2015年高考试题数学文(新课标1卷)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）

文数

一、选择题：每小题5分,共60分

1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为

（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D 【解析】

试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D.[来源学优高考网]

考点：集合运算

2、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =

（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)

【答案】A

考点：向量运算

3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）

（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +

【答案】C 【解析】

试题分析：∴(1)1z i i -=+，∴z=212(12)()

2i i i i i i

++-==--，故选C. 考点：复数运算

4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）

（A ）

310 （B ）15 （C ）110 （D ）1

20

【答案】C 【解析】

试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为1

10

，故选C.[来源学优高考网gkstk]

考点：古典概型

5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为1

2

，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =

（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

【答案】B

考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质

6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米

堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛

【答案】B 【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==163r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320

9

，

故堆放的米约为320

9

÷1.62≈22，故选B.

考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式

7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）

（A ）

172 （B ）19

2

（C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】

试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +

??=+??，解得1a =1

2

，∴101119

9922

a a d =+=

+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式

8、函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）

（A ）13

(,),44k k k Z ππ-

+∈ （B ）13

(2,2),44k k k Z ππ-+∈

（C ）13

(,),44k k k Z -+∈

（D ）13

(2,2),44

k k k Z -+∈

【答案】D 【解析】

试题分析：由五点作图知，1

+4253+42

πω?π

ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，所以()co s ()4f x x ππ=+，

令22,4

k x k k Z π

ππππ<+

<+∈，解得124k -

＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（1

24

k -，324k +），

k Z ∈，故选D.

考点：三角函数图像与性质

9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） （A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12

【答案】

C

考点：程序框图

10、已知函数12

22,1

()log (1),1x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，则(6)f a -=

（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14

- 【答案】A 【解析】

试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1

()2

23a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立，

当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =， ∴(6)f a -=(1)f -=11

7

2

24

---=-，故选A.

考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

【答案】B 【解析】

试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，

圆柱的高为2r ，其表面积为22142222

r r r r r r πππ?+?++?=22

54r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选

B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式 12、设函数()y f x =的图像与2

x a

y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )

（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 【答案】C 【解析】

试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2

x a

y +=的图像上，∴2

y a

x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，

∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C. 考点：函数对称；对数的定义与运算 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分

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13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 【答案】6 【解析】

试题分析：∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

∴2(12)

12612

n n S -=

=-，∴264n =，∴n=6. 考点：等比数列定义与前n 项和公式

14. 已知函数()3

1f x ax x =++的图像在点()()

1,1f 的处的切线过点()2,7，则

a = .

【答案】1 【解析】

试题分析：∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+， 又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴27

3112

a a +-=+-，解得a =1.

考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；

15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤??

-+≤??-+≥?

,则z =3x +y 的最大值为 ．

【答案】4 【解析】

试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由2=0

21=0

x y x y +-??

-+?解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为

4.

考点：简单线性规划解法

16. 已知F 是双曲线2

2

:18

y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()

0,66A ，当APF ?周长最小时，该三角形的面积为 ． 【答案】126

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考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题 三、解答题

17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边，2

sin 2sin sin B A C =.

（I ）若a b =，求cos ;B

（II ）若90B =，且2,a = 求ABC ?的面积. 【答案】（I ）1

4

（II ）1 【解析】

试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外

两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知2

2b ac =，根据勾股定理和即可求出

c ，从而求出ABC ?的面积.

试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得2

2b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,

由余弦定理可得2221

cos 24

a c

b B a

c +-=

=. （II ）由(1)知2

2b ac =.

因为B =90°，由勾股定理得222

a c

b +=.

故22

2a c ac +=，得2c a ==. 所以D ABC 的面积为1.

考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力

18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，

（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；

（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为

6

3

，求该三棱锥的侧面积. 【答案】（I ）见解析（II ）3+25

试题解析：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ^BD ，

因为BE ^平面ABCD ，所以AC ^BE ，故AC ^平面BED. 又AC ì平面AEC ，所以平面AEC ^平面BED

（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由DABC=120°，可得AG=GC=

3

2

x ,GB=GD=2x .

因为AE ^EC ，所以在Rt D AEC 中，可得EG=

3

2

x . 由BE ^平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得BE=

22

x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积311

66

32

243

E ACD V AC GD BE x -=醋?=

.故x =2 从而可得AE=EC=ED=6.

所以D EAC 的面积为3，D EAD 的面积与D ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.

考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力

19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()

1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值

.

x

y

w

2

1

()

n

i

i x x =-∑

2

1

()

n

i

i w w =-∑

1()()n i

i

i x x y y =--∑ 1

()()n

i i

i w w y y =--∑

46.6 56.3 6.8

289.8 1.6 1469 108.8

表中w 1 =x 1, ，w =

18

1

n

i

i w

=∑

（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

=

()

n

i

i

i n

i

i u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-

【答案】（Ⅰ）y c d x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（Ⅱ）100.668y x =+（Ⅲ）46.24 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w x =

，先求出建立y

关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()2

2

231x y -+-=交于M ，N 两点.

（I ）求k 的取值范围；

（II ）12OM ON ?=，其中O 为坐标原点，求MN .

【答案】（I ）4747

,33骣-+琪琪桫

（II ）2

【解析】

试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ?=列出关于k 方程，解出k ，

即可求出|MN|.

试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.

因为l 与C 交于两点，所以

2

|231|11k k

-+<+.

解得

4747

33

k -+<<

. 所以k 的取值范围是4747

,33骣-+琪琪桫

.

（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x . 将1y kx =+代入方程()

()2

2

231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,

所以1212

22

4(1)7

,.11k x x x x k k ++=

=++ ()

()2121212122

4(1)

OM ON

y 1181k k x x y k x x k x x k +?+=++++=

++,

由题设可得

2

4(1)

8=121k k k

+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以|MN |2=.

考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力 21. （本小题满分12分）设函数()2ln x

f x e

a x =-.

（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22ln

f x a a a

≥+. 【答案】（I ）当0a ￡时，()f x ￠

没有零点；当0a >时，()f x ￠存在唯一零点.（II ）见解析 【解析】

试题分析：（I ）先求出导函数，分0a ￡与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）

由（I ）可设()f x ￠在()0+￥

，的唯一零点为0

x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函

数的最小值，即可证明其最小值不小于2

2ln

a a a

+，即证明了所证不等式. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+￥，，()2()=20x a

f x e x x

￠

->.

当0a ￡时,()0f x ￠>，()f x ￠没有零点； 当0a >时，因为2x

e 单调递增，a

x

-单调递增，所以()f x ￠在()0+￥，单调递增.又()0f a ￠>,当b 满足

04a b <<

且1

4

b <时，(b)0f ￠<,故当0a >时，()f x ￠存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ￠在()0+￥

，的唯一零点为0

x ，当()0

0x x ?，时，()0f x ￠<;

当()0+

x x 违，时，()0f x ￠>. 故()f x 在(

)

00x ，单调递减，在(

)0+x ￥

，单调递增，所以当0

x x =时，()f x 取得最小值，最小值为

0()f x .

由于0

202=0x a e

x -

，所以00022

()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a

++?.[来源:https://www.wendangku.net/doc/b113454909.html,]

故当0a >时，2

()2ln

f x a a a

?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是

O 直径，AC 是

O 切线，BC 交

O 与点E

.

（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是

O 切线；

（II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,由3OA CE =得，AB=23，设AE=x ，由勾股定理得212BE x =-，由直角三角形射影定理可得2

AE CE BE =，列

出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小. 试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，

∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分

（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得AB=23，212BE x =-， 由射影定理可得，2

AE CE BE =，

∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB =60°. ……10分

考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2

2

2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（I ）求12,C C 的极坐标方程.

（II ）若直线3C 的极坐标方程为()π

R 4

θρ=

∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）1

2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=

4

π

θ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.

试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，

∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分

（Ⅱ）将=4

πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1

ρ=22，2ρ=2，

|MN|=1ρ－2ρ=2，

因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积

o 121sin 452???=12

. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；

（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2

{|

2}3

x x <<（Ⅱ）（2，+∞）

（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-??

=+--≤≤??-++>?

，

所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21

(,0)3

a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22

(1)3

a +. 由题设得

22

(1)3

a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法