自编高等数学第三章习题解答
第三章
习题 3.1
1 函数
在区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，则相应的拉格朗日中值
公式中的与分别是多少？ 解：
在区间上连续、区间内可导，满足拉格朗日中值定理条件，
，又. 2 一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路上，2小时行驶了159公里。罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶，为什么？
解：汽车2小时内的平均速度为，则说明存在时刻，汽车的行驶速度大于65公里/小时。
3 证明：
证明：，， 则故有 4证明： ⑴当
为任意实数时，
⑵当
时，.
证明：⑴设
，函数在之间满足拉格朗日中值定理：
介于之间，
， ⑵对
在上使用拉格朗日中值定理，使得
5 证明方程
至多有两个不同的实根。
()ln f x x =[1,]e ξθ()ln f x x =[1,]e (1,)e 1
()(1)1(),11
f e f f e e ξξ
-'=
=
=--1e ξ=-()1(1),a b a e ξθθ=+-=+-2
1e e θ-=
-159/279.5=公里/时2
22arctan arcsin , 1.1x
x x x π+=≥+22()2arctan arcsin 1x f x x x =++22
22
()011f x x x
'=-=++(),f x c =(1),c f π==2
22arctan arcsin , 1.1x
x x x
π+=≥+,x y |sin sin |||.x y x y -≤-1x >x e e x >?()sin f x x =()f x ,x y sin sin ()cos ,x y x y ξξ-=-,x y sin sin cos x y x y
ξ-=
-|sin sin |
|cos |1,||x y x y ξ-=
≤-|sin sin |||.x y x y -≤-()x f x e =[1,](1)x x >(1,),x ξ?∈)1(,,)(1
1)1()(1>>∴=>='=--=--x ex e e e e f x e
e x
f x f x x ξξ42870x x -+=
证明：设，假设函数有三个不同的零点，设为,
则函数
在上满足罗尔中值定理，则，使得：
.
另一方面，
仅有一个零点，矛盾！从而方程至多有两个不同的实根.
6 设
在上连续，在内可导，且,证明存在,使得.
证明：设
，则在上连续，在内可导，由罗尔中值
定理：
使得，则有：.
7 证明：若函数
在上满足关系式,且,则.
证明：设，，故，从而， 又由于，则所以有.
习题3.2
1 用洛必达法则求下列极限。
（1）（为正整数，）； （2）；
（3）
（4）
（5）
； （6）
（7）
； （8）
（9）
； （10）
(
-
)； 4()287f x x x =-+()f x 123x x x <<()f x 1223[,],[,]x x x x 112223(,),(,)x x x x ξξ?∈?∈12()()0f f ξξ''==3()88f x x '=-42870x x -+=()f x [0,1](0,1)(1)0f =)1,0(∈ξ()
()f f ξξξ
'=-
()()F x xf x =()F x [0,1](0,1)(1)(0)0F F ==(0,1),ξ?∈()()()0F f f ξξξξ''=+=()
()f f ξξξ
'=-
()f x (,)-∞+∞()()f x f x '=(0)1f =()x f x e =()()x f x x e φ=2()()()0x x x
f x e f x e x e
φ'-'==()()x f x x c e φ==()x
f x ce =(0)1f =1,c =()x f x e =lim m m
n
n
x a x a x a →--,m n 0a ≠0lim
sin x x
x e e x
-→-2
lim(sec tan )x x x π
→
-2
2
ln sin lim
(2)x x x π
π→
-+∞
→x lim 1(1)x
x e -0
lim
→x ln tan 7ln tan 3x x
1lim x
x x
→+∞
2
lim (arctan )x x x π
→+∞
1
ln 0
lim(cot )x
x x +
→1
lim →x x
ln 11
x
x -
（11）
； （12）. 解：（1）1） （2） 2. （3）.
（4）
（5）. （6）. （7）
（8） .
（9）
（10）
∞→x lim ln (0)x a x a x a +??
≠ ?-??
0lim →x x x x x 3sin cos sin -11lim lim m m m n
n n x a x a x a mx x a nx --→→-==-m n
m a n -00lim
lim sin cos x x x x
x x e e e e x x
--→→-+==2
2
2
1sin cos lim(sec tan )lim
lim 0cos sin x x x x x
x x x x π
ππ→
→→
---===-22
2
2
cos ln sin cos sin lim lim lim (2)4(2)(84)sin x x x x
x x x x x x x ππππππ→→→
==----2
sin 1
lim
8sin (84)cos 8x x x x x
ππ→-==-+-1
110011lim (1)lim
lim lim 111t t t
x
x
x
x x t t e e e x e t
x
=→+∞→+∞→→---====22220007sec 7ln tan 77sec 7tan 3tan 7lim lim lim 13sec 3ln tan 3tan 73sec 3tan 3x x x x
x x x x x x x x
x
→→→?===1111ln lim
ln lim
0lim lim 1.x x x x x
x
x x x x x e
e
e
e →+∞→+∞→+∞
→+∞=====2
2
ln(arctan )
lim ln(arctan )
2
lim (
arctan )lim x x x x x x
x x x e
e
π
π
π
→+∞
→+∞
→+∞===2e
π
-
x
x x ln 10
)(cot lim +
→x
x x e ln cot ln 0
lim +
→=x
x
x e
ln cot ln lim
0+→=x x
x x e 1csc tan lim
20?-+
→=
x x
x x e
sin cos 1lim
0?
-+→=.1-=e 1
111ln lim(
)lim ln 1(1)ln x x x x x x x x x x
→→---=--1
1
ln ln lim
lim
1ln 1ln (1)
x x x x x
x x x x x x
→→--==+-+-1ln 1lim ln 11
x x x →--==++12-
（11）
（12）.
2.验证极限
存在，但不能用洛必达法则求出。
解： 使用洛必达法则有， 极限不存在。 3 设
，且，求. 解：
. 习题 3.3
1 按的幂展开多项式。
解：
.
2 求函数
的幂展开的带拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。
ln lim ln lim 1x x x a x a x a x x a x
→∞→∞
+?? ?
+-????= ?-??22
222()()
2()lim lim 21
x x x a x a x a ax x a x a a x a x
→∞→∞---+?
+-===--233220000sin cos sin cos sin 1
lim
lim lim lim sin 333
x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--====0
lim
→x x
x
x sin 1sin
22200011sin sin
1lim
lim lim sin 0,sin x x x x x x x x x x x
→→→===2200011sin sin
11lim
lim lim(2sin cos )sin x x x x x x x x x x x x
→→→==-()
,0(),0
g x x f x x
x x ?≠?
=??=?(0)(0)0,(0)3g g g '''===(0)f '2
2000()
()(0)()(0)lim lim lim 0x x x g x x f x f g x x
x f x x x
→→→---'===-000()2()1()(0)11lim lim 1lim 1(0)1222022
x x x g x x g x g x g g x x x →→→''''--''==-=-=-=-(1)x -32()45f x x x =++2()38,()68,()6,f x x x f x x f x ''''''=+=+=23(1)(1)
()(1)(1)(1)(1)(1)2!3!
f f f x f f x x x ''''''=+-+
-+-231011(1)7(1)(1)x x x =+-+-+-()f x =(4)x -
解：
，
令，得：
.
3写出函数在处的四阶泰勒公式.
解
令，得：
. 4 用泰勒公式求下列函数的近似值，并估计其误差。 （1） （2
解：
（1）
，令，
， 令.
误差.
（2）
，
2()000000011
()()()()()() ()()2!!
n n f x f x f x x x f x x x f x x x n '''=+-+
-+???+-(1)1000(())
()(01)(1)!
n n f x x x x x n θθ+++-+-<<+04x =3n =4
237
2
111
15(1)2(4)(4)(1)464512
4!16[4(4)]
x x x x x θ-=+---+--
?+-x x x f ln )(3
=10=x 2()
000000001
1()()()()()()()()[()]2!
!
n n n f x f x f x x x f x x x f x x x o x x n '''=+-+
-++
-+-01x =4n =23445116
()(1)(1)(1)(1)(1)2!3!4!
f x x x x x o x =-+
-+-+-+-lg112()000000011
()()()()()() ()()2!!
n n f x f x f x x x f x x x f x x x n '''=+-+
-+???+-(1)1000(())
()(01)(1)!n n f x x x x x n θθ+++-+-<<+2()
00000001
1()()()()()()()()2!
!
n n f x f x f x x x f x x x f x x x n '''≈+-+
-++
-()lg f x x =010,11x x ==()
1
1(11)lg11(10)(10)(10)(10)2!
!
n f f f f f n '''=≈++
++
3,
n =lg11 1.04139≈4
(1)
1-50006
10(())
ln10|()||
()| 1.0910(1)!4!
n n n f
x x x R x x x n θ-++?+-=-=≤?+()f x =027,30x x ==2
()
33(30)(27)3(27)(27)(27)2!
!
n n f f f f f n '''≈+++
+
令 3.10724.
误差.
5 计算
.
解：， 原式=. 6 计算
解：， ，
，，
. 7 证明：设
，.
证明：
.证毕.
习题3.4
1 判定函数
的单调性。
解：，故函数在定义区间上单调减少. 2 确定下列函数的单调区间 （1）
（2）
解：（1） 当时，导数不存在.
3,
n
=≈(1)1-5000(())
|()||()| 2.8210(1)!
n n n f x x x R x x x n θ+++-=-≤?+3
0sin cos lim
x x x x
x →-334
4sin (),cos ()3!2!
x x x x o x x x x o x ≈-+≈-+33344
43300()[()]()
13!2!3lim lim 3
x x x x x x o x x o x o x x x →→-+--++==2
01lim[ln(1)]x x x x
→-+12311(1)ln(1)+ ()23n n
n x x x x x o x n --+=-+???+
+123111111(1)11
ln(1)()() + ()()23n n n o x x x x n x x --+=-+???++2211111
ln(1)()()2o x x x x +=-+2221111ln(1)()/2x x o x x x +≈-+220
1111
lim[()/]22
x x x o x x →-+
-=0x >2
ln(1)2
x x x -<+2332111
ln(1)()232
x x x x o x x x +=-
++>-arctan y x x =-2
22
11011x y x x -'=
-=≤++32x y
=ln(y x = ).,(:+∞-∞D 332x
y ='),0(≠x 0=x
当时， 在上单调减少； 当时， 在上单调增加； 单调区间为，. （2）
，
函数在单调增加.
3 利用函数的单调性证明下列不等式。 （1）
； （2）
. 证明（1）， 令，
故在内单调递减，又，从而有，.
即
，从而在内单调递减，则有： ，综上有：. （2）
，为上的偶函数，以下仅需证明
即可。
，
，所以在单调递增，
，即在上，，则有在单调递增，
0<<-∞x ,0<'y ∴]0,(-∞+∞<
D 0y x ''=
+=
=
>(,)-∞+∞2sin ,(0,)2
x
x x x π
π<<∈2
1,022
x x e e x x -+>+≠22
sin cos sin cos (tan )
(),()x x x x x x x f x f x x x x --'=
==22()tan ,()1sec tan 0,(0,)2
g x x x g x x x x π
'=-=-=-<∈()g x (0,)2π(0)0g =()0g x <(0,)2π
2
cos (tan )()0x x x f x x -'=<()f x (0,)2
π0sin
sin sin 2lim 1,(0,)2
2
x x x x x x π
ππ→<<=∈2sin ,(0,)2x x x x ππ<<∈2
()1,022
x x e e x f x x -+=--≠()f x (,0)(0,)-∞?+∞2
()10,022x x e e x f x x -+=-->>(),02
x x
e e
f x x x --'=->()102
x x
e e
f x -+''=-≥()f x '(0,)+∞(0)0f '=(0,)+∞()0f x '>()f x (0,)+∞
，进一步有
.
综上：
. 4 求下列函数的极值。 （1）
；
（2）
解：（1）得， 在上， 在上， 故函数处取得极大值 .
*有问题（2）
得， 在上，
单调递减，
在
上，
单调递增，
在上，
单调递减，
极小值，极大值.
5 试问
为何值时，
函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并
求此极值。 解：
，在处取得极值，则：
即，
，所以有：
. (0)0f =2
()10,022
x x e e x f x x -+=-->>2
1,022
x x e e x x -+>+≠342y x x =-2
(ln )x y x
=
).,(:+∞-∞D 23264(64)0,y x x x x '=-=-=1233
0,2
x x x ===
3
(,)2
-∞23264(64)0,y x x x x '=-=-≥3
(
,)2
+∞23264(64)0,y x x x x '=-=-≤332x =327
()216
f =:(,0)(0,).D -∞?+∞2
2
2ln (ln )0,x x y x -'==2121,x x e ==(,1)-∞0,y '<2
(ln )x y x =2
(1,)e 0,y '>2
(ln )x y x =2
(,)e
+∞0,y '>2
(ln )x y x
=(1)0f =22
4()f e e =
a 1
()sin sin 33
f x a x x =+3
x π
=()cos cos3f x a x x '=+1()sin sin 33f x a x x =+3
x π
=
()cos cos 0,33f a ππ
π'=+=2,a =()2sin 3sin3f x x x ''=--()2sin 3sin 033f πππ''=--=2,()3
a f π
==
6 求下列函数的凹凸区间和拐点。 （1），
（2）
. 解：（1）函数
的定义域为：.
，，令，得. 在上，，曲线在上凸，在上，，曲线下凸，是曲线拐点. （2）
的定义域为： ，，曲线在定义域内为下凸的.
7 通过讨论函数性态，描绘下列函数图形。 （1） ；
（2）
. 解： (1) 函数定义域为：
，
.
(2) 由
，得到.由，得到.
(3) 列表确定函数升降区间、凹凸区间及极值和拐点：
(4)
为水平渐近线。
32233625y x x x =--+21y x x
=+
32233625y x x x =--+(,).-∞+∞26636y x x '=--126y x ''=-0y ''=1
2
x =
1(,
)2-∞0y ''<1(,)2-∞1(,)2+∞0y ''>1(,)2+∞113(,)22
21
y x x =+
(,0)(0,).-∞?+∞212y x x '=-32
20y x
'=+>2
x y e
-=ln x
y x x
=+
(,).-∞+∞()2
2x
f x xe -'=-()222
22242(21)x x x f x e x e e x ---''=-+=-()0f x '=0=x ()0f x ''=2
x =±
2
lim 0,0x x e y -→∞
==
(5)算出
，处的函数值
，
， 根据以上结论，用平滑曲线连接这些点，就可以描绘函数的图形，如下图。
（2）(1) 函数定义域为：无奇偶性、周期性。
，.
(2) 由
，得到.
(3) 列表确定函数升降区间、凹凸区间及极值和拐点：
(4)
为垂直渐近线， 则，
为斜渐近线。 (5)算出
处的函数值
.
0=x 2
x =±
()01f =1
2
2f e -?±= ??
(0,).+∞()222
1ln 1ln 10x x x f x x x -+-'=+=>()
42(1ln )
x x x f x x +-''=-()0f x ''=3
2
x e
=0
ln lim()0,0x x
x x x
→+
==0lim
1,x y x →=1,k =00ln lim()lim()0x x x y x x x x →→-=+-=y x =32
x e
=332
2
32
3() 4.8162f e e e
=+
=
根据以上结论，用平滑曲线连接这些点，就可以描绘函数的图形，如下图。
习题3.5
1求函数
在上的最大值及最小值。
解：
，令得：
又
，
最大值
，最小值.
2 函数
的最大值与最小值。
解：
得.
， 故函数
取得最小值，无最大值. 3 一有盖的圆柱形容器，当给定体积时，要使容器表面积最小，问底的半径与容器的比例应该怎样？ 解：设圆柱形容器底面半径为，高为，则，
圆柱形容器表面积
，
令
，得：故
有盖圆柱形容器的高与底圆直径相等时用料
sin 2y x x =-,22ππ??
-????
2cos 21y x '=-2cos 2
10,y x '
=-=12,,6
6
x x π
π
=
=-
(),()
,(),()2222626626y y y y ππππππππ-==--=-+=-
2
π2π-
,(0,)y x =+∞
0,
y '=
==
=2x e -=0
lim 0,lim lim
,x x x x y x y x →→→+∞
====+∞22()y e e
-=-
,(0,)y x =+∞在上2
e
-
V r h 22
,V V r h h r ππ==
222
2222222V V A r rh r r
r r r
ππππππ=+=+=+2240dA V
r dr r π=-=r h ==
最省。
4 由直线及抛物线围成一个曲边三角形, 在曲边上求一点, 使曲线在该点处
的切线与直线及所围成三角形面积最大。
解： 根据几何分析, 所求三角形面积为
由 解得(舍去). 为极大值.
故三角形为所有中面积的最大者.
5某服装有限公司确定，为卖出套服装, 其单价应为. 同时还确定，生产套服装的
总成本可表示成
.
(1) 求总收入 (2) 求总利润
(3) 为使利润最大化,公司必须生产并销售多少套服装? (4) 最大利润是多少?
(5) 为实现这一最大利润, 其服装的单价应定为多少? 解：（1）总收入
（2）总利润
（3）为求的最大值, 先求 解方程，得
注意到
, 因为只有一个驻点,所以是最大值.
（4） 最大利润是
（元）
8,0==x y 2x y =2
x y =0=y 8=x ),80)(16(2182102
000≤≤-??
? ??-=
x x x x S ,0)1616643(4
1020=?+-=
'x x S ,3
16
0=
x 160=x 1680,3S ??
''=-< ???
274096316=??
? ??∴S 274096316=??
? ??S x x p 5.0150-=x 2()40000.25C x x =+).(x R ).(x L ()R x x p =?2(1500.5)1500.5.x x x x =-=-222()()()(1500.5)(40000.25)0.751504000.L x R x C x x x x x x =-=--+=-+-()L x () 1.5150.L x x '=-+()0L x '=100.x =() 1.50L x ''=-<(100)L 2(100)0.7510015010040003500L =-?+?-=
由此公司必须生产并销售100套服装来实现3500元的最大利润. （5） 实现最大利润所需单价是
（元）
6 某大学正试图为足球票定价. 如果每张票价为6元，则平均每场比赛有70000名观众. 每提高1元，就要从平均人数中失去10000名观众. 每名观众在让价上平均花费1.5元. 为使收入最大化，每张票应定价多少？按该票定价，将有多少名观众观看比赛？ 解 设每张票应提价的金额 (如果是负值, 则票价下跌) . 首先把总收入表示成的函数.
（票价收益）+（让价收益）=（人数）
（票价）+1.5（人数） .
为求使最大的先求
解方程，得 元.
注意到
，因为这是唯一的驻点,所以是最大值.因此,为使收入最大化,
足球票定价为
元.
也就是说，下调后的票价将吸引更多的观众去看球赛，其人数是
这将带来最大的收入. 7设某种商品的销售额
是价格（单位：元）的函数，.
分别求价格P=50元及P=120元时，销售额对价格P 的弹性，并说明其经济意义。 解：,
,.
其经济意义是：近似地表示价格增加1%，销售量量将增加
近似地表示价格增加1%，销售量量将减少
1500.5100100p =-?=x x R x ()R x =(7000010000)(6) 1.5(7000010000)x x x =-++-2100005000525000x x =--+()R x ,x ():R x '()200005000.R x x '=--()0R x '=0.25x =-()200000R x ''=-<(0.25)R -60.25 5.75-=7000010000(0.25)72500-?-=Q P 2()3002Q f P P P ==-230041502()3002150Q P P
P P P Q P P P
η'--=
?
=?=--150100(50)0.515050η-=
=-150240
(120)3150120
η-==--(50)0.5η=0.5%.(120)3η=-3%.
习题 3.6
1 求椭圆在点处的曲率。 解：方程
两边同时对求导：
有
再对方程两边同时对求导：
，有
. 2 求抛物线在其顶点处的曲率及其曲率半径。 解：抛物线
可化为：，
则顶点坐标为：.
对 求导：
有 再对求导：
曲率.
曲率半径. 3 求曲线在相应点处的曲率。
解： ，
22344x y +=(0,1)22344x y +=x 680,x yy '+=(0,1)|0,y '=680,x yy '+=x 268()80y yy '''++=(0,1)3
|,4
y ''=-3
22
3
|(0,1)4
(1)y k y ''=='+243y x x =-+243y x x =-+21(2)y x +=-(2,1)-243y x x =-+x 24,y x '=-(2,1)|0,y -'=24,y x '=-x 2y ''=322
|(2,1)2(1)
y k y ''=
-='+112
k ρ=
=4
4sin
,cos x a t y b t ==0t t =32232
4cos sin cos cot ,4sin cos sin dy
dy b t t b t b t dt dx dx a t t a t a dt -===-=-22
23262cot (csc )4sin cos 2sin dy b
t t d y b dt a dx dx a t t a t dt
'-??-===
. 习题3.7
1 用二分法求解方程的近似解，使其误差不超过0.01.
解：令
，显然在内连续，
，是根的一个隔离区间。
计算得：
，，故； ，，故；
，，故；
，，故；
，，故；
，，故；
，，故；
，，故
于是方程
的根.
2 用牛顿法求的实根到三位有效数字。 解：令
，，是根的一个隔离区间。
在
上，与
同号，
令
代入,得：
0260
332
2022
|
|
2sin |cot (1)(1)
t t b
y a t k b t y a
=''=='+-322470x x x ---=32()247f x x x x =---()f x (,)-∞+∞(3)100,(4)90f f =-<=>[3,4]134
3.52ξ+=
=1()-2.6250<0f ξ=113.5,4a b ==112 3.752a b
ξ+==2() 2.6094>0f ξ=223.5, 3.75a b ==223 3.62502a b
ξ+==3() -0.1465<0f ξ=333.625, 3.75a b ==334 3.68752a b
ξ+==4() 1.1960>0f ξ=443.625, 3.6875a b ==445 3.65632a b
ξ+==5()0.5171>0f ξ=553.625, 3.6563a b ==556 3.64062a b
ξ+==6() 0.1821>0f ξ=663.625 3.6406a b ==667 3.63282a b
ξ+==7()0.0172>0f ξ=773.625, 3.6328a b ==777 3.62892
a b
ξ+==8()-0.0648<0f ξ=883.625, 3.6289a b ==322470x x x ---= 3.625 3.6289ξ<<3
2203
x x -+=3
2()23
x f x x =-+(2)0,(0.5)0f f -<->[2,0.5]--[2,0.5]--2()20,f x x x '=->()220,f x x ''=-≤()
f x ''(2)f -0 2.x =-111()
()
n n n n f x x x f x ---=-
'
以作为根，可以达到精度要求， 因此保留三位有效数字，根为：-1.20。 3求方程的近似根，精确到0.01.
解：令，，是根的一个隔离区间。
在
上，与
同号， 令
代入,得：
由误差估计公式. 因此以1.538作为方程的根可以达到精度要求。
复习题三A
一 选择题
1.设在上，，则和的大小顺序是（B ）
A.；
B.；
C.
； D.。
2. 设
满足关系式，
且, ，则在点处 （A ） A.取得极大值， B.取得最小值，
1(2)
2-1.4167;(2)
f x f -=--
≈'-2(-1.4167)
-1.4167 -1.2194;(-1.4167)
f x f =-
≈'3(-1.2194)
-1.2194 -1.1961;(-1.2194)f x f =-
≈'-1.196133|()|
|
|0.001f x x m
ξ-≤
<0.538sin 1x x =+()0.538sin 1f x x x =--(0)0,()02f f π<>[0,]2
π
[0,]2
π
()10.538cos 0,f x x '=->()0.538sin 0,f x x ''=≥()
f x ''()2
f π
0.2
x π
=
111()
()
n n n n f x x x f x ---=-
'1()2 1.5380;2()2
f x f π
ππ=-≈'11|()|
||0.00063f x x m
ξ-≤
<[0,1]()0f x ''>(0),(1),(1)(0)f f f f ''-(0)(1)f f -(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->()y f x =240y y y '''-+=()0f x >()00f x '=()f x 0x
C.在
某邻域内单增， D.在某邻域内单减。
3.已知函数对一切满足，
如，，则（A ） A.是的极小值，
B.是
的极大值，
C.是曲线的拐点，
D.
不是的极值，也不是曲线 的拐点。
二.填空题
1. 设，则在区间（-1，0）内，方程有 2 个实根；
在（-1，1）内有 2 个根。
2. 对任意满足
的， 都有=
.
3. 设函数
在的某邻域内可导，， ，则是的极大 值。
4. 曲线
的渐近线有 4 条。
三.解答题
1. 设
在[0，1]可导，且,证明存在，使得
.
解： 设，且 由罗尔定理
存在 使 即，
亦即
2.求 的三阶麦克劳林公式。
解：
令，得：
0x 0x ()f x x ()()2
31x
xf x x f x e -'''+=-????()00f x '=()00x ≠()0f x ()f x ()0f x ()f x ()()
00x f x ,()0f x ()f x ()00(,)x f x ()y f x =()(1)(21)(31)
g
x x x x x =++-()0g x '
=()0g x ''
=1x <
x 1arcsin 2
x 4π
()f x 0x =()00f '=x 0
(x)1
lim
sinx 2
f →'=-()0f ()f x )
2)(1(+-=
x x x x y ()f x ()()010f f ==η
()()0f f ηη'+=()()x F
x e f x =()()01F F =η()0F η'=()()/0e f e f ηηηη+=()()0f f ηη'+=()cos x f x e x =2()000000011
()()()()()() ()()2!!
n n f x f x f x x x f x x x f x x x n '''=+-+
-+???+-(1)1000(())
()(01)(1)!
n n f x x x x x n θθ+++-+-<<+0
0x =3n =
3.讨论的极值。
解： 故函数无极值 . 4
的极值。
解：
，
为极小值。
5.作函数
的图形。
解： (1) 函数定义域为：无奇偶性、周期性。
，. (2) 由
，得到.由，得到.
(3) 列表确定函数升降区间、凹凸区间及极值和拐点：
(4)
为垂直渐近线， 为水平渐近线，
(5)算出
，处的函数值
.，又与坐标轴的交点为. 根据以上结论，用平滑曲线连接这些点，就可以描绘函数的图形，如下图。
3411
()1cos (01)33!
x f x x x x e x θθθ=+--<<()tan f x x x =+).,(:+∞-∞D 2
1
10,1y x
'=+>+()max{2||,|1|}f x x x =+11,13
()12||,1,3x x f x x x x ?+-<
12
()33
f -=2
21(1)x y x =+
-(,1)(1,).-∞?+∞()32(1)0(1)x f x x +'=-
>-()4
4(2)
(1)
x f x x +''=-()0f x '=1x =-()0f x ''=2x =-2
1
2lim(1),1(1)
x x
x x →+
=∞=-2
2lim(1)0,1(1)x x
y x →∞
+
==-1x =-2x =-1(1)2f -=
5
(2)9
f -=(0,1)
6.某产品的销售量是根据价格确定的：若每公斤售价50元，则可以售出10000公斤，若售价每降低2元，则可以多售出2000公斤。又设生产这种产品的固定成本为60000元，变动成本为每公斤20元。在产销平衡的条件下，求： ⑴销量
与价格之间的函数关系；
⑵获利最大时的产量及相应价格。 解：（1）设价格为，销量为： （2）设获利为
,,
,产量为：. 获利最大的产量为20000公斤，此时价格是每公斤40元。 7.设某产品的成本函数为,需求函数为.其中为成本，为需求量
（产量），
为价格，为大于0 的常数，且。求：
⑴利润最大时的产量及最大利润； ⑵需求对价格的弹性；
⑶需求对价格的弹性的绝对值为1时的产量。 解：（1）
,又，
,令，得：
，，.
（2）需求弹性为：, (3)
,.
8.求曲线
在点处的曲率及曲率半径。
x P P 501000020006000010002
P
x P -=+
?=-(050)P < P -+ ?=2C aQ bQ c =++1 ()Q d P e =-C Q P ,,,,a b c d e d b >21()()L PQ C P d P aQ bQ c e =-=--++1 ()Q d P e =-2()()()L Q e a Q d b Q C =-++--()2()()0L Q e a Q d b '=-++-=2()d b Q e a -=+()2()0L Q e a ''=-+<2max ()()4() d b L Q c e a -=-+1()1()dQ P P d eQ P dP Q e eQ d P e η-= =-=- -|()|||1d eQ P eQ η-=- =2d Q e = ln(sec )y x =(,)x y 解：，， . 复习题三B 一.选择题 1. (2012)曲线的渐近线的条数为（C ） A. B. C. D. 2.（2010）设 和具有二阶导数，，若是的极值，则在处取极大值的一个充分条件是（B ） A. B. C. D. 3.（2007）设某商品的需求函数为 ，其中，分别表示需求量和价格，如果该商品的 需求弹性的绝对值为1，则商品的价格是（ D ） A. 1 B. 20 C. 30 D. 40 4.（2003）设函数 在内连续，其导数图形如下，则有（ C ） A. 一个极小值点和两个极大值点 B. 两个极小值点和一个极大值点 C. 两个极小值点和两个极大值点 D. 三个极小值点和一个极大值点 5.（2002）若函数在上有定义，在内可导，则（ B ） A.当 时，存在，使得. B.对任何，有. C. 当 时，存在，使得 D. 存在，使 . sec tan tan sec x x y x x '= =2sec y x '=233222 2 sec |cos |(1) (1tan ) x y k x y x ''== ='++1 |sec |x k ρ= =22 1 x x y x +=-0123()f x ()g x ()0g x ''≤0()g x a =()g x (()) f g x 0x ()0f a '<()0f a '>()0f a '<()0f a ''>1602Q P =-Q P 0()f x (,)-∞+∞()f x ()f x [,]a b (,)a b ()()0f a f b <(,)a b ξ∈()0f ξ=(,)a b ξ∈lim[()()]0x f x f ξ ξ→-=()()f a f b =(,)a b ξ∈()0f ξ'=(,)a b ξ∈()()()()f b f a f b a ξ'-=- 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f 高等数学第三章习题 一、 填充下列各题： 1.=--→x x x x πtan 3 3 lim 2 23 51 __________________. 2.=+∞ →a x x x ln lim _______________________(a>0). 3.()=-+→) 1ln(1 2 3cos 2lim x x x ___________________. 4.=--→x x x x x sin tan lim __________________________. 5.函数233x x y -=在_________________单减. 6.函数322312)(x x x x f -+=的极小值是_________________. 7.若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，则)(x f 在[a,b]上单调减小的充分（非必要）条件是__________________________________. 8. 若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且_______________________________，则 )(x f 在[a,b]上的曲线是凹的. 9.设)(x f 在极值点0x x =二阶可导，则在直角坐标系中)(x f y =所表示的曲线在 ))(,(00x f x 处的曲率等于____________________________________. 10.设)(x f 在点0x x =处具有不为零的三阶导数且________________________，则点 ))(,(00x f x 必定是曲线)(x f y =的拐点. 二、 选择题： 1.设3 2 )2()1(--=x x y ，则（ ） (A) x=1是该函数的极小值点 (B)x=2是该函数的极大值点 (C)5 7= x 是该函数的极小值点 (D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标 2.设g(x)在),(+∞-∞严格单调减，又)(x f 在0x x =处有极大值，则必有（ ）： (A)g[f(x)]在0x x =处有极大值 (B) g[f(x)]在0x x =处有极小值 (C) g[f(x)]在0x x =处有最小值 (D) g[f(x)]在0x x =既无极值也无最小值 高等数学（一）（第三章练习题） 一、单项选择题 1.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =?时，对应函数增量y ?的线性主部为-0.6，则x 0=（ ） A.0 B.1 C.-0.5 D.-4 2.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则 需求量对价格的弹性=EP EQ （ ） A.bp a b -- B. bp a b - C. bp a bp -- D. bp a bp - 3.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx 4.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n) = =0x （ ） A.0 B.1 C.lna D.(lna)n 5.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（ ） A.4 B.8 C.0.5 D.0.125 6.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EP ES （ ） A.bp a bp + B.bp a b + C.bp a bp +- D. bp a b +- 7．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（ ） A ． 00x )x (L B ．dx ) x (dL C ． x x dx )x (dL = D ． )dx ) x (L (dx d 8．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14! D ．0 9设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ） A.0.25 B.-0.25 C.100 D.-100 10．已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（ ） A ．5 B ．3 C ．3.5 D ．1.5 11．设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5 p ，则需求价格弹性函数为( ) A. 250-p p B.p p -250 C.51 p p -250 D.51 250 -p p 最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1) 法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0< 而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以 第三章习题 3-1 1、对函数x y sin ln =在区间]6 5,6[ π π上验证罗尔定理 解答：（1、区间]6 5,6[ π π上连续 ； （2）函数x y sin ln =在区间)6 5,6(π π上可导； （3）、2ln 6sin ln )6(-==π πf ，2ln 6 5sin ln )65( -==π πf 所以满足Rolle 定理的条件。且由0sin cos == 'x x y 解得)6 5,6(4π ππξ∈= 2、证明：函数02=++=r qx px y 在任意区间上应用lagrange 中值定理求得的点ξ总是该区间的中点 证明：（1）02=++=r qx px y 在任意],[b a 上连续 ；02=++=r qx px y 在),(b a 上可导；所以满足lagrange 定理的条件。且由02=+='q px y 解得),(2 b a b a ∈+=ξ 所以求得的点ξ总是该区间的中点 3、证明：方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 证明：用反证法，设方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内有两个不同的实数根21,x x （1）、函数c x x x f +-=3)(3在],[2x x x 连续 ；（2）、函数c x x x f +-=3)(3 在),(2x x x 可导；（3）、0)()(21==x f x f ， 所以满足Rolle 定理的条件，于是存在]1,0[),(21?=∈x x ξ。使0)(='ξf 但是由033)(2 =-='x x f 解得根为),(121x x x ?±=。矛盾 所以方程033 =+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根 4、若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf :证明：由于函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 b x x x a <<<<21，所以函数)(x f 分别在区间],[21x x 与],[32x x 上满足Rolle 定理的条 件，于是存在),(21x x ∈λ。使0)(='λf ，也存在),(32x x ∈?。使0)(='?f 高等数学（上）第三章练习题 一.填空题 1．()ln(21)-f x x x =+的增区间是 2． 1()sin sin 33f x a x x =+在3 x π =处取极值，则a = 3．曲线 2 2 x y e - = 在区间 是凸的 4．点(1,2)是32y ax bx =+的拐点，则a = ，b = 5．曲线 ln(1) 2 x y x -= -的水平渐近线是 ，垂直渐近线是 6．曲线2 3 33x t y t t ?=??=-??在对应于1t =的点处的曲率K = 二.单项选择题 7．函数 ()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程有()0f x '=有【 】 A ．一个实根 B. 二个实根 C. 三个实根 D. 无实根 8. 极限2 cos5lim cos3x x x π → =【 】 A ． 53 B. 1 C. 1- D. 53 - 9. 当0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则【 】 A ．1 2a = ，1b = B. 1a =，1b = C. 1 2 a =-，1 b = D. 1a =-，2b =- 10．若2 ()() lim 1()x a f x f a x a →-=--， ， 则x a =处【 】 A ．()f x 导数存在且()0f a '≠ B. ()f x 取极大值 C ．()f x 取极小值 D. ()f a '不存在 11. ()f x 在x a =某邻域内有三阶连续导数，且()()0f a f a '''==，()0f a '''≠，则【 】 A ．x a =是 ()f x 的极小值点 B. x a =是()f x 的极大值点 C. (())a f a 是曲线()y f x =的拐点 高等数学测试（第三章） 一. 选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ．x y e = B ．ln y x = C ．21y x =- D ．2 1 1y x = - 2．曲线3(y x = 3．已知函数f A ．一个 4．设函数(f x ） A 5．如果0()f x 'A ．0()f x C ．0()f x 6A . C . 7．若在[]1,1-A 8．曲线1=y 9．设()x f '在点0x 的某个邻域内存在，且()0x f 为()x f 的极大值，则()() =-+→h x f h x f h 000 2lim （ ） A ．０ B ．１ C ．２ D ．-２ 10．设()x f 在点3=x 的某个邻域内有定义，若()() () 133lim 2 3 -=--→x f x f x ，则在3=x 处（ ） A . ()x f 的导数存在且()03≠'f B . ()x f 的导数不存在 C . ()x f 取得极小值 D . ()x f 取得极大值 二. 填空题（每小题3分，共15分） 11．函数ln(1)y x =+在[0,1]上满足拉格朗日定理的ξ=________． 12．函数4 y x = 13．函数()f x 14．曲线()f x 15．函数()f x 三. 计算题（16．（5 18．（5，讨论其 四. 应用题（每题10分，共20分） 20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 21.（10 是多少？ 五. 证明题（ 22.（10 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 1 / 10 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n Λ有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a Λ必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=+++L 。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥- 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 第三章 微分中值定理及导数的应用 一、选择题 1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x →+为（ ） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞ 2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（ ） A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>' C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 3. 设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（ ） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值 C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在 4． 设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( ) A. 一定没有实根 B. 最多只有一个实根 C. 最多有两个互异实根 D. 最多有三个互异实根 5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim () x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件。 6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （ ） A. 在0x x =处不取极值， 但00(,())x f x 是其图形的拐点 B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点 C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点 D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。 习题3－1 1．填空题 （1）函数x y 2 sin =在区间]2 ,2[π π- 上满足罗尔定理的=ξ ． （2）曲线x e y -=在点=x 处的切线与连接两点)1,0(与)1,1(e 的弦平行． 解 （1）显然函数x y 2 sin =在区间]2 ,2[π π- 上满足罗尔定理的三个条件，所以存在22 ππξ∈（-，），使得()0'=y ξ，即sin 20,0ξξ==． （2） 由于函数x e y -=在区间[01],上连续，(01),内可导， 所以满足拉格朗日定理的条件．故存在01x ∈ （，），使得(1)(0)()10-'=-y y y x ，即1 1e e ξ--=-，解得11ln(e )ξ=--． 2．证明下列恒等式 （1）arctan arccot 2 x x π += ，),(+∞-∞∈x ． （2）3 11 3arccos arccos(34)()22 π--=- ≤≤x x x x ． 证 （1） 令()arctan arccot =+f x x x ，则(,),()0x f x '?∈-∞+∞=，所以()≡f x C （常数）．又(0),2 f π = 故()arctan arccot ,(,)2 f x x x x π =+= ∈-∞+∞． （２） 令3 ()3arccos arccos(34)=--f x x x x ，则11 (),22 ?∈- < 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、要求： 1、罗尔定理，拉格朗日定理应用； 2、洛必达法则； 3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘； 4、简单不等式证明； 5、最值在实际问题中的应用。 二、练习 1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). A. 1 B. f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2 D. f ( x ) x 2 2 x 1 . f ( x) x 2 2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的 值是 ( ). A. 4 B. 4 1 C. 1 D. 4 . 1 1 3. 4 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点 所在的范围是 ；. 3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点所在 的范围是 . 4. 函数 f ( x ) ln x x 2在(0, ) 内的零点的个数为 . e 5. 曲线 6. 函数 y xe x 的拐点 ，凹区间 ，凸区间 . y ln x 1 x 2 的单调 区间 . 7. 曲线 f ( x) e x 的渐近线为 . x 1 8. 计算： 5 x 4 x 1 1 (1 2 （2） lim ( cos x ) （1） lim x 1 x x ) （3） lim tan 2 x x 1 x e 1 x 0 arctan x x (1 x 2 )1 / 3 1 ； 1 （ 4） lim ； （5） lim （6） lim (csc x ) ； x 0 x ln(1 2 x 2 ) x cos x 1 x 0 x （ 7） lim x 3 (sin 1 1 sin 2 ) ；（ ） lim (tan x ) 2 x ；（ 9） lim x ； e x x 2 x 8 x ln x x 2 9. 证明 2 arctan x arcsin 2 x x 1 . 2 1 x 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得 第三章 中值定理与导数的运用 §3.1 微分中值定理 1、证明: 2 22arctan arctan 1x x x π-=- , 在 1x <<+∞ 成立. 证明：令()2 22arc arc ,1x f x tgx t g x =--1x <<+∞， 因()()() () 22 2 2 2221222 112111x x x f x x x x x ---'=- ? +??-+ ?-?? ()()()()222222222212122 011141x x x x x x x ++=-=-=++-++ 所以()f x C =，又因 为 2arc arc ,13 f tg π==-所以C π=，得证！ 2、证明不等式: arc arc tga tgb a b -≤-. 证明：（1）当a b =时，不等式显然成立。 （2）当a b <时，令()[]arctan ,,,f x x x a b =∈则 ()[],f x a b 在上连续,在(),a b 可导,由拉格朗日中值定理知,存在 ()()()()(,),,a b f b f a f b a ξξ'∈-=-使即 ()2 1 arctan arctan ,(,),1b a b a a b ξξ-= -∈+ 故2 1 arc arc 1tga tgb b a a b ξ -= -≤-+，(,)a b ξ∈ （3）当a b >时，令()[]arctan ,,,f x x x b a =∈ 以下证法同（2）. 3、设()f x 在( , +)-∞∞满足()()f x f x '=()()f x f x '=,且 (0)1f =, 证明: ()x f x e =. 证明：令()(),( , +),x x e f x x ?-=∈-∞∞ ()()()()()0,,x x x x e f x e f x x e f x C ??---''=-+≡=≡因为所以 即()()()(),01,1,x f x Cf x f C f x e ====又因所以从而 4、设()f x 在[],a b 连续,在(),a b 二阶可导, 连接点(,())A a f a 和 (,())B b f b 的直线AB 与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c , 证 明: 在(),a b 内存在一点ξ,使()0f ξ=". 证明：因为直线AB 与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,所以 ()()()() f b f c f c f a b c c a --=-- 由拉格朗日中值定理知：存在()1,,a c ξ∈使 ()()()1f c f a f c a ξ-'=-，存在()2,,c b ξ∈使()() ()2f b f c f b c ξ-'=-，从 而()1f ξ'=()2f ξ' 由罗尔定理知，存在()()12,,,a b ξξξ∈?使()0f ξ''= §3.2 洛必达法则 1、求下列极限 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 第三章 中值定理与导数的应用 1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。 解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足 拉格朗日中值定理的条件。又x x f 1 )(= '，解方程,111,1)1()()(-=--= 'e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。 2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(' =x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导， 且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因方程 '()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程'()0f x =有且只有三个实根， 分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。 3．若方程 011 10=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明: 方程0)1(1211 0=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。 解：取函数()1 011n n n f x a x a x a x --=++ +。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导， 且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。 4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥- 第三章 微分中值定理习题课 一、判断题（每题3分） 1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（√） 2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（× ） 3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( ×) 4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . (×) 5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 . （ √ ） 6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件.( ×) 7.函数()arctan f x x x = 的图形没有拐点. （ √ ） 8.因为函数y = 0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y = .（ × ） 二、选择题（每题3分） 1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()2 11f x x =+，满足罗尔定理全部条件的区间是（D ）. （A ）[]2,0-； （B ）[]0,1； （C ）；[]1,2- （D ）[]2,2- 3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ） (A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个. 4．已知函数3 ()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）. （A ）1 3 （B 1（C ） 12 （D 1 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数 6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ). 第七章测试题答案 一、填空（20分） 1、5322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程； 2、与积分方程?=x x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是?????=='=0),(0 x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不 是”）该微分方程的解； 4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解， 21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 解 （填“通解”或“解”）； 5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该 方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ； 6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=. 7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=； 8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ； 9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ； 10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。 二、（10分）求x x y y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式 )(11C xdx e e y x dx x +??=?-， x C x C dx x x +=+=?2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .高等数学求极限的常用方法附例题和详解
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