淄博市2010-2011学年度高三模拟考试试题数学文理含答案

淄博市2010—2011学年度高三模拟考试试题

数学试题参考答案及评分说明

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．i 是虚数单位，复数

1i i +＝ A ．1i - B ．1i + C ．1i -+ D ．i

2．若全集U =Ｒ，集合A =｛2|430x x x ++>｝，B =｛3|log (2)1x x -≤｝，则()U

C A B = A ．｛x |1-x ｝ B ．｛x |1-

C ．｛x |1-≤x 或2>x ｝

D ．｛x |1-≤x 或2≥x ｝

3. 已知直线l m 、，平面αβ、，且l m αβ⊥?，，给出四个命题：

① 若//αβ，则l m ⊥； ② 若l m ⊥，则//αβ；

③ 若αβ⊥，则//l m ； ④ 若//l m ，则αβ⊥

其中真命题的个数是

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4.（文）右图的矩形，长为5，宽为2．在矩形内随机地撒300颗黄

豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．则可以估计出阴影

部分的面积约为

A ．2310

B ．235

C ．236

D ．2311

4.

（理）二项式18(9x 展开式中的常数项是第几项

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14 5. 若0a <，则下列不等式成立的是 A ．()120.22a a a ??>> ??? B ．()10.222a a a ??>> ???

第4题图

C ．()10.222a a a ??>> ???

D ．()120.22a

a a ??>> ??? 6. “

b a =”是“直线2+=x y 与圆()()22

2=-+-b x a x 相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 7. 已知24sin 225α=-, (,0)4

πα∈-，则sin cos αα+= A ．15- B ．51 C ．75- D ．5

7 8．在ABC ?中，90C = ，且3CA CB ==，点M 满足2,BM MA CM CB =? 则等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6

9．（文）已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且1012S =，2017S =，则30S 为 A ．15 B ．20 C ．25 D ．30

9．（理）已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且3

100(12)S x dx =+?，2017S =，则30S 为 A ．15 B ．20 C ．25 D ．30

10．设动直线x m =与函数3()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M 、N ，则||

MN 的最小值为 A ．1(1ln 3)3+ B ．1

ln 33

C ．1(1ln 3)3

- D ．ln 31- 11．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 A ．2 B ．12- C ．3- D ．13

12．设奇函数()f x 的定义域为Ｒ，最小正周期3T =，若

23(1)1,(2)1

a f f a -≥=

+，则a 的取值范围是 A ．213

a a <-≥或 B ．1a <- C ．213a -<≤ D ．23a ≤

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13．若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是

13- ． 14．为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况，将所

得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知

图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中

第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是 48 ．

15

的表面积为

3

16．（文）设,x y 满足约束条件1210,0≤+??≥-??≥≥?

y x y x x y ，若目标函数

()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35，则a b +的最

小值为 8 ．

16．（理）设,x y 满足约束条件3123x y x y x y +??--??-?

≥≥≤，若目标函数(0,0)x y z a b a b =+>>的最大值为10，则54a b +的最小值为 8 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

已知函数21()cos cos ,2

f x x x x x R =--∈． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）已知ABC ?内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =

与(2,sin

)n B = 共线，求a b 、的值．

解：(Ⅰ)211()cos cos 2cos 21222

f x x x x x x =--=-- sin(2)16

x π=-- ……………………………………………………3分 ∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ………………………………5分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)16

C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<，∴ 262C ππ-=，∴ 3

C π=． ……7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．

由正弦定理 sin sin a b A B

=， 得2,b a = ①…………………………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π

=+-， ②……………………10分

解方程组①②，得a b ?=?=? …………………………………………12分

18．（文科 本题满分12分）

有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A B 、两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5，8，9，9，9；B 班5名学生得分为：6，7，8，9，10． （Ⅰ）请你估计A B 、两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；

（Ⅱ）如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．

解：（Ⅰ）∵A 班的5名学生的平均得分为(58999)++++÷58=， ………………1分 方差22222211[(58)(88)(98)(98)(98)] 2.45

S =-+-+-+-+-=； …………3分 B 班的5名学生的平均得分为(678910)++++÷58=， ……………………4分

方差22222221[(68)(78)(88)(98)(108)]25

S =-+-+-+-+-=． ………6分 ∴ 2212

S S >， ∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些． ……………………………………8分 （Ⅱ）从B 班5名同学中任选2名同学的方法共有10种， ………………………10分 其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件， 故所求概率为5

2104=． …………………………………………………………………12分 18．（理科 本题满分12分）

设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且13a +，23a ，34a +构成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）令31ln 12n n b a n +== ，，，，

求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(1)q q >，

由已知，得 1231327(3)(4)32

a a a a a a ++=???+++=??，， ……………………………………2分 即123123767a a a a a a ++=??-+=-?， 也即 2121(1)7(16)7

a q q a q q ?++=??-+=-?? 解得 112

a q =??=? ………………………………………………………………………5分 故数列{}n a 的通项为12n n a -=． ………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得3312n n a +=， ∴ 331ln ln 2

3ln 2n n n b a n +===， …………8分

又2ln 31=-+n n b b ，

∴ {}n b 是以13ln 2b =为首项，以3ln 2为公差的等差数列 ……………10分

∴ 12n n T b b b =+++ 12n n b b ?? ???+=()22ln 32ln 3n n +=()2

2ln 13+=n n 即3(1)ln 22

n n n T +=． ……………………………………………………………12分 19．(文科 本题满分12分)

在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=?∠=∠=?，

PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，2PA =，1AB =．

(Ⅰ) 求四棱锥P ABCD -的体积V ；

(Ⅱ) 若F 为PC 的中点，求证：

平面PAC ⊥平面AEF ．

解：(Ⅰ)在Rt ABC ?中，1AB =，060BAC ∠=，

∴ 2BC AC == …………2分

在Rt ACD ?中，2AC =，060CAD ∠=，

CD =4分

∵ 1111122222ABCD S AB BC AC CD =+=???= 四边形1

23V ==则 ………………………………………………………6分 证: (Ⅱ)∵ PA ABCD ⊥平面， ∴ PA CD ⊥ …………………………………7分 又AC CD ⊥，PA AC A =

∴ CD PAC ⊥平面， …………………………………………………………8分 ∵ E F PD PC 、分别是、的中点，∴ EF //CD

∴ EF PAC ⊥平面 …………………………………………………………………10分

EF AEF ? 平面，∴PAC AEF ⊥平面平面 …………………………………12分

19．（理科 本题满分12分)

已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且

2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段

AB 、BC 的中点．

（Ⅰ）证明：PF FD ⊥；

（Ⅱ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；

（Ⅲ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45

，求二面角A PD F --的余弦值．

解法一：（Ⅰ）∵ PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠= ，1AB =，2AD =，建立如图所示的空间直角坐标系A x y

-，则()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0)A B F D ．…………2分

不妨令(0,0,)P t ∵(1,1,)PF t =- ，(1,1,0)DF =-

∴111(1)()00PF DF t =?+?-+-?= ，

即PF FD ⊥．…………………………4分

（Ⅱ）设平面PFD 的法向量为(),,n x y z = ，

由00

n PF n DF ??=???=?? ，得00x y tz x y +-=??-=?，令1z =，解得：2t x y ==． ∴,,122t t n ??= ???

． ………………………………………………………6分 设G 点坐标为(0,0,)m ，1,0,02E ?? ???，则1(,0,)2EG m =- ， 要使EG ∥平面PFD ，只需0EG n = ，即1()0102224

t t t m m -?+?+?=-=，

得14m t =，从而满足14AG AP =的点G 即为所求．……………………………8分 （Ⅲ）∵AB PAD ⊥平面，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得()1,0,0AB = ，

…………………………………………………………………………………9分

又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，

得45PBA ∠=

，1PA =，平面PFD 的法向量为11,,122n ??= ??? ……10分

∴1cos ,AB n AB n AB n ?===? 故所求二面角A PD F --

的余弦值为

612分 解法二：（Ⅰ）证明：连接AF

，则AF =

，DF =

又2AD =，∴ 222DF AF AD +=，∴ DF AF ⊥ ………………………………2分

又PA ABCD ⊥平面，∴ DF PA ⊥，又PA AF A = ，

∴ }

DF PAF DF PF PF PAF

⊥?⊥?平面平面……4分 （Ⅱ）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有14

AH AD = ……………………………………5分 再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且14AG AP =

， ∴ 平面EHG ∥平面PFD ……………………………………………………7分 ∴ EG ∥平面PFD ．

从而满足14

AG AP =的点G 即为所求． ……………………………………………8分 （Ⅲ）∵PA ⊥平面A B C D ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，且45PBA ∠= ．

∴ 1PA AB == ………………………………………………………………9分 取AD 的中点M ，则FM ⊥AD ，FM ⊥平面PAD ，

在平面PAD 中，过M 作MN PD N ⊥于，连接FN ，则PD FMN ⊥平面， 则MNF ∠即为二面角A PD F --的平面

角……………………………………10分

∵Rt MND ?∽Rt PAD ?，∴ MN MD PA PD

=，

∵1,1,PA MD PD ===，且90o FMN ∠=∴

5MN =

，5

FN ==， ∴

cos MN MNF FN ∠=

= ……………………………………………………12分 20．（文科 本题满分12分）

设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且13a +，23a ，34a +构成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）令31ln 12n n b a n +== ，，，，

求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(1)q q >，

由已知，得 1231327(3)(4)32

a a a a a a ++=???+++=??，， ……………………………………2分

即123123767a a a a a a ++=??-+=-?， 也即 2121(1)7(16)7

a q q a q q ?++=??-+=-?? 解得 112a q =??=?

………………………………………………………………………5分 故数列{}n a 的通项为12n n a -=． ………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得3312n n a +=， ∴ 331ln ln 23ln 2n n n b a n +===， …………8分

又2ln 31=-+n n b b ，

∴ {}n b 是以13ln 2b =为首项，以3ln 2为公差的等差数列 ……………10分

∴ 12n n T b b b =+++ 12n n b b ?? ???+=()22ln 32ln 3n n +=()2

2ln 13+=n n 即3(1)ln 22

n n n T +=． ……………………………………………………………12分 20．（理科 本题满分12分）

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是

23

． （Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；

（Ⅱ）设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

解：（Ⅰ）设甲、乙闯关成功分别为事件A B 、，则

51204)(362214==?=C C C A P ，………………………………………………………2分 3223222127()(1)(1)33327927

P B C =-+-=+=， ………………………………4分 所以，甲、乙至少有一人闯关成功的概率是：

.135

128277511)()(1)(1=?-=?-=?-B P A P B A P ………………………………6分 （Ⅱ）由题意，知ξ的可能取值是1、2．

1242361(1)5C C P C ξ===，3122136424243366

44(2)(2)55C C C C C C P P C C ξξ-+======（或）

则ξ的分布列为

…………………………………………………………………………10分 ∴ 14912555

E ξ=?+?=．………………………………………………………12分 21．（本题满分12分）

已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

（Ⅰ）求12的标准方程；

（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥ ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）设抛物线)0(2:2

2≠=p px y C ，则有)0(22

≠=x p x y ，据此验证4个点知（3，32-）、（4，-4）在抛物线上，易求x y C 4:2

2= ………………2分 设1C ：)0(:22222>>=+b a b y a x C ，把点（-2，0）（2，22）代入得： ???????=+=121214222b a a

解得?????==1422b a ∴1C 方程为1422

=+y x

………………………………………………………………5分

（Ⅱ）法一：

假设存在这样的直线l 过抛物线焦点(1,0)F ，设直线l 的方程为,1my x =-两交点坐标为),(),,(2211y x N y x M ，

由?????=+=-14

122y x my x 消去x ，得,032)4(22=-++my y m …………………………7分 ∴4

3,42221221+-=+-=+m y y m m y y ① 212121212(1)(1)1()x x my my m y y m y y =++=+++

4444342122222+-=+-?++-?+=m m m m m m m ② ………………………9分 由OM ON ⊥ ，即0=?，得(*)02121=+y y x x

将①②代入（*）式，得04

3444222=+-++-m m m ， 解得21±=m …………………11分 所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为：22y x =-或22y x =-+…………………………………………………………………………………12分

法二：容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分 当直线l 斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C 的交点坐标为),(),,(2211y x N y x M 由2214(1)

x y y k x ??+=??=-?消掉y ，得 2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=， …………8分 于是 2122814k x x k +=+，21224(1)14k x x k

-=+ ① 212111212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =-?-=-++

即222

2

122224(1)83(1)141414k k k y y k k k k -=-+=-+++ ② ………………………………10分 由OM ON ⊥ ，即0=?，得(*)02121=+y y x x

将①、②代入（*）式，得 2222224(1)340141414k k k k k k

---==+++，解得2k =±；……11分 所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：22y x =-或22y x =-+．………12分

22．（文科 本题满分14分）

已知函数2()23x f x e x x =+-．

（Ⅰ）求证：函数)(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值

时相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据 2.7e ≈ 1.6≈，0.3 1.3e ≈） （Ⅱ）当1x ≥时，若关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，试求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()43x f x e x '=+-， ………………………………………………………1分

∵ 0(0)320f e '=-=-<，(1)10f e '=+>，

∴ (0)(1)0f f ''?<． ……………………………………………………………3分 令 ()()43x h x f x e x '==+-，则()40x

h x e '=+>， ……………………4分 ∴ ()f x '在区间[0,1]上单调递增，

∴ ()f x '在区间[0,1]上存在唯一零点，

∴ )(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． …………………………………6分 取区间[0,1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

① (0.5)0.60f '≈>，而(0)0f '<，∴ 极值点所在区间是[0,0.5]；

② 又(0.3)0.50f '≈-<，∴ 极值点所在区间是[0.3,0.5]；

③ ∵ |0.50.3|0-=，∴ 区间[0.3,0.5]内任意一点即为所求． ……9分

（Ⅱ）由()f x ax ≥，得223x ax e x x ≤+-，

∵ 1x ≥， ∴ 223x e x x a x

+-≤， …………………………………………10分 令 223()x e x x g x x +-=，则2

2

(1)2()x x e x g x x -+'=， ………………………12分 ∵ 1x ≥， ∴ ()0g x '>， ∴ ()g x 在[1,)+∞上单调递增，

∴min ()(1)1g x g e ==-，

∴a 的取值范围是1a e ≤-． ……………………………………………………14分

22．（理科 本题满分14分）

已知函数2()23x f x e x x =+-．

（Ⅰ）求证函数)(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时

相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据 2.7e ≈ 1.6≈，0.3 1.3e

≈） （Ⅱ）当12x ≥

时，若关于x 的不等式25()(3)12

f x x a x ≥+-+恒成立，试求实数a 的取值范围.

解：（Ⅰ）()43x f x e x '=+-， ………………………………………………………1分

∵ 0(0)320f e '=-=-<，(1)10f e '=+>，

∴ (0)(1)0f f ''?<． ……………………………………………………………2分 令 ()()43x h x f x e x '==+-，则()40x h x e '=+>， ……………………3分 ∴ ()f x '在区间[0,1]上单调递增，

∴ ()f x '在区间[0,1]上存在唯一零点，

∴ )(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． …………………………………4分 取区间[0,1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

① (0.5)0.60f '≈>，而(0)0f '<，∴ 极值点所在区间是[0,0.5]；

② 又(0.3)0.50f '≈-<，∴ 极值点所在区间是[0.3,0.5]；

③ ∵ |0.50.3|0-

=，∴ 区间[0.3,0.5]内任意一点即为所求． ……7分 （Ⅱ）由25()(3)12f x x a x ≥

+-+，得22523(3)12x e x x x a x +-≥+-+， 即 2112

x ax e x ≤--， ∵ 12x ≥， ∴ 2112x e x a x

--≤， ……………………………………8分 令 2112()x e x g x x

--=， 则221(1)12()x e x x g x x --+'=． ………………10分 令 21()(1)12

x x e x x ?=--+，则()(1)x x x e ?'=-． ∵12x ≥，∴()0x ?'>，∴()x ?在1[,)2

+∞上单调递增，

∴17()()028x ??≥=>， 因此()0g x '>，故()g x 在1[,)2

+∞上单调递增， ……………………………12分

则1211198()()124

2

e g x g --≥==， ∴ a

的取值范围是94

a ≤． …………………………………………14分