第三章 命题逻辑
第三章命题逻辑
1、判断下列语句是否是命题,如果是命题,指出其真值：
（1）2是无理数；
(2) 存在最大质数；
（1）中国是一个人口众多的国家；
（2）这座楼真高啊！
（3）你喜欢“蓝色的多瑙河”吗？
（4）请你关上门。
（5）地球以外的星球上也有人。
解（1）是命题，真值为1。
（1）是命题，真值为0。
（2）是命题，真值为1。
（3）、（5）、（6）均不是命题。
（6）是命题，真值是惟一的，迟早会被指出。
说明要判断一个语句是否是命题，首先要判断它是否是陈述句，然后再判断它的真值是否是惟一的。
本题中，（4）、（5）、（6）均不是陈述句，无法分辨其真假，故都不是命题。陈述句不一定是命题，这里的关键是：客观上有无真假可言，而不以主观能否判断为标准。
2、将下列命题符号化，并确定其真值：
（1）5不是偶数；
（2）天气炎热但湿度较低；
（3）2+3=5或者他游泳；
（4）如果a和b是偶数，则a+b是偶数；
（5）2+2=4，当且仅当3是奇数。
?，真值为1。
解（1）设P：5是偶数。则（1）是：P
（2）设P：天气炎热。Q：湿度较低。则（2）是：P∧Q。
显然，只有在既炎热又湿度较低的情况下，P∧Q的真值为1，否则，其真值皆为0。
（3）设P：2+3=5。Q：他游泳。则（3）是：P∨Q，真值为1。
（4）设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。则（4）是P→Q，真值为1。
（5）设P：2+2=4。Q：3是奇数。则（5）是：P?Q，真值为1。
3、设命题P，Q的真值为1，命题R，S的真值为0，试确定下面命题的真值：
（1）G=（P∧Q∧R）∨?（（P∨Q）∧（R∨S）；
（2）G=（﹁（P∧Q）∨?R）∨（（（﹁P∧Q）∨﹁R）∧S）；
?））；
（3）G=（?（P∧Q）∨?R）∧（（Q??P）→（R∨S
（4）G=（P∨（Q→（R∧?P）））?（Q∨?S）。
解（1）
故（1）的真值为1。
故（2）的真值为1。
故（4）的真值为1。
4、在什么情况下，下面的命题是真的：“说戏院是寒冷的或者是人们常去的地方是不对
的，并且说别墅是温暖的或者戏院是讨厌的也是假的。”
解设P：戏院是寒冷是；Q：戏院是人们常去的地方；R：别墅是温暖的；S：戏院是讨厌的；
于是，题设命题为G=（﹁（P∨Q））∧（﹁（R∨S）），且G的真值为1。
由此可知，命题（﹁（P∨Q））与（﹁（R∨S））的真值同时为1，即命题（P∨Q）与（R∨S）的真值同时为0，亦即命题P，Q，R，S的真值同时为0。
故当“戏院是温暖的，戏院不是人们常去的地方，别墅是寒冷的，戏院是不讨厌的”时，题设命题是真的。
说明比较复杂的复合命题，命题之间往往会同时用多个联结及圆括号加以联结。在确定这种形式命题的真值过程中，必然会涉及到真值计算的次序。如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的次序运算；若遇有括号时，优先进行括号中的运算。总之，应按运算次序逐次求出真值的中间结果，直至完成全部计算。
5、构造下列公式的真值表，并解释其结果。
（1）（P∧（P→Q））→Q；（2）﹁（P→Q）∧Q；（3）（P∨Q ）?（Q∨R）
可见：（P∧（P Q））Q是恒真的。
可见：﹁（P Q）∧Q是恒假的。
（3）的真值表
可见：（P ∨Q ）（Q ∨R ）是可满足的。
说明 从从依照递归形式所给出的公式的定义中，可以看出：公式是一个符号串，设有真值，不是命题，是命题的抽象，仅当我们对其中的各个原子，用确定的真（1）或假（0）代入解释（赋值）时，才得到一个命题。并将公式在其所有解释下所取真值列成的一个表，称为其真值表。 构造真值表的步骤如下：
（1） 找出给定公式G 中所有的原子
A A n
,,1
（n ≥1）
，列出所有可能的解释（
2n
个）
。 （2） 按照从低到高的顺序列出G 的各层次，最后为G 本身。
（3） 根据五个逻辑联结词的真值表，计算出各层次的真值，直至计算出G 的真
值。
在本题的三个真值表中，我们还会看到有三种不同类型的最后结果。其中（1）的最后一列全为1（真），（2）的最后一列全为0（假），（3）的最后一列既有1又有0，我们将其分别称为恒真的，恒假的和可满足的。因此，构造公式G 的真值表，是判断公式G 的类型的一种方法当然，真值表还有其它的用途，而判断公式的类型也还有其它的方法。
6、 用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？ （1）（P →﹁P ）→﹁P ； （2）﹁（P →Q ）∧Q ； （3）（P ∧﹁P ）?Q ； （4）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ） 解（1）的真值表
（2）的真值表
（3）的真值表
故公式（3）为可满足。 （4）的真值表
说明 设G ：公式 I ：G 的所有解释
当真值)(1
G T ≡1时，称G 为恒真的。 )(1
G T
≡0时，称G 为恒假的。
)(1G T =
{
10
时，称G 为可满足的。
由定义可知，恒真的和恒假的公式有些很好的特性，如： （1） G ∨﹁G 恒真；G ∧﹁G 恒假。（若G 表示原子，亦然）； （2） G 是恒真的?﹁G 是恒假的；
（3） 两个恒真的公式的析取、合取、蕴涵、等值均为恒真的。
公式恒真性的判定，是数理逻辑的重要问题。虽然我们可以用真值表法来判定这一问题，但是这种方法，对于原子数较多的公式，相当繁复。利用求与G 等价范式的方法，来解决判定问题在某些情况下会简单一些。 7、 证明下面的等价式： （1）（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）=R ； （2）（P ∧（Q ∧S ））∨（﹁P ∧（Q ∧S ））= Q ∧S ； （3）P →(Q →R)=(P ∧Q) →R;
(4)﹁(P ?Q)=(P ∧﹁Q)∨(﹁P ∧Q) 证 (1) （﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∧R ）∨（P ∧R ）
=（﹁P ∧（﹁Q ∧R ））∨（Q ∨P ）∧R ） (分配律) =((﹁P ∧﹁Q)∧R)∨（Q ∨P ）∧R) (结合律) =((﹁P ∧﹁Q)∨（Q ∨P ）)∧R) (分配律)
=(﹁(P ∨Q)∨(P ∨Q)) ∧R (德·摩根律) =1∧R (互补律) =R (同一律) (2) （P ∧（Q ∧S ））∨（﹁P ∧（Q ∧S ））
=(（Q ∧S ）∧P)∨((Q ∧S)∧﹁P) (交换律) =（Q ∧S ）∧(P ∨﹁P) (分配律) =（Q ∧S ）∧1 (互补律) = Q ∧S (同一律) (3) P →(Q →R)
= ﹁P ∨(﹁Q ∨R) (蕴涵律) = (﹁P ∨﹁Q)∨R (结合律)
=﹁(P∧Q) ∨R (德·摩根律)
=(P∧Q)→R (蕴涵律)
(4)﹁(P?Q)
=﹁((P?Q)∧(Q?P) (等价律)
=﹁((﹁P∨Q)∧(﹁Q∨P)) (蕴涵律)
=﹁(﹁P∨Q)∨﹁(﹁Q∨P) (德·摩根律)
=(﹁(﹁P)∧﹁Q)∨(﹁(﹁Q) ∧﹁P) (双重否定律)
=(P∧﹁Q)∨(﹁P∧Q) (交换律)
8、证明G∨（G∧H）=G （吸收律）
证G∨（G∧H）
=G∧1∨（G∧H）（同一律）
=G∧（H∨﹁H）∨（G∧H）（互补律）
=（G∧H）∨（G∧﹁H）∨（G∧H）(分配律)
=（G∧H）∨（G∧H）∨（G∧﹁H）(交换律)
=（G∧H）∨（G∧﹁H）（等幂律）
=G∧（H∨﹁H）(分配律)
= G∧1 (互补律)
=G (同一律)
证毕.
9、化简下列各式：
（1）A∨（﹁A∨（B∧﹁B））；
（2）（A∧B∧C）∨（﹁A∧B∧C）.
解(1) A∨（﹁A∨（B∧﹁B））
=A∨（﹁A∨0）(互补律)
=A∨﹁A (同一律)
= 1 (互补律)
(2) (A∧B∧C)∨（﹁A∧B∧C）
= (A∧(B∧C)) ∨（﹁A∧(B∧C)）(结合律)
=(A∨﹁A) ∧(B∧C) (分配律)
=1∧(B∧C) (互补律)
= B∧C (同一律)
说明设有公式G，H，判定它们是否等价（即G=H），一般来说，常用下面的方法：
1、真值表法
分别瘵G，H的真值表列出，如果它们的真值表完全相同，则G与H等价，否则就不等。但是，当公式很繁杂，或所含符号很多时，真值表法的工作量太大。
2、推演法
依据基本等价式，在等价的意义下，对G进行推演，得到G=H的形式。
3、主范式法
分别求出G与H的主析（合）取范式，若他们相同，则G与H等价；若它们不同，则G与H不等价。
4、范式法
判断G?H恒真时，则G与H等价。
另外，需要指出的是，公式G的等价形式是不唯一的。
10、试将下列公式化为析取范式和合取范式：
（1） P ∧（P →Q ）；
（2） ﹁（P ∨Q ）?（P ∧Q ） （3） （（P ∨Q ）→R ）→P ；
（4） （P →Q ）?（﹁Q →﹁P ）.
解 (1) P ∧（P →Q ）
= P ∧(﹁P ∨Q) (蕴涵律)合取范式
=(P ∧﹁P)∨（P ∧Q ） (分配律)析取范式 (2) ﹁（P ∨Q ）?（P ∧Q ）
=(﹁（P ∨Q ）→（P ∧Q ）)∧(（P ∧Q ）→﹁（P ∨Q ）)(等值律)
=(（P ∨Q ）∨（P ∧Q ）) ∧(﹁（P ∧Q ）∨﹁（P ∨Q ）) (蕴涵律) =（P ∨Q ）∧(﹁P ∨﹁Q) (分配律) 合取范式
=(﹁P ∨P) ∨(﹁P ∨Q)∨(﹁Q ∧P) ∨(﹁Q ∧Q ) (分配律)析取范式 (3) （（P ∨Q ）→R ）→P
=(﹁（P ∨Q ）∨R) →P (蕴涵律) =﹁(﹁（P ∨Q ）∨R)∨P (蕴涵律) =(﹁﹁（P ∨Q ）∧﹁R)∨P (德·摩根律) =(（P ∨Q ）∧﹁R)∨P (双重否定律)
=（P ∨Q ∨P ）∧(﹁R ∨P ) (分配律) 合取范式 =(P ∧﹁R)∨(Q ∧﹁R) ∨P (分配律)析取范式
(4) （P →Q ）?（﹁Q →﹁P ）
=(﹁P ∨Q) ?(﹁﹁Q ∨﹁P) (蕴涵律) =(﹁P ∨Q) ?( Q ∨﹁P) (双重否定律) =((﹁P ∨Q) →( Q ∨﹁P))∧(( Q ∨﹁P) →(﹁P ∨Q)) (等值律) =(﹁(﹁P ∨Q)∨( Q ∨﹁P))∧((﹁Q ∧﹁﹁P)∨(﹁P ∨Q)) (蕴涵律)
=((﹁﹁P ∧﹁Q) ∨( Q ∨﹁P)) ∧((﹁Q ∧﹁﹁P)∨(﹁P ∨Q)) (德·摩根律)
=((P ∧﹁Q) ∨( Q ∨﹁P)) ∧((﹁Q ∧P) ∨(﹁P ∨Q)) (双重否定律) =( P ∨Q ∨﹁P) ∧(﹁Q ∨ Q ∨﹁P) ∧(﹁Q ∧﹁P ∨Q)∧(P ∨﹁P ∨Q) 合取范式 =(P ∧﹁Q) ∨( Q ∧﹁Q ∧P) ∨(P ∧﹁Q ∧P) ∨(﹁P ∨Q) (分配律)析取范式
说明 为得到任意一个公式G 的范式(合取范式或析取范式)的步骤如下：
（1） 应用蕴涵律和等值律，删除G 中的→和?，使G 中只含有∨，∧，﹁。 （2） 应用双重否定律和(德·摩根律)，将G 中所有﹁移至原子之前，使G 中每个子
句和短语中不含﹁或只有一个﹁。
（3） 反复使用分配律，当欲得到合取范式时，用∨分配律；当欲得到析取范式时，
用∧分配律。
另外，一个公式的合取范式和析取范式都是不唯一的，当然其真值是相等的。因此利用范式来判定两个公式是否等价，并不方便，但是，任意一个公式和主范式是唯一的，从而解决了等价公式的判定问题。
11、模仿主析取范式概念，引进主合取范式概念，并证明：对任意公式存在唯一一个与其等价的主合取范式。
解： 首先介绍极大项的概念。
定义 设
P P n
,,1
是n 个原子，一个子句如果恰好包含所有这n 个原子及其否定，且排
列顺序与
P P n
,,1
的顺序一致，则称此子句为关于P P n
,,1
的一个极大项。
例如，对原子P ，Q ，R 而言，P ∨﹁Q ∨R ，﹁P ∨﹁Q ∨R ，P ∨Q ∨R 都是关于的P ，Q ，R 的极大项。但是，P ，﹁P ∨Q 不是P ，Q ，R 的极大项。而﹁P ∨Q 是关于P ，Q 的极大项。 显然，对于两个原子P ，Q 而言，其不同的解释有
22
个，如表3-4所示：
由表3-4可以看出，任何两个不同的极大项都互不等价。并由此可进一步看n 个原子
P P n ,,1 而言，其不同的解释共有2n
个。对于P P n ,,1 的任一个极大项M ，2n
个解
释中，有且仅有有个解释使M 取0值。例如，对P ，Q ，R 而言，P ∨﹁Q ∨R 是极大项，解释（﹁P ，Q ，﹁R ）使该极大项取0值，其它解释都使该极大项取1值。 如果将真值1，0看作数，则第一个解释对应一个n 位二进数。 假设使极大项M 取0值的解释对应的二进数为I ，今后将M 记为
M
i
.
例如,对P ，Q ，R 而言，P ∨﹁Q ∨R 是极大项，解释（0，1，0）使该极大项取0值，解释（0，1，0）对应的二进数是2，于是，P ∨﹁Q ∨R 记为
M
2
。
对P ，Q ，R 而言，8个极大项与其对应的解释如表3-5所示：
因此，一般地，对
P P n ,,1 而言，2n
个极大项为M 0，M 1，…，M
n
1
2 .
下面，给出主合取范式的概念。 定义 设公式G 中所有不同原子为P P n
,,1
，如果G 的合取范式G '中的每个子句都是
关于
P P n
,,1
关于的一个极大项，则称G '为G 的关于P P n
,,1
的主合取范式。
定理 对于任意公式G ，都存在等价于它的主合取范式。 证 因为G=﹁（﹁G ）=，由教材第103页定理4知，（﹁G ）有唯一的等价的主析取范式，即﹁G=m m
ik i ∨∨ 1
，于是由德·摩根律，有G=﹁（﹁G ）=)()(1m m ik i ?∧∧? 。
这里)(,),(1
m m ik
i ??
是极大项。
定理 设公式G ，H 是关于原子
P P n
,,1
的两个主合取范式，如果G ，H 不完全相同，
则G ，H 不等价。
证 因为G ，H 不完全相同，所以或者G 中有一个极大项不在H 中；或者相反。 不妨设极大项M
i
在G 中而不在H 中，于是根据极大项的性质，二进数I 所对应的关于
P P n
,,1
的解释I
i
，使
M
i
取0值，从而使公式G 取0值，
I
i
使所有不是
M
i
的极
大项取1值，因此使公式H 取1值，故G ，H 不等价。 由上述两个定理可立即得如下定理。
定理 对任意公式G ，都存在唯一一个与G 等价的主合取范式。 12、（1）已知：若A ∨B=A ∨C ，﹁A ∨B=﹁A ∨C ，则B=C 。试写出其对偶式，并予以证明。
（3） 试证明：
1
﹁（P ∧Q ）→（﹁P ∨（﹁P ∨Q ）
）=﹁P ∨Q ； 2 （P ∨Q ）∧（﹁P ∨（﹁P ∨Q ）
）=﹁P ∧Q 。 解 （1）对偶式为：若A ∧B=A ∧C ，﹁A ∧B=﹁A ∧C ，则B=C 。
证明如下 ：
B=B ∧（A ∨﹁A ）=（B ∧A ）∨（B ∧﹁A ）=（A ∧B ）∨（﹁A ∧B ）=（A ∧C ）∨（﹁A ∧C ） =（A ∨﹁A ）∧C=C 。 （2） 证
1
因为﹁（P ∧Q ）→（﹁P ∨（﹁P ∨Q ）
） =（P ∧Q ）∨（﹁P ∨（﹁P ∨Q ）） =（P ∧Q ）∨（﹁P ∨Q ） =（﹁P ∨Q ）∨（P ∧Q ） =﹁P ∨（Q ∨（P ∧Q ））=﹁P ∨Q
2 由
1
之证明及对偶性质，故
2
成立。
说明 （1）考察公式G 与G
*
是否对偶式，首先要求G 与
G
*
中不含→和?，因此，
在本例（2）中
1
，使用基本等价式将→删除。
（2）由对偶的性质：若G=H ，则H
G *
*
=
。于是，我们只须证明G=H ，而
H
G *
*=
则不证自
明。
13、设公式G的真值表如下，（P，Q，R是出现在G中的所有原子），试求出G的主析取范式和主合取范式。
解将真值表中最后一列的1左侧的二进数，所对应的极小项写出后，将其析取起来，就得到G的主析取范式。于是，G=（﹁P∧﹁Q∧﹁R）∨（﹁P∧Q∧﹁R）∨（﹁P∧Q∧R）∨（P∧﹁Q∧R）。
将真值表中最后一列的0左侧的二进数，所对应的极大项写出后，将其合取起来，就得到G的主合取范式。于是，G=（P∨Q∨﹁R）∧（﹁P∨Q∨R）∧（﹁P∨﹁Q∨R）∧（﹁P∨﹁Q∨﹁R）。
说明在写成极大项时，应依据下列规则：若原子的真值为0，则记入该原子；若原子的真值为1，则记入该原子的否定。
14、求Q∧（P∨﹁Q）的主合取范式。
解方法一（推导法）：
Q∧（P∨﹁Q）=（Q∨（P∧﹁P））∧（P∨﹁Q）=（P∨Q）∧（﹁P∨Q）∧（P∨﹁Q）主合取范式
方法二（真值表法）：可通过两步来完成。
（1）求﹁（Q∧（P∨﹁Q））的主析取范式；
（2）求（1）之否定。
（﹁P∧﹁Q）∨（﹁P∧Q）∨（P∧﹁Q）
因而，Q∧（P∨﹁Q）的主合取范式为：
﹁（（﹁P∧﹁Q）∨（﹁P∧Q）∨（P∧﹁Q））
=（P∨Q）∧（﹁P∨Q）∧（P∨﹁Q）
15、不使用真值表，试求出公式G=（﹁P→R）∧（Q?P）的主合取范式，并利用其主合取范式，求得其主析取范式。
解G=（﹁P→R）∧（Q?P）
=（﹁P→R）∧（Q→P）∧（P→Q）
=（P∨R）∧（﹁Q∨P）∧（﹁P∨Q）
=（P∨R∨（Q∧﹁Q））∧（﹁Q∨P∨（R∧﹁R））∧（﹁P∨Q∨（R∧﹁R））
=（P ∨R ∨Q ）∧（﹁Q ∨P ∨R ）∧（﹁Q ∨P ∨﹁R ）∧（﹁P ∨Q ∨R ）∧（﹁P ∨Q ∨﹁R ） 将在上式中没有出现的三个极大项合取起来，就可以得到﹁G=（P ∨Q ∨﹁R ）∧（﹁P ∨﹁Q ∨R ）∧（﹁P ∨﹁Q ∨﹁R ）。 于是，G=﹁（﹁G ）=﹁﹁（（﹁P →R ）∧（Q ?P ） =﹁（（P ∨Q ∨﹁R ）∧（﹁P ∨﹁Q ∨R ）∧（﹁P ∨﹁Q ∨﹁R ） =﹁（P ∨Q ∨﹁R ）∨﹁（﹁P ∨﹁Q ∨R ）∨﹁（﹁P ∨﹁Q ∨﹁R ）
=（﹁P ∧﹁Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧﹁R ）∨（P ∧Q ∧R ） （主析取范式）
说明 事实上，只要掌握了求公式的主析（合）取范式的方法那么求主合（析）取范式也就迎刃而解了。 设公式G ：
P P n
,,1
如果G 的主析（合）取范式是已知的，则将一些在G 的主析（合）取范式中没有出现的极小项（极大项），析取（合取）起来，便可心得到﹁G 的主析（合）取范式。再根据﹁（﹁G ），并对﹁G 的主析（合）取范式反复使用德·摩根律，就可以得到G 的主合（析）取范式。
16、试将下列公式化为主析取范式和主合取范式：
（1） （P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）； （2） P ∨（﹁P →（Q ∨（﹁Q →R ））） 解 （1）（P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）的真值表如下：
故主析取范式为：
（﹁P ∧﹁Q ∧R ）∨（﹁P ∧Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧﹁R ）∨（P ∧Q ∧R ） 主合取范式为：
（P ∨R ∨Q ）∧（﹁Q ∨P ∨R ）∧（﹁P ∨Q ∨R ）∧（﹁P ∨Q ∨﹁R ） （3） P ∨（﹁P →（Q ∨（﹁Q →R ））） （4） = P ∨（P ∨（ Q ∨（﹁Q →R ）））
= P ∨Q ∨R 主合取范式
=（﹁P ∧﹁Q ∧R ）∨（﹁P ∨Q ∨﹁R ）∨（﹁P ∧Q ∧R ）∨（P ∧﹁Q ∧﹁R ）∨（P ∧Q ∧﹁R ）∨（P ∧Q ∧R ） 主析取范式
说明 （1）对任意一个公式G ，都存在唯一一个与G 等价的主范式。
（2）求公式G 的主范式的常用方法：①、推导法；②、真值表法。
17、证明：公式G 恒真当且仅当至少有一个原子等价于它的合取范式中，每个子句均至少一个原子及其否定。
证 （引理） 子句是恒真的当且仅当至少有一个原子及其否定，同时在此子句中出现。 证 充分性 若有一个原子P 及其否定﹁P ，同时出现在子句中，则此子句有形式P ∨﹁P 。显然，不论是什么解释I ，P ∨﹁P 在I 下都取1值，于是，此子句在I 下取1值，故此子句
恒真。
必要性 若子句为恒真，而任意原子及其否定均不同时在此子句中出现。那么，取这样的解释I ：指定带有否定符的原子取1值，不带否定符的原子取0值，显然此子句在这个解释I 下取0值，与此子句恒真矛盾。
设公式G 的合取范式如下：
G=
G G n
∧∧ 1
，其中G i
是子句，,,,1n i =显然公式G 恒真的充要条件是每个
G i
恒真，再根据引理，此定理成立。证毕。
18、利用求公式的范式的方法，判断下列公式是恒真？恒假？可满足？ （1）﹁（P →Q ）∧Q ； （2）（（P ∨Q ）→R ）→P
（3）（P →Q ）→（﹁Q →﹁P ）
解 （1） ﹁（P →Q ）∧Q
=﹁（∨Q ）∧Q=（﹁﹁P ∧﹁Q ）∧Q=P ∧﹁Q ∧Q
于是，原式为恒假。 （2）（（P ∨Q ）→R ）→P
=﹁（﹁（P ∨Q ）∨R ）∨P=（﹁﹁（P ∨Q ）∧﹁R ）∨P =（（P ∨Q ）∧﹁R ）∨P=（P ∨Q ）∧（﹁R ∨P ） =（P ∧﹁R ）∨（Q ∧﹁R ）∨P ∨（P ∧Q ） 于是，原式为可满足。
（3）（P →Q ）→（﹁Q →﹁P ）
=﹁（﹁（P ∨Q ）∨（﹁﹁Q ∨﹁P ） =（﹁﹁P ∧﹁Q ）∨（﹁﹁Q ∨﹁P ） =（P ∧﹁Q ）∨（Q ∨﹁P ）
=（P ∨Q ∨﹁P ）∧（﹁Q ∨Q ∨﹁P ） 于是，原式为恒真。
说明 如果在与G 等价的合取范式中，每个子句均少包含一个原子及其否定，则该合取范式的每个子句均是恒真的，此时G 是恒真的；如果在与G 等价的析取范式中，每个短语均至少包含一个原子及其否定，则该析取范式的每个短语均是恒假的，此时G 是恒假的。 19、证明蕴涵式P →（Q →R ）?（P →Q ）→（P →R ） 证 方法一（真值表法）
设S=（P
（Q R ）（P Q ）（P R ）） ① 对任意解释I ，都有
T 1
（P →（Q →R ）
）≤T 1
（（P →Q ）→（P →R ）），故由教材中的蕴
涵定义1，知P →（Q →R ）?（P →Q ）→（P →R ）
② 对任意解释I ，都有
T
1
（P →（Q →R ））=1，则
T
1
（（P →Q ）→（P →R ））=1，故由教
材中的蕴涵定义2，知P →（Q →R ）?（P →Q ）→（P →R ）
③ 从最后一列可知，公式S 恒真，故由教材中的蕴涵定义3，知P →（Q →R ）?（P →Q ）→
（P →R ）
方法二（推导法）
S=（P →（Q →R ）?（P →Q ）→（P →R ）） =（﹁P ∨（﹁Q ∨R ））→（（﹁P ∨Q ）→（﹁P ∨R ） =﹁（﹁P ∨﹁Q ∨R ）∨（﹁（﹁（P ∨Q ）∨（﹁P ∨R ） =（P ∧Q ∧﹁R ）∨（（﹁P ∨P ∨R ）∧（﹁P ∨R ∨﹁Q ） =（P ∧Q ∧﹁R ）∨（﹁P ∨﹁Q ∨R ）
=（P ∧Q ∧﹁R ）∨﹁（P ∧Q ∧﹁R ）
所以，S 恒真，故由蕴涵定义3，知P →（Q →R ）?（P →Q ）→（P →R ）
说明 要证明公式间的蕴涵关系，即G ?H ，可采用真值表法、推导法等办法，而无论采用哪种办
法，只须论证它符合G ?H 的三种定义即可。
20、证明蕴涵式
（1） （P →Q ）∧﹁Q ?﹁P ； （2） （P →Q ）→Q ?P ∨Q ；
（3） （Q →（﹁P ∨P ））→（R →（﹁P ∨P ））?（R →Q ） （4） P ∧（P →Q ）?Q 。 证 （1） （（P →Q ）∧﹁Q ）→﹁P =﹁（（P →Q ）∧﹁Q ）∨﹁P
=﹁（P →Q ）∨Q ∨﹁P =（P ∧﹁Q ）∨Q ∨﹁P
=（P ∨Q ∨﹁P ）∧（﹁Q ∨Q ∨﹁P ）
因合取范式的每个子句均含某一原子及其否定，所以（（P →Q ）∧﹁Q ）→﹁P 恒真。 即 （P →Q ）∧﹁Q ?﹁P
（2） （（P →Q ）→Q ）→ （P ∨Q ）
=（（﹁P ∨Q ）→Q ）→ （P ∨Q ） = （﹁（﹁P ∨Q ）∨Q ）→ （P ∨Q ） = ﹁（﹁（﹁P ∨Q ）∨Q ）∨（P ∨Q ）
=（﹁P ∨Q ∨P ）
恒真，所以 （P →Q ）→Q ?P ∨Q
（3） （Q →（﹁P ∨P ））→（R →（﹁P ∨P ））→（R →Q ）
=（（﹁Q ∨（﹁P ∨P ））→（﹁R ∨（﹁P ∨P ）））→（R →Q ）
=（（﹁Q ）→（﹁R ））→（R →Q ）
=（Q ∨﹁R ）→（﹁R ∨Q ）
显然恒真，所以 （Q →（﹁P ∨P ））→（R →（﹁P ∨P ））?（R →Q ）
（4） 设 P ∧（P →Q ）为真，则P 与（P →Q ）均为真，由此可知，Q 必为真，因此P ∧（P →Q ）→Q
为真，故P ∧（P →Q ）?Q 证毕。 21、试证： 设公式G G G 3
2
1
,,，如果G
1
?G 2，G 2?G 3，则有G 1?G 3。
证 此题等价于（
G
1
→G 2）∧（G 2→G 3）?G 1→G 3 恒真
假定（G1→G2）∧（G2→G3）真，G1→G3假，亦即G1→G2与G2→G3都真，G1→G3假，则有G3假，G1真。
而当G1真，则因为G1→G2真，故当G2为真时，G2→G3为假，这与G2→G3真矛盾。于是，G1→G3真，即G1?G3证毕说明前面，我们已经给出了证明蕴涵的一些方法。但是在前提较多而又公式较复杂时，使用真值表法会相当繁琐，所以，在这种情况下应该更多地采用形式演绎法。
例22 用形式演绎法证明
1.{C∨D,( C∨D)→﹁H, ﹁H→(A∧﹁B), (A∧﹁B) →(R∨S)}蕴涵R∨S；
2.{P∨Q,P→﹁R,S→t,﹁S→R, ﹁t}蕴涵Q；
3．{P→Q，R→S，P∨R}蕴涵Q∨S；
4．若春暖花开，则燕子就会飞回北方。若燕子飞回北方，则冰雪融化。人民民主冰雪没有融化，则没有春暖花开。
证1、{ C∨D,( C∨D)→﹁H, ﹁H→(A∧﹁B), (A∧﹁B) →(R∨S)}蕴涵R∨S；
（1）P、( C∨D)→﹁H 规则P
（2）﹁H→(A∧﹁B) 规则P
（3）( C∨D)→(A∧﹁B) 规则Q，根据（1），（2）和基本蕴涵式（13）（4）(A∧﹁B) →(R∨S) 规则P，根据（3），（4）和基本蕴涵式（13）（5）( C∨D)→(R∨S) 规则Q，根据（3），（4）和基本蕴涵式（13）
（6） C∨D 规则P
（7） R∨S 规则Q，根据（5），（6）和基本蕴涵式（11）
2、{P∨Q，P→﹁R，S→t,﹁S→R, ﹁t}蕴涵Q
（1） S→t 规则P
（2）﹁t 规则P
（3）﹁S 规则Q，根据（1），（2）和基本蕴涵式（12）
（4）﹁S→R 规则P
（5） R 规则Q，根据（3），（4）和基本蕴涵式（11）
（6） P→﹁R 规则P
（7）﹁P 规则Q，根据（5），（6）和基本蕴涵式（12）
（8） P∨Q 规则P
（9） Q 规则Q，根据（7），（8）和基本蕴涵式（10）
3、{P→Q，R→S，P∨R}蕴涵Q∨S
（1）P∨R 规则P
（2）﹁R→P 规则Q，根据（1）和基本等价式（蕴涵律）
（3） P→Q 规则P
（4）﹁R→Q 规则Q，根据（2），（3）和基本蕴涵式（13）
（5）﹁Q→R 规则Q，根据（4）
（6）R→S 规则P
（7）﹁Q→S 规则Q，根据（5），（6）和基本蕴涵式（13）
（8）Q∨S 规则Q，根据（7），（8）和基本等价式（蕴涵律）
逻辑学基础知识——直言命题间的下反对关系
逻辑学基础知识——直言命题间的下反对关系 下反对关系 指I与O 的关系，它们之间可以同真但不能同假。由一个为假可以推出另一个为真，由一个为真不能推出另一个是真是假。 如“有的公务员是大学生”与“有的公务员不是大学生”的关系。 “有的公务员是大学生”与“有的公务员不是大学生”可以同真，即“有的公务员是大学生，有的不是”，但两者不能同为假，由(3)矛盾关系介绍的知识中可知，若“有的公务员是大学生”与“有的公务员不是大学生”同为假，则表示“所有的公务员都是大学生”与“所有的公务员都不是大学生”同为真，显然不成立。 由其中一句如“有的公务员是大学生”为假可以推出“所有的公务员都不是大学生”为真，由“所有的公务员都不是大学生”可以推出“有的公务员不是大学生”为真。另一句同理。 由其中一句如“有的公务员是大学生”为真不能推测另一句的真假。此句本身可以和A命题同为真，但若A命题为真则相对应的I命题必为假；同时此句本身又能与I同为真。故在I与O的关系中，由一个为真不能推出另一个是真是假。 【例题】（2009年山东省考第65题） 在一次对全市中学假期加课情况的检查后，甲、乙、丙三人有如下结论： 甲：有学校存在加课问题。 乙：有学校不存在加课问题。 丙：一中和二中没有暑期加课情况。 如果上述三个结论中只有一个正确，则以下哪项一定为真？（） A.一中和二中都存在暑期加课情况 B.一中和二中都不存在暑期加课情况 C.一中存在加课情况，但二中不存在 D.一中不存在加课情况，但二中存在 【正确答案】A 【思路点拨】 题干中给出三个结论，分别为I、O和SeP命题。 由上面介绍的逻辑学知识可知，I与O命题为下反对关系，即I与O不能同为假，两命题必有一真一假，由于三人的结论只有一个正确，故丙所说的SeP命题必为假，有相应的SaP命题为真，即一中和二中都存在暑期加课情况。与A选项相同，故选择A项。
第三章 命题逻辑
第三章命题逻辑 1、判断下列语句是否是命题,如果是命题,指出其真值： （1）2是无理数； (2) 存在最大质数； （1）中国是一个人口众多的国家； （2）这座楼真高啊！ （3）你喜欢“蓝色的多瑙河”吗？ （4）请你关上门。 （5）地球以外的星球上也有人。 解（1）是命题，真值为1。 （1）是命题，真值为0。 （2）是命题，真值为1。 （3）、（5）、（6）均不是命题。 （6）是命题，真值是惟一的，迟早会被指出。 说明要判断一个语句是否是命题，首先要判断它是否是陈述句，然后再判断它的真值是否是惟一的。 本题中，（4）、（5）、（6）均不是陈述句，无法分辨其真假，故都不是命题。陈述句不一定是命题，这里的关键是：客观上有无真假可言，而不以主观能否判断为标准。 2、将下列命题符号化，并确定其真值： （1）5不是偶数； （2）天气炎热但湿度较低； （3）2+3=5或者他游泳； （4）如果a和b是偶数，则a+b是偶数； （5）2+2=4，当且仅当3是奇数。 解（1）设P：5是偶数。则（1）是：P ?，真值为1。 （2）设P：天气炎热。Q：湿度较低。则（2）是：P∧Q。 显然，只有在既炎热又湿度较低的情况下，P∧Q的真值为1，否则，其真值皆为0。 （3）设P：2+3=5。Q：他游泳。则（3）是：P∨Q，真值为1。 （4）设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。则（4）是P→Q，真值为1。 （5）设P：2+2=4。Q：3是奇数。则（5）是：P?Q，真值为1。 3、设命题P，Q的真值为1，命题R，S的真值为0，试确定下面命题的真值： （1）G=（P∧Q∧R）∨?（（P∨Q）∧（R∨S）； （2）G=（﹁（P∧Q）∨?R）∨（（（﹁P∧Q）∨﹁R）∧S）； （3）G=（?（P∧Q）∨?R）∧（（Q??P）→（R∨S ?））； （4）G=（P∨（Q→（R∧?P）））?（Q∨?S）。 解（1） 故（1）的真值为1。
离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习
第3章命题逻辑的推理理论 主要内容 1. 推理的形式结构： ①推理的前提 ②推理的结论 ③推理正确 ④有效结论 2. 判断推理是否正确的方法： ①真值表法 ②等值演算法 ③主析取范式法 3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明 4. ①自然推理系统P的定义 ②自然推理系统P的推理规则： 前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。 ③附加前提证明法 ④归谬法 学习要求 1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即 ①{A1,A2,…,A k}├B ②A1∧A2∧…∧A k→B ③前提与结论分开写： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。 2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。 3. 牢记P系统中的各条推理规则。 4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。 5. 会用附加前提证明法和归谬法。 3.1 推理的形式结构 定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理 定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧A k )→B 为重言式。 A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确 {A1,A2,…,A k} B 可记为 A1∧A2∧…∧A k B 其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。 而判断命题公式永真性有三个方法： 1．真值表法 2．等值演算法 3．主析取范式法 三、重言蕴涵式 由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。
直言命题推理
第二章直言命题推理 通过本章学习，你需要掌握和了解以下问题： 1、简述直言命题的概念。 2、直言命题的句式句式组成是什么样的。 3、判断直言命题真假的方法是什么。 4、直言命题中的矛盾求解三步法如何运用。 张建军教授认为 批判性思维离不开两个逻辑 1简单句逻辑 2复合句逻辑
对当关系的推理 对：对应 当:当什么时候 当一个命题真假确定的情况下其他相对应命题真假又是啥情况 直言命题即判断句 什么什么是啥 什么什么不是啥 直言命题也叫也叫性质命题
它是判断事物对象是否具有某种性质的命题 什么样的对象具有什么样的性质 逻辑就是研究推理 推理是由判断推出判断 逻辑也要研究判断的真假问题 最基本的判断句就是直言命题 是肯定句 不是否定句 质：是/不是 量：全称句所有是/特称句有些是/单称
* * 句某一个是 所有商品是有价值的 所有人不是长生不死的 有些玫瑰是红色的 有些科学家不是大学毕业的 张三是高级工程师 某个人不是小偷 结构上 （主项谓项）非逻辑概念(联项量项)逻辑概念 SP变项：主项S 谓项P 逻辑概念能表达的叫常项 常项：联项量项
句式 A全称肯定命题：所有S是P E全称否定命题：所有S不是P I特称肯定命题：有些S是P O特称否定命题：有些S不是P a单称肯定命题：某个S是P e单称否定命题：某个S不是P 拉丁文中表肯定的affirms 于是用a表示全称肯定单称肯定，i表示特称肯定 表否定的nego
于是用e表示全称否定单称否定，o表示特称否定 1 【单选题】一个直言命题有六种形式是由它的什么项来决定的？ ?A、主项 ?B、变项 ?C、联项 ?D、常项 我的答案：D得分：20.0分 2 【单选题】逻辑常用哪几个元音字母表达六种不同的直言命题 ?A、AEIO
公务员考试判断推理之直言命题
直言命题及其推理 ? 1、全称肯定命题。 ? [例1] 所有法院都是审判机关。 ? [例2] 所有法人都是具有民事行为能力的。 ? 全称肯定命题形式为：所有S 都是P 。用符号表示为：SAP 。简记为：A 。 因此，全称肯定命题陈述了S 和P 之间是全同关系或直包含于关系 2、全称否定命题 [例3] 所有抢罪都不是过失犯罪。 ? [例4] 正当防卫不是违法行为。 ? 全称否定命题形式为：所有S 都不是P 。用符号表示：SEP 。简记为：E 。 因此，全称否定命题陈述了S 和P 之间是全异关系。 图9 ? 3、特称肯定命题 [例5] 有的民事诉讼证据是能够证明民事案件真实情况的事实。 S P P S S P
? [例6] 有的民事诉讼证据是证据。 ? [例7] 有的证据是民事诉讼证据。 ? [例8] 有的民事诉讼证据是物证。 ? 特称肯定命题的形式为：有S 是P 。用符号表示为：SIP 。简记为：I 。 图10 因此，特称肯定命题陈述了S 和P 之间是全同关系或真包含于关系或真包含关系或交叉关系，但并未陈述S 与P 究竟是其中的哪一种关系。 4、特称否定命题 ? [例9] 有的遗嘱不是书面遗嘱。 ? [例10] 有的一审判决不是生效判决。 ? [例11] 有的人民法院不是法律的监督机关。 ? 特称否定命题的形式是：有S 不是P 。用符号表示为：SOP 。简记为：O 。 S p s p s p s p s p s p
图11 ?因此，特称否定命题陈述了S和P之间是真包含关系或交叉关系或全异关系，但并未陈述S与P究竟是其中的哪一种关系。 ?5、单称肯定命题 ?当直言命题的主项是单独词项时，其指称的对象是独一无二的，因此它不需要量词来刻画主项的数量。这种主项是单独词项的命题叫单称命题。?单称命题的主项可以是专有名词，如“兰州市人民法院是中级人民法院” 中的“兰州市人民法院”；也可以是摹状词（通过对某一种对象某方面特征的描述而指称该对象的词组），如“《古代法》的作者是梅因”中的“《古代法》的作者”或“这个合同不是有效合同”中的“这个合同”。 ?单称肯定命题是陈述主项指称的单个对象具有某种性质的命题。?[例12] 中华人民共和国全国人民代表大会是我国的最高国家权力机关。?[例13] 这个民事案件是适用简易程序审理的。 ?单称肯定命题的形式是：这个S是P。 ?从主项同谓项外延间的关系看，由于单称肯定命题所陈述的是主项所指称的对象的全部（某单个对象）具有某种性质，因而单称肯定命题陈述的主项和谓项外延间的关系，与全称肯定命题陈述的主项和谓项外延间的关系完全相同。单称肯定命题也陈述其主项和谓项外延间的关系是全同关系或真包含于关系。正因为如此，在传统逻辑中，特别是在三段论中，都将单称肯定命题作为全称肯定命题处理。其命题形式也用符号表示为：SAP。简记为：A。 ?6、单称否定命题 ?单称否定命题是陈述主项指称的单个对象不具有某种性质的命题。?[例14]李律师不是本案被告的诉讼代理人。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明:
直言命题解题思路详解
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两项有三个联项有两个,因此直言命题有六种基本句式。 直言命题六种基本句式 所有A是B 所有A非B 有些A是B 有些A非B 某个A是B(具体某一个) 某个A非B(具体某一个) 二、矛盾关系 什么是矛盾 矛盾：表示同一个事物的描述只分为AB两种情况且AB不相交，AB就是一对矛盾 换言之矛盾双方要满足如下两点要求： AB包含所有情况 AB没有交集 怎么找矛盾 举例：思考黑人的矛盾是什么男人的矛盾是什么结果黑人的矛盾是除了黑人之外所有的人，即非黑人男人的矛盾是除了男人之外所有的人，即非男人 所以找矛盾的方法： 在命题前面加、减非或者并非 例题 并非所有同学喜欢有些老师。求这句话的矛盾所有同学喜欢有些老师 (三)矛盾的意义 矛盾双方有两点要求 矛盾命题必定永远一真一假
直言命题及其推理练习题答案
一、填空 1.任何命题都有两个特征，即___都有所断定__和__都有真假__。 2.直言命题由__主项___、__谓项___、__联项___、__量项__四个部分组成。 3.在直言命题中，主、谓项周延的是___E__命题；主、谓项都不周延的是___I__命题。 4.已知SAP真，根据对当关系，可推知SEP___假___，SOP___假____，SIP____真_。 5.根据直言命题对当关系，____反对___关系可以由真推假，但不能由假推真。 6.“有的大学生是党员”这一命题的种类是___特称肯定命题__，其逻辑形式是_ __SIP___。 7.“有些刑事被告人是有罪的”这一命题的逻辑常项是__有些；是_，逻辑变项是__刑事被告人；有罪的。 8.根据换位法规则，__O___命题不能换位；SAP换位后得__PIS___。 9.违反“前提中不周延的项在结论中不得变为周延”这一三段论的规则所犯的逻辑错误叫__大项不当周延___或__小项不当周延____。 10.在三段论前提中，__中项__至少要周延一次，否则就要犯__中项两次不周延_的逻辑错误。 11.在三段论中，两个前提中有一特称的，结论必____特称__；两个前提有一否定的，结论必____否定____。 12.三段论第一格，中项分别是大前提的___主项____和小前提的___谓项___。 13.如果第二格三段论的大前提为PEM，结论为SOP。那么小前提应为___SIM___。 14．一个正确的三段论，若中项周延两次，则它不可能是第一格，也不可能是第二格。15．AEE可能是三段论第二格和第四格中的式。 二、单项选择题 1.根据对当关系，由SAP假，可推出（ C ）真。 D. PIS 2.如果A、B两个命题不能同假，但却可以同真，则它们之间的关系是（ C ）。 A.差等关系 B.矛盾关系 C.下反对关系 D.上反对关系 3.“所有的商品都是有使用价值的”为前提进行换位法直接推理，推出的结论是（ C ）。 A.有使用价值的是商品 B.没有使用价值的是商品 C.有的有使用价值的是商品 D.有的有使用价值的不是商品 4．有效三段论AAA式属于（ A ） A．第一格B．第二格C．第三格D．第四格 5．燃素说不是真理，燃素说是假说；所以，所有假说都不是真理。这个三段论犯了（ C ）错误。 A．四项错误 B．中项两次不周延 C．小项不当周延 D．大项不当周延 6．以“我单位所有不骑自行车的都是干部”为前提进行推理，必然得到的结论是（ C）A．我单位所有干部不骑车 B．我单位所有非干部不骑车 C．我单位有些骑车的不是干部 D．我单位所有骑车的都不是干部 7.“犯罪的不都是青少年”这一命题可以理解为（ A ） A．有的犯罪的不是青少年 B．所有犯罪的都是青少年 C．所有犯罪的都不是青少年 D．所有的青少年是犯罪的 8．在一次对全省小煤矿的安全检查后，甲、乙、丙三个安检人员有如下结论：甲：有小煤矿存在安全隐患。 乙：有小煤矿不存在安全隐患。 丙：大运和宏通两个小煤矿不存在安全隐患。 如果上述三个结论只有一个正确，则以下哪项一定为真?( B )
最新离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
第二章作业 评分要求： 1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由) 3. 总得分在采分点1处正确设置. 一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次): 说明 证 1. p ?(p ∧q)∨(p ∧?q) 解逻辑方程法 设 p ?((p ∧q)∨(p ∧?q)) =0, 分两种情况讨论: ???=?∧∨∧=0 )()(1)1(q p q p p 或者 ? ??=?∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ?(p ∧q)∨(p ∧?q)无成假赋值, 为永真式. 等值演算法 (p ∧q)∨(p ∧?q) ? p ∧(q ∨?q) ∧对∨的分配率 ? p ∧1 排中律 ? p 同一律 真值表法
2. (p→q)∧(p→r)?p→(q∧r) 等值演算法 (p→q)∧(p→r) ?(?p∨q)∧(?p∨r)蕴含等值式 ??p∨(q∧r)析取对合取的分配律 ?p→(q∧r)蕴含等值式 3. ?(p?q)?(p∨q)∧?(p∧q) 等值演算法 ?(p?q) ??( (p→q)∧(q→p) )等价等值式 ??( (?p∨q)∧(?q∨p) )蕴含等值式 ??( (?p∧?q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律 ?(p∨q)∧?(p∧q)德摩根律 4. (p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q)∧?(p∧q) 等值演算法 (p∧?q)∨(?p∧q) ?(p∨q)∧?(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律 说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式. 等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得. 二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次): 1. 2. 3. 4. 1. (?p→q)→(?q∨p) 解 (?p→q)→(?q∨p)
2018军队文职笔试备考技巧直言命题的解题技巧
2018军队文职笔试备考技巧:直言命题的解题技巧 在军队文职笔试备考必然性推理过程中，直言命题就是我们接触的第一个知识点，那么可想而知把它的重要性。直言命题是考生复习好整个必然性推理的基础，更是考生建立逻辑思维的基础，因此，把此节知识学透有着极其重要的作用。 对于直言命题其实并不是很难，难就难在考生第一次接触这门逻辑课程，容易被陌生的知识吓到，那么今天华图教育就带领考生走进直言命题的世界，了解它的秘密和它背后的故事。 第一个故事是直言命题的六种标准形式。对于初接触直言命题，首要做的就是把直言命题的标准形式学会，这样才能做到拿到题目转换成标准形式再进一步进行推理。接下来我们来看一个例题，来尝试转换成标准形式。 【例题】把下面几个命题转换成直言命题标准形式。 (1)没有金属不导电。 (2)所有不搞阴谋诡计的人不是野心家。 (3)女性不都爱化妆 (4)男性都不爱化妆 【解析】(1)可以转换成所有金属都是导电的;(2)可以转换成所有野心家都是搞阴谋诡计的;(3)有些女性不爱化妆;(4)所有男性都不爱化妆。在这几个例子中，需要注意的是“没有……不……”可以转换为“所有……都……”;“……不都……可以转换成“有些……非”。 第二个故事是直言命题的矛盾命题。矛盾命题是此部分的常见考点，常见的是真假话问题。下面我们通过一道例题讲解下解题思路。 【例题】一件盗窃刑事案中，警方抓获了甲、乙、丙、丁四名犯罪嫌疑人，对他们进行质问，他们是这样说的： 甲：是乙作的案。 乙：是丁和我一起作的案。 丙：丁是案犯。 丁：不是我作的案。 四句话只有一句是谎言。 如果以上判定为真，则以下()项是真的。
第1章 命题逻辑
习题1 1．下列句子中那些是命题？ (1) 4是无理数. (2) 2+5＝8. (3) x+5＞3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话. 解：(1)(2)是命题。(7)是悖论。 2．判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。（1）北京是中华人民共和国的首都。 （2）陕西师大是一座工厂。 （3）你喜欢唱歌吗？ （4）若7+8＞18，则三角形有4条边。 （5）前进！ （6）给我一杯水吧！ 解：(1)(2)(4)是命题，真值分别是1,0,1。 3．写出下列命题的否定式： （1）存在一些人是大学生； （2）所有的人都是要死的； （3）并非花都有香味。 解：(1) 不存在一些人是大学生。 （2）并非所有的人都是要死的； （3）花都有香味。 4．设P：我生病，Q：我去学校，符号化下列命题。 (1) 只有在生病时，我才不去学校。 (2) 若我生病，则我不去学校。 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校。 (4) 若我不生病，则我一定去学校。 解：（1）Q→P （2）P→Q （3）P Q （4）P→Q 5．设p：李平聪明，q：李平用功。符号化下列命题。 (1) 李平既聪明又用功。 (2) 李平虽然聪明，但不用功。 (3) 李平不但聪明，而且用功。
(4) 李平不是不聪明，而是不用功。 (5) 张三或李四都可以做这件事。 解：（1）p ∧q （2）p ∧q （3）p ∧q （4）(p)∧q ，或p ∧q （5）设p ：张三可以做这件事，q ：李四可以做这件事。命题符号化为p ∨q 。 6．设p ：天下雨，q ：我骑车上班。符号化下列命题。 (1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 (2) 只要天不下雨，我就骑车上班。 (3) 只有天不下雨，我才骑车上班。 (4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。 (5) 如果天下雨，我就不骑车上班。 解：（1）p →q （2）p →q （3）q →p ，p →q （4）q →p ，p →q （5）p →q 7．将下列命题符号化。 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。 解：设p ：小王是游泳冠军，q ：小王是百米赛跑冠军。 原语句化为p ∨q 。 (2) 小王现在在宿舍或在图书馆。 解：设p ：小王在宿舍，q ：小王在图书馆。原语句化为p ∨q 。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 解：设p ：选小王当班长，q ：选小李当班长。 但因为p,q 不可能同时为真, 故应符号化为： (p ∧q)∨(p ∧q) (4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 解：设ｐ：我上街，ｑ：我去书店看看，ｒ：我很累。 原语句化为ｒ→(ｐ→ｑ)或(ｒ∧ｐ)→ｑ。 (5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。 解：设p ：小丽是计算机系的学生，q ：小丽生于1982年，r ：小丽生于1983年，s ：小丽是三好生。原语句化为p ∧(q ∨r)∧s 。 (6) 我去镇上，当且仅当我有时间且天不下雪。 解：设p:我去镇上，q:我有时间，r:天下雪。原语句化为p ?q ∧r 。 (7) 我若去镇上则我有时间，并且我若有时间则去镇上。 解：设p:我去镇上，q:我有时间。原语句化为p ?q 。 (8) 我有时间或我去镇上，此话不对。 解：设p:我去镇上，q:我有时间。原语句化为(p ∨q)。 8.求下列命题公式的真值表。 (1)()p p q ∧→? (2)()()p q q p ?→→→?
行测判断推理直言命题答题技巧：巧用反对关系.doc
行测判断推理直言命题答题技巧：巧用反对关系我为大家提供行测判断推理直言命题答题技巧：巧用反对关系，一起来学习一下吧！希望大家多多学习答题技巧，巧妙地快速答题！ 行测判断推理直言命题答题技巧：巧用反对关系 行测直言命题中我们运用的对当关系可以解决很多问题，最常见的可能事大家熟知的矛盾，解决真假话问题可以达到快准狠的效果，但是有一类对当关系却容易被我们忽略，那就是反对关系。下面我就给大家介绍一下怎么样可以用好题干中的反对关系。 1、反对关系分类 反对关系分为两类，即上反对和下反对。(1)上反对就是两个命题中必定有一个为假，可以同时为假。直言命题上反对的关系有三组：“所有是”和“所有非”，“所有是”和“某个非”，“所有非”和“某个是”。比如说：“所有人都喜欢吃水果”和“所有人都不喜欢吃水果”这中就两个命题就属于上反对关系，他们之中就必定有一句话是假话，当然也可能同时为假话。(2)下反对就是两个命题中必定有一个为真，可以同时为真。直言命题中下反对关系也有三组：“有些是”和“有些非”，“有些是”和“某个非”，“有些非”和“某个是”。例如，“有些人完成了作业”和“有些人没有完成作业”两个命题即为下反对关系，他们两者必定有一句是真话，当然也可能都属于真话。 2、反对关系的应用 反对关系的主要应用是在于真假话问题，往往题干中给出几个命题，其中有真话有假话，如果两个命题存在反对关系，那么这类型问题解决起来就很简单了。接下来我们看一下具体的题目呈现： 例1.某单位一共有43个人，单位员工在讨论关于员工的来自的省份，得到了如下几个结论： (1)单位上有些员工来自湖南省;
(2)单位上有些员工不是来自湖南省; (3)人事部的老张来自湖南省; 经过具体了解发现，上述结论中只有一个是真的，那么以下哪项结论必定为真： A，人事部老张是来自湖南省 B，该单位43个员工全部来自湖南省 C，该单位43个员工全部都不是来自湖南省 D，该单位一半以上的员工来自湖南省 【解析】通过分析我们不难发现，题干中的前两个断定的逻辑结构属于“有些是”和“有些非”的结构，属于我们在上文中所提到的下反对关系，则两个结论中必定有一个为真，由于题干中为真的结论只有一个，所以第三个结论“人事部的老张来自湖南省”这一结论一定错误，所以老张一定不是来自湖南省，进而可以得到反对关系中的“有些非”必定为真，则“有些是”必定为假，则可以得到该单位所有的员工都不是来自湖南省，答案C为正确答案。 总的来说，反对关系在考试中较为常见，如果涉及到真假题中出现有这一关系，我们就可以利用反对关系的特性快速解题，快速选出答案。 行测可能性推理复习资料：力度比较 一直以来，可能性推理都是行测逻辑判断部分的重点必考题目，很多同学在学可能性推理的时候有这样一种感觉，理论学起来简单易懂，但是一旦做题，总是一错一大片。究其原因，主要是在众多削弱、加强的选项中总是成功避开了那个最能削弱、或最能加强的正确选项。下面，我就来谈一谈可能性推理的“选项力度比较”。 角度一：必然性>或然性 主要从语言的表述上进行区分。“必然性”即表述比较绝对的选项，例如含有“一定、肯定、必须”这样表述绝对化字眼的选项，这样的选项
第一章 命题逻辑
第一章命题逻辑 1.什么叫做命题？是陈述句子都是命题吗？请举例说明之。 2.命题的真值有几种？为什么？并说明这些真值的定义。 3.判断下面句子哪些是命题。如果是命题，说出它的真值。 1．离散数学是计算机科学与技术专业的理论基础。 2．2不是素数。 3．x＋y＝6 4．明天有雨吗？ 5．火星上也有过人类。 4.什么叫做简单命题？什么叫做复合命题？如何表示复合命题？ 5.命题逻辑中定义了几个逻辑联结词？都用什么符号表示？分别叫做什么名称？在自然语言中都表达什么含义？ 6.填空：P、Q是命题变元，则 P∧Q的真值为真，当且仅当( ) P∨Q的真值为假，当且仅当（） P∨Q的真值为假，当且仅当( ) P→Q的真值为假，当且仅当（） P?Q的真值为真，当且仅当( )
8.填空 已知P∧Q为T，则P为( )，Q为( )。 已知P∨Q为F，则P为( )，Q为( )。 已知P为F，则P∧Q为( )。 9.填空 已知P为T，则P∨Q为( )。 已知P∨Q为T，且P为F ，则Q为( )。 10.填空 已知P为F，则P→Q为( )。 已知Q为T，则P→Q为( )。 11.填空 已知P为T，P→Q为T，则Q为( )。 已知?Q为T, P→Q为T，则P为( )。 已知P?Q为T，P为T , 则Q为( )。 12.填空 已知P?Q为F，P为T , 则Q为( )。 P?P 的真值为( )。 P→P 的真值为( )。 13.设P,Q,R代表的意义如下： P：苹果是甜的。 Q：苹果是红的。 R：我买苹果。 试用自然语言说明下面复合命题所表示的含义。 1．(P∧Q)→R 2．(?P∧?Q)→?R 3．R?(P∧Q)
2014直言命题推理练习题[含答案]
直言命题推理 1. 甲乙丙丁四人为同班同学。关于某次考试， 甲说：我班同学考试都及格了； 乙说：丁考试没有及格； 丙说：我班有人考试没及格； 丁说：乙考试也没有及格。 已知只有一人说假话，则下列断定中为真的项是（A），并写出推断过程： A甲说假话，乙考试没及格； B乙说假话，丙考试没及格； C丙说假话，丁考试没及格； D甲说假话，丙考试没及格。甲丙矛盾关系 2. 有4个杯子，每个杯子上都写有一句话： 第1个杯子：所有的杯子中都有水果糖； 第2个杯子：本杯中有苹果； 第3个杯子：本杯中没有巧克力； 第4个杯子：有些杯子中没有水果糖。 如果只有一句话为真，则下列为真的项是（D）： A所有的杯子中都有水果糖； B所有的杯子中都没有水果糖； C所有的杯子中都没有苹果； D第3个杯子中有巧克力。 写出推理过程。1 4杯子矛盾关系 3. 某次捐款活动中收到两笔没有署真名的捐款，经过调查，可以确定是周吴郑王中的两个人捐的。询问四个人时， 周说：不是我捐的； 吴说：是王捐的； 郑说：是吴娟的； 王说：我肯定没有捐。 经过查证，四人中有两人说的是真话。那么，下列断定中可能为真的项是（），并写出推理过程。 A周王所捐；B郑王所捐；C郑吴所捐；D郑周所捐 4. 关于某学生宿舍同学使用Internet的情况有以下断定： （1）该宿舍所有同学都会使用Internet； （2）赵云会使用Internet； （3）有些同学会使用Internet； （4）有些同学不会使用Internet。 经过调查，上述断定中只有两个是正确的。那么，下列哪项结论必然从上述条件推出？写出推导过程。 A赵云会使用Internet；B有些人不会使用Internet； C所有人都会使用Internet；D所有人都不会使用Internet。
行测考试中直言命题的含义及其矛盾关系
行测考试中直言命题的含义及其矛盾关系直言命题是公务员考试所有命题形式中最为简单的一类命题，但是它是我们学习整个命题的基础，也是我们学习逻辑的基础。学好直言命题，对于我们解决各类问题都有很大的帮助。 一、直言命题的含义与结构 直言命题即表达一个断定的命题。如：所有的女人都是爱美的;黑龙江不是江;马克思主义是科学……我们可以通过举一个简单的例子来分析一下直言命题的结构： 解析：在这个直言命题中，“四边形”和“长方形”分别是主项和谓项，“所有”是对数量的限定，叫量项，“是”是连接主项和谓项的，叫联项。一个直言命题，主要研究的是A(四边形)和B(长方形)两个概念之间的关系，即研究A是(不是)B，以及有多少A是(不是)B 的。因此，主要研究的是量项和联项。在一个直言命题中，主项和谓项的变化形式是多样的，而量项和联项变化单一，对一个事物的属性的界定也是通过量项和联项来界定的。直言命题的量项包括三种，即“所有、有些和某个”，联项包括两个即“是和非”，所以将量项和联项简单的排列组合就可以得到直言命题的六种句式，即： 所有…是…;所有…非…; 有些…是…;有些…非…; 某个…是…;某个…非…; 二、直言命题的矛盾关系 如果命题A、B满足两个条件：①A+B=Ω，②A∩B=Ф，此时，A和B互为一对矛盾。那么，直言命题的矛盾关系是什么呢?举个例子：所有人都是北京人。这个命题的矛盾是： (并非)所有人都是北京人，也就是至少有一个人不是北京人，即有些人不是北京人。所以，直言命题的矛盾关系，就是将量项互变，联项互变即可，也就是所有变为有些，是变为非即可。 利用矛盾主要解决两种问题， (1)以真求假型，以假求真型(变矛盾) 提问方式：已知上述断定为假，以下哪项一定为真;或者已知上述断定为真，以下哪项一定为假。
第1章-命题逻辑
第一章命题逻辑 1.1第7页 1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。 否命题：不是大连的每条街道都临海。 （2）每一个素数都是奇数。 否命题： 并非每一个素数都是奇数。 2. 对下述命题用中文写出语句： （1）()P R Q ?∧→ 如果非P 与R ，那么Q 。 （2）Q R ∧ Q 并且R 。 4. 给出命题P Q →，我们把Q P →、P Q ?→?、Q P ?→?分别称为命题P Q →的逆命题、反命题、逆反命题。 （1）如果天不下雨，我将去公园。 解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园； 逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。 （2）仅当你去我才逗留。 解：（此题注意：p 仅当q 翻译成p q →） 逆命题：如果你去，那么我逗留。 反命题：如果我不逗留，那么你没去。 逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。 （3）如果n 是大于2的正整数，那么方程n n n x y z +=无整数解。 解：逆命题：如果方程n n n x y z +=无整数解，那么n 是大于2的正整数。 反命题：如果n 不是大于2的正整数，那么方程n n n x y z +=有整数解。 逆反命题：如果方程n n n x y z +=有整数解，那么n 不是大于2的正整数。 7. 给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值。 （1）(()(()()))P Q R Q P R S ?∧∨?∨??→∨? =(()(()()))T T F T T F F ?∧∨?∨??→∨? =()T F T ?∨→ =T F ∨ =T （2）()Q P Q P ∧→→ =()T T T T ∧→→ =T T T ∧→ =T T → =T （3）((()))()P Q R P Q S ∨→∧??∨? =((()))()T T F T T F ∨→∧??∨? =(())T T F T ∨→? =T T ? =T （4）()()P R Q S →∧?→
最新离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
第二章作业 1 评分要求： 2 1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48 3 分 4 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由) 5 3. 总得分在采分点1处正确设置. 6 一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方 7 法每种方法至少使用一次): 8 说明 9 证 10 1. p ?(p ∧q)∨(p ∧?q) 11 解逻辑方程法 12 设 p ?((p ∧q)∨(p ∧?q)) =0, 分两种情况讨论: 13 ?? ?=?∧∨∧=0)()(1 )1(q p q p p 或者 14 ?? ?=?∧∨∧=1 )()(0 )2(q p q p p 15 (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ?(p ∧q)∨(p ∧?q)无成假赋值, 为永真式. 16 等值演算法 17 (p ∧q)∨(p ∧?q) 18 ? p ∧(q ∨?q) ∧对∨的分配率 19 ? p ∧1 排中律 20
? p 同一律 21 真值表法 22 即 p? ((p∧q)∨(p∧?q))为永真式, 得证23 2. (p→q)∧(p→r)?p→(q∧r) 24 等值演算法 25 (p→q)∧(p→r) 26 ? (?p∨q)∧(?p∨r)蕴含等值式 27 ??p∨(q∧r)析取对合取的分配律 28 ? p→(q∧r)蕴含等值式 29 3. ?(p?q)?(p∨q)∧?(p∧q) 30 等值演算法 31 ?(p?q) 32 ??( (p→q)∧(q→p) )等价等值式 33 ??( (?p∨q)∧(?q∨p) )蕴含等值式 34
第三章 命题逻辑的公式
第三章命题逻辑的公式 第一节现代命题逻辑简介 一、现代命题逻辑与传统命题逻辑的区别与联系 1、现代命题逻辑与传统命题逻辑的联系 从上一章我们对复合命题及其推理的学习中我们可以看出：复合命题推理所依据的是推理中复合命题的逻辑性质。复合命题的逻辑性质和构成复合命题的命题联结词有关，与构成复合命题的简单命题的内部结构无关。因此，考察这种推理是否有效，形式上是否正确，用不着分析推理中所包含的简单命题的内部结构。从这个意义上说，简单命题是命题逻辑研究中的最基本单位。这是传统命题逻辑和现代命题逻辑的共同点。 2、现代命题逻辑与传统命题逻辑的区别 A、语言 传统命题逻辑采用的是日常语言。日常语言的特点是含义丰富，能够表达丰富多彩的思想内容。其缺点是容易产生歧义，缺乏确定性。例如：对于命题“老张或者是湖南人，或者是湖北人”来说，我们必须分析两个肢命题在现实中是否相容来判断或者究竟表达的是相容的选言关系还是不相容的选言关系。 与传统命题逻辑不同，现代命题逻辑采用的是人工语言（一种精确的符号语言）。同日常语言自身就表达一定的思想内容不同，人工语言本身只是一个抽象的符号系统，只有在我们指定每个基础符号所表示的意义之后，这种人工语言所表示的符号串才具有具体的思想内容。相对于日常语言，人工语言的优点是含义单一，可进行代入、运算等数学计算。 B、方法 传统命题逻辑研究复合命题及其推理的方法是日常语言分析，通过分析命题联结词在具体的语境下所表示的命题间关系来确定复合命题的逻辑性质，并在此基础上确立各种有效推理形式。 现代命题逻辑采用符号化、公理化和形式化的方法，建立命题的逻辑运算和演算。现代逻辑所采用的精确的人工语言是其公理化、形式化方法的基础。由于现代逻辑采用公理化、形式化的方法，其对命题逻辑的研究也更加深入、更加严谨。 二、命题逻辑公式的构成 现代命题逻辑采用的是符号化的人工语言，因此，在现代逻辑中，无论是命题形式，还是推理形式都表现为一些符号公式，逻辑学中称为命题逻辑的公式。 1、命题逻辑公式的组成 命题逻辑公式由两部分组成：命题变项和逻辑常项。 命题变项由小写字母p,q,r,s,……来表示，它们代表一个个简单命题； 逻辑常项是一些特殊的表意符号，它们用来表示命题联结词。在本门课程中，我们将学习五种最为基本的联结词。它们是：否定联结词、析取联结词、合取联结词、蕴含联结词和等值联结词，分别用符号﹁，∨，∧，→，? 来表示。﹁只和一个命题变项结合，而∨，∧，→，?都和两个命题变项结合，由这些命题联结词和命题变项相结合就可以构成各式各样的命题逻辑公式。 如：﹁p, p∨q, p∧q, p→p, p?q, p∨(p→q)等等。 在构成逻辑公式时还会用到括号，括号用来表明公式中的逻辑关系，括号内的公式是公式中一个独立的单位。为了避免在命题逻辑公式中存在过多括号，常常约定命题联结词的逻辑结合力的强弱。我们约定，联结词的结合力依以下次序递减：﹁，∨，∧，→，?。 在命题逻辑中，我们还经常用大写的字母A、B、C……来表示任意的一个命题逻辑公式。p,q,r,s,……和﹁，∨，∧，→，?这类符号是用来表示思维的形式结构的，我们称之为对象符号语言；A、B、C……是我们在讨论或者说明命题逻辑公式时使用的，我们称之为
第三章.命题逻辑
第三章命题逻辑 重点：掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；利用真值表技术和公式转换方式求公式的主析取范式和主合取范式；利用规则、基本等 价和蕴涵公式、三种不同的推理方法完成命题逻辑推理； 难点：如何正确地掌握对语言的翻译，如何利用推理方法正确的完成命题推理。 数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支、计算机学科、人工智能、语言学等学科均有十分密切的联系，并且益显示出它的重要作用和更加广泛的应用前景。要很好地使用计算机，就必须学习逻辑。数理逻辑分五大部分。在离散数学中仅介绍命题逻辑和谓词逻辑。命题逻辑是谓词逻辑的基础，只有掌握了命题逻辑，才能学好谓词逻辑。对于命题逻辑，下面从六个知识点来加以阐述。 3.1 命题符号化及联系结词 1 命题 有确切真值的陈述句称为命题。 所谓确切真值是指在具体的环境，具体的时间，具体的对象，具体的位置等情况下能唯一确定真值的。命题分为两种： (1) 简单命题：不能分解为更为简单的句子的命题。 (2)复合命题：能够分解为更为简单的命题。 2 命题联结词
关于联结词，有如下几点要注意： （1）此联结词是联结的句子与句子之间的联结，而非单纯的名记号、形容词、数词等的联结； （2）此联结词是两个句子真值之间的联结词，而非句子的具体含义的联结，两句子之间可以无任何的内在联系； （3）联结词与自然语言之间的对应并非一一对应，如合取联结词“∧”对应了自然语言中的“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”、“并且”、“和”、“与”等。如蕴涵联结词“→”，P →Q 对应了自然语言中的“加P 则Q ”，“只要P 就Q ”，“P 仅当Q ”，“只有Q 才P ”，“除非Q 否则乛P ”等。如等价联结词“←→ ”对应了自然语言中的“等价”、“并且仅当”、“充分必 ”等。如析取联结词∨是对应相容的或(中兼的或)。 3.2 命题公式及分类 一般称具有确切真值的简单命题叫命题常量，用P ，Q ，R ，…等表示。而没有赋 予具体内容的简单命题称为命题变量（变元），此时的P ，Q ，R 没有具体的真值。 1．合式公式 （1）单个的命题变量或常量（含1或0）是合式公式； （2）若P 是合式公式，则（乛P ）也是合式公式； （3）若P ，Q 是合式公式，则（P ∨Q ）、（P ∧Q ）、（P →Q ）、（P ←→ Q ）也是合式公式。 只有有限次使用上述三步形式的符号串才是合式公式（命题公式），简称公式。 为了简化公式，可按如下优先级别进行：“（）”?“乛”?”“” “∧∨?“→”?“← → ” 其中，为避免错误，合取与析取看成是同等优先级别，要改变或强调其优先级别， 采用括号。另外，最外层的括号可以省掉，同级的按从左到右的顺序进行运算。 2．赋值或解释与真值表 设G 是命题公式，P 1，P 2，…，P n (n /1)是出现在公式G 中的所有命题变元，指定 P 1，P 2，…，P n 一组真值，则这组真值称为G 的一个解释或赋值。此时不同的赋值就有2n 种。将此2n 种不同的赋值下的取值情况列成的表称为G 的真值表。 3．公式的分类 设G 为一公式， （1）如G 在它所有的解释之下都为真，则称G 为永真或重言式； （2）如G 在它所有的解释之下都为假，则称G 为永假或矛盾式；