线性代数机械工业出版社第二章答案

第2章 矩阵

A 卷

一、填空题

1、若A=错误！未找到引用源。，B=错误！未找到引用源。，则AB=错误！未找到引用源。

解：AB=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

2.如果n 阶方阵A 满足错误！未找到引用源。A=A 错误！未找到引用源。=E,错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。

解：A 错误！未找到引用源。=E=A 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=1

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

3、设A=3200530000340011-?? ?-

? ?

?

??，则1A -=3200530000140013-?? ?- ? ?- ?-?? 解：对A 进行分块

则A=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。A 可逆 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。3200530000140

013-??

?

- ?

?

-

?

-??

4、矩阵10210131a ??

? ? ?

??

是奇异矩阵，则a=12 解：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

10

210131

a =1错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

5、设A=???

?

? ??---1143411321,则R(A)=2

解：A=????? ??11434-1-1-321?????→?+-?+?3)3(1,211r r r r ???

?

? ??-??

?→?????? ??+?00011032122-01-10321322r r ∴所有的3阶子式全为0，存在2阶子式不为0，所以秩（A ）=2

6、2011

001010100????? ??????? ??32

1

321321

c c c b b b a a a =????? ??32

1

321

32

1

a a a

b b b

c c c 解：左乘2011

001010100??

?

??

??相当于交换?????

??32

1

321

321

c c c b b b a a a 的r1,r3,2011次 所以结果为????

? ??32

1

321

321

a a a

b b b

c c c

二、单项选择题 1.

设A,B 是两个同阶的上三角矩阵，那么A T T B 是()B 矩阵。 A 上三角 B 下三角 C 对角形 D 全不对

解 举例 若A=B=1111011100110001?? ? ? ?

? ???，则T A =

1

000110011101111??

?

?

?

?

??

?

=T B

则T T A B =10002

10032104321??

?

?

?

?

??

?

为下三角矩阵

2.设A=1243?? ???，B=x 12y ??

?

??

，当X 与Y 满足（C ）时，有AB=BA ()()()()27211x y x y x D y x ===+=-A B C

=x+6 4+3y ?? ??? x+4 1+2y 解 AB 4 +y ??

?

??x+4y 2x+3BA=24 4+3y AB=BA 1y x ?∴∴=+??1+2y=2x+3

4x+6=2x+4y

()

()1

A n A =55.T A -=3.设是阶方阵，且，则

解

()

1

5T

A -()115T A -=1

15n

T A -??= ???

115n

A -??= ???1155n

-??

=? ???

15n --= ∴选C

()x 2 -2A= 2 x 3R(A)= .3 -1 1?? ?

? ???

4.设是奇异方阵，则

解 x 2 -2A= 2 x 33 -1 1?? ?

? ???

是奇异方阵 2918x x ∴=++A 36x ∴=--或

???? ? ?→ ? ? ? ?????-3 2 -2-1 -1 1当x=-3 A= 2 -3 3 2 -3 33 -1 1 3 -1 1322131

22C C r r r r +++????

? ?

???→???→ ? ? ? ?????

-1 -1 1-1 -1 00 -5 50 -5 00 -4 40 -4 0 11

0 005

--±-

而所有三阶子式會為 ()R A =2∴

x=-6同理当

()31

3226-6 2 -20 0 00 0 0A= 2 -6 3-16 0 -30 -16 -33 -1 1 3 -1 1-1 3 1-16 -3 3 1 r r r r ?+?-+?????? ? ? ?????→→ ? ? ? ? ? ???????

??

? ()0 0R A =2≠??∴∴ 而所有三阶子式會為 选B

5、设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则()

T

ABC ＝（ Ｃ ）

（Ａ）

T T T

A B C

（Ｂ）

T T T

B C A

（C ）

T

T

T

C B A

（Ｄ）

T T T

A C B

解：∵()T

ABC ＝()

T

T

C AB ＝

T

T

T

C B A

∴答案选择Ｃ

６、设Ａ为ｍ×ｎ矩阵，秩为ｒ，Ｃ为ｎ阶可逆矩阵，矩阵Ｂ＝AC ，秩（B ）=

1r 。则（ C ）

（A ）r ＞1r （B ）r ＜1r

（C ）r ＝1r

（Ｄ）1r

不能确定 解：()A R ＝ｒ

()B R ＝1r

()C R ＝ｎ

∵()A R ＝()AC R ＝()A R ＋()C R －ｎ

∴1r ≥ｒ＋ｎ－ｎ＝ｒ，()B R ≤min }

{

()()A B R R ，

1r ≤min

}{,r n ∵r ≤n ∴1r ≤r ，即1r =r ，答案选择C

三、计算题

1、 设A=236135??

?-??

，B=324135?? ?-??，且满足3（A+X ）=2（B ﹣X ）

，求X. 解：∵3（A+X ）=2（B ﹣X ），∴X=2

5

B ﹣35A

25B ＝6

485552

625

5?? ? ? ?-?

?

?，35A ＝ 6

91855539355??

?

?

?-? ?

? ∵X ＝0

12131?-?

?

--??

2.设A 为三阶方阵,12

A =-计算()1

32-*A -A

解：因为1

*

-A A =A

所以

()

1

1

11

132123

43

641282727

-*

----A -A =

A -A A =A =A =- 即原式=27

128

-

3.计算矩阵010 (00)

02...0..

.........000..100

...0A n n ?? ?

?

?= ?

- ? ??

?

的逆矩阵-1A 。

解

()0

10...0100...000 0

00 (010)

02 0

010...0010...

10...00..

.........001 (00)

02...001...00000...1.............

....................00...0000..10

00...100...10100.n

A E n n n ????

?

?

? ?

? ?

=→ ?

?

- ? ? ? ?-????

→1..0000 0

010 (010)

(001)

001...000...002........................1000 (1000)

...01n n ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

-??1

1000...0100 (0010)

0...002.. (100)

..

01

n A n -?? ? ? ? ?∴= ? ? ? ? ? ?-?

?

4.用初等变换法求A=???

?

? ??---11110

3231的逆矩阵A 1- 解：因为A =- 1≠ 0 所以A 可逆

构造初等矩阵做初等变换E A =

1

000100

0134079023

---

19

4

3

101303109

10

79

031011

01013001340790231---

→

---→19

43

17

32

3

11910

0010001→

94301331110001000→=1-A E 所以1-A =9

437323

1

5.设A=错误！未找到引用源。且有关系式AX=A+2X ，求矩阵X . 解：由AX=A+2X 可得(A-2E)X=A,因为

|A-2E |=错误！未找到引用源。=-1错误！未找到引用源。0 故A-2E 可逆，且

X =错误！未找到引用源。A =错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

6、设A 为n 阶方阵（n ≥3），k 为常数，试给出（kA ）*与A*的关系。 解：∵AA*=A*A=|A|E ∴（Ka ）*=|KA|(Ka)

四．证明题

1.设A 为n 阶方阵，且满足E AA T

=和1-=A ，证明：行列式0=+A E

证：

()

()0

=+∴+-=+∴+-=+=+=+=+=+=+A E A E A E A

E E A A E A A E A A E A A A AA A E T

T T T

2.设A,B 为n 阶方阵，且AB=A-B ，证明;AB=BA 解 证明：

()()()AB A B

AB A B A B E B E E A E B E E =-∴-+=-+-=-?+-=-?∴∴ 又即（E-B）(-A-E)=-E -A-E+BA+B=-E BA=-E+E+A-B=A-B 又AB=A-B AB=BA

3、设n 阶矩阵满足2

A A =，证明：2E A -可逆，且()122E A E A --=-。

解：设A 可逆，∵2A A =，即A A A ?=. ∴A=E ，2E A E -=-

又∵0E -≠，∴2E A -可逆。

∵(2)(2)()()E A E A E E E -?-=-?-=，

∴()1

22E A E A --=-

设Ａ不可逆，∴A ＝0，20E A E -=≠，∴2E A -可逆 ∵(2A)(2A)E E E E E -?-=?=

∴()122E A E A --=-

4.设A 是n 阶方阵，且错误！未找到引用源。=O ，证明：A 可逆。

证：错误！未找到引用源。 ∵错误！未找到引用源。=O ∴错误！未找到引用源。=O ∴ 错误！未找到引用源。

又∵错误！未找到引用源。O ∴错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。│错误！未找到引用源。O ∴│A │错误！未找到引用源。 ∴A 可逆。 5.若矩阵

A

K ×K ,

B

S ×S

均可逆，证明：H=???

?

??00

B

A 也可逆，并求其逆。 解：∵A,

B 均可逆

∴

A ≠0，

B ≠0 ∵ H =

0B

A =(-1)

s×t

B

A 0

=(-1)s×t A B ≠0 ∴ H 也可逆 设 H=???? ??w z y x ，H H -1

=E ∴

???? ??w z y x ???? ??00

B A =???

?

??E E

00∴ H -1=???

? ??--00

11A B 6.设n 阶矩阵A 满足`

,2

E A =，且0≠+E A ，证明：A=E. 证明：

E

A E A E E A E A E A E

A ==-∴≠+=-=-+∴=即又00A 0))((222

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数复习题-第二章

第二章 矩阵及其运算 复习题 一、填空题 1. 设A =a b c d ?? ???，且0A ad bc =-≠，则1A -= . 2. 设A =1231-?? ???，B =2103?? ??? ，(2,1)C =-，则()T A B C -= . 3. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**____.AA A A == 4. 设235α-?? ?= ? ??? ,则矩阵____.T A αα== 5．设A 是n 阶可逆方阵,*A 是A 的伴随矩阵,则*A = . 6．已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1,则=-C A C m 1 (m 是整数). 7．设矩阵500031021A ?? ?= ? ??? ，则1____A -=. 8.设???? ? ??=300020001A ,则1-A = . 9．设()()1,1,1,3,2,1==B A ,则=2 )(B A T . 10.设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则______________)(=T T CA B . 11.设矩阵???? ? ??=300041003A ，则逆阵______________1-A ,112_________A -=. 12. 若A ，B 都是三阶方阵，2A =，3-=B ，则13____AB -=. 14.设三阶方阵A 的行列式为 A A =2,*为A 的伴随矩阵, 则行列式 1*A A -+=_______. 二、判断题： 1.n 阶方阵A 满足2 20A A E --=，则E A -可逆. （ ） 2.对任意n 阶方阵,,A B C ，若AB AC =，且0A ≠，则一定有B C =. （ ）

线性代数第二章答案

第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数复习题(全)

第一章 行列式 复习题 一、填空题 1. 已知1 1 1 11 3 21 --x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________. 2. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为 1,2,0,1-，它们的代数余子式依次分别为 5,3,7,4---， 则D =_______. 3. n D n 1 1 1 1311 1 121 1111== . 4. 行列式2223 3 3 a b c a b c a b c = . 5. 当a = 时，方程组123123123(2)404(3)404(4)0 a x x x x a x x x x a x +++=?? -+-+=??-+++=? 有非零解. 6. 若行列式 0 4102040 01101 3 2 0a a =-, 则a =_______. 7.齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00 321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足的条件是 . 8. 已知2 768444424798 1 8 8 D = , 则41424344_______A A A A +++=. 二、计算题 1．计算1 111111111111 1 1 1 a a D a a +----= +----. ２.计算0 000000 a b a b D b a b a = 3.计算 3 2 1 4 214314324321 .

4.3251103111203 2 4 D = ---. 5.1111111111111 1 1 1x x D y y +-= +- 6. 解方程： 2 2 11231223023152 3 1 9x x -=-. 第二章 矩阵及其运算 复习题 一、填空题 1. 设A =a b c d ?? ??? ，且0A ad bc =-≠，则1 A -= . 2. 设A =1 23 1-?? ???，B =210 3?? ??? ，(2,1)C =-，则()T A B C -= . 3. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**____.AA A A == 4. 设235α-?? ? = ? ??? ,则矩阵____.T A αα== 5．已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1,则=-C A C m 1 (m 是整数). 6．设矩阵5 000 31021A ?? ?= ? ???，则1 ____A -=. 7.设??? ? ? ? ?=30 0020001 A ,则1-A = . 8.设矩阵??? ? ? ? ?=30 0041 003A ，则逆阵______________1-A ,112_________A -=. 二、判断题： 1.n 阶方阵A 满足2 20A A E --=，则E A -可逆. 2.对任意n 阶方阵,,A B C ，若A B A C =，且0A ≠，则一定有B C =. 3.设,,A B C 都是n 阶矩阵，且,AB E CA E ==，则B C =. 4.若2 0A =，则必有0A =. 5.方阵A 满足A A =2，则E A =或0=A . 6.设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则B A +可逆. 7.设A 是n 阶矩阵,* A 是A 的伴随矩阵，则当A 为非奇异阵时，* A 也非奇异，且1 *n A A -=.

线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数第二章矩阵练习题

第二章 一、选择题 1、计算13230102-???? +? ??? ???? 的值为（C ） C.3003?????? D.2902-?? ???? 2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --= 3、初等矩阵（A ） A. 都是可逆阵 B.所对应的行列式值等于1 C. 相乘仍是初等阵 D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥ 二、判断题 1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×） 2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√） 3、矩阵324113A ??=????与矩阵2213B ?? =?? ?? 可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×) 三、填空题 1、已知[]456A =，123B ?? ??=?????? ，求AB 得_________。 (32)

2、已知12 n a a A a ???? ? ?=? ???? ? O （0,1,2,,i a i n ≠=K ），则1A -= 3、设A 为n 阶方阵，2A =，求T A A 的值为_________ 。 4、设A 为33?矩阵，3A =-，把A 按列分块为()1 2 3A A A A =,求出 132,4,A A A 的值为__________。 四、计算题 1、计算()101112300121024--????????????-????????. 解 原式()12092(38)4-?? ??==-??-???? . 2、求矩阵100120135A -?? ??=-??-???? 的逆矩阵. 解 求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311 113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310 313 A -==-, 12 11 1n a a a ????????????????????? ? O 12 1 2n +

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数第二章习题部分答案

第二章向量组的线性相关性 §2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题 1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T, 则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T . 3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量， 则2β1+β2β3= (2,8,2)T . 二、试确定下列向量组的线性相关性

1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000 即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。 2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T 线性相关

三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0 即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0 所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关 四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。 解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2. 五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数第二章答案

第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

线性代数第二章习题答案

习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2 2B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求

上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

线性代数课后作业及参考问题详解

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）