基本习题及答案量子力学
量子力学习题
(一) 单项选择题
1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.
2.1A 0. D. 2.5A 0
.
2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0
.
3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0
. B.1.9?1012
-A 0
.
C.1.17?10
12
-A 0. D. 2.0A 0
.
4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =3
2
(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是
A.8A 0
. B. 5.6A 0
. C. 10A 0
. D. 12.6A 0
.
5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ）
A.E n n = ω.
B.E n n =+()1
2
ω.
C.E n n =+()1 ω.
D.E n n =2 ω.
6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A.5.2A 0. B.
7.1A 0. C.
8.4A 0. D.
9.4A 0
.
7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0
的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为
A. 0.25?1018-J.
B. 1.25?1018-J.
C. 0.25?1016-J.
D. 1.25?1016-J.
8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为
A. 2μc .
B.
22μc . C. 22
2μc . D. 22μc . https://www.wendangku.net/doc/bc10115212.html,pton 效应证实了
A.电子具有波动性.
B. 光具有波动性.
C.光具有粒子性.
D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.
11.粒子在一维无限深势阱U x x a
x x a (),,,=<<∞≤≥???
000 中运动，设粒子的状态由
ψπ()sin x C x
a
= 描写，其归一化常数C 为
A.1a .
B.2a .
C.12a .
D.4a
.
12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为
A.δ()x .
B.δ()x dx .
C.δ2()x .
D.δ2()x dx .
13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为
A.ψ(,,)x y z dxdydz 2.
B.ψ(,,)x y z dx 2
. C.dx dydz z y x )),,((2
??ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)???2
.
14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222
ψψ+.
B. c c 112222ψψ++2*
121ψψc c .
C. c c 112
222
ψψ++2*1212ψψc c .
D. c c 112222
ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是
A.单值、正交、连续.
B.归一、正交、完全性.
C.连续、有限、完全性.
D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是
A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.
B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.
C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.
D. A, B, C. 17.已知波函数
ψ1=-+u x i Et u x i
Et ()exp()()exp() ,
ψ21122=-+u x i E t u x i
E t ()exp()()exp() ,
ψ312=-+-u x i Et u x i
Et ()exp()()exp() ,
ψ41122=-+-u x i E t u x i
E t ()exp()()exp()
.
其中定态波函数是
A.ψ2.
B.ψ1和ψ2.
C.ψ3.
D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则
A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.
B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.
C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.
D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实
数)
19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.
B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .
C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2
:1c . D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.
20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t i
px dp =?12π
的傅里叶变换式是
A. c p t x t i
px dx (,)(,)exp()=
?12π ψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*
=?12π
ψ. C. c p t x t i
px dx (,)(,)exp()=-?12π ψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*
=-?12π
ψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:
(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是 A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是
A.∑=ψ?=ψ2
1
212221),,(2),,(i i t r r t r r t i
μ??
),,(),,(2121t r r t r r U ψ+
B.∑=ψ?=ψ2
1212221),,(2),,(i i t r r t r r t
μ
??
),,(),,(2121t r r t r r U
ψ+
C. ∑=ψ?=ψ2
1212
221),,(2),,(i i i
t r r t r r t μ??
),,(),,(2121t r r t r r U ψ+
D.∑=ψ?=ψ2
1212
221),,(2),,(i i i
t r r t r r t i μ??
),,(),,(2121t r r t r r U
ψ+
23.几率流密度矢量的表达式为
A.
J =?ψ-2μ()**ψψ?ψ. B.
J i =?ψ-2μ()**ψψ?ψ. C.
J i =-?ψ2μ()**ψ?ψψ. D.
J =-?ψ2μ
()**ψ?ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为
A.
J =?ψ-2()**ψψ?ψ.
B.
J i =?ψ-2
()**ψψ?ψ.
C. J i =-?ψ2()**ψ?ψψ.
D.
J =-?ψ2
()**ψ?ψψ.
25. 电流密度矢量的表达式为
A.
J q =?ψ-2μ()**ψψ?ψ. B. J iq =?ψ-2μ()*
*ψψ?ψ. C. J iq =-?ψ2μ()**ψ?ψψ.
D. J q =-?ψ2μ
()**ψ?ψψ.
26.下列哪种论述不是定态的特点
A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.
B.几率流密度矢量不随时间变化.
C.任何力学量的平均值都不随时间变化.
D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.
27.在一维无限深势阱U x x a
x a
(),,=<∞≥???022中运动的质量为μ的粒子的能级为
A.πμ222
24 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a , D.πμ2222
32 n a
. 28. 在一维无限深势阱U x x a x a
(),,=<∞≥???0中运动的质量为μ的粒子的能级为
A.πμ222
22 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ2222
16 n a . 29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥???
022中运动的质量为μ的粒子的能级为
A.πμ222
22 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ2222
8 n b
. 30. 在一维无限深势阱U x x a x a
(),,=<∞≥???0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位
置几率分布最大处是
A.x =0,
B.x a =,
C.x a =-,
D.x a =2.
31. 在一维无限深势阱U x x a
x a (),,=<∞≥???0中运动的质量为μ的粒子处于第一激发
态，其位置几率分布最大处是
A.x a =±/2,
B.x a =±,
C.x =0,
D.4/a x ±=. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的 A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的.
C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为
A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω.
B.(),(,,,....)n n +=1012
ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012 ω. D.(),(,,,...)n n +=112
3 ω. 34.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-1221
2
2,其位置几
率分布最大处为
A.x =0.
B.x =±
μω
. C.x =
μω
. D.x =±
μω
.
35.线性谐振子的
A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.
B.能量和动量都是量子化的.
C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是
A.[]-+= 222
222
212
μμωψψd dx x E . B.[]--= 222
22
212μμωψψd dx x E . C.[] 222
22
212
μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子的能级为
A.- 2222e n s μ.
B.-μ22222e n s .
C.2
42n
e s
μ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为
A.r r R nl )(2.
B.22
)(r r R nl .
C.rdr r R nl )(2.
D.dr r r R nl 22
)(.
39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(?θlm Y . B. 2
),(?θlm Y . C. Ωd Y lm ),(?θ. D. Ωd Y lm 2),(?θ.
40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F
为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F
d F d =??. B.ψφτφψτ*
*
( )F d F d =??. C.( ) *
*
F d F d ψφτψφτ=??.
D. ***F d F d ψφτψφτ=?
?. 41. F
和 G 是厄密算符,则 A. FG
必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG
GF ( )+必为厄密算符. D. i FG
GF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 p
i x
x =- ?
?,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符.
43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)
A.1212/()/π .
B.12/()π .
C.1232/()/π .
D.122/()π
45.角动量Z 分量的归一化本征函数为
A.
12π? exp()im . B. )exp(21
r k i ?π
. C.12π?exp()im . D. )exp(21
r k i
?π. 46.波函数)exp()(cos )1(),(?θ?θim P N Y m l lm m lm -=
A. 是 L
2的本征函数,不是 L z
的本征函数. B. 不是 L 2
的本征函数,是 L z 的本征函数. C. 是 L
2、 L z
的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z
的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 48.氢原子能级的特点是
A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.
B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.
C.能级随量子数的增大而减小.
D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.
49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n 2,这种性质是 A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的. D.普遍具有的.
50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222
()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .
51.设体系处于ψ=--1232
31102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为
A.E E 321434,;,.
B.E E 32123
2
,;,-.
C.E E 32123
2
,;,. D.E E 323414,;,.
52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.
53. 接51题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为
A.01434,;,- .
B. 0143
4,;, .
C.01232,;, -.
D. 01232
,;,-- .
54. 接51题,该体系的角动量Z 分量的平均值为
A.14 .
B. -14 .
C. 34 .
D. -34 .
55. 接51题,该体系的能量的平均值为
A.-μe s 4218 .
B.-3128842μe s .
C.-2925642μe s .
D.-17724
2
μe s
.
56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为
A. k k ,-.
B. k .
C. - k .
D. 1
2
k .
57.接上题,体系的动量取值几率分别为
A. 1,0.
B. 1/2,1/2.
C. 1/4,3/4/ .
D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为
A.0.
B. k .
C. - k .
D. 1
2
k .
59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为
A.3252 ωω,.
B. 125
2 ωω,.
C. 3272 ωω,.
D. 125
2
ωω,.
60.接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为
A.2
321,c c . B. 2
32
12
1
c c c +,
2
3
2
12
3
c c c +.
C.
2
3
2
11c c c +,
2
3
2
13
c c c +. D. 31,c c .
61.接59题,该振子的能量平均值为
A. ω 2
3
212
3
215321c c c c ++. B. 5 ω. C. 92 ω. D.
ω 2
3212
3
2
17321c c c c ++. 62.对易关系[ ,()]p
f x x 等于(f x ()为x 的任意函数)
A.i f x '().
B.i f x ().
C.-i f x '().
D.-i f x ().
63. 对易关系[ ,exp()]p
iy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().
C.- exp()iy .
D.-i iy exp().
64.对易关系[, ]x p
x 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .
65. 对易关系[, ]L y
x 等于 A.i z
. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L z
y 等于 A.-i x
. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L z
z 等于 A.i x
. B. i y . C. i . D. 0. 68. 对易关系[, ]x p
y 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .
69. 对易关系[ , ]p
p y z 等于 A.0. B. i x . C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]L
L x
z
等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 71. 对易关系[ , ]L
L z
y
等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x . 72. 对易关系[ , ]L
L x
2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]L
L z
2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y
( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L p
x y 等于 A.i L z . B. -i L z
. C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x
等于 A.-i p
y
. B. i p y
. C.-i L y . D. i L y
. 76. 对易关系[ , ]L p z
y 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x
. 77.对易式[ , ]L x y 等于
A.0.
B. -i z .
C. i z .
D. 1. 78. 对易式[ , ]F
F m n 等于(m,n 为任意正整数) A. F
m n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]F
G 等于 A. FG
. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]F
c 等于(c 为任意常数) A.cF
. B. 0. C. c . D. F ?. 81.算符 F
和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是
A.( )( )??F G k 2
2
24≥. B. ( )( )??F G k 2224
≥. C. ( )( )??F G k 2224≥. D. ( )( )??F G k 222
4≥. 82.已知[ , ]x
p i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )??x p x 2
2
2
≥ . B. ( )( )??x p 2
2
2
4
≥ .
C. ( )( )??x p x 222
≥ . D. ( )( )??x p x 2224
≥ .
83. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y
的测不准关系是 A.( )( ) ??L L L x y z 222
2
4≥ .
B.( )( ) ??L L L x y
22
224≥ . C.( )( ) ??F
G L z 22224≥ . D.( )( ) ??F
G L 22224
≥ . 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是
A.[]-?+= 222
2μψψze r
E s
.
B. []-?+= 222
22μψψze r E s
.
C.[]-?-= 222
2μψψze r
E s
.
D.[]-?-= 22222μψψze r
E s
.
85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为
A.-μz e n s 22222
. B. -μ224
222z e n s .
C.-μze n s 2222 .
D. -μz e n
s 24
222 .
86. 在一维无限深势阱U x x a
x x a (),,,=<<∞≤≥???
000中运动的质量μ为的粒子,其状态为
ψππ=42a
a x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为
A.2
2
222229,2a
a μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , ,
C.323222222πμπμ a a ,,
D.52422222
2
πμπμ a a
, . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为
A.52222πμ a ,
B.2222πμ a ,
C.72222πμ a ,
D.522
2
πμ a
. 89.若一算符 F
的逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2.
90.如果力学量算符 F
和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F
和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F
和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.
C. F
和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.
D. F
和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.
91.一维自由粒子的能量本征值 A. 可取一切实数值. B.只能取不为负的一切实数. C.可取一切实数,但不能等于零. D.只能取不为正的实数.
92.对易关系式[ , ()]p
p f x x x 2等于 A.-i p
f x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i p
f x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符y
x L i L L ???±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.z
L
? . B.2 L z
. C.-2 L z
. D.z
L ? -. 94.接上题, 则[ , ]L L z
+等于 A. L +
. B. L z . C. -+ L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]L
L z
-
等于 A. L -
. B. L z . C. -- L . D. - L z . 96.氢原子的能量本征函数ψθ?θ?nlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=
A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.
B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.
C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.
D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψ
A.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.
B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.
C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.
D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.
98.对易关系式[ , ]FG
H 等于 A.[ , ] [ , ]F
H G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]F
G H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是
)'exp(21)('x p i
x P
πψ=,它在动量表象中的表示是
A.δ(')p p -.
B.δ(')p p +.
C.δ()p .
D.δ(')p .
100.力学量算符 x
对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x . 101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(2
2)(22)(21x x x ψψψ-=
,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是
A.??????? ?? 02/22/2.
B.??????? ?
?- 02/22/2.C.222200//?? ?
??????.D.222200//-?? ???
?
???. 102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是
A.??????? ?? 001.
B. ??????
?
?? 0
10. C. 1000?? ??????. D. 0100?? ???
???. 103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是
A.???????
? ??++ 0//2222b a b b a a . B. ??????? ??++0//02222b a b b a a . C. ????
??
?
?? 0
b a . D. 00a b ?? ???
???.
104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数φ=?? ??
???
22101,在该态中 L z 的平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.
105.算符 Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n
,则算符 (,)F x i x
??在 Q
表象中的矩阵元的表示是 A.F u x F x i x u x dx mn n m =?*()(,)() ?
?. B.F u x F x i x u x dx mn m n =?*()(,)() ?
?. C.F u x F x i x u x dx mn n m =?()(,)()*
??. D.F u x F x i x
u x dx mn m n =?()(,)()*
??. 106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是 A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B. 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵. D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.
107.力学量算符x ?在动量表象中的微分形式是 A.-i p x ??. B.i p x
??. C.-i p x 2??. D.i p x 2?
?.
108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是
A.p p 22222212μμω??+ .
B.p p 222
2
212μμω??-. C.2
2222212p
p ??μωμ -. D.--p p 222
2212μμω??. 109.在 Q 表象中F =?? ??
?0110,其本征值是
A. ±1.
B. 0.
C. ±i .
D. 1±i . 110.接上题, F 的归一化本征态分别为
A.22112211?? ???-?? ?
??,. B. 1111?? ???-?? ??
?,.
C.
12111211?? ???-?? ???,. D.22102201?? ????? ?
?
?,.
111.幺正矩阵的定义式为
A.S S +-=.
B.S S +=*.
C.S S =-.
D.S S *=-. 112.幺正变换
A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.
B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.
C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.
D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.
113.算符 ()( )/a
x i p =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]a a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.
114.非简并定态微扰理论中第n 个能级的表达式是(考虑二级近似) A.E H H E E n
nn mn n
m
m
()
()
()
''0200++-∑
. B. E H H E E n nn mn n
m
m
()
()
()
''
'0200++-∑.
C.E H H E E n
nn mn m
n
m
()
()
()
''
'02
00++-∑. D.E H H E E n
nn mn m
n
m
()
()
()
''02
00++-∑
.
115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的一级修正项为 A.H mn '. B.H nn '. C.-H nn '. D.H nm '.
116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级的二级修正项为 A.H E E mn n
m m
'()
()200-∑
. B. ''()()
H E
E mn
n
m
m
200-∑. C.
''()
()
H E
E mn
m
n
m
200-∑. D.
H E
E mn
m
n
m
'()()
2
00-∑.
117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为
A.H E E mn n
m m m '()()()
000-∑ψ.
B. ''()()()
H E E mn n
m m m 000-∑ψ.
C. ''()()()
H E E mn m
n m m 000-∑ψ.
D. H E E mn m
n m m '()()()
000-∑ψ.
118.沿x 方向加一均匀外电场
ε,带电为q 且质量为μ的线性谐振子的哈密顿为
A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε.
B. H d dx x q x =-++ 2222212
μμωε. C. H d dx x q x =-+- 2222212μμωε. D. H d dx x q x =-+- 22222212
μμωε. 119.非简并定态微扰理论的适用条件是
A.
H E E mk k
m
'()
()
001-<<. B.
H E E mk k
m
'()
()
001+<<.
C. H mk '<<1.
D. E E k m ()()
001-<<.
120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 的空间转子处于均匀电场
ε中,则该体系的哈密顿为
A.ε ?+=D I L H 2??2.
B. ε ?+-=D I
L H 2??2.
C. ε ?-=D I L H 2??2.
D. ε ?--=D I
L H 2??2.
121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为
A.ψψψn n nm n
m m m H E E =+-∑()()()()
''0000.
B.ψψψn n mn n
m m m H E E =+-∑()()()()
''0000.
C.ψψψn n mn m
n m m H E E =+-∑()()()()
''0000.
D.ψψψn n nm m
n m m H E E =+-∑()()()()
''0000.
122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于n =2的能级由原来的一个能级分裂为 A. 五个子能级. B. 四个子能级. C. 三个子能级. D. 两个子能级.
123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 的几率为
A.2
2
' )'exp('
1?t
mk mk
dt t i H ω .
B.
2
' )'exp(
'?t
mk mk
dt t i H ω.
C.2
02
')' exp(1?t
mk mk
dt t i H
ω
.
D.
2
' )'exp(?t
mk mk
dt t i H
ω.
124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是 A. 写出体系的哈密顿. B. 选取合理的尝试波函数.
C. 计算体系的哈密顿的平均值.
D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach 实验证实了
A. 电子具有波动性.
B.光具有波动性.
C. 原子的能级是分立的.
D. 电子具有自旋.
126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]S
S y
x
等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ
为Pauli 算符,则[ , ]σσx
z
等于 A.-i y σ
. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ.
128.单电子的自旋角动量平方算符 S
2的本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.12
2 .
129.单电子的Pauli 算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 130.Pauli 算符的三个分量之积等于 A. 0. B. 1. C. i . D. 2i .
131.电子自旋角动量的x 分量算符在 S z
表象中矩阵表示为 A. S x =?? ??? 21001. B. S i i x =-?? ??
? 200.
C. S x
=?? ??? 20110. D. S x =-?? ??
? 21001. 132. 电子自旋角动量的y 分量算符在 S
z
表象中矩阵表示为 A. S y =?? ??? 21001. B. S i y
=-?? ??
? 20110. C. S i i i y =-?? ??? 200. D. S i i y =?? ??
? 200. 133. 电子自旋角动量的z 分量算符在 S
z
表象中矩阵表示为 A. S z =?? ??? 21001. B. S z
=-?? ?
?
? 20110. C. S z =-?? ??? 21001. D. S i z =-?? ??? 21001. 134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ ,
] J J 212等于
A.
J 1. B. - J 1. C. 1 . D. 0 .
135.接上题, [ ,
] J J z 12等于
A. i J J x y
( )11+. B.i J z 1. C. J z 1. D. 0. 136.接134题, ]?
,?[12z J J 等于
A. i J
J x
y
( )11+. B.i J z
1. C. J z
1. D. 0. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 的可测值分别为
A.0, .
B. 0,- .
C. 22,.
D.
22,-.
138.接上题,测得s z 为
22,-的几率分别是
A.a b ,.
B. a b 22,.
C.a b 22
22/,/. D. a a b b a b 2
2
2
2
2
2
/(),/()++. 139.接137题, s z 的平均值为
A. 0.
B. )(2
2
2b a - .
C. )22/()(2
222b a b a +- . D. .
140.在s z 表象中,χ=?? ?
?
?3212//,则在该态中s z 的可测值分别为
A. ,-.
B. /,2.
C. /,/22-.
D. ,/-2. 141.接上题,测量s z 的值为 /,/22-的几率分别为
A.3212/,/.
B.1/2,1/2.
C.3/4,1/4.
D.1/4, 3/4. 142.接140题,s z 的平均值为
A. /2.
B. /4.
C.- /4.
D.- /2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是
A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.
B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.
C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.
D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.
144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数 A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性.
145.分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是
A. 0,1,2,3,4.
B.1,2,3,4.
C. 0,1,2,3.
D.1,2,3.
(二) 填空题
https://www.wendangku.net/doc/bc10115212.html,pton 效应证实了 。
2.Bohr 提出轨道量子化条件的数学表达式是 。
3.Sommerfeld 提出的广义量子化条件是 。
4.一质量为μ的粒子的运动速度远小于光速，其动能为E k ，其德布罗意波长为 。
5.黑体辐射和光电效应揭示了 。
6.1924年,法国物理学家De Broglie 提出了微观实物粒子具有 。
7.自由粒子的De Broglie 波函数为 。
8.用150伏特电压加速的电子，其De Broglie 波的波长是 。
9.玻恩对波函数的统计解释是 。
10.一粒子用波函数Φ(,)
r t 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。 11.描写粒子同一状态的波函数有 个 。 12.态迭加原理的内容是 。
13.一粒子由波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t i
px dp =
-∞
∞
?1
2π
描写，则
c p t (,)= 。 14.在粒子双狭缝衍射实验中，用ψ1和ψ2分别描述通过缝1和缝2的粒子的状态,则粒子在屏上一点P 出现的几率密度为 。 15.一维自由粒子的薛定谔方程是 。 16.N 个粒子体系的薛定谔方程是 。 17.几率连续性方程是由 导出的。 18.几率连续性方程的数学表达式为 。 19.几率流密度矢量的定义式是 。
20.空间V 的边界曲面是S ，w 和
J 分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量，
则???-=??V S
S d J dV t w
的物理意义是 。 21.量子力学中的质量守恒定律是 。 22.量子力学中的电荷守恒定律是 。 23.波函数应满足的三个标准条件是 。 24.定态波函数的定义式是 。
25.粒子在势场U r ()
中运动，则粒子的哈密顿算符为 。 26.束缚态的定义是 。 27.线性谐振子的零点能为 。 28.线性谐振子的两相邻能级间距为 。
29.当体系处于力学量算符 F
的本征态时,力学量F 有确定值，这个值就是相应该态的 。
30.表示力学量的算符都是 。 31.厄密算符的本征值必为 。
32.ψψτ p p
r r d '*()()?= 。 33.角动量平方算符的本征值为 。
34.角动量平方算符的本征值的简并度为 。 35.氢原子能级n =5的简并度为 。
36.氢原子的能级对角量子数l 简并，这是 场所特有的。
37.一般来说，碱金属原子的价电子的能级的简并度是 。 38.氢原子基态的电离能为 。 39.氢原子体系n =2的能量是 。
40.处于ψθ?200(,,)r 态的氢原子,其电子的角向几率分布是 。
41.厄密算符本征函数的正交归一性的数学表达式是 。 42.厄密算符属于不同本征值的本征函数 。
43.力学量算符 F 的本征函数系为{()}φn x ，则本征函数系{()}φn
x 的完全性是 。
44.当体系处于ψφ()()x c x n n n
=∑态时，其中{()}φn x 为 F
的本征函数系，在ψ()x
态中测量力学量F 为其本征值λn 的几率是 。
45.一力学量算符 F
既有分立谱又有连续谱，则 F 在任意态ψ()x 的平均值为 。
46.如果两个力学量算符有组成完全系的共同本征函数，则这两个算符 。
47.完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。
48.测不准关系反映了微观粒子的 。
49.若对易关系[ , ] A
B ic =成立，则 , A B 的不确定关系是 。 50.如果两个力学量算符对易，则在 中它们可同时具有确定值。
51.电子处于),(2
3
),(211110?θ?θ--Y Y 态中，则电子角动量的z 分量的平均值
为 。
52.角动量平方算符与角动量x 分量算符的对易关系等于 。 53. 角动量x 分量算符与动量的z 分量算符的对易关系等于 。
54. 角动量y 分量算符与坐标的z 分量算符的对易关系等于 。
55.=]?,?[y p y
。 56.粒子的状态由kx x cos )(=ψ描写，则粒子动量的平均值是 。
57.一维自由粒子的动量本征函数是 。 58.角动量平方算符的本征值方程为 。
59.若不考虑电子的自旋，描写氢原子状态所需要的力学量的完全集合是 。
60.氢原子能量是考虑了 得到的。 61.量子力学中， 称为表象。 62.动量算符在坐标表象的表达式是 。 63.角动量算符在坐标表象中的表示是 。
64.角动量y 分量的算符在坐标表象中的表示是 。
65.角动量z 分量的算符在坐标表象中的表示是 。 66.波函数)
,(t x ψ在动量表象中的表示是 。
67.在动量表象中，具有确定动量p '的粒子，其动量算符的本征方程是 。
68.已知 Q 具有分立的本征值{}Q n ，其相应本征函数为{()}u x n
，则任意归一化波函数ψ(,)x t 可写为ψ(,)()()x t a t u x n n n
=∑，则ψ(,)x t 在Q 表象中的表示
是 。
69.量子力学中 Q 的本征函数为{()}u x n
(n=1,2,3,...)有无限多, 称为Hilbert 空间。
70.接68题，力学量算符 (,)F
x i x
??在Q 表象中的矩阵元的数学表达式为 。
71.量子力学中，表示力学量算符的矩阵是 矩阵。
72.接68题,力学量算符 (,)Q
x i x
??在自身表象中的表示是 。
73.力学量算符在自身表象中的矩阵是 矩阵。
74.力学量算符 (,)F
x i x
??在坐标表象中的矩阵元为 。 75.幺正矩阵满足的条件是 。 76.幺正变换不改变力学量算符的 。 77.幺正变换不改变矩阵F 的 。
78.力学量算符 x
在动量表象中的微分形式是 。
79.坐标表象中的薛定谔方程是),()](2[),(2
2t r r U t r t i ψ+?-=ψμ
??，
它在动量表象中的表示是 。
80.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 。
81.非简并定态微扰理论中，能量二级近似值为 。 82.非简并定态微扰理论中，波函数的一级近似表示为 。
83.非简并定态微扰理论的适用条件是 。 84.Stark 效应是 。
85.氢原子处于弱电场
ε中，其体系的微扰哈密顿是 。
86.在微扰作用下，t 时刻由Φk 态到Φm 态的跃迁几率是 。
87.1925年，Ulenbeck 和Goudsmit 提出每个电子具有自旋角动量
S ，它在空间任何方向的投影只能取两个数值，即是 。 88.Stern-Gerlach 实验证实了 。
89.Pauli 算符 , σ
σx z 的反对易关系式是 。 90.自旋角动量算符的定义式为 。
91.自旋角动量算符 S x
在z S 表象中的矩阵表示是 。 92.自旋角动量算符 S
y
在z
S 表象中的矩阵表示是 。 93.自旋角动量算符 S z
属于本征值- 2
的本征函数 在S z 表象中的矩阵表示是 。
94.Pauli 算符 , σ
σx z 的积算符在z σ表象中的矩阵表示
量子力学教程课后习题答案
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
量子力学习题答案
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知：
22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? ＝（）＝＝ 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω = 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量，则:
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
量子力学课后答案第一二章
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
高等量子力学习题.
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
量子力学习题答案
量子力学习题答案
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中
量子力学课后习题答案
第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为
吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
量子力学教程课后习题答案高等教育
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学教程第二版答案及补充练习
第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学教程周世勋_课后答案
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学 第四版 卷一 习题答案
第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量
高等量子力学习题汇总
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
高等量子力学第一章习题
?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式
量子力学试题及答案
2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A
量子力学习题答案.
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数
（二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数
2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 ,
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