深圳市2013届高三第一次调研考试
数学(理)试题
本试卷共21小题,满分150分 考试用时120分钟
注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后
务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上不按要求填涂的,答案无效。
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答漏涂、错涂、多涂的答
案无效 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:
若锥体的底面积为S ,高为h ,则锥体的体积为V =
13
Sh .
若球的半径为R ,则球的表面积为S=4πR 2,体积为V=
43
πR 2,
回归方程为y bx a =+
, 其中:(
)(
)
(
)
1
2
1
,.n
i i i n
i i x x
y y
a y
b x x x
===-=--∑∑
一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是
符合题目要求的. 1.化简sin 2013o 的结果是
A .sin 33o
B .cos33o
A .-sin 33o
B .-cos33
o
2.已知i 是虚数单位,则复数i 13(1+i )= A .l+i
B .l -i
C .-l+I
D .-l -i
3.图l 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、
体积分别是
A .32π、1283
π B .16π、
32
3π
C .12π、
163
π
D .8π、
16
3
π
4.双曲线2
2
1x m y -=的实轴长是虚轴长的2倍,则rn= A .
14
B .
12
C .2
D .4
5.等差数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且a 1,a 2,a 3中的任何两个数不在下表的同一列。
则a 4的值为 A .18
B .15
C .12
D .20
6.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六
合数”共有 A .18个 B .15个 C .12个 D .9个
7.函数y = 1n|x -1|的图像与函数y=-2 cos πx (-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于 A .8
B .6
C .4
D .2
8.函数y=f (x ),x ∈D ,若存在常数C ,对任意的x l ∈D ,仔在唯一的x 2∈D ,使得
C =,
则称函数f (x )在D 上的几何平均数为C .已知f (x )=x 3,x ∈[1,2],则函数f (x )=x 3在[1,2]上的几何平均数为
A .
B .2
C .4
D .
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题
两部分.
(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.若52345
012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++则a 3= 。
10.容量为60的样本的频率分布直方图共有n (n>1)个小矩形,若其中一个小矩形
的面积等于其余n -1个小矩形面积和的15
,则这个小矩形对应的频数是
____ .
11.已知Ω= {(x ,y )|x+ y≤6,x≥0,y≥0},A={(x ,y )|x≤4,y>0,x -y 2
≥0},若
向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率是 . 12.若执行图2中的框图,输入N=13,则输出的数等于 。
(注:“S=0”,即为“S←0”或为“S .
.=0”.)
13.设集合A={(x ,y )|(x 一4)2+y 2=1},B={(x ,y )|(x -t )2+(y -at+ 2)2=l},
如果命题 “t ?∈R ,A B ≠? ”是真命题,则实数a 的取值范围是 。
(二)选做题:第14、1 5题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系.曲线C 1的参数方程为1
x y t ?=??=+??(t 为参数),曲线C 2的极坐标方程为
ρsin θ-ρcos θ =3,则C l 与C 2交点在直角坐标系中的坐标为 。
15.(几何证明选讲选做题)如图3,在⊙O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,
EF ⊥BC ,垂足为F ,若AB=6,CF·CB=5,则AE= 。
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=2 sin 6
3x ππ??
+
???
(0≤x≤5)
,点A 、B 分别是函数y=f (x )图像上的最高点和最低点. (1)求点A 、B 的坐标以及O A ·OB
的值;
(2)没点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan (2αβ-)的值.
17.(本小题满分12分)
一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
学生 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 数学(x 分 89 91 93 95 97 物理(y 分) 87 89 89 92 93
(1)请在图4的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的同归方程;
(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动,以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )的值.
18.(木小题满分14分)
如图5,⊙O 的直径AB=4,点C 、D 为⊙O 上两点,且∠CA B=45o
,∠DAB=60o
,F 为 BC
的中点.沿直径AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图6). (1)求证:OF//平面ACD ;
(2)求二面角C- AD-B 的余弦值;
(3)在 BD 上是否存在点G ,使得FG ∥平面ACD?若存在,试指出点G 的位置,并求直线AG 与平
面ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分14分)
已知数列{a n }满足:a 1=1,a 2=(a≠0),a n+2=p·
2
1n n
a a +(其中P 为非零常数,n ∈N *)
(1)判断数列{
1n n
a a +}是不是等比数列? (2)求a n ;
(3)当a=1时,令b n =
2n n
na a +,S n 为数列{b n }的前n 项和,求S n 。
20.(本小题满分14分)
已知两点F 1(-1,0)及F 2(1,0),点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆C 上,且|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|构成等差数列.(1)求椭圆C 的方程;
(2)如图7,动直线l :y=kx+m 与椭圆C 有且仅有一个公共点,点M ,N 是直线l 上的两点,且F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l .求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值.
21.(本小题满分14分) 已知f (x )=x-a
x
(a>0),g (x )=2lnx+bx 且直线y=2x -2与曲线y=g (x )相切.
(1)若对[1,+∞)内的一切实数x ,小等式f (x )≥g (x )恒成立,求实数a 的取值范围;
(2)当a=l 时,求最大的正整数k ,使得对[e ,3](e=2.71828…是自然对数的底数)内的任意k 个实数x 1,x 2,…,x k 都有121()()()16()k k f x f x f x g x -+++≤ 成立;
(3)求证:*
2
1
41(21)()41
n
i i n n n N i =>+∈-∑
.
参考答案
说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可
视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.
二、填空题:本大题每小题5分,满分30分. 9. 80; 10. 10; 11.27
8; 12.1213
;
13.3
40≤≤a ; 14.)5,2(; 15.1.
三、解答题
16.(本小题满分12分)
解:(1)50≤≤x , ππ7π3
6
3
6
x π
∴
≤
+
≤
, …………………………………1分
∴1ππsin()126
3
x -
≤+≤. ……………………………………………………………2分
当πππ632x +=,即1=x 时,ππsin(
)163x +=,)(x f 取得最大值2; 当
ππ7π
6
36x +=,即5=x 时,ππ1sin(
)6
32
x +
=-
,)(x f 取得最小值1-.
因此,点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B -。……………………………4分
152(1)3O A O B ∴?=?+?-=
. ……………………………………………………6分
(2) 点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上,
tan 2α∴=,5
1tan -
=β, …………………………………………8分
212()
55tan 21121()
5
β?-=
=---, ………………………………………………10分 ∴5
2()
2912tan(2)52
12()
12
αβ--
-=
=+?-. ………………………………………………12分
【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(?ω+=x A x f 的图象与性质,三角恒等变换,以及平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17.(本小题满分12分)
解:(1)散点图如右图所示.…………1分
x =
5
97
95939189++++=93, y =
5
93
92898987++++=90,
,
404
2 0
)2()4()(2
2
2
2
2
5
1
2
=+++-+-=-∑=i i
x x
303422)1(0)1()2()3()4()((5
1
=?+?+-?+-?-+-?-=--∑=i i i
y y x x
,
300.7540
b =
=,69.75b x =,20.25a y bx =-=. ………………………5分
故这些数据的回归方程是:?0.7520.25y x =+. ………………………6分
(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2. ……………………………………7分
2
2241(0)=6C P X C ==;1
1
22242(1)=3C C P X C ==;2
2241
(2)=6
C P X C ==. …………10分
故X 的分布列为:
……………11分
()E X ∴=6
10?
+3
21?+6
12?=1. …………………………………………………12分
【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18.(本小题满分14分)
(法一):证明:(1)如右图,连接CO ,
45=∠CAB ,AB CO ⊥∴, 又F 为 BC
的中点,
45=∠∴FOB , AC OF //∴.
?OF 平面ACD ,?AC 平面ACD ,
∴//O F 平面ACD .……………………3分 解:(2)过O 作AD OE ⊥于E ,连CE .
AB CO ⊥ ,平面ABC ⊥平面ABD .
∴CO ⊥
平面ABD . 又?AD 平面ABD ,
AD CO ⊥∴, ⊥∴AD 平面CEO ,CE AD ⊥,
则∠CEO 是二面角C -A D -B 的平面角. …………………5分
60=∠OAD ,2=OA , 3=
∴OE .
由CO ⊥平面ABD ,?OE 平面ABD ,得CEO ?为直角三角形,
2=CO ,∴7=
CE .
∴CEO ∠cos =
7
3=
7
21. ………………………8分
(3)设在 BD
上存在点G ,使得FG //平面ACD , //O F 平面ACD , ∴平面//OFG 平面ACD ,AD OG //∴,==60BOG BAD ∠∠
.
因此,在 BD
上存在点G ,使得FG //平面ACD ,且点G 为 BD 的中点.……10分 连AG ,设AG 与平面ACD 所成角为α,点G 到平面ACD 的距离为h .
ACD S ?=
CE AD ??2
1=
7221?
?=7,OAD GAD S S ??==
322
1??=3,
∴由ACD -G V =AGD -C V ,得h ??
73
1=233
1??,得7
212=
h . …………12分
在AOG ?中,2==OG AO , 120=∠AOG ,由余弦定理得AG =32,…13分
AG
h =∴αsin =
7
7.…………14分 (法二):证明:(1)如图,以AB 所在的直线为y 轴,以OC 所在的直线为z 轴,以O 为原点,作空间直角坐标系
xyz O -,则()0,20A ,-,()200,,C .
)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=AC
,
点
F 为 BC 的中点,∴点F 的坐标为(
0,
,)2,2,
0(=OF .
2
O F AC ∴=
,即//O F A C .?OF 平面ACD ,?AC 平面ACD , ∴//O F 平面ACD . ………………3分
解:(2)60DAB ∠=
,∴点D
的坐标()
013,,D
-,0)AD =
.
设二面角--C AD B 的大小为θ,()1,,n x y z =
为平面ACD 的一个法向量.
由110,0,n A C n A D ??=???=??
有()()(
))
,,0,2,20,,,00,x y z x y z ??=???=??
即220,
0.y z y +=??+=
取1=x ,解得3-=y ,3=
z .1n ∴
=()
331,,-. ………………5分
取平面AD B 的一个法向量2n
=()100,,, …………………6分
12
12cos 7
n n |n ||n |θ?∴===
?
.………8分
(3)设在 BD
上存在点G ,使得FG //平面ACD , //O F 平面ACD , ∴平面//OFG 平面ACD ,则有AD OG //.
设(0)O G AD λλ=>
,0)AD =
,)
0O G ,,λ∴= .
又2O G =
,2∴=,解得1λ=±(舍去1-).
)
10O G ,∴=
,则G 为 BD
的中点. 因此,在 BD
上存在点G ,使得FG //平面ACD ,且点G 为 BD 的中点.……11分 设直线AG 与平面ACD 所成角为α
,0)(0,2,0)3,0)AG =--=
,
根据(2
)的计算(11n =
为平面ACD 的一个法向量,
1
1sin cos(90)7
||||
AG n AG n αα?∴=-===
?
.
因此,直线AG 与平面ACD
所成角的正弦值为7
. ……………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19.(本小题满分14分)
解:(1)由n
n n a a p a 2
12++?=,得
n
n n n a a p a a 11
2+++?
=. ……………………………1分
令1n n n a c a +=
,则1c a =,1n n c pc +=. 0≠a ,10c ∴≠,
p c c n
n =+1(非零常数),
∴数列}{
1
n
n a a +是等比数列. ……………3分
(2) 数列{}n c 是首项为a ,公比为p 的等比数列,
∴1
1
1n n n c c p
a p
--=?=?,即
1
1n n n a ap a -+=. ……………………………4分
当2n ≥时,2
3
1
2112
1
()()()1n n n
n n n n a a a a a ap
ap
ap a a a -----=
?
??
?=????
2
32
12
n n n a p
-+-=, ……………………6分
1a 满足上式, 2
32
1
*
2
,N n n n n a a
p
n -+-∴=∈. ………7分
(3)1221
2211()()n n n n n n n
n n
a a a ap ap a p
a a a --++++=
?=?=
, ∴当1=a 时,21
2n n n n
na b np
pa -+=
=. ………………8分
1321
12n n S p p n p
-∴=?+?++? , ①
2
3
21
21
1(1)n n n p S p n p
n p
-+=?++-?+? ②
∴当2
1p ≠,即1p ≠±时,①-②
得: 22
1
3
21
21
21
2
(1)
(1)1n
n n n n p p p S p p p
np np
p
-++--=+++-=
-- ,
即221
2
2
2
(1)
,1(1)
1n n n p p
np
S p p p
+-=
-
≠±--. …………………………11分
而当1p =时,(1)122
n n n S n +=+++=
, …………………………12分
当1p =-时,(1)(1)(2)()2
n n n S n +=-+-++-=-
.………………………13分
综上所述,221
222
(1)
,1,2(1)
,1,2(1), 1.(1)
1n n n n n p n n S p p p np p p p +?+=?
?
+?=-=-??
?--≠±?--? ……………………………14分 【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识,
考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想. 20.(本小题满分14分)
解:(1)依题意,设椭圆C 的方程为
222
2
1x y a
b
+
=.
1122PF F F PF 、、构成等差数列,∴1122
224a PF PF
F F =+==, 2a =.
又1c = ,2
3b ∴=.∴椭圆C 的方程为
2
2
14
3
x
y
+
=. ……………………4分
(2) 将直线l 的方程y k x
m =+代入椭圆C 的方程22
3412x y +=中,得
01248)34(2
2
2
=-+++m kmx x k
. ……………5分
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知,2222644(43)(412)0k m k m ?=-+-=, 化简得:2243m k =+. …………7分
设11d F M ==
,22d F M ==
, ……………9分
(法一)当0k ≠时,设直线l 的倾斜角为θ, 则12tan d d M N θ-=?,
12
d d M N k
-∴=
,
22
1212
122
21()2
21
m d d d d S d d k
k
k --=
+=
=
+m m m m 181
4
322
+
=+-=
,………11分
22
43m k =+,∴当0k ≠时,3>
m ,33
43
131=+
>+
m
m ,32
当0=k 时,四边形12
F M N F 是矩形,S =. ……………………………13分 所以四边形12F
M N F 面积S 的最大值为 ………………………………14分
(法二)
22
2
2
2
2
2
122
2
2()2(53)1
1
m k k d d k k +++=+=
=
++,
22
2
122
2
3331
1
m k k d d k k -+=
=
=
=++
.
M N
∴=
=
=
.
四边形12F M N F 的面积121()2
S M N d d =
+)(1
1212
d d k
++=
, …………11分
2
2
2
212
2212
2
)
1(12
16)2(1
1++=+++=
k
k d d d d k
S
12)21
1(
4162
2
≤-+-=k
. ………………………………………………13分
当且仅当0k =时,212,S S ==max S =
所以四边形12F M N F 的面积S 的最大值为 …………………………14分
【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知
识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想. 21.(本小题满分14分)
解:(1)设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点,则有
22ln 2000-=+x bx x . (*) b x
x g +=
'2)( ,220
=+∴
b x . (**)
由(*)、(**)两式,解得0=b ,x x g ln 2)(=. ……………………………2分 由)()(x g x f ≥整理,得
x x x
a ln 2-≤,
1≥x ,∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立,必须x x x a ln 22-≤恒成立.
设x x x x h ln 2)(2-=,2ln 22)1(ln 22)(--=?
+-='x x x
x x x x h ,
x
x h 22)(-
='' ,∴当1≥x 时,0)(≥''x h ,则)(x h '是增函数,
0)1()(='≥'∴h x h ,)(x h 是增函数,1)1()(=≥h x h ,1≤a .…………………5分