深圳市2013届高三第一次调研考试数学(理科)
深圳市2013届高三第一次调研考试
数学（理）试题
本试卷共21小题，满分150分 考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后
务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答
案无效 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。 参考公式：
若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为V =
13
Sh ．
若球的半径为R ，则球的表面积为S=4πR 2，体积为V=
43
πR 2，
回归方程为y bx a =+
， 其中：(
)(
)
(
)
1
2
1
,.n
i i i n
i i x x
y y
a y
b x x x
===-=--∑∑
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是
符合题目要求的． 1．化简sin 2013o 的结果是
A ．sin 33o
B ．cos33o
A ．-sin 33o
B ．-cos33
o
2．已知i 是虚数单位，则复数i 13（1+i ）= A ．l+i
B ．l －i
C ．-l+I
D ．-l －i
3．图l 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、
体积分别是
A ．32π、1283
π B ．16π、
32
3π
C ．12π、
163
π
D ．8π、
16
3
π
4．双曲线2
2
1x m y -=的实轴长是虚轴长的2倍，则rn= A ．
14
B ．
12
C ．2
D ．4
5．等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数， 且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列。
则a 4的值为 A ．18
B ．15
C ．12
D ．20
6．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六
合数”共有 A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个
7．函数y = 1n|x －1|的图像与函数y=-2 cos πx （-2≤x≤4）的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
8．函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x l ∈D ，仔在唯一的x 2∈D ，使得
C =，
则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为C ．已知f （x ）=x 3，x ∈[1，2]，则函数f （x ）=x 3在[1，2]上的几何平均数为
A ．
B ．2
C ．4
D ．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题
两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．若52345
012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++则a 3= 。
10．容量为60的样本的频率分布直方图共有n （n>1）个小矩形，若其中一个小矩形
的面积等于其余n －1个小矩形面积和的15
，则这个小矩形对应的频数是
____ ．
11．已知Ω= {（x ，y ）|x+ y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x ，y ）|x≤4，y>0，x －y 2
≥0}，若
向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是 ． 12．若执行图2中的框图，输入N=13，则输出的数等于 。
（注：“S=0”，即为“S←0”或为“S .
.=0”．）
13．设集合A={（x ，y ）|（x 一4）2+y 2=1}，B={（x ，y ）|（x －t ）2+（y －at+ 2）2=l}，
如果命题 “t ?∈R ，A B ≠? ”是真命题，则实数a 的取值范围是 。
（二）选做题：第14、1 5题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．曲线C 1的参数方程为1
x y t ?=??=+??（t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为
ρsin θ－ρcos θ =3，则C l 与C 2交点在直角坐标系中的坐标为 。
15．（几何证明选讲选做题）如图3，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，
EF ⊥BC ，垂足为F ，若AB=6，CF·CB=5，则AE= 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=2 sin 6
3x ππ??
+
???
（0≤x≤5）
，点A 、B 分别是函数y=f （x ）图像上的最高点和最低点． （1）求点A 、B 的坐标以及O A ·OB
的值；
（2）没点A 、B 分别在角α、β的终边上，求tan （2αβ-）的值．
17．（本小题满分12分）
一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 数学（x 分 89 91 93 95 97 物理（y 分） 87 89 89 92 93
（1）请在图4的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的同归方程；
（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E （X ）的值．
18．（木小题满分14分）
如图5，⊙O 的直径AB=4，点C 、D 为⊙O 上两点，且∠CA B=45o
，∠DAB=60o
，F 为 BC
的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图6）． （1）求证：OF//平面ACD ；
（2）求二面角C- AD-B 的余弦值；
（3）在 BD 上是否存在点G ，使得FG ∥平面ACD?若存在，试指出点G 的位置，并求直线AG 与平
面ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知数列{a n }满足：a 1=1，a 2=（a≠0），a n+2=p·
2
1n n
a a +（其中P 为非零常数，n ∈N *）
（1）判断数列{
1n n
a a +}是不是等比数列？ （2）求a n ；
（3）当a=1时，令b n =
2n n
na a +，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n 。
20．（本小题满分14分）
已知两点F 1（-1，0）及F 2（1，0），点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆C 上，且|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|构成等差数列．（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图7，动直线l ：y=kx+m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ．求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．
21．（本小题满分14分） 已知f （x ）=x-a
x
（a>0），g （x ）=2lnx+bx 且直线y=2x －2与曲线y=g （x ）相切．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x ，小等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）当a=l 时，求最大的正整数k ，使得对[e ，3]（e=2．71828…是自然对数的底数）内的任意k 个实数x 1，x 2，…，x k 都有121()()()16()k k f x f x f x g x -+++≤ 成立；
（3）求证：*
2
1
41(21)()41
n
i i n n n N i =>+∈-∑
．
参考答案
说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可
视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9． 80； 10． 10； 11．27
8； 12．1213
；
13．3
40≤≤a ； 14．)5,2(； 15．1．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：（1）50≤≤x ， ππ7π3
6
3
6
x π
∴
≤
+
≤
， …………………………………1分
∴1ππsin()126
3
x -
≤+≤． ……………………………………………………………2分
当πππ632x +=，即1=x 时，ππsin(
)163x +=，)(x f 取得最大值2； 当
ππ7π
6
36x +=，即5=x 时，ππ1sin(
)6
32
x +
=-
，)(x f 取得最小值1-．
因此，点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B -。……………………………4分
152(1)3O A O B ∴?=?+?-=
． ……………………………………………………6分
（2） 点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上，
tan 2α∴=，5
1tan -
=β， …………………………………………8分
212()
55tan 21121()
5
β?-=
=---， ………………………………………………10分 ∴5
2()
2912tan(2)52
12()
12
αβ--
-=
=+?-． ………………………………………………12分
【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(?ω+=x A x f 的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分12分）
解：（1）散点图如右图所示．…………1分
x =
5
97
95939189++++=93， y =
5
93
92898987++++=90，
,
404
2 0
)2()4()(2
2
2
2
2
5
1
2
=+++-+-=-∑=i i
x x
303422)1(0)1()2()3()4()((5
1
=?+?+-?+-?-+-?-=--∑=i i i
y y x x
，
300.7540
b =
=，69.75b x =，20.25a y bx =-=． ………………………5分
故这些数据的回归方程是：?0.7520.25y x =+． ………………………6分
（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2． ……………………………………7分
2
2241(0)=6C P X C ==；1
1
22242(1)=3C C P X C ==；2
2241
(2)=6
C P X C ==． …………10分
故X 的分布列为：
……………11分
()E X ∴=6
10?
+3
21?+6
12?=1． …………………………………………………12分
【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力． 18．（本小题满分14分）
（法一）：证明：（1）如右图，连接CO ，
45=∠CAB ，AB CO ⊥∴， 又F 为 BC
的中点，
45=∠∴FOB ， AC OF //∴．
?OF 平面ACD ，?AC 平面ACD ，
∴//O F 平面ACD ．……………………3分 解：（2）过O 作AD OE ⊥于E ，连CE ．
AB CO ⊥ ，平面ABC ⊥平面ABD ．
∴CO ⊥
平面ABD ． 又?AD 平面ABD ，
AD CO ⊥∴， ⊥∴AD 平面CEO ，CE AD ⊥，
则∠CEO 是二面角C -A D -B 的平面角． …………………5分
60=∠OAD ，2=OA ， 3=
∴OE ．
由CO ⊥平面ABD ，?OE 平面ABD ，得CEO ?为直角三角形，
2=CO ，∴7=
CE ．
∴CEO ∠cos =
7
3=
7
21． ………………………8分
（3）设在 BD
上存在点G ，使得FG //平面ACD ， //O F 平面ACD ， ∴平面//OFG 平面ACD ，AD OG //∴，==60BOG BAD ∠∠
．
因此，在 BD
上存在点G ，使得FG //平面ACD ，且点G 为 BD 的中点．……10分 连AG ，设AG 与平面ACD 所成角为α，点G 到平面ACD 的距离为h ．
ACD S ?=
CE AD ??2
1=
7221?
?=7，OAD GAD S S ??==
322
1??=3，
∴由ACD -G V =AGD -C V ，得h ??
73
1=233
1??，得7
212=
h ． …………12分
在AOG ?中，2==OG AO ， 120=∠AOG ，由余弦定理得AG =32，…13分
AG
h =∴αsin =
7
7．…………14分 （法二）：证明：（1）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，作空间直角坐标系
xyz O -，则()0,20A ,-，()200,,C ．
)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=AC
，
点
F 为 BC 的中点，∴点F 的坐标为(
0,
，)2,2,
0(=OF ．
2
O F AC ∴=
，即//O F A C ．?OF 平面ACD ，?AC 平面ACD ， ∴//O F 平面ACD ． ………………3分
解：（2）60DAB ∠=
，∴点D
的坐标()
013,,D
-，0)AD =
．
设二面角--C AD B 的大小为θ，()1,,n x y z =
为平面ACD 的一个法向量．
由110,0,n A C n A D ??=???=??
有()()(
))
,,0,2,20,,,00,x y z x y z ??=???=??
即220,
0.y z y +=??+=
取1=x ，解得3-=y ，3=
z ．1n ∴
=()
331,,-． ………………5分
取平面AD B 的一个法向量2n
=()100,,， …………………6分
12
12cos 7
n n |n ||n |θ?∴===
?
．………8分
（3）设在 BD
上存在点G ，使得FG //平面ACD ， //O F 平面ACD ， ∴平面//OFG 平面ACD ，则有AD OG //．
设(0)O G AD λλ=>
，0)AD =
，)
0O G ,,λ∴= ．
又2O G =
，2∴=，解得1λ=±（舍去1-）．
)
10O G ,∴=
，则G 为 BD
的中点． 因此，在 BD
上存在点G ，使得FG //平面ACD ，且点G 为 BD 的中点．……11分 设直线AG 与平面ACD 所成角为α
，0)(0,2,0)3,0)AG =--=
，
根据（2
）的计算(11n =
为平面ACD 的一个法向量，
1
1sin cos(90)7
||||
AG n AG n αα?∴=-===
?
．
因此，直线AG 与平面ACD
所成角的正弦值为7
． ……………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．（本小题满分14分）
解：（1）由n
n n a a p a 2
12++?=，得
n
n n n a a p a a 11
2+++?
=． ……………………………1分
令1n n n a c a +=
，则1c a =，1n n c pc +=． 0≠a ，10c ∴≠，
p c c n
n =+1（非零常数），
∴数列}{
1
n
n a a +是等比数列． ……………3分
（2） 数列{}n c 是首项为a ，公比为p 的等比数列，
∴1
1
1n n n c c p
a p
--=?=?，即
1
1n n n a ap a -+=． ……………………………4分
当2n ≥时，2
3
1
2112
1
()()()1n n n
n n n n a a a a a ap
ap
ap a a a -----=
?
??
?=????
2
32
12
n n n a p
-+-=， ……………………6分
1a 满足上式， 2
32
1
*
2
,N n n n n a a
p
n -+-∴=∈． ………7分
（3）1221
2211()()n n n n n n n
n n
a a a ap ap a p
a a a --++++=
?=?=
， ∴当1=a 时，21
2n n n n
na b np
pa -+=
=． ………………8分
1321
12n n S p p n p
-∴=?+?++? ， ①
2
3
21
21
1(1)n n n p S p n p
n p
-+=?++-?+? ②
∴当2
1p ≠，即1p ≠±时，①-②
得： 22
1
3
21
21
21
2
(1)
(1)1n
n n n n p p p S p p p
np np
p
-++--=+++-=
-- ，
即221
2
2
2
(1)
,1(1)
1n n n p p
np
S p p p
+-=
-
≠±--． …………………………11分
而当1p =时，(1)122
n n n S n +=+++=
， …………………………12分
当1p =-时，(1)(1)(2)()2
n n n S n +=-+-++-=-
．………………………13分
综上所述，221
222
(1)
,1,2(1)
,1,2(1), 1.(1)
1n n n n n p n n S p p p np p p p +?+=?
?
+?=-=-??
?--≠±?--? ……………………………14分 【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，
考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想． 20．（本小题满分14分）
解：（1）依题意，设椭圆C 的方程为
222
2
1x y a
b
+
=．
1122PF F F PF 、、构成等差数列，∴1122
224a PF PF
F F =+==， 2a =．
又1c = ，2
3b ∴=．∴椭圆C 的方程为
2
2
14
3
x
y
+
=． ……………………4分
(2) 将直线l 的方程y k x
m =+代入椭圆C 的方程22
3412x y +=中，得
01248)34(2
2
2
=-+++m kmx x k
． ……………5分
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ?=-+-=， 化简得：2243m k =+． …………7分
设11d F M ==
，22d F M ==
， ……………9分
（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d M N θ-=?，
12
d d M N k
-∴=
，
22
1212
122
21()2
21
m d d d d S d d k
k
k --=
+=
=
+m m m m 181
4
322
+
=+-=
，………11分
22
43m k =+，∴当0k ≠时，3>
m ，33
43
131=+
>+
m
m ，32
当0=k 时，四边形12
F M N F 是矩形，S =． ……………………………13分 所以四边形12F
M N F 面积S 的最大值为 ………………………………14分
（法二）
22
2
2
2
2
2
122
2
2()2(53)1
1
m k k d d k k +++=+=
=
++，
22
2
122
2
3331
1
m k k d d k k -+=
=
=
=++
．
M N
∴=
=
=
．
四边形12F M N F 的面积121()2
S M N d d =
+)(1
1212
d d k
++=
， …………11分
2
2
2
212
2212
2
)
1(12
16)2(1
1++=+++=
k
k d d d d k
S
12)21
1(
4162
2
≤-+-=k
． ………………………………………………13分
当且仅当0k =时，212,S S ==max S =
所以四边形12F M N F 的面积S 的最大值为 …………………………14分
【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知
识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想． 21．（本小题满分14分）
解：（1）设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点，则有
22ln 2000-=+x bx x ． （*） b x
x g +=
'2)( ，220
=+∴
b x ． （**）
由（*）、（**）两式，解得0=b ，x x g ln 2)(=． ……………………………2分 由)()(x g x f ≥整理，得
x x x
a ln 2-≤，
1≥x ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立．
设x x x x h ln 2)(2-=，2ln 22)1(ln 22)(--=?
+-='x x x
x x x x h ，
x
x h 22)(-
='' ，∴当1≥x 时，0)(≥''x h ，则)(x h '是增函数，
0)1()(='≥'∴h x h ，)(x h 是增函数，1)1()(=≥h x h ，1≤a ．…………………5分
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