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概率统计简明教程课后习题答案(非常详细版)

概率统计简明教程课后习题答案(非常详细版)
概率统计简明教程课后习题答案(非常详细版)

习题一解答

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件}{两次出现的面相同=A ;

(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω, )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则

},2,1,0|{ ===Ωk k X , }3,2,1,0|{===k k X A .

(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则

)},0({∞+∈=ΩX , )}2500,2000({∈=X A .

2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设=A {取得球的号码是偶数},=B {取得球的号码是奇数},=C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:

(1)B A ;(2)AB ;(3)AC ;(4)AC ;(5)C A ;(6)C B ;(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件; (2) φ=AB 是不可能事件; (3) =AC {取得球的号码是2,4};

(4) =AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10};

(5) =C A {取得球的号码为奇数,且不小于5}={取得球的号码为5,7,9};

(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}; (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}

3. 在区间]2,0[上任取一数,记??????≤<=121x x A ,?

??

???≤

≤=234

1

x x B ,求下列事件的表达式:(1)B A ;(2)B A ;(3)B A ;(4)B A .

解 (1) ???

???≤≤=234

1x x B A ;

(2) =??????≤<≤≤=B x x x B A 2121

0或?

?????

≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ?,所以φ=B A ;

(4)=

?

?????≤<<≤=223

410x x x A B A 或 ?

?????≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件C

B A ,,的运算关系式表示下列事件:

(1) A 出现,C B ,都不出现(记为1E ); (2) B A ,都出现,C 不出现(记为2E ); (3) 所有三个事件都出现(记为3E ); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为4E ); (5) 三个事件都不出现(记为5E ); (6) 不多于一个事件出现(记为6E );

(7) 不多于两个事件出现(记为7E ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为8E )。 解 (1)C B A E =1; (2)C AB E =2; (3)ABC E =3; (4)C B A E =4;

(5)C B A E =5; (6)C B A C B A C B A C B A E =6; (7)C B A ABC E ==7;(8)BC AC AB E =8.

5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设i A 表示事件“第i 次抽到废品”,3,2,1=i ,试用i A 表示下列事件:

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)21A A ; (2)321A A A ; (3)321A A A ;

(4)321A A A ; (5)321321321A A A A A A A A A .

6. 接连进行三次射击,设i A ={第i 次射击命中},3,2,1=i ,=B {三次射击恰好命中二次},=C {三次射击至少命中二次};试用i A 表示B 和C 。

解 321321321A A A A A A A A A B = 323121A A A A A A C =

习题二解答

1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。

解 这是不放回抽取,样本点总数???

?

??=350n ,记求概率的事件为A ,则有利于A 的样本点数

???

? ?????? ??=15245k . 于是

39299!2484950!35444535015245)(=??????=???

?

?????? ?????? ??==n k A P 2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求

(1) 第一次、第二次都取到红球的概率; (2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红、白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式,样本点总数27=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为

D C B A ,,,.

(ⅰ)有利于A 的样本点数25=A k ,故 492575)(2

=??

?

??=A P

(ⅱ) 有利于B 的样本点数25?=B k ,故 4910

725)(2=?=B P

(ⅲ) 有利于C 的样本点数252??=C k ,故 49

20

)(=C P

(ⅳ) 有利于D 的样本点数57?=D k ,故 75

49357

57)(2==?=D P .

3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式,样本点总数56?=n .

(ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有

利样本点数为32?,所求概率为 5

1

5632=??.

(ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为22?,

所求概率为 15

2

5622=??.

4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:

(1) 2只都合格;

(2) 1只合格,1只不合格; (3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C B A ,,,则

522562342624)(=????=???

? ?????? ??=A P 15856224261214)(=???=???

?

?????? ?????? ??=B P

注意到B A C =,且A 与B 互斥,因而由概率的可加性知

15

14

15852)()()(=+=+=B P A P C P

5.掷两颗骰子,求下列事件的概率:

(1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为C B A ,,,样本点总数26=n (ⅰ)A 含样本点)2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)

61

6

6)(2==∴A P

(ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)

185

6

10)(2==∴B P

(ⅲ)C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

2

1

3618)(==∴C P

6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解 记求概率的事件为A ,样本点总数为35,而有利A 的样本点数为345??,所以 2512

5

345)(3

=??=A P . 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率:

(1) 事件A :“其中恰有一位精通英语”; (2) 事件B :“其中恰有二位精通英语”; (3) 事件C :“其中有人精通英语”。

解 样本点总数为???

?

??35

(1) 53106345!332352312)(==????=???

?

?????? ?????? ??=

A P ; (2) 103345!33351322)(=???=???

?

?????? ?????? ??=

B P ; (3) 因B A

C =,且A 与B 互斥,因而

10

9

10353)()()(=+=+=B P A P C P .

8.设一质点一定落在xOy 平面内由x

解 记求概率的事件为A ,则A S

为图中阴影部分,而2/1||=Ω,

1859521322121||2

=?=??? ??-=A S

最后由几何概型的概率计算公式可得 9

5

2/118/5||||)(==Ω=A S A P .

9.(见前面问答题2. 3)

10.已知B A ?,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求

图2.3

(1))(A P ,)(B P ;(2))(B A P ;(3))(AB P ;(4))(),(B A P A B P ;(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ,4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ; (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P ; (3)4.0)()(==A P AB P ;

(4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P

11.设B A ,是两个事件,已知5.0)(=A P ,7.0)(=B P ,8.0)(=B A P ,试求)(B A P -及).(A B P - 解

注意到

)

()()()(AB P B P A P B A P -+= ,因而)()()(B P A P AB P +=

)(B A P -4.08.07.05.0=-+=. 于是,)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=;3.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .

习题三解答

1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ,随机事件B 的概率6.0)(=B P ,条件概率8.0)|(=A B P ,试求)(AB P 及)(B A P .

解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P

)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==

3.04.06.05.01=+--=

2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正品的概率。

解 1078

9

989981989910090910=

?=????=

p . 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概

率为0.19

(1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?

解 记=A {基金},=B {股票},则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P

(1) .327.058.019

.0)()()|(===

A P A

B P A B P (2) 678.028.019

.0)()()|(===

B P AB P B A P . 4.给定5.0)(=A P ,3.0)(=B P ,15.0)(=AB P ,验证下面四个等式:

),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =,).()|(B P A B P = 解 )(2

1

3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====

)(5.07.035

.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==

)(3.05

.015

.0)()()|(B P A P AB P A B P ====

)(5

.015

.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==

5.有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。

解 =B {迟到},=1A {坐火车},=2A {坐船},=3A {坐汽车},=4A {乘飞机},则 4

1==i i BA B ,

且按题意

25.0)|(1=A B P ,3.0)|(2=A B P ,1.0)|(3=A B P ,0)|(4=A B P .

由全概率公式有:

∑==?+?+?==4

1145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P

6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率:

(1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。

解 (1) 记=B {该球是红球},=1A {取自甲袋},=2A {取自乙袋},已知10/6)|(1=A B P ,

14/8)|(2=A B P ,所以

70

41

1482110621)|()()|()()(2211=

?+?=

+=A B P A P A B P A P B P (2) 12

72414)(==

B P 7.某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,

40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。

解 02.04.004.035.005.025.0?+?+??

%45.30345.0008.00140.00125.0==++=

8.发报台分别以概率0.6,0.4发出""?和""-,由于通信受到干扰,当发出""?时,分别以概率0.8和0.2收到""?和""-,同样,当发出信号""-时,分别以0.9和0.1的概率收到""-和""?。求(1) 收到信号""?的概率;(2) 当收到""?时,发出""?的概率。

解 记 =B {收到信号""?},=A {发出信号""?} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 52.004.048.01.04.08.06.0=+=?+?=

(2) 13

12

52.08.06.0)()|()()|(=?==B P A B P A P B A P .

9.设某工厂有C B A ,,三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是车间C B A ,,生产的概率。

解 为方便计,记事件C B A ,,为C B A ,,车间生产的产品,事件=D {次品},因此

)|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++=

02.04.004.035.005.025.0?+?+?=

0345.0008.0014.00125.0=++=

362.00345.005

.025.0)()|()()|(=?==D P A D P A P D A P

406.00345.004

.035.0)()|()()|(=?==D P B D P B P D B P

232.00345

.002

.04.0)()|()()|(=?==D P C D P C P D C P

10.设A 与B 独立,且q B P p A P ==)(,)(,求下列事件的概率:)(B A P ,)(B A P ,)(B A P . 解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(

pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(

11.已知B A ,独立,且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==,求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =,由独立性有

)()()()(B P A P B P A P =

从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =

再由 9/1)(=B A P ,有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--== 所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .3/2)()(==A P B P

12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率。

解 记 =B {命中目标},=1A {甲命中},=2A {乙命中},=3A {丙命中},则 3

1==i i A B ,因而

.98

9113121321)()()(11)(32131=-=??-=-=???

? ??-==A P A P A P A P B P i i 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为p ,求这

解 记 =A {通达},

=i A {元件i 通达},6,5,4,3,2,1=i

则 654321A A A A A A A =, 所以

)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++=

)()()()(654321652165434321A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P +---

642)1()1(3)1(3p p p -+---=

14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

解 0512.0)8.0()2.0(352

3=???

? ??=p .

15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

解 104.0096.0008.0)2.0(8.023)2.0(332

3=+=?????

? ??+???? ??=p .

16.设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19/27,求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .

解 记=i A {A 在第i 次试验中出现},.3,2,1=i )(A P p =

依假设 332131)1(1)(12719p A A A P A P i i --=-=???

? ??== 所以, 27

8

)1(3=-p , 此即 3/1=p .

17.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。

解 注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 =i A {第i 道工序为次品},.3,2,1=i 则次品率

097.090307.0195.097.098.01)()()(132131≈-=??-=-=???

? ??==A P A P A P A P p i i

18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率。

解 记 =A {译出密码}, =i A {第i 人译出},.3,2,1=i 则

7075

.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=??-=-=???

?

??==A P A P A P A P A P i i 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次,恰有5次出现正面的概率是多少?有4次至6次出现正面的概率是多少?

解 (1) 256632151010

=??

? ?????? ?? ; (2) 106

42110??

?

?????? ??∑=k k .

20.某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T ,各电梯正在运行的概率均为0.75,求:

(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。

解 (1) 256255

)25.0(1)75.01(144=-=--

(2) 1282741436)25.0()75.0(242

22

2=??? ?????? ???=???

? ?? (3) 2568143)75.0(4

4=??

? ??=

习题四解答

1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由。

(1)5,4,3,2,1,0,15==i i

p i ;

(2)()3,2,1,0,652=-=i i p i ; (3)5,4,3,2,41

==i p i ;

(4)5,4,3,2,1,25

1

=+=i i p i 。

解 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证i p 是否满足下列二个条件:其一条件为 ,2,1,0=≥i p i ,其二条件为1=∑i

i p 。

依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律;(2)中的数列不是随机变量的分布律,

因为064

6953<-=-=p ;

(3)中的数列为随机变量的分布律;(4)中的数列不是随机变量的分布律,这是因为∑=≠=5

1

12520

i i p 。 2. 试确定常数c ,使()()4,3,2,1,0,2

===i c

i X P i 成为某个随机变量X 的分布律,并求:()2≤X P ;

??? ??<<252

1

X P 。

解 要使i c 2成为某个随机变量的分布律,必须有124

0=∑=i i c ,由此解得3116

=c ;

(2) ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P

3128

412113116=??? ??++=

(3)()()21252

1

=+==??? ??<

3. 一口袋中有6个球,在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。

解 X 可能取的值为-3,1,2,且()()()6

1

2,211,13=====-=X P X P X P ,即X 的分布律为

X 的分布函数

0 3-

()()x X P x F ≤== 31

13<≤-x

6

5

21<≤x

1 2≥x

4. 一袋中有5个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X 表示取出的3个球中最大号码,写出X 的分布律和分布函数。

解 依题意X 可能取到的值为3,4,5,事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3,则另两个球的只能为1号,2号,即()1013513=???

? ??=

=X P ;事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选,此时()103352314=????

?????? ???=

=X P ;同理可得()106352415=???

?

?????? ???=

=X P 。 X 的分布律为

X 的分布函数为

0 3

()=x F

101

43<≤x 10

4

54<≤x

1 5≥x

5. 在相同条件下独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X 的分布律。

解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布,因此,其分布律

()5,,1,0,4.06.055 =???

? ??==-k k k X P k

k ,

具体计算后可得

6. 从一批含有到的可能性相等。在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。

(1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2) 每次取出的产品都不放回这批产品中; (3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解 (1)设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品,依题意, ,,,1n A A 相互独立,且

() ,2,1,13

10

==

i A P i 而 ()()()()

() ,2,1,13

10

1331

1

111=?

?

?

??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k

即X 服从参数13

10

=

p 的几何分布。 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X 可能取到的值为1,2,3,4,

()()()().

2861

10111213101234,143511121310233,26512131032,13101=??????===????===??===

=X P X P X P X P X 的分布律为

(3)X 可能取到的值为1()()()().

21976

1313131234,21977213131312233,1693313131132,13101=????===????===??===

=X P X P X P X P 所求X 的分布律为

由于三种抽样方式不同,导致X 的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量()p B X ,6~,已知()()51===X P X P ,求p 与()2=X P 的值。

解 由于()p B X ,6~,因此()()6,,1,0,1666 =-???

?

??==-k p p k X P k

k 。

由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655p p p p -=- 解得2

1=p ;

此时,()64

1521!25621212626

2

62

=??? ????=??

? ????? ?????? ??==-X P 。 8. 掷一枚均匀的硬币4次,设随机变量X 表示出现国徽的次数,求X 的分布函数。

解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为21,因此X 服从2

1,4==p n 的二项分布,即

()4,3,2,1,0,212144=?

?

?

????? ?????? ??==-k k k X P k

k

由此可得X 的分布函数

0, 0

161

, 10<≤x ()=x F 165

, 21<≤x

1611

, 32<≤x

16

15

, 43<≤x

1, 4≥x

9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要?

解 设至少要进n 件物品,由题意n 应满足

()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P

即 ()99.0!

4110

4<=-≤∑

-=-n k k

e k n X P

()99.0!

404

≥=≤∑=-n

k k e k n X P

查泊松分布表可求得 9=n 。

10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故次数不少于2的概率。

解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数,依题意,X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布,即

()0001.0,1000~B X ,由于n 较大,p 较小,因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=?==np λ的

泊松分布,即()1.0~P X ,所求概率为

()()()

.

004679.0090484.0904837.01!

11.0!01.0110121

.011.00=--=--≈=-=-=≥--e

e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数,写出X 的分布律。

解 设事件i A 表示第i 次试验成功,则()75.0=i A P ,且 ,,,1n A A 相互独立。随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功,但第k 次试验成功,因此有

()()()

()

()75.025.011111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P

所求的分布律为

12. ()=x f x 2, A x <<0

0, 其他, 试求:(1)常数A ;(2)X 的分布函数。

解 (1)()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为()0≥x f ;其二为

()?+∞

-=1dx x f ,因此有?=A

xdx 012,解得1±=A ,其中1-=A 舍去,即取1=A 。

(2)分布函数

()()()?∞-=≤=x

dx x f x X P x F

= ??????+++∞-∞-∞-x

x

x

dx

xdx dx xdx

dx dx

10

1

000020200 1

100

≥<≤

= 1

02x 1

100≥<≤

13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,,求:(1)系数A ;(2)()10<

解 (1)系数A 必须满足?+∞

∞--=1dx Ae x ,由于x e -为偶函数,所以

???+∞∞-+∞+∞---===12200dx Ae dx Ae dx Ae x

x x

解得2

1=A ;

(2)()()

1101012

1

2

1

21

10----===<

dx x f x F

=

???-∞--∞--+x x x x x dx

e dx e dx

e 00212121

= ???-∞-∞-+x x

x x

x

dx

e dx e dx

e 00212121 00≥

= ()

x x

e e

--+121

2121 00≥

= x x

e e

--2

1121 00≥

14. 证明:函数

()=x f 0

22c

x e

c x

-

<≥x x (c 为正的常数)

为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0≥x f ,且()120

22

0222

2

2

=-=????

?

?-

-==+∞

-∞

+-

+∞-∞+∞--

???c x c x c x e c x d e

dx

e

c

x

dx x f ,

因此()x f 满足密度函数的二个条件,由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数

()=x f 025.05.0x e 2

200

>≤<≤x x x

对应的分布函数()x F 的表达式。

解 当0≤x 时,()()??∞-∞-===x

x x x

e dx e dx x

f x F 5.05.0

当20≤

025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x

x x

当2>x 时,()15.05.0025.05.00

22

0=+=++=???∞-x

x dx dx dx e x F

综合有

()=x F ,

1,25.

05.0,

5.0x e x + .2;20;0≥≤≤≤x x x

16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布,求方程012=++Xt t 有实根的概率。 解 X 的密度函数为

()=x f

,5

1

61<

方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ,即42≥X ,因此所求得概率为

()

()()()?=+=≥+-≤=≥-≤=≥6225

451

022224dx X P X P X X P X P 或。

17. 设某药品的有效期X 以天计,其概率密度为

()=x f

(),10020000

3

+x 0>x ;

0, 其他.

求:(1) X 的分布函数;(2) 至少有200天有效期的概率。

解 (1) ()()?∞-=x

dx x f x F =

(),10020000,

003

dx x x

?+

.0;0≥

100100001,

02

+-x

.0;0≥

10020010000

11200120012002

=???

? ??+--=-=≤-=>F X P X P 。 18. 设随机变量X 的分布函数为

()=x F

(),

11,

0x e x -+-

>≤x x 求X 的密度函数,并计算()1≤X P 和()2>X P 。

解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系,可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=,因此

()=x f ,

0,

x xe - 其他0>x

所求概率()()()11211111---=+-==≤e e F X P ;

()()()()()

223211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。

19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan ,求(1) 常数B A ,;(2)()1

解:(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数,必须满足()()1lim ,0lim ==+∞

→-∞

→x F x F x x ,即

()()1a r c t a n

lim 0

arctan lim =+=++∞

→-∞→x B A x B A x x

计算后得

120

2

=+

=-B A B A π

π

解得

π

121=

=

B A 另外,可验证当π

1

,2

1=

=B A 时,()x x F arctan 1

21π

+=

也满足分布函数其余的几条性质。 (2) ()()()()11111--=<<-=

()??????-+-+=1arctan 1211arctan 121ππ 2

4141πππ

ππ=??? ??-?-?=

(3)X 的密度函数

()()()

+∞<<-∞+=

'=x x x F x f ,11

2

π。

20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min )服从5

1

=λ的指数分布,其密度函数

为()=x f 0

,515

x e - 其他0>x ,某顾客在窗口等待服务,若超过10min ,他就离开。

(1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率;

(2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

解 (1)设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X 服从5

1=λ的指数分布,且顾客等待时间超过10min 就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为

()?∞

+--==≥10

25

5

110e dx e X P x

; (2)设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y 服从2,5-==e p n 的二项分布,所求概率为

()()()

()()

()

()()

4

2

24

225

20

2141115105101-------+=-???

? ??+-???

? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P

21. 设X 服从()1,0N ,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)()2.2

()176>X P ;(3)()78.0-X P 。

解 查正态分布表可得

(1)()()9861.02.22.2=Φ=

(2)()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ; (3)()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=-

()()()()8788

.019394.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= (5)

()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P

()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。

22. 设X 服从()16,1-N ,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1)()44.2X P ;

(3)()8.2--X P 。 解 当()2,~σμN X 时,()??

?

??-Φ-??? ??-Φ=≤≤σμσμa b b X a P ,借助于该性质,再查标准正态分布函数表可求得

(1)()()8051.086.04144.244.2=Φ=???

??+Φ=

?

??+-Φ-=->X P

()()()5498.0125.0125.011=Φ=Φ--=;

(3)()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=??

?

??+-Φ=-

?

??+-Φ-??? ??+Φ=

()()6678.07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=;

(5)()()()175.041541225-Φ-Φ=??

?

??+-Φ-???

??+Φ=<<-X P ()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=;

(6)()()()???

?????? ??+Φ-??

?

??+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P

()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。

23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ,合格品的规格规定为2.02±,求该厂滚珠的合格率。

解 所求得概率为

()()()()()927

.09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=?

??

?

?-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100,30~N X (单位:min )已知上班时间为8:30,他每天7:50出门,求:(1)某天迟到的概率;(2)一周(以5天计)最多迟到一次的概率。

解 (1)由题意知某人路上所花时间超过40分钟,他就迟到了,因此所求概率为

()()1587.08413.0111103040140=-=Φ-=??

?

??-Φ-=>X P ;

(2)记Y 为5天中某人迟到的次数,则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布,5天中最多迟到一次的概率为

()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514

50=????

? ??+????? ??=≤Y P 。

习题五解答

1. 二维随机变量()Y X ,只能取下列数组中的值:()()()0,2,31,1,1,1,0,0??

? ?

?--,且取这些组值的概率依次为12

5

,121,

31,61,求这二维随机变量的分布律。

解 由题意可得()Y X ,的联合分布律为

2. 3,2,2,1中任取一球。设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同。以X 、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字,求()Y X ,的分布律及()Y X P =。

解 X 可能的取值为3,2,1,Y 可能的取值为3,2,1,相应的,其概率为

()()()()()()()()().

03,3,61

34212,3,1211,3,61

34123,2,6134122,2,6134121,2,12

1

34113,1,6134212,1,01,1====??=======??====??====??====??====??=

=====Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P

或写成

()()()()6

3,32,21,1===+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。

3. 箱子中装有10件产品,其中2件为次品,每次从箱子中任取一件产品,共取2次,定义随机变量X 、Y 如下:

X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 若第二次取出正品; 1, 若第一次取出次品; 1, 若第二次取出次品。

分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。

解 (1)在放回抽样时,X 可能取的值为1,0,Y 可能取的值也为1,0,且

()()()(),

251

1010221,1,2541010820,1,

25

4

1010281,0,25161010880,0=??====??====??====??=

==Y X P Y X P Y X P Y X P

或写成

(2)在无放回情形下,X 、Y 可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一

样,具体为

()()()(),

451

910121,1,458910820,1,458

910281,0,4528910780,0=??====??====??====??=

==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成

4. 对于第1题中的二维随机变量Y X ,X 及关于Y 的边缘分布律。 解 把第1题中的联合分布律按行相加得

X 的边缘分布律为

按列相加得Y 的边缘分布律为

5. 对于第3Y X ,于X 及关于

Y 的边缘分布律。

解 在有放回情况下X 的边缘分布律为

Y 的边缘分布律为

在无放回情况下X 的边缘分布律为

X

1

概率

54 5

1 Y 的边缘分布律为

6. 求在D Y X ,D 为x 轴、y 轴及直

线12+=x y 围成的三角形区域。

解 区域D 见图5.2。 易算得D 的面积为4

1

21121=??=S ,所以()Y X ,的密

度函数

()=y x f ,

,0,4 ()其他

D y x ∈, ()Y X ,的分布函数 ()()??∞-∞-

=y x

dxdy y x f y x F ,,

当2

1-

120,02

1

+<≤<≤-

x y x 时()2

02

1244,y y xy dx dy y x F y

x

y -+==??

-; 当12,02

1+≥<≤-x y x 时,()1444,22

11

20

++==??-

+x x dy dx y x F x

x ;

当10,0<≤≥y x 时,()2002

124,y y dx dy y x F y

y -==??-; 当1,0≥≥y x 时,()??-

+==02

11

20

14,x dy dx y x F

综合有

,0 02

1<-

,242y y xy +- 12002

1

+<≤<≤-

x y x 且 ()=y x F , ,1442++x x 1202

1

+≥<≤-

x y x 且 ,22y y - 100<≤≥y x 且

,1 10≥≥y x 且

7. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布,写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数。 解 X 的边缘密度函数为

()()?+∞

∞-=dy y x f x f X ,

= ,

0,

41

20

?+x dy 其他021<<-

x = (),

0,124+x 其他

21

<<-x

Y 的边缘密度函数为

()()?+∞

∞-=dx y x f y f Y ,

=

,

0,40

2

1?

-y dx

其他

10<

(),0,

12y - 其他

10<

8. 在第3题的两种情况下,X 与Y 是否独立,为什么? 解 在有放回情况下,由于()25160,0=

==Y X P ,而()()25

16

545400=?===Y P X P ,即()()()000,0=====Y P X P Y X P ;容易验证()()(),101,0=====Y P X P Y X P

()()()()()()111,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ,由独立性定义知X 与Y 相互独立。

在无放回情况下,由于()45280,0=

==Y X P ,而()()25

16545400=?===Y P X P ,易见()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ,所以X 与Y 不相互独立。

9. 在第6题中,X 与Y 是否独立,为什么? 解 431,41=??

? ??-f ,而3431,241=??

? ??=??

? ??-Y X f f ,易见??

?

????? ??-≠??? ??-314131,41Y X f f f ,所以X 与Y 不相互独立。

10. 设X 、Y 相互独立且分别具有下列的分布律:

写出表示()Y X ,解 由于X 与Y 相互独立,因此

()()()

,3,2,1,4,3,2,1,,=======j i y Y P x X P y Y x X P j i j i

例如()()()8

121415.025.0,2=?=-=-==-=-=Y P X P Y X P

其余的联合概率可同样算得,具体结果为

11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量,X 服从2.0,0上的均匀分布,Y 服从参数为5的指数分

布,求()Y X ,的联合密度函数及()Y X P ≥。

解. 由均匀分布的定义知

()=x f X

,0,5 其他

2.00<

()=y f Y ,

0,

55y e - 其他0>y

概率统计习题及答案

1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B ) A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。( C ) A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为( C ) (A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8

(完整版)山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第六章习题详细答案石油大学出版社

习题六 1. 设总体X ~)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2 S 小于9.1的概率. 解 X ~)6,(μN ,由2 2 )1(σS n -~)1(2-n χ,于是 {}()(){}(){}22 22 2519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-???-<=<=<=-≥???? 10.050.95.=-= 2. 设1210,,,X X X L 是取自正态总体2 (0,0.3)N 的样本,试求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解:由() 2 1 2 n i i X u σ=-∑~2 ()n χ,于是 () ()(){}10210221221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==?? ?????? >=>=>=???????????? ∑∑. 3. 设总体X ~(,4)N a ,n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立, () ( )() () () 2 10.1; 20.1; 3{1}0.95.E X a E X a P X a -≤-≤-≤≥ 解 (1) 因为X ~4(,),N a n X ~(0,1),N 从而() 2 4X a n -~2 (1),χ于是 224 1,0.1,40.X a E E X a n n n ? ?- ?=-=≤≥ ? ??? 所以 (2 X ~(0,1),N 所以 2 22222 2 2x x x x E dx xe dx e d ∞∞ ∞ -- - -∞??=== -= ??? ?? 所以( ) 0.1,E X a -= ≤从而800 254.7,255.n n π > =≥故

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故

经济数学基础-概率统计课后习题答案

习 题 一 写出下列事件的样本空间: (1) 把一枚硬币抛掷一次; (2) 把一枚硬币连续抛掷两次; (3) 掷一枚硬币,直到首次出现正面为止; (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M ). 解 (1) Ω={正面,反面} △ {正,反} (2) Ω={(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)} (3) Ω={(正),(反,正),(反,反,正),…} (4) Ω={x ;0 ≤x ≤ m } 掷一颗骰子的试验,观察其出现的点数,事件A =“偶数点”, B =“奇数点”, C =“点数小于5”, D =“小于5的偶数点”,讨论上述各事件间的关系. 解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A Ω A 与B 为对立事件,即B =A ;B 与D 互不相容;A ?D ,C ?D. 3. 事件A i 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务,i =1,2,3,B 表示至少有两个车间完成生产任务,C 表示最多只有两个车间完成生产任务,说明事件B 及B -C 的含义,并且用A i (i =1,2,3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务,即至少有两个车间没有完成生产任务. 313221A A A A A A B ++= B - C 表示三个车间都完成生产任务 321321321321+++A A A A A A A A A A A A B = 321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =- 4. 如图1-1,事件A 、B 、C 都相容,即ABC ≠Φ,把事件A +B ,A +B +C ,AC +B ,C -AB 用一些互不相容事件的和表示出来. 解 B A A B A +=+ C B A B A A C B A ++=++ C B A B B AC +=+ BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在,举例说明. 解 两个对立的事件一定互不相容,它们不可能同时发生,也不可能同时不发生;两个互不相容的事件不一定是对立事件,它们只是不可能同时发生,但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A 与D 是对立事件,C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件,即ABC =Φ,问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解 不一定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容,即两两互不相容.如图1-2,事件ABC =Φ,但是A 与B 相容. 7. 事件A 与B 相容,记C =AB ,D =A+B ,F =A -B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系. 解 由于AB ?A ?A+B ,A -B ?A ?A+B ,AB 与A -B 互不相容,且A =AB +(A -B). 因此有 A =C +F ,C 与F 互不相容, D ?A ?F ,A ?C. 8. 袋内装有5个白球,3个黑球,从中一次任取两个,求取到的两个球颜色不同的概率. 解 记事件A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A 的样本点数目#A =1 315 C C .而组成试验的样本点总数为#Ω=235+C ,由古典概率公式有 图1-1 图1-2

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3)

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件:

概率统计试题及答案

<概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ~2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分

概率统计简明教程课后习题答案(工程代数同济大学版)

习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A: (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件两次出现的面相同}; (2) 记录某电话总机一分钟, (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设取得球的号码是偶数},取得球的号码是奇数},取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: ;(2)AB;(3)AC;(4)AC;(5);;解是必然事件; 是不可能事件; 取得球的号码是2,4}; 取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; 取得球的号码为奇数,且不小于取得球的号码为5,7,9}; 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6,8,10}; 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 在区间[0,2]上任取一数,记,,求下列事件的表达式: ;(2)B;(3)A; 解 或 (3) 因为,所以; 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件: (1) A出现,B,C都不出现(记为E1); (2) A,B都出现,C不出现(记为E2); (3) 所有三个事件都出现(记为E3); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E4); (5) 三个事件都不出现(记为E5); (6) 不多于一个事件出现(记为E6); (7) 不多于两个事件出现(记为E7); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E8)。 解;AB; ;; ;; ; 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai表示事件“第i次抽到废品”,,试用Ai表示下列事件:

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品。 解;(2)A1A2A3;(3)A1A2A3;; 6. 接连进行三次射击,设Ai={第i次射击命中},,三次射击恰好命中二次},三次射击至少命中二次};试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取,样本点总数,记求概率的事件为A, 则有利于A的样本点数 于是 2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率; (2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红、白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式,样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数,故 ⅱ) 有利于B的样本点数,故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数,故 ⅳ) 有利于D的样本点数,故 3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式,样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利 样本点数为,所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为,

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

概率论课后习题答案

习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

概率统计练习题答案

概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、A 、B 任意二事件,则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案:D 2、设袋中有6个球,其中有2个红球,4个白球,随机地等可能地作无放回抽样,连 续抽两次,则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球,第二次抽得红球, 答案:B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ

A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案:D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立,且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =,又 12,,, ,n c k k k ,为1n +个任意常数,则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案:C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案:D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数),那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案:B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本, 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -

概率统计试题和答案

题目答案的红色部分为更正部分,请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1,理2)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B ) A .14 B . π8 C .12 D . π 4 2.(2017课标3,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( A ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 3.(2017课标2,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X = 。 4.(2016年全国I 理14)5(2)x x + 的展开式中,x 3的系数是 10 .(用数字填写答案) 5.(2016年全国I 理14)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) (A )13 (B )12 (C )23 (D )3 4 5.(2016年全国2理10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y , ()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )(A ) 4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n 6.(2016年全国3理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ,B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.(15年新课标1理10)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 (设以百分制记分)。 (2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 (3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产 品的总件数。 (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上 “正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品 就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的 结果。 (5)在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标。 (6)实测某种型号灯泡的寿命。 解(1)},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 (2)}18,,4,3{ =Ω。 (3)},11,10{ =Ω。 (4)=Ω{00,100,0100,0101,0110,1100, 1010,1011,0111,1101,0111,1111},其中 0表示次品,1表示正品。 (5)=Ω{(x,y)| 0

(2)A 与B 都发生,而C 不发生。 (3)A ,B ,C 中至少有一个发生。 (4)A ,B ,C 都发生。 (5)A ,B ,C 都不发生。 (6)A ,B ,C 中不多于一个发生。 (7)A ,B ,C 至少有一个不发生。 (8)A ,B ,C 中至少有两个发生。 解 (1)C B A ,(2)C AB ,(3)C B A ++,(4)ABC , (5)C B A , (6)C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++, (7)C B A ++, (8)BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3.指出下列命题中哪些成立,哪些不成立,并作 图说明。 (1)B B A B A =(2)AB B A = (3)AB B A B =?则若,(4)若 A B B A ??则, (5)C B A C B A = (6)若Φ=AB 且A C ?,

概率统计习题及答案

1、 已知P (A )=0.7. P (B )=0?8,则下列判断正确的是( D )o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X=3的概率为(C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击,设射击的命中率为02独立射击100次,则至少击中9次的概率为(B ) 100 9 C ?工 C ;(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N (0, 1),常数c 为以下何值时,统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。(C ) A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为(A ) 7. X P X 2.X 3为总体的样本,下列哪一项是“的无偏估计(A ) A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数(2为( C ) A.C ;;X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D.

9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平a=0.05下,拒绝假设 H。:“ =,则在显著水平a=0.01下,(B ) A.必接受 B.可能接受,也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受,也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分,共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件,则A, B, C至少有一个事件发生表示为:_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码,设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s),贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0(1.62) = 0.9474,①(1.30) = 0.9032,①(2.33) = 0.99 r().025(4) = 2.7764 , gms(5) = 2.5706 , G.05(4) = 2.1318 ,心朋(5) = 2.0150 力為5⑷= 11.143,才爲5⑷= 0.484,加05(4) = 9.488,加少5⑷=°?711 一.选择题(15分,每题3分) 1.如果P(A) + P(B)>1,则事件£与万必左(C ) (A)独立; (3)不独立: (C)相容; (D)不相容?

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} {=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)} 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ; {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ; {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++; (4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++; (6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ; (9)C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:C B A ++,C AB +,AC B -. 解:如图:

概率论与数理统计练习题及答案

概率论与数理统计习题 一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) 1.设)4,5.1(~N X ,且8944.0)25.1(=Φ,9599.0)75.1(=Φ,则P{-2=? ≤?,则q=_____ (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 4.事件A ,B 为对立事件,则_____不成立。 (A) ()0P AB = (B) ()P B A φ= (C) ()1P A B = (D) ()1P A B += 5.掷一枚质地均匀的骰子,则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为____ (A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 6.设(|)1P B A = ,则下列命题成立的是_____ A . B A ? B . A B ? C.A B -=Φ D.0)(=-B A P 7.设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ,则下列选项中正确的 是_____ A . 0()1F x ≤≤ B .0()1f x ≤≤ C.{}()P X x F x == D.{}()P X x f x == 8.设 ()2~,X N μσ,其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本, 下列各项不是 统计量的是____ A.4114i i X X ==∑ B.142X X μ+- C.4 22 1 1 ()i i K X X σ==-∑ D.4 2 1 1()3i i S X X ==-∑ 9.设,A B 为两随机事件,且B A ?,则下列式子正确的是_____ A . ()()P A B P A += B .()()P AB P A =

《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw_lxywyl】

课后答案网习w题w一w解.答https://www.wendangku.net/doc/ba13597278.html, 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A{两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次};{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。 解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ,A{( ,), ( ,)}. (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则 {X k | k0,1,2,LL} , A {X k | k0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则 {X (0,)} , A {X(2000,2500)} . 2. 袋中有10 个球,分别编有号码1 至10,从中任取1 球,设A {取得球的号码是偶数},B {取得球的号码是奇数},C {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C;(6) B U C ;(7) A C . 解(1) A U B是必然事件; (2) AB 是不可能事件; (3) AC {取得球的号码是2,4}; (4) AC {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C{取得球的号码为奇数,且不小于5} {取得球的号码为5,7,9}; (6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6,8,10}; (7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 3. 在区间[0 , 2] 上任取一数,记A (1) A U B ;(2) ;(3) ;(4) A U B .x 1 x 2 1 ,B x 1 x 4 3 ,求下列事件的表达式: 2 解(1) A U B x 1 x 3 ; 4 2 (2) A x 0 x 1 或1 x 2 2 I B x 1 x 4 1 U x1 x 3 ; 2 2 (3) 因为A B ,所以AB ; (4) A U B A U x 0 x 1 或 3 x 2x 0 x 1 1 x 1或 3 x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现,B, C都不出现(记为E 1 ); (2) A, B 都出现,C 不出现(记为E 2 ); (3) 所有三个事件都出现(记为E 3 ); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为E 4 ); (5) 三个事件都不出现(记为E 5 ); (6) 不多于一个事件出现(记为E 6 ); (7) 不多于两个事件出现(记为E 7 ); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E 8 )。 解(1) E 1 (3) E 3(5) E 5 AB C;(2) E 2 ABC ;(4) E 4

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