深圳市2013届高三第一次调研考试数学(理科)

深圳市2013届高三第一次调研考试

数学(理)试题

本试卷共21小题,满分150分 考试用时120分钟

注意事项:

1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后

务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮

擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上不按要求填涂的,答案无效。

3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答漏涂、错涂、多涂的答

案无效 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:

若锥体的底面积为S ,高为h ,则锥体的体积为V =

13

Sh .

若球的半径为R ,则球的表面积为S=4πR 2,体积为V=

43

πR 2,

回归方程为y bx a =+

, 其中:(

)(

)

(

)

1

2

1

,.n

i i i n

i i x x

y y

a y

b x x x

===-=--∑∑

一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是

符合题目要求的. 1.化简sin 2013o 的结果是

A .sin 33o

B .cos33o

A .-sin 33o

B .-cos33

o

2.已知i 是虚数单位,则复数i 13(1+i )= A .l+i

B .l -i

C .-l+I

D .-l -i

3.图l 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、

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体积分别是

A .32π、1283

π B .16π、

32

C .12π、

163

π

D .8π、

16

3

π

4.双曲线2

2

1x m y -=的实轴长是虚轴长的2倍,则rn= A .

14

B .

12

C .2

D .4

5.等差数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且a 1,a 2,a 3中的任何两个数不在下表的同一列。

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则a 4的值为 A .18

B .15

C .12

D .20

6.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六

合数”共有 A .18个 B .15个 C .12个 D .9个

7.函数y = 1n|x -1|的图像与函数y=-2 cos πx (-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于 A .8

B .6

C .4

D .2

8.函数y=f (x ),x ∈D ,若存在常数C ,对任意的x l ∈D ,仔在唯一的x 2∈D ,使得

C =,

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则称函数f (x )在D 上的几何平均数为C .已知f (x )=x 3,x ∈[1,2],则函数f (x )=x 3在[1,2]上的几何平均数为

A .

B .2

C .4

D .

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二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题

两部分.

(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答.

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9.若52345

012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++则a 3= 。

10.容量为60的样本的频率分布直方图共有n (n>1)个小矩形,若其中一个小矩形

的面积等于其余n -1个小矩形面积和的15

,则这个小矩形对应的频数是

____ .

11.已知Ω= {(x ,y )|x+ y≤6,x≥0,y≥0},A={(x ,y )|x≤4,y>0,x -y 2

≥0},若

向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率是 . 12.若执行图2中的框图,输入N=13,则输出的数等于 。

(注:“S=0”,即为“S←0”或为“S .

.=0”.)

13.设集合A={(x ,y )|(x 一4)2+y 2=1},B={(x ,y )|(x -t )2+(y -at+ 2)2=l},

如果命题 “t ?∈R ,A B ≠? ”是真命题,则实数a 的取值范围是 。

(二)选做题:第14、1 5题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐

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标系.曲线C 1的参数方程为1

x y t ?=??=+??(t 为参数),曲线C 2的极坐标方程为

ρsin θ-ρcos θ =3,则C l 与C 2交点在直角坐标系中的坐标为 。

15.(几何证明选讲选做题)如图3,在⊙O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,

EF ⊥BC ,垂足为F ,若AB=6,CF·CB=5,则AE= 。

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=2 sin 6

3x ππ??

+

???

(0≤x≤5)

,点A 、B 分别是函数y=f (x )图像上的最高点和最低点. (1)求点A 、B 的坐标以及O A ·OB

的值;

(2)没点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan (2αβ-)的值.

17.(本小题满分12分)

一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:

学生 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 数学(x 分 89 91 93 95 97 物理(y 分) 87 89 89 92 93

(1)请在图4的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的同归方程;

(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动,以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )的值.

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18.(木小题满分14分)

如图5,⊙O 的直径AB=4,点C 、D 为⊙O 上两点,且∠CA B=45o

,∠DAB=60o

,F 为 BC

的中点.沿直径AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图6). (1)求证:OF//平面ACD ;

(2)求二面角C- AD-B 的余弦值;

(3)在 BD 上是否存在点G ,使得FG ∥平面ACD?若存在,试指出点G 的位置,并求直线AG 与平

面ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.

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19.(本小题满分14分)

已知数列{a n }满足:a 1=1,a 2=(a≠0),a n+2=p·

2

1n n

a a +(其中P 为非零常数,n ∈N *)

(1)判断数列{

1n n

a a +}是不是等比数列? (2)求a n ;

(3)当a=1时,令b n =

2n n

na a +,S n 为数列{b n }的前n 项和,求S n 。

20.(本小题满分14分)

已知两点F 1(-1,0)及F 2(1,0),点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆C 上,且|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|构成等差数列.(1)求椭圆C 的方程;

(2)如图7,动直线l :y=kx+m 与椭圆C 有且仅有一个公共点,点M ,N 是直线l 上的两点,且F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l .求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值.

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21.(本小题满分14分) 已知f (x )=x-a

x

(a>0),g (x )=2lnx+bx 且直线y=2x -2与曲线y=g (x )相切.

(1)若对[1,+∞)内的一切实数x ,小等式f (x )≥g (x )恒成立,求实数a 的取值范围;

(2)当a=l 时,求最大的正整数k ,使得对[e ,3](e=2.71828…是自然对数的底数)内的任意k 个实数x 1,x 2,…,x k 都有121()()()16()k k f x f x f x g x -+++≤ 成立;

(3)求证:*

2

1

41(21)()41

n

i i n n n N i =>+∈-∑

参考答案

说明:

1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内

容比照评分标准制订相应的评分细则.

2.对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可

视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.

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二、填空题:本大题每小题5分,满分30分. 9. 80; 10. 10; 11.27

8; 12.1213

13.3

40≤≤a ; 14.)5,2(; 15.1.

三、解答题

16.(本小题满分12分)

解:(1)50≤≤x , ππ7π3

6

3

6

x π

+

, …………………………………1分

∴1ππsin()126

3

x -

≤+≤. ……………………………………………………………2分

当πππ632x +=,即1=x 时,ππsin(

)163x +=,)(x f 取得最大值2; 当

ππ7π

6

36x +=,即5=x 时,ππ1sin(

)6

32

x +

=-

,)(x f 取得最小值1-.

因此,点A 、B 的坐标分别是(1,2)A 、(5,1)B -。……………………………4分

152(1)3O A O B ∴?=?+?-=

. ……………………………………………………6分

(2) 点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上,

tan 2α∴=,5

1tan -

=β, …………………………………………8分

212()

55tan 21121()

5

β?-=

=---, ………………………………………………10分 ∴5

2()

2912tan(2)52

12()

12

αβ--

-=

=+?-. ………………………………………………12分

【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(?ω+=x A x f 的图象与性质,三角恒等变换,以及平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17.(本小题满分12分)

解:(1)散点图如右图所示.…………1分

x =

5

97

95939189++++=93, y =

5

93

92898987++++=90,

,

404

2 0

)2()4()(2

2

2

2

2

5

1

2

=+++-+-=-∑=i i

x x

303422)1(0)1()2()3()4()((5

1

=?+?+-?+-?-+-?-=--∑=i i i

y y x x

300.7540

b =

=,69.75b x =,20.25a y bx =-=. ………………………5分

故这些数据的回归方程是:?0.7520.25y x =+. ………………………6分

(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2. ……………………………………7分

2

2241(0)=6C P X C ==;1

1

22242(1)=3C C P X C ==;2

2241

(2)=6

C P X C ==. …………10分

故X 的分布列为:

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……………11分

()E X ∴=6

10?

+3

21?+6

12?=1. …………………………………………………12分

【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18.(本小题满分14分)

(法一):证明:(1)如右图,连接CO ,

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45=∠CAB ,AB CO ⊥∴, 又F 为 BC

的中点,

45=∠∴FOB , AC OF //∴.

?OF 平面ACD ,?AC 平面ACD ,

∴//O F 平面ACD .……………………3分 解:(2)过O 作AD OE ⊥于E ,连CE .

AB CO ⊥ ,平面ABC ⊥平面ABD .

∴CO ⊥

平面ABD . 又?AD 平面ABD ,

AD CO ⊥∴, ⊥∴AD 平面CEO ,CE AD ⊥,

则∠CEO 是二面角C -A D -B 的平面角. …………………5分

60=∠OAD ,2=OA , 3=

∴OE .

由CO ⊥平面ABD ,?OE 平面ABD ,得CEO ?为直角三角形,

2=CO ,∴7=

CE .

∴CEO ∠cos =

7

3=

7

21. ………………………8分

(3)设在 BD

上存在点G ,使得FG //平面ACD , //O F 平面ACD , ∴平面//OFG 平面ACD ,AD OG //∴,==60BOG BAD ∠∠

因此,在 BD

上存在点G ,使得FG //平面ACD ,且点G 为 BD 的中点.……10分 连AG ,设AG 与平面ACD 所成角为α,点G 到平面ACD 的距离为h .

ACD S ?=

CE AD ??2

1=

7221?

?=7,OAD GAD S S ??==

322

1??=3,

∴由ACD -G V =AGD -C V ,得h ??

73

1=233

1??,得7

212=

h . …………12分

在AOG ?中,2==OG AO , 120=∠AOG ,由余弦定理得AG =32,…13分

AG

h =∴αsin =

7

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7.…………14分 (法二):证明:(1)如图,以AB 所在的直线为y 轴,以OC 所在的直线为z 轴,以O 为原点,作空间直角坐标系

xyz O -,则()0,20A ,-,()200,,C .

)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=AC

F 为 BC 的中点,∴点F 的坐标为(

0,

,)2,2,

0(=OF .

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2

O F AC ∴=

,即//O F A C .?OF 平面ACD ,?AC 平面ACD , ∴//O F 平面ACD . ………………3分

解:(2)60DAB ∠=

,∴点D

的坐标()

013,,D

-,0)AD =

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设二面角--C AD B 的大小为θ,()1,,n x y z =

为平面ACD 的一个法向量.

由110,0,n A C n A D ??=???=??

有()()(

))

,,0,2,20,,,00,x y z x y z ??=???=??

即220,

0.y z y +=??+=

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取1=x ,解得3-=y ,3=

z .1n ∴

=()

331,,-. ………………5分

取平面AD B 的一个法向量2n

=()100,,, …………………6分

12

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12cos 7

n n |n ||n |θ?∴===

?

.………8分

(3)设在 BD

上存在点G ,使得FG //平面ACD , //O F 平面ACD , ∴平面//OFG 平面ACD ,则有AD OG //.

设(0)O G AD λλ=>

,0)AD =

,)

0O G ,,λ∴= .

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又2O G =

,2∴=,解得1λ=±(舍去1-).

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)

10O G ,∴=

,则G 为 BD

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的中点. 因此,在 BD

上存在点G ,使得FG //平面ACD ,且点G 为 BD 的中点.……11分 设直线AG 与平面ACD 所成角为α

,0)(0,2,0)3,0)AG =--=

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根据(2

)的计算(11n =

为平面ACD 的一个法向量,

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1

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1sin cos(90)7

||||

AG n AG n αα?∴=-===

?

因此,直线AG 与平面ACD

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所成角的正弦值为7

. ……………………………14分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19.(本小题满分14分)

解:(1)由n

n n a a p a 2

12++?=,得

n

n n n a a p a a 11

2+++?

=. ……………………………1分

令1n n n a c a +=

,则1c a =,1n n c pc +=. 0≠a ,10c ∴≠,

p c c n

n =+1(非零常数),

∴数列}{

1

n

n a a +是等比数列. ……………3分

(2) 数列{}n c 是首项为a ,公比为p 的等比数列,

∴1

1

1n n n c c p

a p

--=?=?,即

1

1n n n a ap a -+=. ……………………………4分

当2n ≥时,2

3

1

2112

1

()()()1n n n

n n n n a a a a a ap

ap

ap a a a -----=

?

??

?=????

2

32

12

n n n a p

-+-=, ……………………6分

1a 满足上式, 2

32

1

*

2

,N n n n n a a

p

n -+-∴=∈. ………7分

(3)1221

2211()()n n n n n n n

n n

a a a ap ap a p

a a a --++++=

?=?=

, ∴当1=a 时,21

2n n n n

na b np

pa -+=

=. ………………8分

1321

12n n S p p n p

-∴=?+?++? , ①

2

3

21

21

1(1)n n n p S p n p

n p

-+=?++-?+? ②

∴当2

1p ≠,即1p ≠±时,①-②

得: 22

1

3

21

21

21

2

(1)

(1)1n

n n n n p p p S p p p

np np

p

-++--=+++-=

-- ,

即221

2

2

2

(1)

,1(1)

1n n n p p

np

S p p p

+-=

-

≠±--. …………………………11分

而当1p =时,(1)122

n n n S n +=+++=

, …………………………12分

当1p =-时,(1)(1)(2)()2

n n n S n +=-+-++-=-

.………………………13分

综上所述,221

222

(1)

,1,2(1)

,1,2(1), 1.(1)

1n n n n n p n n S p p p np p p p +?+=?

?

+?=-=-??

?--≠±?--? ……………………………14分 【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识,

考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想. 20.(本小题满分14分)

解:(1)依题意,设椭圆C 的方程为

222

2

1x y a

b

+

=.

1122PF F F PF 、、构成等差数列,∴1122

224a PF PF

F F =+==, 2a =.

又1c = ,2

3b ∴=.∴椭圆C 的方程为

2

2

14

3

x

y

+

=. ……………………4分

(2) 将直线l 的方程y k x

m =+代入椭圆C 的方程22

3412x y +=中,得

01248)34(2

2

2

=-+++m kmx x k

. ……………5分

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由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知,2222644(43)(412)0k m k m ?=-+-=, 化简得:2243m k =+. …………7分

设11d F M ==

,22d F M ==

, ……………9分

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(法一)当0k ≠时,设直线l 的倾斜角为θ, 则12tan d d M N θ-=?,

12

d d M N k

-∴=

22

1212

122

21()2

21

m d d d d S d d k

k

k --=

+=

=

+m m m m 181

4

322

+

=+-=

,………11分

22

43m k =+,∴当0k ≠时,3>

m ,33

43

131=+

>+

m

m ,32

当0=k 时,四边形12

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F M N F 是矩形,S =. ……………………………13分 所以四边形12F

M N F 面积S 的最大值为 ………………………………14分

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(法二)

22

2

2

2

2

2

122

2

2()2(53)1

1

m k k d d k k +++=+=

=

++,

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22

2

122

2

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3331

1

m k k d d k k -+=

=

=

=++

M N

∴=

=

=

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四边形12F M N F 的面积121()2

S M N d d =

+)(1

1212

d d k

++=

, …………11分

2

2

2

212

2212

2

)

1(12

16)2(1

1++=+++=

k

k d d d d k

S

12)21

1(

4162

2

≤-+-=k

. ………………………………………………13分

当且仅当0k =时,212,S S ==max S =

深圳市2013届高三第一次调研考试数学(理科)

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所以四边形12F M N F 的面积S 的最大值为 …………………………14分

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【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知

识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想. 21.(本小题满分14分)

解:(1)设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点,则有

22ln 2000-=+x bx x . (*) b x

x g +=

'2)( ,220

=+∴

b x . (**)

由(*)、(**)两式,解得0=b ,x x g ln 2)(=. ……………………………2分 由)()(x g x f ≥整理,得

x x x

a ln 2-≤,

1≥x ,∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立,必须x x x a ln 22-≤恒成立.

设x x x x h ln 2)(2-=,2ln 22)1(ln 22)(--=?

+-='x x x

x x x x h ,

x

x h 22)(-

='' ,∴当1≥x 时,0)(≥''x h ,则)(x h '是增函数,

0)1()(='≥'∴h x h ,)(x h 是增函数,1)1()(=≥h x h ,1≤a .…………………5分

因此,实数a 的取值范围是10≤

x x f 1)(-

=,

011)(2

>+

='x

x f ,)(x f ∴在]3,[e 上是增函数,)(x f 在]3,[e 上的最大值为3

8)3(=f .

要对]3,[e 内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

当3121====-k x x x 时不等式左边取得最大值,e x k =时不等式右边取得最小值. 2163

8)1(?≤?

-∴k ,解得13≤k .

因此,k 的最大值为13. ………………………………………10分 (3)证明(法一):当1=a 时,根据(1)的推导有,),1(+∞∈x 时,)()(x g x f >,

即)1(2

1ln x

x x -

<. ………………………………………………………11分 令121

2-+=

k k x ,得)1

2121212(21121

2ln

+---+<

-+k k k k k k ,

化简得1

44)12ln()12ln(2

-<--+k k

k k , ………………………………13分 ∑∑==-<

--+=

+n

i n i i

i

i i n 1

2

11

44)]12ln()12[ln()12ln(. ………………………14分

(法二)数学归纳法:当1=n 时,左边=

3

4,右边=3ln ,

根据(1)的推导有,),1(+∞∈x 时,)()(x g x f >,即x x

x ln 21>-.

令3=x ,得3ln 23

13>-

,即

3ln 3

4>.

因此,1=n 时不等式成立. ………………………………11分 (另解:2

5>

e ,2716

625)2

5

(4

4

>=

>∴e ,27ln 4>∴,即

3ln 3

4>.)

假设当k n =时不等式成立,即)12ln(1

441

2

+>-∑

=k i i k

i ,

则当1+=k n 时,1

)1(4)1(4)12ln(1

)1(4)1(41

441

442

2

1

2

1

1

2

-+++

+>-+++

-=

-∑

=+=k k k k k i i i i k

i k i ,

要证1+=k n 时命题成立,即证)32ln(1)1(4)

1(4)12ln(2

+>-+++

+k k k k ,

即证

1

232ln

1

)1(4)1(42

++>-++k k k k .在不等式x x

x ln 21>-中,令1

232++=

k k x ,得

1

)1(4)

1(4)32121232(211

232ln

2-++=++-++<

++k k k k k k k k . 1+=∴k n 时命题也成立. ………………………………………13分

根据数学归纳法,可得不等式)12ln(1

441

2

+>-∑

=n i i n

i 对一切*

N n ∈成立. …14分

【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识.

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