?=?=?,则O 为

?ABC 的（）A 。重心 B 。垂心 C 。外心 D 。内心

24．下列各向量中，与向量=（4，3）垂直的向量是（） A ．（－4，－3）B ．（－4，3）C ．（－3，－4）D ．（－3，4）

25．已知a =（1，0），b =（1，1），若()

a b a ⊥+λ，则λ的值是（） A ．－1 B ．1 C ．－

21 D ．2

26．设三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的直角坐标分别是（2，3），（－12，－2），（－9，－7），

则三角形ABC 是（）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

27．已知()()⊥=-=,//,5,0,1,3，则C 点的坐标为（） A ．??? ??-

-429,3B ．??? ??-429,3C ．??? ??429,3D ．??? ?

-429,3 28．把点A （4，－3）按向量平移到点A 1（－1，5），则向量等于（） A ．（－5，8） B ．（5，－8） C ．（－5，－8） D ．（5，8）

29．当向量的起点从M （4，－1）移到N （－2，5）时，其终点从P （3，5）移到点Q ，则Q 点的坐标为（）

A ．（3，－11）

B ．（－3，11）

C ．（11，－3）

D ．（－11，3） 30．将函数x y 2sin =的图象按向量???

??-=0,6π平移后得到图象的函数解析式是（）

A ．)3

2sin(π

=x y B ．)6

2sin(π

=x y C ．)6

2sin(π

=x y D ．)3

2sin(π

=x y

31．已知抛物线542

++=x x y 按照向量a 平移，使顶点与原点重合，则向量a 等于（）A 。（－2，1）B 。（－2，－1）C 。（2，－1）D 。（2，1） 32．与所有向量共线的向量为

33．把平面内所有的单位向量平移到相同的起点O ，那么这些向量的终点构成的图形是 34．若c b a +=，则)(2)3(2)2(3b a b c b a +-+-+=

35．“非零向量c b a ,,满足0=++c b a ”是“向量c b a ,,的有向线段构成三角形” 的条件

36．一艘船从A 点出发，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船实际航行的速度的大小为 37．设表示速度是200米/秒的西南风，则a 2

表示

38．已知向量,a b ==2,7||,3则=

39．已知==--则,)2(32

40．已知向量21,e e 不共线，)(,2121R k e k e b e e k a ∈+=+=，若,共线，则k= 41．在四边形ABCD 中，已知||||,5,3CB AD e DC e AB ===，则四边形ABCD 的形状为 42．已知向量()m ,5=的长度为13，则实数m=

43．已知向量a 的方向与x 轴正方向成120度角，且|a |=2，则a 的坐标为 44．已知三个力()()(),,,5,2,4,3=++=-==y x 则= 45

(),//,2,1,5b a b ==且方向相反，则的坐标为

46．已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,

，则b a ++32= 47．已知向量的单位向量为???

? ??

=21,230a 。若向量的起点坐标为（1，－2），模为34则向量的终点坐标为

48．已知点A （－2，1），B （0，2），点C 分的比为－

，则点C 的坐标为 49．点（m ，n ）关于点（n ，m ）的对称点的坐标为 50．已知点A （2，3），B （0，1），C （3，0 ），点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE//BC ，且DE 平分?ABC 的面积，则点D 的坐标为

51．若()

0)(=-+b a b a ，则以|||,|b a 为边的四边形一定是 52．已知下列各式：

①2

=；②

；③()

?=?④

()

2+?+=+，其中正确的等式序号为

12,53=?==，则向量在向量的方向上的投影为

k k 若设⊥-=+=⊥==,4,32,,1= 55．如果单位向量,与单位向量的夹角都是45o，且()

)(2+?-⊥则= 56．已知=（3，7），=（－2，3），则()()

32?= 57．向量a =（3，1）与b =（－3，3）的夹角为

58．已知a =（－1，1），则与a 垂直的单位向量的坐标为

59．已知=（－2，－1），=（x ，1），若与的夹角为钝角，则x 的取值范围为 60．已知向量()()3,93,3,4--=--=λλλb a ，若λ则b a //= ；若

λ则⊥= ；

61．已知()())0(sin ,cos ,sin ,cos πβαββαα<<<==. (1) 求证:b a -与b a +互相垂直;

(2) 若k b a +与k b a -的模相等,求αβ-(其中k 是非零实数)

62．平面内有向量()()()ααsin ,cos ,5,4,2,1=--==,当α为何值

时,f ?=)(α能取得最大值?最大值是多少?

63．已知三角形ABC 中AD,BE,CF 分别是三边上的高.试用向量的方法证明:AD,BE,CF 交于

一点.

64．将点A （2，4）按向量a =（－5，－2）平移，得到相应A 1坐标为； 65．将A （5，7），B （2，3）按向量a =（－5，－2）平移，则向量AB 平移后所得向量11B A 的坐标为；

66．为了得到)2(x f y -=的图象，可以把函数)21(x f y -=的图象按向量进行平移，则向量等于

67．若将经过点（1，0）的直线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的直线与原直线重合，则这条直线是一次函数的图象。

68．将抛物线2x y -=按向量平移，使平移后的抛物线与抛物线22--=x x y 的两个交

点关于原点对称，求向量a 。

69．将x y 2s i n

=的图象向右按向量a 作最小的平移，使平移后的图象在)(,2Z k k k ∈??

???++ππππ上递减，试求平移后的函数解析式和向量

70已知点A （－1，1），B （1，3），C （4，6）。（1）求证：A ，B ，C 三点共线；（2）求出点C 分线段AB 的比

71．设j i ,分别是平面直角坐标系中Ox ，Oy 正方向上的单位向量，

n m +=+-=,2，-=5。若点A ，B ，C 在同一直线上，且n m 2=。

求实数m ，n 的值

（正弦、余弦定理） 1．已知?ABC 的面积为

，3,2==c b ，则A=（） A ．6π B ．3π C ．6π或65π D ．3

π或32π

2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角之和为（）

A ．90o

B ．120o

C ．135o

D ．150o 3．在?ABC 中，若

B a cos cos =，则?AB

C 是（） A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形 4．已知在?ABC 中，2,22==a b 。如果三角形有解，则必有（） A ．?≤

5．在?ABC 中，已知?=∠120C ，两边b a ,是方程0232

=+-x x 的两根，则c =（）

A ．13

B ．7

C ．11

D ．5

6．如图，要测量位于一座小山两侧的A ，B 两点间的距离，给出下列四组数据，测量时应当选用的一组是（） A B A ．b a ,,α B ．a ,,βα b a C ．b a ,,β D ．b a ,,γ C 7．在?ABC 中，已知8

cos ,6,022

=--A a c bc b ，则?ABC 的面积为（） A ．

215 B ．415 C ．615 D ．8

15 8．如果三个力321,,F F F 平衡，并且αβγ、、的夹角分别为和和和133221,,F F F F F F ，则（） 2F 1F A ．321F F F =+ B ．

βαsin |

|sin ||sin ||321F F F =

= C ．

γβαsin |

|sin ||sin ||132F F F ==D ．γ

βαsin ||sin ||sin ||213F F F =

= 3F 9．已知两座灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20o方向，灯塔B 在观测站C 的南偏东40o方向，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 10．在?ABC 中，已知2,32,30==?=∠AC AB B ，则?ABC 的面积为 11．在?ABC 中，（1）?===120,2,1A c b ，则

B A c

b a sin sin sin ++++= ；

（2）ab c b a c b a 3))((=++-+，则角C= ；（3）22=a ，B=45o，1=?ABC S ，则A sin = （4）C B A cos sin 2sin =，则三角形的形状为

（5）||||,2||,3||与==的夹角为60o，则||-= （6）BC=31，A=60o，D 为AB 边上一点，且CD=21，BD=20。则AD=

12．在一点O 上作用着两个力，它们的大小分别是5和3，夹角为30o，则合力的大小为 13．如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C 、D 两处测得烟囱的仰角分别为30度和60度，并测得CD=12米，则烟囱的高为米 B D B C C D A A

14．如图，我炮兵阵地位于A 处/两观察所分别位于B 和C 。已知?ABC 为正三角形，BC=a 。当前方出现敌目标D 时，在两观察所分别测得?=∠?=∠75,45BCD CBD ，求后方阵地A 与目标D 之间的距离。

15．A 、B 两人同拎着一个用绳子缚着的重物，当A 和B 拉着的绳子与铅直线分别成30度和45度，求A 、B 两人手上所承受的力的比

16．某渔轮在A 处测得在北45o东的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并沿着南75o东的方向以每小时10海里的速度游去。油轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕。问渔轮应沿什么方向、需多少时间才能追上鱼群（14

5'1338sin =?）

17．要测量河对岸两地A ，B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C ，D 两点，并测得?=∠?=∠?=∠?=∠45,30,45,75ADB ADC BCD ACD （A ，B ，C ，D 在同一平面内）。求A ，B 两地的距离。 B A C D

18．在?ABC 中，?===30,6.A b m a 。要使c 分别有两解、一解、无解，则相应的m 应满足什么条件？

19．在?ABC 中，2

32cos 2cos

b A

c C a =?+，求证：c b a ,,成等差数列。

向量易错题带规范标准答案

1．在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2AP PM =u u u r u u u u r ,则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 A 、49- B 、43- C 、43 D 、49 2．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （） A 、77 (,)93 B 、77(,)39-- C 、77(,)39 D 、77(,)93 -- 3．已知||8AB =u u u u r ，||5AC =u u u r ，则||BC uuu r 的取值范围是（） A 、]8,3[ B 、（3，8） C 、]13,3[ D 、（3，13） 4．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则 2 121y y x x =是b a //的（）条件。 A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 5．下列命题： ①4 2 2 ||)()(=? ②??=??)()( ③ |a ·b |=|a |·|b | ④若a ∥,∥,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使λ= ⑥若 ?=?，且≠，则= ⑦设21,e e 是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x a +=成立。 ⑧若|+|=|－ |则·=0。 ⑨·=0，则=或= 真命题个数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、3个以上 6．和a r = (3,－4)平行的单位向量是_________； 7．已知向量|||| a b p a b =+r r u r r r ，其中a r 、b r 均为非零向量，则||p u r 的取值范围是 . 8．若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______. 9．在四边形ABCD 中，AB u u u r =DC u u u r =（1，1）， BA BC BA BC BD +=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD

全国卷2011-2017高考—平面向量试题带答案

新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 5．平面向量（含解析）一、选择题【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( ) A ．(-7,-4) B ．(7,4) C ．(-1,4) D ．(1,4) 【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+FC EB ( ) A ．AD B ． AD 21 C ．BC 2 1 D ．BC 二、填空题【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ||b =r _________．【2011，13】已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 4．平面向量一、选择题（2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（） A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b （2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 （2014·4）设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=?b a ρρ（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 二、填空题（2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. （2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?=uu u r uu u r _______.

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳（1）常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-

为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件（2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心外心垂心 B.重心外心内心 C.外心重心垂心 D.外心重心内心例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3：已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的

取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题 1。在△AＢＣ中，AB＝AＣ，D,E分别就是ＡB,AC得中点，则（）。 A。与共线B．与共线 C。与相等?D。与相等 2.下列命题正确得就是()。 (第1题) A。向量与就是两平行向量 B.若a,b都就是单位向量,则a=b Ｃ.若=，则A,B，Ｃ，Ｄ四点构成平行四边形 D.两向量相等得充要条件就是它们得始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3，1）,Ｂ(－1,3)，若点C满足=α ＋β ，其中α，β∈R，且α+β=1,则点C得轨迹方程为(). A。3x＋２y-1１＝０???B.(x－1)2＋（y-1)2＝5 C.2ｘ－y=0?? D.x＋２y－５＝０ 4.已知a、b就是非零向量且满足（a-2b）⊥a，（b－2a)⊥b,则a与ｂ得夹角就是（)。 A. ? B.???Ｃ. ?D。 5.已知四边形ＡBＣD就是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点Ａ，C),则=（)。 A.λ（+)，λ∈(０,1)????B。λ(＋）,λ∈(0,） C.λ(-），λ∈(0,１）??? ?Ｄ。λ（-),λ∈(0，) ６.△ABC中,D，E，F分别就是AB，BC,ＡC得中点，则=(). A。＋????Ｂ.- C。＋???Ｄ。＋ 7.若平面向量ａ与b得夹角为60°，|b｜=４，(a+2b)·(a－3ｂ)＝-72,则向量ａ得模为( )。 A。2??Ｂ。4 ??C.6 ??D.12 ８。点O就是三角形AＢC所在平面内得一点,满足·=·=·,则点O就是△AＢＣ得()。

A 。三个内角得角平分线得交点 ??B.三条边得垂直平分线得交点Ｃ．三条中线得交点??????D 。三条高得交点 9。在四边形ABCD 中，＝a +2b ,＝－4a －ｂ，＝-5a -３ｂ,其中ａ,b 不共线，则四边形A ＢCD 为（ )。Ａ。平行四边形??B 。矩形????Ｃ.梯形? ? D.菱形 10.如图，梯形ABCD 中，||=|｜,∥∥则相等向量就是( )。Ａ。与 ?B 。与 C 。与??Ｄ.与二、填空题 1１。已知向量＝（k ,１2）,=(4，5),＝(－k ，10),且A ，B ,C 三点共线，则k = . 12。已知向量ａ＝（x ＋3,x ２-3x -4）与相等,其中M (-１,3),Ｎ（1,3）,则ｘ＝。 1３.已知平面上三点A ,B ,Ｃ满足||=３,｜｜=４,|｜＝５，则·+·+·得值等于 . １4。给定两个向量a ＝（３,4），ｂ＝（２,－1),且（ａ＋m b )⊥（ａ－b )，则实数ｍ等于。 15．已知Ａ,B ,C 三点不共线,O 就是△ＡB Ｃ内得一点，若＋＋=0,则O 就是△ABC 得 . ?16.设平面内有四边形A ＢCD 与点Ｏ，=a ,=b ，=c , ＝d ,若ａ+ｃ=b +ｄ，则四边形ＡBC Ｄ得形状就是。三、解答题 17.已知点A (2,3）,B (５,4)，C (7,10）,若点Ｐ满足＝+λ（λ∈R )，试求 λ为何值时,点P 在第三象限内? １8.如图,已知△AB Ｃ,A (7，8),Ｂ(3，5)，Ｃ(4，3）,M ,Ｎ，D 分别就是AB ,ＡC ,BC 得中点，且MN 与ＡＤ交于Ｆ,求。 ?１9.如图，在正方形ＡBCD 中，E ，F 分别为AB ,BC 得中点，求证：AF ⊥DE (利用向量证明). 20。已知向量a ＝(c ｏｓ θ,si ｎ θ),向量ｂ＝(，－1),则|２a -b |得最大值. ?参考答案 (第10题) (第18题) (第19题)

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ? =++0OC OB OA ?? ?=-+-+-=-+-+-0 )()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ??? ?++=++=?3 3321321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心（2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为A B C ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为A B C ?的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O OC c OB b OA a ?=++0为A B C ?的内心. 证明：b AC c AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b AC c AB + 平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a b c ++= λ O A B C D E O A B C D E

平面向量高考试题精选(含详细标准答案)

平面向量高考试卷精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（） A．B．C．D．π

7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B．C．D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A．B．C．D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A．B．C．D．0 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（） A．B． C．D．

(完整版)《平面向量》测试题及答案

《平面向量》测试题一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。

向量证明重心(精选多篇)

经典合同向量证明重心姓名：XXX 日期：XX年X月X日

向量证明重心向量证明重心三角形abc中，重心为o，ad是bc边上的中线，用向量法证明ao=2od (1).ab=12b，ac=12c。ad是中线则ab+ac=2ad即12b+12c=2ad，ad=6b+6c;bd=6c-6b。od=xad=6xb+6xx。(2).e是ac中点。作df//be 则ef=ec/2=ac/4=3c。平行线分线段成比od/ad=ef/af即 (6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。 (3).od=2b+2c，ao=ad-od=4b+4c=2(2b+2c)=2od。 2 设bc中点为m∵pa+pb+pc=0∴pa+2pm=0∴pa=2mp∴p为三角形abc 的重心。上来步步可逆、∴p是三角形abc重心的充要条件是pa+pb+pc=0 3 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf，求证ad、be、cf交于一点o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1 证明：用归一法不妨设ad与be交于点o，向量ba=a,bc=b,则ca=ba-bc=a-b 因为be是中线，所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线，故设bo=xbe=(x/2)(a+b) 同理设ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形abo中，ao=bo-ba 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因为向量a和b线性无关，所以第 2 页共 17 页

高一向量知识点加例题(含标准答案)

向量复习题知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差。 ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 6、平面向量基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r ，记作a r =(x,y)。 2平面向量的坐标运算：（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y r r （2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r （3）若a r =(x,y)，则 a r =( x, y) （4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y r r （4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y r r ，若a b r r ，则02121 y y x x 三．平面向量的数量积

向量练习题及答案

向量练习题及答案一．选择题（共16小题） 1．（2016?湖南模拟）已知，，，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量等于（） A．B．C．D． 2．（2015春?建瓯市校级期末）已知=（2，0）， =（1，1），则下列结论正确的是（）A．∥B．| |=| | C．﹣与垂直D．与的夹角为 3．（2015秋?淄博校级期末）已知向量，若，则k等于（） A．﹣12B．12 C．D． 4．（2015秋?广安期末）与向量=（3，4）共线反向的单位向量=（） A．（﹣，﹣）B．（﹣，） C．（﹣，﹣），（，）D．（，） 5．（2016?广州模拟）已知| |=1，=（0，2），且?=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D． 6．（2016?宝鸡一模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（） A．|? |=||||B．|+|=| |+丨丨C．（?）= （? ）D． 2 ?=|| 7．（2016?镇江一模）已知||=| |=1，| ﹣|= ，则|+ |=（）第1页（共4页）

A．1 B．C．D．2 8．（2016?淄博一模）已知平面向量，的夹角为，且| |=1，|+2|=2 ，则||=（）A．2 B．C．1 D．3 9．（2016?山东模拟）已知向量，| ，则＜等于（） A．B．C．D． 10．（2016?江西模拟）如图，在正六边形ABCDEF 中，| |=2，则?等于（） A．﹣6B．6 C．﹣2 D．2 11．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A．﹣ 2 2 2 2 aB．﹣aC．aD． a 12．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．| |≤|||| B．| |≤|||﹣||| 2 2 ）?（2 ﹣ 2 C．（）=| |D．（）= 13．（2015?嘉峪关校级三模）已知向量，的夹角为 45°，且||=1，|2﹣|= ，则||= （） A．B．2 C．3 D．4 14．（2016?吉林三模）函数（1＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（+ ）? =（） A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 第2页（共4页）

向量知识点总结

向量知识点总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

向量知识点总结一、教学要求： 1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。 2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。 3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算 1. 有关概念（1）向量——既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向线段表示向量向量二要素方向长度????? （）向量的模—有向线段的长度，2||||AB a →→ 长度等于的向量叫做单位向量，10a a a →=→→|| 零向量（的方向不定），0000→→→ =|| （3）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。（）相等的向量——长度相等方向相同4?????→=→a b

规定：00→=→ 向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。规定：零向量与任一向量平行。 2. 向量有三种形式（或三种表示）几何表示几何运算←→??代数表示代数运算←→?? 坐标表示坐标运算←→?? 3. 向量的加法、减法与数乘（1）向量的加法——三角形法则或平行四边形法则如图：向量加法的多边形法则如图，求a b c →+→+→ （2）向量的减法： a b a b a b →-→=→+-→→→()，即向量加上的相反向量。（的箭头指向被减向量）a b →-→

平面向量练习题附答案

平面向量练习题一．填空题。 1．BA CD DB AC +++等于________． 2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________． 4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________． 5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________． 7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8.已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______ 9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____ 11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____ 13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则() OA OB OC +的最小值是. 14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为. 二．解答题。 1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．

【CN110083833A】中文字词向量和方面词向量联合嵌入情感分析方法【专利】

(19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910312290.6 (22)申请日 2019.04.18 (71)申请人东华大学地址 201600 上海市松江区人民北路2999 号 (72)发明人周武能　何学辉　 (74)专利代理机构上海申汇专利代理有限公司 31001 代理人翁若莹　柏子雵 (51)Int.Cl. G06F 17/27(2006.01) G06K 9/62(2006.01) G06N 3/04(2006.01) G06N 3/08(2006.01) (54)发明名称中文字词向量和方面词向量联合嵌入情感分析方法(57)摘要本发明公开一种中文字词向量和方面词向量联合嵌入CNN -LSTM情感分析模型。包括：字词向量联合嵌入表示，词向量和方面词联合嵌入表示，卷积神经网络整合句子特征和方面词特征，句子特征和方面词特征联合输入LSTM神经网络，利用LSTM的时序记忆功能对文本特征进行排序，并且添加基于方面词的注意力机制，最后用全连接层与soft -max函数判断情感类别。由于词语中的汉字对词语的意思具有一定的表征作用，中文字词向量结合嵌入可以使共享汉字的词语之间产生了联系。方面词和评论中的词向量组合输入神经网络训练，可以提高评论内容主题情感判断的准确度。卷积神经网络将二者特征融合，进一步提高情感分析模型的准确度。权利要求书1页说明书3页附图2页CN 110083833 A 2019.08.02 C N 110083833 A

权　利　要　求　书1/1页CN 110083833 A 1.一种中文字词向量和方面词向量联合嵌入情感分析方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤一、载入中文商品评论语料库，并将语料库按比例进行分割，分为训练集和测试集；步骤二、利用jieba分词工具对训练集和测试集分别进行分词处理；步骤三、利用神经网络模型进行字词向量联合预训练，得到词语的初始化词向量和汉字的初始化字向量表示，即得到字词向量联合嵌入表示；步骤四、利用LDA模型对主题aspects进行建模，提取商品评论中的方面词，并且线性的将方面词与词向量结合，得到词向量和方面词联合嵌入表示；步骤五、将步骤三中得到的字词向量联合嵌入表示输入到卷积神经网络一提取出不同维度的特征，然后经过池化操作得到字词向量联合嵌入表示的低维特征向量；步骤六、将步骤四中得到的词向量和方面词联合嵌入表示输入到卷积神经网络二提取出不同维度的特征，然后经过池化操作得到词向量和方面词联合嵌入表示的低维特征向量；步骤七、将步骤五得到的低维特征向量和步骤六得到的低维特征向量组合加权，即分别将两个卷积神经网络得到的字词向量和方面词向量进行拼接建模，得到拼接建模向量；步骤八、利用LSTM神经网络，将步骤七得到的字词向量和方面词向量的拼接建模向量输入到LSTM中，利用LSTM的时序记忆功能对文本的特征进行排序，得到隐藏层当前的隐状态H；步骤九、LSTM输出的隐层表示与主题aspects向量拼接后作为输入，经过一层神经网络得到的新的隐层表示，给当前的隐状态添加注意力机制，通过自动加权的方式决定输入文本需要关注的部分，分别得到句子向量的概率分布；步骤十、最终的句子向量经过softmax函数判断情感类别的概率，得到情感结果。 2.如权利要求1所述的一种中文字词向量和方面词向量联合嵌入情感分析方法，其特征在于，步骤三中，在进行词向量训练的时候，将词语中把组成词语的汉字单独抽取出来和词语一起进行训练，使那些共享汉字的词语之间产生了联系，词语中的汉字对词语的意思具有一定的表征作用。 2

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质55674

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。重心：ABC ?中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC ?中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ?中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC ?中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。一、重心 1、O 是ABC ?的重心?0=++OC OB OA 若O 是ABC ?的重心，则ABC AOB AOC BOC ?=?=?=?3 1 故=++, )(3 1 PC PB PA PG ++=?G 为ABC ?的重心. 2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心?)(3 1 ++=. 证明： +=+=+=?)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴0=++GC GB GA ?0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3 1 ++=.（反之亦然（证略）） 3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心. 例1 若O 为ABC ?内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ? 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心

1、O 是ABC ?的垂心??=?=? 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则故tan tan tan =++C B A 2、H 是面内任一点，?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥?=??=-???=?00)(, 同理⊥，⊥.故H 是ABC ?的垂心. （反之亦然（证略）） 3、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ?=?，得()0P B P A P C ?-=，即0P B C A ?=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥． ∴P 是ABC △的垂心．如图1. 4、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ?? ?=++ ??? ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过 ABC △的垂心．例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心图1 A

平面向量高考试题精选(含详细标准答案)

— 平面向量高考试卷精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）、 A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ | 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）

A．B．C．D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）（ A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B．C．D．1 { 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A．B．C．D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A．B．C．D．0 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 ~

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结 1.0是的重心；若0是的重心，则故；为的重心. 2.0是的垂心；若0是（非直角三角形）的垂心，则故 3.0是的外心（或）若0是的外心则故 4. 0是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才0是内心的充要条件可以写成，0是内心的充要条件也可以是。若0是的内心，则故；是的内心；向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；

xx 例（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P 点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，贝卩知选B. （二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2. H是厶ABC所在平面内任一点，点H是厶ABC的垂心. 由, 同理，.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.（xx）P 是厶ABC所在平面上一点，若，则P是厶ABCF（D ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析: 由. 即贝S所以P为的垂心.故选D. （三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例4. G是厶ABC所在平面内一点，=0点G是厶ABC的重心. 证明作图如右，图中连结BE和CE贝S CE=GB BE=GCBGCE平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将代入=0，

得=0,故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））例5. P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心. 证明 ??*是厶ABC的重心/? =0=0,即由此可得. （反之亦然（证略））例6 若为内一点, ,则是的（） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：由得，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，贝卩，由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。（四）将平面向量与三角形外心结合考查例7 若为内一点,,贝是的（） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心 ,选B。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量,,满足条件++=0, ||=||=||=1 , 求证△ P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6 题）证明由已知+=-，两边平方得?=,

特征根和特征向量

7.5 特征根和特征向量教学目的： 1．熟悉掌握线性变换（矩阵）的特征根与特征向量的方法。 2．掌握特征根与特征向量的一些常用的性质。教学内容: 1．线性变换的特征根与特征向量：一维不变子空间和所谓特征根的概念有着密切的联系，后者无论在理论上还是在应用上都是非常重要的。设V 是数域F 上一个向量空间。σ是V 的一个线性变换。定义1 设λ是F 中一个数。如果存在V 中非零向量ξ，使得（1） ()λξξσ = 那么λ就叫做σ的一个特征根，而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个特征向量。显然，如果ξ是σ的属于特征根λ的一个特征向量，那么对于任意a ∈F ，都有 )()()(ξλλξξσξσa a a a === 这样，如果是的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变；反过来，如果V 的一个一维子空间U 在之下不变，那么U 中每一个非零向量都是的属于同一特征根的特征向量。例1 令H 是的一个过原点的平面，而是把的每一向量变成这个向量在H 上的正射影的线性变换（参看7.1,例题）。那么H 中每一个非零向量都是的属于特征根深蒂固的特征向量，而过原点与平面H 垂直的直线上每一个非零向量都是的属于特征根的特征向量。例2 令D 表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量空间。 )()(:x f x f ' δ是求导数运算。δ是D 的一个线性变换。对于每一个实数λ，我们有 x x e e λλλδ=)( 所以任何实数λ都是δ的特征根，而x e λ是属于λ的一个特征向量。例3 令F[x ]是数域F 上一切一元多项式所成的向量空间。容易证， )()(:x xf x f σ 是F[x ]的一个线性变换。比较次数可知，对于任何F ∈λ，都不存在非零多项式)(x f ，使)()(x f x xf λ=，因此σ没有特征根。设V 是数域F 上一个n 维向量空间。取定V 的一个基 {}n ααα,,,21 ，令线性变换 σ关于这个基的矩阵是 .)(nn ij a A = 如果n n x x x αααξ +++= 2211是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向量，那么由（1）和定理7.3.1，我们有 ???? ?? ? ??=??????? ??n n x x x x x x A 2121λ, 或 (2) .000)(21???? ?? ? ??=??????? ??- n x x x A I λ 因为0≠ξ，所以齐次线性方程组（2）有非零解。因而系数行列式

(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数 A 一、 1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程02422 2 2 =++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22 =绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为__ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 22 2 =+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的36942 2 =-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、