小学数学问题解决认知模型研究

小学数学问题解决认知模型研究

魏雪峰1，崔光佐2

（1.鲁东大学教育科学学院，山东烟台

264025；

2.北京师范大学知识工程研究中心，北京100875）

[摘

要]数学教育越来越关注学习过程，问题解决是小学数学教育的主要内容，分析问题解决认知过程有助于深入

理解学习过程，是提高问题解决能力的有效途径和数学教育的重要目标。本研究分析了已有数学问题解决模型，在波利亚（George Polya ）数学问题解决模型的基础上细化问题解决的每一阶段，结合小学儿童的心理特点，根据认知心理学、脑科学、认知神经科学等领域的研究成果，构建了小学数学问题解决的认知模型，并介绍了模型的特点、应用范围及教育意义，为进一步分析问题解决认知过程奠定了基础。

[关键词]小学数学；问题解决；认知模型[中图分类号]G434

[文献标志码]A

[作者简介]魏雪峰（1981—），男，山东莱芜人。讲师，博士，主要从事问题解决认知模拟研究。E-mail ：weixfeng@https://www.wendangku.net/doc/b014666804.html, 。

基金项目：教育部人文社会科学研究青年基金项目“小学数学问题解决认知过程模拟及学习障碍诊断与干预研究”（项目批准号：

12YJCZH213）；国家社会科学基金教育学一般课题“课堂交互产生学习结果的认知模型与仿真研究”（课题批准号：BCA100023）

一、引言《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，[1]义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，课程内容要符合学生的认知规律，不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法；学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程。数学教育越来越关注学习过程，问题解决是小学数学教育的主要内容，分析问题解决认知过程能深入理解学习过程，是提高问题解决能力的有效途径和数学教育的重要目标。如何分析问题解决认知过程是研究者关心的问题。

小学生因所处的思维发展阶段，所拥有的生活现实、数学现实及其他学科现实等因素，在问题解决过程中表现出独特认知规律和心理特征。本文以小学儿童心理特点为基础，在波利亚（George Polya ）数学问题解决模型的基础上构建了小学数学问题解决的认知模型，分析了模型的特点、应用范围，并以“众数”问题为例进行了分析，最后讨论了其教育意义。

二、已有数学问题解决模型

（一）国外相关研究

波利亚是著名数学家和数学教育家，是数学问题解决研究领域中的标志性人物，在其著作《怎样解题》（How to Solve It ）中提出了问题解决的四个步骤：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾。[2]波利亚的问题解决的四个步骤对数学教育的影响极其深远，目前数学教育界知名的问题解决专家，如基尔派特里克（Kilpatrick ）、匈菲尔德（Schoenfeld ）等都是在波利亚的工作基础上展开研究的。匈菲尔德（Schoenfeld ，

1985）强调数学解题的研究方向需要考虑四个因素：

知识基础、解题策略、自我控制及信念系统。

[3]

他研究

发现认知因素居于关键的地位。依据元认知的观点，他将问题解决过程区分为读题、分析、探索、计划、执行、验证等六个阶段。Lewis &Mayer （1986）指出，数学问题解决的两个重要成分就是问题表征和解决计划的执行。[4]Kintsch 和Greeno （1985）的模型的主要成分是一组知识结构以及在建构问题表征和解决问题时使用这些知识结构的一组策略。

[5]

［文章编号］1003-1553（79

DOI:10.13811/https://www.wendangku.net/doc/b014666804.html,ki.eer.2012.11.019

其他研究者也对数学问题解决过程进行了研究。如奥苏贝尔和鲁宾逊以几何问题为原型，提出了一个问题解决的模式，指出问题解决一般要经历四个阶段：呈现问题情境命题、明确问题的目标和已知条件、填补空隙、解答之后的检验。[6]梅耶认为，解答应用题的认知过程可以分为四个阶段：表征问题、综合问题、制定和调整解答计划、执行解答计划。[7]

（二）国内相关研究

喻平从解题的认知加工行为出发，将解决问题的阶段与相应的认知加工方式相对应，认为数学问题解决就是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程。[8]他把数学问题解决分为理解问题、选择算子、应用算子、结果评价四个阶段，与这四个阶段相对应的认知过程分别是：问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控。张庆林等人把小学数学应用题的认知过程分为三个阶段：表征问题、解答问题、思路总结。[9]

（三）评述

小学数学问题解决过程已有大量研究，取得了较大成就，但也有很多问题需要进一步的探讨。

（1）心理学把问题解决的过程划分成不同的阶段，划分比较粗略，虽然有些模型（如Grick、喻平等人的模型）针对问题解决的阶段分析了对应的认知加工方式，但这些模型没有考虑小学生的认知特点，对每个阶段的认知过程分析和研究还不够深入。

（2）心理学针对问题解决的某一环节进行了深入研究，如问题表征、问题图式等，并没有完全揭示问题解决的整个认知过程，需要对整个问题解决过程进行全面的分析和研究。

（3）针对问题解决认知过程的分析，仅是为了“分析而分析”，很少考虑认知过程分析对教学的帮助。

三、认知模型的构建基础

（一）认知模型的概念

认知模型（Cognitive Model）这一术语起源于计算机科学领域，被定义为模拟人类问题解决和心理任务处理。在许多研究中[10][11][12][13][14][15][16]认知模型这一术语在认知心理学中用来简化描述人的问题解决，往往被认为是与人的认知加工过程相一致的计算模型。Ericsson&Simon研究表明，认知模型已有效地预测和解释了许多问题解决行为的信息处理程序。[17]通过以上分析看出：（1）认知模型是实际发生的认知过程的抽象和概括；（2）认知模型能有效预测和解释问题解决行为。本论文中认知模型指的是认知分析框架。

（二）小学儿童的心理特点

1.小学儿童思维发展特点

小学儿童思维的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但这种抽象逻辑思维在很大程度上，仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。[18]皮亚杰（Piaget,J.）也认为7~12岁儿童的思维属于具体运算阶段。在整个小学阶段，教学的直观性是引起儿童注意的重要条件。“数数”解题过程中“掰手指”，突出了“对象感知”在小学儿童解题过程中的作用。

2.小学儿童内部语言的发展特点

皮亚杰是第一位关注儿童自我中心言语并看到它的理论意义的人，维果斯基（Vygotsky,L.）对自我中心言语（Egocentric Speech）与内部言语（Inner Speech）进行了区分，认为自我中心言语是发生于内部言语之前的一个阶段，两者功能相似、结构相似，自我中心言语在学龄阶段消失，这时内部言语开始发展起来。内部言语是一种自主的言语功能（Autonomous Speech Function），是言语思维的一个独特侧面（Distinct Plane）。[19]学前晚期儿童已初步表现出内部语言的萌芽，但还不够突出。初入学的儿童还和学前儿童差不多，学龄初期儿童的内部言语是在学前期言语发展的基础上，在学校教学的条件下逐步发展起来的。

内部语言被认为是思维的关键路径，[20]不仅伴随着儿童的活动，还与儿童的思维紧密地联结。数学问题解决是一种思维活动，维果斯基关于内部言语的研究为问题解决过程中的检查反思提供了依据。学习科学已经反复证明了反思在深层理解学习中的重要性。认知神经科学研究中Wilson等人使用功能性磁共振成像（Functional Magnetic Resonance Imaging，fMRI）数据证明了内部言语回路激活区域。[21]

3.小学儿童记忆发展特点

实验研究表明：7、8岁儿童的记忆能力和学前儿童比较起来，差别不大。[22]有意识记和抽象逻辑识记初步发展，无意识记和具体形象识记仍然占有主要地位。随着儿童进入小学阶段学习，有意识记、抽象逻辑识记、理解的识记逐渐占有主导地位。

在小学阶段，教师的任务在于使儿童掌握充分的具体的实际材料，并且从这些具体的实际材料出发，不断发展儿童的词的抽象记忆，从而使感性认识上升到理性认识。小学儿童知识经验不丰富，擅长具体形象的记忆。小学数学课程标准中规定的基本知识大部分是具体的知识以及和具体知识有密切联系的一些

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抽象知识。

关于小学儿童短时记忆，钱含芳等人对数字记忆广度的研究发现，小学一、三年级记忆广度成绩差异非常显著，三、五年级差异不显著。由此认为，7~9岁是儿童短时记忆容量迅速发展的时期。[23]陈国鹏等人研究发现，在小学阶段，随着年龄的增长，记忆广度的发展呈上升趋势。[24]与短时记忆相比，工作记忆（Working Memory）更强调信息存储基础上的动态处理与加工。李德明等人研究表明，无论是数字工作记忆还是言语工作记忆，都随着年龄（或年级）的增长而发展，到高二年级以后发展速度基本趋缓。[25]

4.认知神经科学中的小学儿童数学认知研究

认知神经科学（Cognitive Neuroscience）旨在阐明认知活动的脑机制，即人类大脑如何调用各层次上的组件，包括分子、细胞、脑组织区和全脑去实现自己的认知活动，[26]是在认知科学和神经科学基础上发展起来的新兴交叉学科。认知神经科学研究中常用的方法有脑磁图（Magnetoencephalography，MEG）、正电子发射断层扫描（Positron Emission Tomography，PET）和功能性磁共振成像（Functional Magnetic Resonance Imaging，fMRI）。Poldrack指出，利用这些技术对大脑神经活动进行脑功能成像分析，获得有关认知活动脑机制的可靠证据，使研究结果具有科学性。[27]认知神经科学领域的许多研究者关注小学儿童数学认知的研究，探讨数学认知的基本加工与脑机制研究，力图揭示有效数学学习的大脑活动模式。关于加法和乘法的大脑激活模式，周新林等人研究发现，加法运算可能更多依靠视觉空间加工的参与，而乘法运算则可能与语言加工相关。[28]周新林等人通过分析被试乘法和加法问题时的脑电，比较了乘法和加法的差异模式发现，乘法有更多的语言加工，而加法有更多的与视觉表象加工相关的活动。[29]秦裕林等人采用信息加工分析和认知神经科学技术有效结合的方法，研究考察了正在学习解方程的11~14岁儿童解方程过程。[30]Kaufmann等人研究发现，儿童在进行数的比较任务时激活了那些涉及抓握和手指移动的区域，即左侧缘上回和中央后回，表明儿童可能靠扳手指头来比较数的大小。[31]

此外，纽厄尔和西蒙提出的人类及计算机问题解决模型可被称之为问题解决模型的模型，[32] Baddeley[33][34]的工作记忆模型为本研究中模型的构建提供了基础。

5.启示

综上所述，小学时期儿童思维以具体形象思维为主，尤其是小学低年级的儿童，在学习概念、基本操作

过程中以实物为主，长时陈述性记忆中以具体形象内

容为主。小学儿童内部语言的发展，为解题过程中检

查、反思提供了理论基础。认知神经科学利用相关技

术对大脑神经活动进行脑功能成像分析，获得有关数

学认知活动脑机制的可靠证据，提高了研究的科学

性。然而认知神经科学和信息加工分析是在不同层次

上讨论认知过程，两者互相促进，神经科学的数据能

为认知模型提供依据，而认知模型则能为神经科学的

数据提供解释。

四、小学数学问题解决认知模型

（一）认知模型

基于以上分析，构建了小学数学问题解决认知模

型（A Cognitive Model of Mathematical Problem solving，CMMPS），如图1所示。

图1小学数学问题解决认知模型

1.信息流程

问题解决可以被看成一个过程，下面介绍其信息

流程。

（1）从对象感知到短时记忆。学习者看到或听到

问题接受刺激，经过对象感知编码成神经信息。这种

对象感知的成分必须成为注意的对象才能持续较长

一段时间，注意的对象进入到短时记忆中。

（2）从短时记忆到工作记忆。短时记忆的容量是

有限的，对于成人来讲，平均为7±2个项目。[35]小学儿

童的短时记忆容量比成人小，随着年级的增长发展迅

速，高二时逐渐稳定。若是新对象，则直接进入到工作

记忆中。

（3）从短时记忆到长时陈述性记忆。若感知到的

不是新对象，则激活长时陈述性记忆中的相关内容，

进入到工作记忆中。

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（4）长时陈述性记忆。长时陈述性记忆是学生先前学会的知识，以有意义的命题，[36]或是复杂的涉及概念层次关系的编码形式存储。[37]长时记忆中的编码材料是语义的，或按意义组织的。长时陈述性记忆中储存的内容是永久性的，随着时间的流逝不会有损失。[38]有时会因为新旧内容之间的干扰阻碍信息的提取。小学儿童长时陈述性记忆以具体形象记忆为主。

（5）长时程序性记忆。长时程序性记忆是学生先前学会的一系列规则，以产生式规则的形式存储，包含简单规则（如“数数”规则）和复杂规则（如“一元一次方程”解题规则）。

（6）提取。提取包括长时陈述性记忆的提取和长时程序性记忆的提取，提取过程需要某些线索。学生在读题过程中，熟悉的字、词激活长时陈述性记忆中的相关对象，相关对象被提取到工作记忆中。解题过程中，会提取长时程序性记忆中的产生式规则，如两位数相加运算过程中，会提取一位数相加的规则、进位规则等。

（7）工作记忆。工作记忆中的内容是当前激活的对象，以言语信息和图像信息的形式存在，包含有学习者已有的知识经验和学习的新材料。工作记忆中可能使学习者已有的知识经验和要学习的新材料相结合。如，在讲解“众数”概念时，学生工作记忆中已经有“出现次数最多的数”，但还不知道这个数的名称，教师告诉学生“众数”，此时“众数”与“出现次数最多的数”相结合，产生新的规则，学习发生。

（8）工作记忆到目标。工作记忆中问题的信息与已有图式关联，实现问题表征，问题表征的结果是理解了问题包含的信息，确定目标。

（9）从目标到长时程序性记忆。目标引导问题解决的过程，确定目标后会激活长时程序性记忆中的产生式。

（10）从解题策略到产生式规则。问题解决过程中激活的产生式规则可能不止一个，在解题策略的指引下选择其中的一个产生式执行。

（11）问题情境。问题情境有助于学生确定问题目标、选择解题策略。相似的问题情境能够帮助学习者从先前的学习中回忆出某些特殊的规则，进而找到一个适合这一情境的规则。例如，在讲解“众数”概念时，引入“过生日”这一学生熟悉的情境以及“班主任”这一特殊角色，有助于学生回忆“选取过生日人数最多的月份”这一规则。儿童面对新的问题情境，比解决相似问题情境时需要经历更为复杂和广泛的搜索过程，新的问题情境需要学习的迁移。

（12）从产生式规则到操作。执行产生式规则，产生可以外部观察的活动模式，例如，在纸上写出解题过程，或说出解题的思路等。

（13）反思。解题时会存在这样的情况，随着解题过程的深入，会不断修改和校正。即使在解题完成后，也会对整个的解题过程检查，这些都是反思的外部表现。

（14）知识巩固。激活次数越多的对象，越容易巩固或强化。知识巩固过程满足Hebb定律，“同时激活，同时联结，激活越多，联结越强”。知识巩固的结果在长时记忆中增强了相关对象的联结，使学习长期有用。

（15）自动化。问题解决是一个过程，经历这一过程，学生学会由先前习得产生式规则所形成新的“组块”，这一“组块”可以解决新的问题，如：在初次学习异分母相加时，会激活产生式规则：①异分母相加→通分；②通分→求最小公倍数；③求最小公倍数、两数为互质数→两数相乘，经过一段时间的学习，以上3个产生式规则会组合成一个新的产生式规则：异分母相加、分母为互质数→最小公倍数为两数之积。这是一个自动化的过程，结果是产生了“高级规则”，能够容易解决相似的其他问题。

（16）信息流程小结。学习者看到或听到问题接受刺激，经过对象感知编码成神经信息。这种对象感知的成分必须成为注意的对象才能持续较长一段时间，注意的对象进入到短时记忆中。若是新对象，则直接进入到工作记忆中。若感知到的不是新对象，则激活长时陈述性记忆中的相关内容，进入到工作记忆中。工作记忆中的内容是当前激活的对象，以言语信息和图像信息的形式存在，包含有学习者已有的知识经验和学习的新材料。工作记忆中可能使学习者已有的知识经验和要学习的新材料相结合。工作记忆中问题的信息与已有图式关联，实现问题表征，问题表征的结果是理解了问题包含的信息，确定目标。目标引导问题解决的过程，确定目标后会激活长时程序性记忆中的产生式。激活的产生式规则可能不止一个，在解题策略的指引下选择其中的一个产生式执行。执行产生式规则，产生可以外部观察的活动模式，例如，在纸上写出解题过程，或说出解题的思路等。解题时会存在这样的情况，随着解题过程的深入，会不断修改和校正。即使在解题完成后，也会对整个的解题过程检查，这些都是反思的外部表现。当新的问题解决时，一个高级规则就获得了。

2.模块化表示

为了直观地描述问题解决的认知过程，认知模型可以简化为以下六个模块：（1）视觉模块（Visual

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Module）：保留问题的表征，包括对象感知、编码部分。如表征问题“1/3+2/5＝？”。（2）产生式模块（Production Module）：问题表征激活记忆中的规则，包括短时记忆、工作记忆、产生式规则部分。（3）提取模块（Retrieval Module）：从长时记忆中提取相关信息，包括长时陈述性记忆、长时程序性记忆部分。如长时陈述性记忆中的事实：5+6=11，1×5=5，2×3=6等。（4）目标模块（Goal Module）：记录或跟踪问题解决过程中当前的目的或意图，包括问题情境、目标部分。如求异分母相加问题中的通分策略等。（5）问题状态或问题空间模块（Problem State Module，也称为Imaginal Module）：也称为问题的当前心理表征，包括解题策略部分。如将问题原始状态1/3+2/5转换为5/15+6/ 15。（6）输出模块（Manual Module）：输出结果，包括操作、运算部分。如：1/3+2/5＝11/15。

问题解决过程并非依次经历所有模块，模块之间的信息流动是非线性的。

3.认知矩阵

认知模型可以用N×6认知矩阵（Cognitive Matrix）的形式来表示，如表1所示。其中，左侧的数字表示行号，每行代表认知逻辑步骤（Cognitive Logic Step），并非实际执行的步骤，最后一行表示认知结束。每列的内容表示问题解决过程中某一模块的内容。

表1认知矩阵

4.问题解决的各个阶段描述

小学数学问题解决过程分为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾等四个阶段，每个阶段的认知过程分析如下：（1）理解题目。学生看到问题后，经对象感知、编码后，激活长时陈述性记忆中的知识，小学时期儿童思维以具体形象思维为主，长时陈述性记忆中以具体实物为主，尤其是低年级的儿童；根据问题情境和已有知识在大脑中形成一定的图式，实现理解题目。理解题目的结果是能确定问题中未知量是什么，已知数据是什么，条件是什么，目标是什么。（2）拟定方案。从理解题目到拟定方案是一个复杂曲折的过程。长时陈述性记忆中激活的内容，在目标的监管下，找出已知量和未知量之间的联系，或回忆以前求解过的类似的问题，最终得到一个解题方案。如果长时陈述性记忆中关于该问题的知识很少，则很难产生一个好的思路，如果没有任何知识，则完全不可能产生思路。好的思路来源于儿童过去的经验和以前获得的知识。（3）执行方案。根据拟定的解题方案，工作记忆中的对象激活长时程序性记忆中的产生式规则，激活的规则可能有多个，但在同一时间，只能执行一条产生式规则。产生式规则执行的结果输出为运算或操作，构成了问题的答案。（4）回顾。有利于工作记忆中的内容巩固到长时陈述性记忆中，多个产生式规则自动化为一个产生式规则，并巩固到长时程序性记忆中。反思解题过程，检验结果是否正确，整理解题思路，培养解题能力。

（二）认知模型的特点

认知模型以小学儿童思维特点为基础，考虑小学数学的学科规律，具有以下特点：（1）突出问题情境的重要性。小学生抽象知识少，解题过程中理解问题情境非常重要，问题情境能帮助学生理解问题，将应用问题转换为计算问题，计算问题对学生来讲较为简单，很容易正确解答。问题情境的设置要与学生的实际生活相关。（2）长时陈述性记忆中内容较少，且以感知的、具体实物的知识为主，随着年级的增长，抽象知识逐渐增多。（3）长时程序性记忆中低年级学生关于解题策略和步骤的内容非常少，在解题过程中不断增加。（4）产生式规则集合中，小学低年级数学问题主要是简单的产生式规则，随着年级的增长和所学知识的丰富，一些简单的产生式规则形成“组块”，产生一个新的产生式规则，保存在长时程序性记忆中。（5）强调了解题过程中记忆或知识的巩固。工作记忆中的内容经过一段时间巩固到长时记忆中，[39][40]处于激活状态的新的、再次激活的记忆，经过一段时间会巩固为稳定的、非激活状态。[41]（6）问题解决认知过程细化，可用于诊断，也可解释自动化的情况。

（三）认知模型的几点说明

1.认知模型从记忆水平上描述问题解决的思维过程

模型虽然描述的是问题解决的思维过程，但是在认知水平上构建，这样可以从记忆水平上对思维过程进行更详细的解释，为教学提供更具体的、可操作的、方法层面的指导。

2.解题过程是一个非线性的过程

解题过程中可能会发生这样的事情，学生可能想出了一个非常好的解题思路，而且跳过了所有的准备步骤直接得到了该题目的解答，没有经历认知模型中的阶段。但是如果学生忽略了问题解决中的某一个阶段而没有一个好的想法，则很难正确解答问题。如果

Visual Production Retrieval Goal Imaginal Manual

1

2

……

N

83

学生还没有理解问题就开始计算，则不会正确解答问题。在执行方案的过程中，如果学生检查每一个步骤，就能避开很多错误。如果学生不去重新检查或再一次考虑所完成的解答，可能会失去某些最好的效果。问题解决可能会因为学生个体知识和问题本身的不同而表现出不同的过程。

3.认知模型中并没有考虑学生的“意愿”、“意志力”等情感因素在解题过程中的作用

在解题过程中，只理解题目是不够的，学生还需要有解题的意愿。如果学生没有强烈的解题愿望，解题过程中遇到困难时可能会放弃，不可能解出一道难题，只有具备这样的愿望，才有可能正确解答问题。情感因素在问题解决过程中的作用非常复杂，不是本研究关注的问题。

（四）实例

“众数”是小学五年级下册第六单元“统计”中的知识点，[42]教学目标是让学生理解、掌握“众数”概念，是陈述性知识的典型问题。研究过程中，设计了以下问题：

学校同意我们五（六）班明年要举办一次生日庆祝活动。但只能给某月出生的同学庆祝。如果你是班主任：

a.你会如何选择？

b.你觉得选哪个月比较合适？

应用认知模型对“众数”的问题解决认知过程分析，分析过程描述如下：学生看到问题后，经过视觉（Visual）模块对文本编码，激活提取（Retrieval）模块中长时陈述性记忆中的相关语义知识，确定问题目标（Goal）为“选哪个月比较合适？”。学生根据题目中给出的“过生日”情境和“班主任”角色（公平，要照顾到大多数同学），激活产生式（Production）模块中的规则“选一个月给学生过生日、班主任角色?选过生日最多的月份”。目标（Goal）转换为“哪个月过生日的人最多？”，要确定“哪个月过生日的人最多？”问题状态（Imaginal）转换为“统计每个月过生日的人数”，之后激活产生式（Production）模块中已有的“统计”规则。“统计”完成后，问题状态（Imaginal）转换为“比较每个月过生日的人数”，激活产生式（Production）模块中已有的“比较数的大小”规则，进而确定“人数最多的月份”。输出（Manual）模块中的内容为“人数最多的月份”，即回答了问题“你觉得选哪个月比较合适”，问题解决过程结束。以上描述的是认知逻辑步骤（Cognitive Logic Step），并非与实际的解题步骤完全一致。

通过“众数”问题解决认知过程分析发现：

（1）在求“众数”的过程中，需要统计、数数等程序性知识（Retrieval模块中的内容），这些知识学生都已学过，即可以从长时程序性记忆中提取。若已学知识掌握不牢，会导致计算错误。

（2）“众数”是一抽象概念，所需知识学生都已学过，如何联系学生生活实际，创设问题情境是关键。问题中“过生日”是小学生熟悉的情境，而且赋予“班主任”角色，考虑到这一角色所体现的公平，引导学生自己经历“众数”概念产生的过程。

五、认知模型对数学教学的启示

小学数学问题解决的认知模型对教学过程中问题设计、认知诊断及教学干预具有重要意义。

1.认知模型是研究学生数学学习过程的一种有效手段。问题解决是一个复杂的过程，心理学、认知科学、认知神经科学都对该领域进行了研究，但因为视角不同，都无法也不可能对问题解决的实际过程详细描述。问题解决的认知过程无法直接获取，通过构建认知模型来分析问题解决过程，是研究学习过程的一种方法。

2.通过模型可以看出，问题解决由几个阶段所构成，每个阶段包含有若干个内部加工的过程。要产生一定的学习结果，在设计问题时应依内部加工过程为根据。例如：设计问题时，应考虑小学生的认知特点，突出问题情境与学生生活实际相联系。

3.诊断解题过程中出现的问题，并提供干预，确保学习发生。对于解题结果，不能以简单的“对”或“错”来判断，通过认知模型分析导致解题错误的内部过程，并通过适当的问题来引导学生自己正确解答。例如在“众数”概念学习时，提供“过生日”情境和“班主任”角色来引导学生自己得出“过生日人数最多的月份”这一规则。

4.解释问题解决行为，预期学习结果。认知模型能够分析问题解决的内部加工过程，根据内部过程推断长时陈述性记忆和程序性记忆的激活情况，解释学生问题解决行为，预期学生学习结果。

六、总结与展望

本文分析了已有问题解决模型，在波利亚数学问题解决模型的基础上，细化问题解决的每一阶段，结合小学儿童的心理特点，根据认知心理学、脑科学、认知神经科学等领域的研究成果，构建了小学数学问题解决的认知模型，介绍了模型的特点、应用范围，并以“众数”问题为例进行了分析，最后讨论了其教育意

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[参考文献]

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京:北京师范大学出版社，2011：3.[2][美]G.波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天译.上海：上海科技教育出版社，2007：79.[3]Schoenfeld,A.H..Mathematical Problem Solving [M].Orlando,FI:Academic Press,1985.

[4]Mayer Richard E..Mathematics [A].In R.F.Dillon &R.J.Sternberg (Eds.).Cognition and Instruction [C].Orlando:Academic Press ，

1986：127~154.

[5]Kintsch,Walter.&Greeno,James G..Understanding and Solving Word Arithmetic Problems [J].Psychological Review ，1985，92（1）：

109~129.

[6]Ausubel,D.P.&Robinson,F.G..School Learning [M].New York:Holt,Rinehart and Winston ，1969.[7]Mayer,https://www.wendangku.net/doc/b014666804.html,cational Psychology:A Cognitive Approach [M].Boston:Little,Brown ，1987.[8]喻平.数学学习心理的CPFS 结构理论[M].南宁:广西教育出版社,2008:150.

[9]张庆林，管鹏.小学生表征应用题的元认知分析[J].心理发展与教育，1997，（3）：11~14.

[10]Anderson,J.R.,Qin,Y.,Sohn,M.H.,Stenger,V.A.,&Carter,C.S..An Information-Processing Model of the BOLD Response in

Symbol Manipulation Tasks[J].Psychonomic Bulletin &Review ，2003，10：241~261.

[11]Baddeley,A.D.,&Logie,R.H..Working Memory:The Multiple-Component Model[A].In A.Miyake &P.Shah (Eds.),Models of work -ing Memory:Mechanisms of Active Maintenance and Executive Control[C].Cambridge,UK :Cambridge University Press,1999：28~61.[12]Ericsson,K.A.,&Simon,H.A..Protocol Analysis:Verbal Reports as Data [M].Cambridge,MA :MIT Press ，1993.

[13]Healy,A.F.(Ed.).Experimental Cognitive Psychology and Its Applications [M].Washington,DC :American Psychological Associa -tion,2005.

[14]Kalchman,M.,Moss,J.,&Case,R..Psychological Models for the Development of Mathematical Understanding:Rational Numbers

and Functions [A].In S.M.Carver and D.Klahr (Eds.).Cognition and Instruction:Twenty-Five Years of Progress [C].Mahwah,NJ :Lawrence Erlbaum Associates,2001.1~38.

[15]Newell,A.,&Simon,H.A..Human Problem Solving [M].Englewood Cliffs,NJ :Prentice Hall,1972.

[16]Siegler,R.S..Models of Categorization:What Are the Limits?[A].In L.Gershkoff-Stowe and D.Rakison (Eds.).Building Object Cate -gories in Developmental Time [C].Mahwah,NJ :Lawrence Erlbaum Associates ，2005：433~439.

[17]Ericsson,K.A.,&Simon,H.A..Protocol analysis:Verbal Reports as Data.Cambridge[M].MA :MIT Press,1993.[18]朱智贤.儿童心理学[M].北京:人民教育出版社,2009：307.

[19][俄]列夫·维果斯基.思维与语言[M].李维译.北京：北京大学出版社，2010：175.

[20]Zoltan Torey.The Crucible of Consciousness:An Integrated Theory of Mind and Brain[M].Cambridge ：MIT Press,2009.

[21]Stephen M Wilson,etc.Listening to Speech Activates Motor Areas Involved in Speech Production [J].Nature Neuroscience ，2004，（7）：

701~702.

[22]朱智贤.儿童心理学[M].北京：人民教育出版社，2009：292.

[23]钱含芳，张履祥，李山川.小学儿童短时记忆发展特点的初步研究[J].心理科学，1989，（1）：12~16.[24]陈国鹏，王晓丽.短时记忆及其策略一生发展的横断研究[J].心理科学，2005，（4）：812~815.

[25]李德明，刘昌，李贵芸.数字工作记忆广度的毕生发展及其作用因素[J].心理学报，2003，35（1）：63~68.[26][美]Gazzaniga,M.S.认知神经科学[M].沈政译.上海：上海教育出版社，1998：3~15.

[27]Poldrack,R.A..The role of fMRI in cognitive neuroscience:Where do we stand?[J].Current Opinion in Neurobiology ，2008，18（2）：

223~227.

[28]Zhou Xinlin,Chen Chuansheng et al..Dissociated Brain Organization for Single -digit Addition and Multiplication [J].NeuroImage ，

2007，35（2）：871~880.

（下转第114页）

义。认知模型的构建是一项基础工作，为进一步分析问题解决认知过程提供了依据，如何将认知模型应用

到问题设计、课堂教学及问题诊断等教学实践领域，需要进一步研究。

85

（上接第85页）

[29]Zhou Xinlin,Chen Chuansheng et al..Event-Related Potentials for Simple Arithmetic in Arabic Digits and Chinese Number Words:A

Study of the Mental Representation of Arithmetic Facts Through Notation and Operation Effects [J].Brain Research ，2009，1302（20）：212~224.

[30]Qin Y.,Anderson,J.R.,Silk,E.,Stenger,V.A.,&Carter,C.S..The Change of the Brain Activation Patterns Along With the Chil -dren ’s Practice in Algebra Equation Solving [J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America ，2004，101（15）：5686~5691.

[31]Kaufmann,L.,Vogel,S.E.,Wood,G.,Kremser,C.,Schocke,M.,Zimmerhackl,L-B,Koten,Jan w..A Developmental fMRI Study of

Nonsymbolic Numerical and Spatial Processing [J].Cortex ，2008，44（4）：376~385.

[32]Newell,A.&Simon,H.A..Human Problem Solving[M].Englewood Cliffs,NJ:Prentice Hall ，1972.[33]Baddeley,A.D..Working Memory [M].Oxford:Oxford University Press ，1986.

[34]Baddeley,A.D.,&Logie,R.H..Working Memory:The Multiple-Component Model[A].In A.Miyake &P.Shah(Eds.).Models of Work -ing Memory:Mechanisms of Active Maintenance and Executive Control[C].Cambridge,UK ：Cambridge University Press ，1999：28~61.[35]Miller,G.A.The Magical Number Seven,Plus or Minus Two:Some Limits on Our Capacity for Processing Information [J].Psychologi -cal Review ，1956，63：81~97.

[36]Anderson,J.R.,and Bower,G.H.Human Associative Memory [M].Washington,D.C.:V.H.Winston ，1973.

[37]Quillian,M.R.Semantic Memory [A].In M.Minsky (Ed.),Semantic Information Processing[C].Cambridge,Mass:MIT Press ，1968.[38]Adams,J.A.Human Memory[M].New York:McGraw-Hill ，1967.

[39]Glickman,S.Perseverative Neural Processes and Consolidation of the Memory Trace[J].Psychol.Bull.，1961，58：218~233.[40]McGaugh,J.L.Time-Dependent Processes in Memory Storage[J].Science ，1966，153：1351~1358.

[41]Karim Naderl,Oliver Hardt.A Single Standard for Memory:the Case for Reconsolidation [J].Nature Reviews Neuroscience ，2009，

（10）：224~234.

[42]课程教材研究所.义务教育课程标准实验教科书,数学,五年级下册[M].北京：人民教育出版社，2006：122.

[9][16]徐公美.电影发达史[M].上海：商务印书馆，1938：47～48，54.

[10]周剑云.影戏概论[A].徐公美电影发达史[M].上海：商务印书馆，1938：46.[11]章柏青.中国电影·电视[M].北京：文化艺术出版社，1999：10.

[13]程季华.中国电影发展史（第一卷）[M].北京：中国电影出版社，1998：30.[14]徐耻痕.中国影戏大观[M].上海：大东书局，1927：25.

[15]赵惠康，贾磊磊.中国科教电影史[M].北京：中国电影出版社，2005（1）：13.[17]陆宏石.中国电影史[M].北京：高等教育出版社，2006：12.

[18][20][21]彭骄雪.民国时期教育电影发展简史[M].北京：中国传媒出版社，2009：13，14，14.[19]汪朝光.影艺的政治：一九三〇年代中期中央电影检查委员会研究[J].历史研究，2006，（2）：62～78.[23]赵惠康，杨爱华.30年代上海：全国教育电影推广处寻踪[J].电化教育研究，2011，（1）：104～110.

[24]郭有守：我国之教育电影运动[A].载孙健三.中国电影，你不知道的那些事儿[M].北京：北京世界图书出版公司，2010：420.[25]吴在扬.中国电化教育的首次兴落（上）[J].电化教育研究，1990，（3）：61～68.[26][34]孙明经.回顾我国早期的电化教育（上）[J].电化教育研究，1983，（2）：28，28.[27]蔡建东.陈友松电化教育学术思想研究[J].现代教育技术，2011，（3）：5～9.

[28][31]孙健三.中国电影，你不知道的那些事儿[M].北京：北京世界图书出版公司，2010：12，12.[29]徐公美.电影场[M].上海：商务印书馆，1937：24～25.[30]陈友兰.电影教育论[M].上海：商务印书馆，1938.

[33]李龙.“电教百年”回眸———

继承电化教育优良传统开创教育技术辉煌未来[J].中国电化教育，2012，（3）：8～15.[36][37]阿伦娜.中国电化教育（教育技术）年表（一）[J].电化教育研究，2006，（11）：78～80.

114

数学建模 个人认识和心得体会

数学建模的体会思考 经过这段时间的学习,了解了更多的关于这门学科的知识,可以说就是见识了很多很多,作为一个数学系的学生,一直都有一个疑问,数学的应用在那里。对了,就在这里,在这里,我瞧到了很多,也学到了很多,关于各个学科,各个领域,都少不了数学,都就是用建模的思想,来解决实际问题,很神奇。 数学建模给了我很多的感触:它所教给我们的不单就是一些数学方面的知识,更多的其实就是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力,使我们的逻辑推理能力与量化分析能力得到很好的锻炼与提高。它还让我了解了多种数学软件,以及运用数学软件对模型进行求解。 数学模型主要就是将现实对象的信息加以翻译,归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证,得到数学上的解答,再经过翻译回到现实对象,给出分析、决策的结果。其实,数学建模对我们来说并不陌生,在我们的日常生活与工作中,经常会用到有关建模的概念。例如,我们平时出远门,会考虑一下出行的路线,以达到既快速又经济的目的;一些厂长经理为了获得更大的利润,往往会策划出一个合理安排生产与销售的最优方案……这些问题与建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前,我们面对这些问题时,解决它的方法往往就是一种习惯性的思维方式,只知道该这样做,却不很清楚为什么会这样做,现在,我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被您把握,它就转化成了您自身的素质,不仅在您以后的学习工作中继续发挥作用,也为您的成长道路印下了闪亮的一页。 数学建模所要解决的问题决不就是单一学科问题,它除了要求我们有扎实的数学知识外,还需要我们不停地去学习与查阅资料,除了我们要学习许多数学分支问题外,还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识,这些知识决不就是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽与丰富我们的内涵,让我们感到了知识的重要性,也领悟到了“学习就是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在,这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来瞧,我们都就是直接受益者。就拿数学建模比赛写的论文来说。原本以为这就是一件很简单的事,但做起来才发觉事情并没有想象中的简单。因为要解决问题,凭我们现有的知识根本不够。于就是,自己必须要充分利用图书馆与网络的作用,查阅各种有关资料,以尽量获得比较全面的知识与信息。在这过程中,对自己眼界的开阔,知识的扩展无疑大有好处,各学科的交叉渗透更有利于自己提高解决复杂问题的能力。毫不夸张的说,建模过程挖掘了我们的潜能,使我们对自己的能力有了新的认识,特别就是自学能力得到了极大的提高,而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花,从而增加了继续深入学习数学的主动性与积极性。再次,数学建模也培养了我们的概括力与想象力,也就就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳,同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素,紧紧抓住问题的本质方面,使问题尽可能简单化,这样才能解决问题。其实,在我们做论文之前,考虑到的因素有很多,如果把这一系列因数都考虑的话,将会花费更多的时间与精神。因此,在我们考虑一些因素并不就是本质问题的时候,我就将这些因数做了假设以及在模型的推广时才考虑。这就使模型更加合理与理想。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译”,即进行抽象,要用我们熟悉的数学语言、数学符号与数学公式将它们准确的表达出来。

浅谈小学数学中解决问题能力的培养

浅谈小学数学中解决问题能力的培养 铜仁市碧江区第二小：文丽 摘要：生活离不开数学，数学离不开生活。人类的社会实践产生了数学，并且促进了数学的发展。而数学又服务于社会，成为人们认识世界、解决实际问题的重要工具。解决问题是数学课程的重要目标之一，解决问题需要相应的策略做支撑。 关键词：小学生、数学问题、解决问题、 在小学数学教学中重视解决问题能力的培养已经成为教师的共识。学习数学，不仅是为了学到知识，更重要的是使学生能够学会学习,学会生存,能够适应未来的社会.数学来自于生活,又为生活服务,这两者之间相互依存,缺一不可．数学知识的最终目的在于应用.所以在数学教学中要多注意贴近生活,联系实际,从小培养学生解决问题的能力。 一、培养学生养成良好的审题习惯，提高审题能力 有的孩子在做应用题时，盲目追求做题速度，拿过来就做，结果经常做错,适得其反。实际上解决问题的步骤包括审题、分析和检验。在这几步中，审题能力尤为重要。审题能力是指获取信息的能力，新教材应用题类型很多，有的是图文式，有的是表格式，有的是对话式等等，所以如何抓住关键词，获取问题需要的信息成为解决问题的关键前提。这就需要教师教会学生如何审题，要求学生先通读全题，再字逐句地阅读，要引导学生弄清每个问题的意义，然后再联系起来理解和体会。通过读题来理解题意，掌握题中说了一件什么事，给了几个对象，它们之间有什么关系，等等。事实证明有好多学生做错应用题的原因就是没有正确领会全题的意思。 培养学生养成认真审题的习惯不是一朝一夕的事情，要从低年级开始训练，并坚持长久。在开始训练时教师要提出明确要求逐步引导。如在教学三年级上时间的计算时有一道习题：一列火车本应11：20到达，现在要晚点25分钟。它什么时候到达？我就先后让几名学生读题，然后我提出问题：说说题中说了一件什么事？有哪些量？它们之间有什么关系，用笔画出关键句。问的是什么？在我的步步追问下，学生逐步解答，最终轻而易举地列出算式。在我的坚持经常的训练下，学生在以后做应用题中也自觉地采用这样自问自答的方式进行审题。

小学数学解决问题分类全

1. 一件工作，甲单独做 6 小时完成，乙单独做12 小时完成，丙单独做18 小时完成，若先由甲、乙合做 3 小时，然后由乙丙合做，问共需几小时完成？ 2. 一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天，丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？ 3. 一项工程，甲、单独做需20 天完成，乙单独做需30 天完成，如果先由甲单独做8天，再由乙单独做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？ 行程问题。 4. 甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶 72 千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48 千米． （1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？ （2）快车先开25 分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？ （3）若快车上午9点30分出发，慢车上午11点出发，问几点钟两车相遇？ 5. A 、B两地相距64 千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从 B 地出发，每小时行18 千米，（1）若两人同时出发相向而行，则需

经过几小时两人相遇？（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16 千米？（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10 千米？ 6. 甲、乙两地相距240千米，从甲站开出来一列慢车，速度为每小时80千米; 从乙站开出一列快车，速度为每小时120 千米。问：如果两车同向开出，同向而行（快车在后），那么经过多长时间快车可以追上慢车？ 7. 甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/ 分，乙的速度是甲速度 3 的2 倍，问（1）经过多少时间后两人首次相遇（2）第二次相遇呢？10．甲乙两人在400 米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200 米/ 分和160 米/ 分. （1）若两人从同一地点同时反向跑，多少分钟后两人第 3 次相遇？（2）若两人从同一地点同时同向跑，多少分钟后两人第 2 次相遇？ 8. 某校学生列队以8千米/ 时的速度前进，在队尾，校长让一名学生跑步到队伍的最前面找带队老师传达一个指示，然后立即返回队尾，这位学生的速度为12千米/ 时，从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了7.2 分钟，问学生队伍的长是多少米? 9. 一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要38小时，顺流而下需要32 小时，若水流速度为8 千米/ 时，则两码头之间的距离是多少千米？

小学数学拓展型课程教学设计初探

小学数学拓展型课程教学设计初探 【摘要】：随着课程改革的不断深入，拓展型课程越来越受到大家的重视。数学拓展型课程及其教学，不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生理解数学的社会价值，领略数学的文化内涵。因此，本文从小学数学拓展型课程的特点人手，以建构主义学习理轮为依据，尝试探索一套合理的教学设计模式。 【关键词】：拓展型课程实施 数学类拓展型课程是指从教育目标出发，以学生学习数学的兴趣和需要为主要依据，在教师指导下，通过学生的自主活动，以获得直接经验和实践能力的课程。如果说基础型课程中的数学科目是以课堂教学为主要形式，具有以完成系统的知识教学为主要任务的课程，那么数学类拓展型课程的教学则是以建构教育性、创造性、实践性、操作性的学生主体活动为主要形式，以鼓励学生主动参与、主动探索、主动思考、主动实践为基本特征，以实现学生多方面综合发展为核心，以促进学生整体素质，全面提高为目的的一种新型教学观和教学方式。我认为，小学数学活动课程，主要从学生的生活经验、已有的数学知识基础和天生就具有的思维能力出发，教师根据教学的进程和学生一起设计活动内容，通过活动，帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，体会数学的魅力，发展他们解决问题的能力。 在这样的数学拓展课上，能够激发学生浓厚的学习数学的兴趣，让他们带着数学眼光去观察生活世界，有运用数学方法去分析周围的事物和现象的数学学习习惯。通过实践、课题研究等等，学生从中获得综合运用数与运算、空间与图形、统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的成功体验，并且学习综合运用所学知识解决简单问题的活动经验和方法。还能通过实践了解数学知识与学生的生活经验、现实世界及其他学科的联系，体会数学的价值，是一门值得学习的课程。 一、拓展型课程的类型 为了有效的开展小学数学拓展课程，我整理了有关拓展课的类型，小学数学活动课程内容极其丰富，根据来源可分为五个方面：1、生活中的数学。2、生产中的数学。3、科学技术中的数学。 4、与各学科相关的数学。5、智力活动中的数学。在此基础上，我把拓展型的课程的内容进行了分类，主要有： 1.实践操作课――配合教材，制作教、学具或进行实际操作测量活动。 2.小课题研究课。学生在教师的指导下选择课题进行研究，例如：求不规则物体的体积、一张白纸有多厚？等 3.阅读交流课――重在指导学生“读什么”、“怎么读”，结合“小学生数学报”等阅读材料，组织学生交流、讨论阅读后的思考、发现、感想和独特的见解。 4.社会调查成果汇报课――通过调查了解数学知识在生活和中生产的应用，使学生真正体会到数学学习的价值。 5.综合拓宽课――结合教材中的某些内容，和相关内容进行整合，拓宽学生的数学知识，训练学生思维的灵活性和综合运用数学知识解决实际问题的能力。 学生作品及相关证据材料可以是：应用数学知识解决现实生活中的实际问题。如：旅游、租车预算方案的设计。应用数学知识开展社会调查，发现社会问题。如：生活垃圾、水资源的浪费等社会问题调查。精致、新颖的有关数学方面的小制作。如：做的长方体、七巧板拼图。阅读数学读物的体会，数学日记等。收集的数学家的故事，与数学有关的诗词，数学谜语等。收集日常生活中发现的数学问题。撰写数学活动报告、小论文，自编的数学小报。可以反映你的数学活动水平的其他特色材料。 二、拓展型课程的实施 1.多方面取材，备课充分

数学建模心得体会3篇_心得体会

数学建模心得体会3篇_心得体会 数学建模学习心得（2）： 数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。它给学生再现了一种“微型科研”的过程。数学建模教学有利于激发学生学习数学的兴趣，丰富学生数学探索的情感体验；有利于学生自觉检验、巩固所学的数学知识，促进知识的深化、发展；有利于学生体会和感悟数学思想方法。同时教师自身具备数学模型的构建意识与能力，才能指导和要求学生通过主动思维，自主构建有效的数学模型，从而使数学课堂彰显科学的魅力。 为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 1. 只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。因此，在教学时我们要善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，力求建构出人人都能理解的数学模型。 教师不应只是“讲演者”，而应不时扮演下列角色：参谋——提一些求解的建议，提供可参考的信息，但并不代替学生做出决断。询问者——故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白，完成进度。仲裁者和鉴赏者——评判学生工作成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造性的想法和作法。 2. 数学建模对教师、对学生都有一个逐步的学习和适应的过程。教师在设计数学建模活动时，特别应考虑学生的实际能力和水平，起始点要低，形式应有利于更多的学生能参与。在开始的教学中，在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景，在数学模型的应用环节进行比较多的训练；然后逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿地解决一些比较确定的应用问题；再到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题；最后发展成能独立地发现、提出一些实际问题，并能用数学建模的方法解决它。 3.由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，忽略数学建模的建立过程。 4.数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识，提高学生数学能力和数学素质。因此我们不应该沿用老师讲题、学生模仿练习的套路，而应该重过程、重参与，从小培养学数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，培养学生应用数学的意识和能力也已经成为数学教学的一个重要方面。而应用数学去解决各类实际问题就必须建立数学模型。小学数学教学的过程其实就是教师引导学生不断建模和用模的过程。因此，用建模思想指导小学数学教学显得愈发重要。 数学建模心得体会 一年一度的全国数学建模大赛在今年的9 月21 日上午8 点拉开战幕，各队将在3 天72 小时内对一个现实中的实际问题进行模型建立，求解和分析，确定题目后，我们队三人分头行动，一人去图书馆查阅资料，一人在网上搜索相关信息，一人建立模型，通过三人的

小学数学问题解决能力的培养

小学数学问题解决能力的培养 小学数学问题解决能力的培养 摘要：小学生正处在学习数学、应用数学最关键的培养时期，培养其解决问题的能力，对课业学习、日常生活都至关重要。本文首先提出了培养数学问题解决能力的指导思想；其次论述了具体策略；最后，归纳总结了几种适合小学生解决数学问题的具体方法。本文成果对教师的教学实践有参考价值。关键词：小学；数学；能力；解决引言小学数学的教学目标之一是培养学生解决问题的能力，在教师的指导下，学生逐渐掌握多种方法、获得丰富的知识，最终形成独立解决数学问题的能力，去解决生活中、学习中遇到的数学问题。小学生的数理逻辑能力正处于启蒙期，如果过多灌输抽象思维的解决方法，不利于学生的理解数学问题、解决问题，容易陷入某种思维误区之中。故而，应该考虑到小学生的心理、智力发展水平，提出切实可行的培养策略。数学问题解决问题的能力是长期的，数学技巧琐碎、繁杂，不能一蹴而就，这就需要教师条分缕析，讲明白讲清楚，长期培养，在耳濡目染之间传授给学生知识和方法，这对教师的耐心和教学水平都有很高的要求。 本文首先深入阐述了培养学生数学问题解决能力的指导思想；其次，结合指导思想，提出了具体策略；最后，论证分析了几种具体方法。 一、培养数学问题解决能力的指导思想 本文认为，影响或改变对象的某种属性，应以结合对象的特点为指导思想，即培养小学生数学问题解决能力，就必须结合小学生的独特心理发展水平、知识储备、生活背景等特征为指导思想，否则将南辕北辙。具体来看，首先，小学生逻辑能力稚嫩，对于直观事物的理解强于对抽象事物的理解，因此，培养数学问题解决能力，不应该教授过多的抽象方法，而应该教授直观的方法，如图解法、列表法、枚举法等。其次，不应该过早的教授高年级的内容，教材在知识点的分配上，充分考虑了学生的智力、心理发展水平，高年级的方法虽然解决问题效率更高，但不适合学生当前的智力、心理发展水平，容易造成基础不牢、知识混乱，不利于学生长期能力的培养和后续的学习。再次，教学过程中要充分认识到小学生人生经历有限，不应该教授过于超出其知识储备的新知识，应该循序渐进，这点是

数学建模是使用数学模型解决实际问题

数学建模是使用数学模型解决实际问题。 对数学的要求其实不高。 我上大一的时候，连高等数学都没学就去参赛，就能得奖。 可见数学是必需的，但最重要的是文字表达能力 回答者：抉择415 - 童生一级 3-13 14:48 数学模型 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。 数学建模的一般方法和步骤 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。建模的一般方法： 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致如下： 1、实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数； 2、建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数； 3、用实际问题的实测数据等来检验该数学模型； 4、符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。 数学模型的分类： 1、按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、统计模型等。 2、按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

“小学数学拓展”探究-3页word资料

“小学数学拓展”剖析 在实施素质教育、大力推行课程改革大背景下，以小学数学课本为基础，进行数学拓展实验已成为近几年教育改革与研究重点与热点. “小学数学拓展”就是教师对数学材料拓展，数学方法、思维品质拓展。教师首先要理解教材、尊重教材，然后才能谈对教材深加工。在课堂教学中捕捉学生问题，拓展知识内容，促进学科整合，适时提出问题，培养剖析与创新能力，让学生主体性得到淋漓尽致地发挥，让学生学得轻松、学得扎实。 这几年通过理论知识学习与对教学活动研究，我已经逐渐形成了自己独特课堂教学风格，形成了“创设情境——操作剖析—应用拓展——培养创新”教学关系链。 一、创设教学情境，激发学生强烈求知欲 在教学中，根据新教材重视培养学生数感特点，通过语言描绘、实物演示、幻灯，绘画再现、音乐渲染，多媒体电脑演示等手段为学生提供现实情景，密切联系生活实际，注重数学在生活中应用。使学生体会到生活中处处有数学，增强学习与应用数学信心，进而调动学生学习积极性与兴趣，发展学生抽象思维。 如教学《可能性》一课时，我通过多媒体创设了“美丽森林动物运动会”，让学生在欣赏、享受大自然美同时，根据学生已有生活经验，通过“抛硬币”选主持人这一充满童趣活动，巧妙地把可能性知识蕴含其中，把枯燥数学问题变成了学生喜闻乐见现实生活事例，让学生感受到了数学无处不在，数学就在我们身边，学习兴趣油燃而生，使数学课充满了情趣，为学生学习创设了良好学习氛围。紧接着认真组织学生参加“摸彩球”、“指定条件装彩球”“下棋”、“转盘抽奖”等活动，让学生参与可能性在头脑中形成概念过程，把可能性这一抽象数学概念变成了学生看得见，摸得着数学事实，同时有机地渗透了概率思想。这样既让学生参与新知认知过程，又调动了学生多种感官参与学习。 二、动手实践，剖析新知 数学内容相对比较抽象，在有限教学时间中，教师可以通过组织学生参与各种游戏、谈话、操作、合作等数学活动，体会解决问题方法多样性，在数学活动中自主剖析，建构新知识、新信息，促进学生思维发展。 如梯形面积公式推导，我就采用“转化”思想，在操作发现阶段引导学生分组活动，集中大家智慧对梯形进行改造，把它剪拼成我们熟知几何图形求出它面积，进而推导出梯形面积计算公式。在具体操作过程中学生发现了好几种成功而可行办法：（1）用两个相同梯形拼成一个平行四边形；（2）把梯形剪成一个平行四边形与一个三角形；（3）把梯形剪成两个三角形（两个三角形高就是梯形高）；（4）把梯形剪成一个长方形与两个三角形（如果是直角梯形就是一个三角形）……在这一教学过程中，学生通过剪拼操作，自己发现并总结出了梯形面积计算公式，与教师直接讲授让学生接受相比，这种方法让学生亲自经历知识发现过程，不仅加深了他们对公式理解，而且增强了他们自主剖析信心，同时也促进学生思维发展。

体会：数学建模的学习心得体会

数学建模的学习心得体会 通过对专题七的学习，我知道了数学探究与数学建模在中学中学习的重要性，知道了什么是数学建模，数学建模就是把一个具体的实际问题转化为一个数学问题，然后用数学方法去解决它，之后我们再把它放回到实际当中去，用我们的模型解释现实生活中的种种现象和规律。 知道了数学建模的几点要求：一个是问题一定源于学生的日常生活和现实当中，了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样学生要有一个尝试，一个探索的过程查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。 实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样的话学生要有一个尝试，一个探索的过程。数学探究活动的关健词就是探究，探究是一个活动或者是一个过程，也是一种学习方式，我们比较强调是用这样的方式影响学生，让他主动的参与，在这个活动当中得到更多的知识。 探究的结果我们认为不一定是最重要的，当然我们希望探究出来一个结果，通过这种活动影响学生，改变他的学习方式，增加他的学习兴趣和能力。我们也关心，大家也可以看到在标准里面，有非常突出的数学建模的这些内容，但是它

浅谈小学数学解决问题能力的培养(1)

浅谈小学数学解决问题能力的培养 解决问题是数学课程的重要目标之一，解决问题需要相应的策略做支撑。解决问题的策略就是寻找解题思路的指导思想,它是为了实现解题目标而采取的指导方针.培养小学生在解决问题的能力中常出现以下情形:有时,面对数学问题,无从下手;有时,明明思路很清楚,就是解不出来;有时解题到途中,却是:“山穷水尽”等等.这些疑惑可归结为没有掌握好解决问题的策略. 俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题，当学生对数学知识，数学思想方法的学习和运用达到一定水平时，应该把一般的思维升华到计策谋略的境界。只有掌握了一定的解题策略的能力，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题，因此在教学中我们要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高解题能力。基于以上的认识，我在教学实践中进行了对学生解题问题的能力培养的尝试探索，获得了一些初步的体验。 一、培养学生枚举的能力 枚举法是一种重要的数学方法,有很多较复杂的问题,常常是从具体情况一一枚举,从中找出规律和方法再加以解决的。 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 解：需要考虑吃的天数和吃的顺序不同。一天吃完：7；两天吃完：5+2，2+5，4+3，3+4；三天吃完：3+2+2， 2+3+2，2+2+3。 答：一共有8种不同的吃法。

当学生把所有的情况都按一定规律列出来的时候，思路非常清晰，此题就比较容易完整的解答。 二、培养学生画图的能力 小学生年龄小，生活经验和知识都是十分有限的，因此在思考解决问题时难免会遇到困难。小学生在纸上涂涂画画可以拓展思路，使用这项解题策略，比较符合小学生的思维形象性的特点。 已知两数之和为14，两数之差为2，求这两个数。 这个题如果列一个二元一次方程，是很容易解决的：X+Y=14；X-Y=2。解此方程可知X=8，Y=6。但如果是小学三年级学生尝试做此题，在没有学习方程的基础上，一般不考虑选用方程来解答。这样的题只能通过画图分析： 从图中可以看出：要求其中较小的那个数，可以用两数之和减去两数之差再除以2，即（14-2）÷2=6。要求较大的数，也可以用两数之和加上两数之差再除以2，即（14+2）÷2=8。运用图形把抽象问题具体化、直观化，从而学生能迅速地搜寻到解题的途径。怪不得前苏联心理学家克鲁切茨对天才儿童研究发现，许多天才儿童是借助画图解决问题，而数学上能力较差的学生在解决问题中不依靠形象图形，最主要的是他们不知道如何依靠。因而，对学生进行画图策略的指导显得犹为重要。 三、培养学生列表的能力 在解决问题时，可以指导学生运用表格把一些信息列举出来，寻求解题策略，也可以在让学生列举部分情况的基础上，引导学生从表

小学数学解决问题分类整理(全)

工程问题 1.一件工作，甲单独做6小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做18小时完成，若先由甲、乙合做3小时，然后由乙丙合做，问共需几小时完成？ 2.一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天，丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？ 3.一项工程，甲、单独做需20天完成，乙单独做需30天完成，如果先由甲单独做8天，再由乙单独做3天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？ 行程问题。 4.甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米． (1)两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？ (2)快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？ （3）若快车上午9点30分出发，慢车上午11点出发，问几点钟两车相遇？ 5 .A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米，（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时 . .

. . 两人相距16千米？（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？ 6.甲、乙两地相距240千米，从甲站开出来一列慢车，速度为每小时80千米;从乙站开出一列快车，速度为每小时120千米。问：如果两车同向开出，同向而行（快车在后），那么经过多长时间快车可以追上慢车？ 7.甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的3 2倍，问（1）经过多少时间后两人首次相遇（2）第二次相遇呢？ 10．甲乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米/分和160米/分. （1）若两人从同一地点同时反向跑，多少分钟后两人第3次相遇？ （2）若两人从同一地点同时同向跑，多少分钟后两人第2次相遇？ 8.某校学生列队以8千米/时的速度前进，在队尾，校长让一名学生跑步到队伍的最前面找带队老师传达一个指示，然后立即返回队尾，这位学生的速度为12千米/时，从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了7.2分钟，问学生队伍的长是多少米? 9.一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要38小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？ 10.一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火

浅谈小学数学拓展性练习的设计策略 论文

浅谈小学数学拓展性练习的设计策略 神木五小刘元 [摘要]在数学课堂上设计一些拓展性练习是非常必要的。只有这样，才能让一些学有余力的学生在课堂上吃饱，而其它学生也能因此拓展知识的内涵和外延，学到的知识能比较灵活。 [关键词]小学数学拓展性练习设计策略 学生在学习数学的过程中，由于自身的知识水平、年龄差异、认知结构、生活背景的不同，在学习中的差异是客观存在的，也是非常明显的。因此，在数学课堂上设计一些拓展性练习就显得非常必要的，只有这样，才能让一些学有余力的学生在课堂上吃饱，而其它学生也能因此拓展知识的内涵和外延，学到的知识能比较灵活。笔者结合自身在教学中的一些实际经验，就拓展性练习的设计策略，谈几点看法。 策略之一：适当提高 在教学中，很多老师都有这么一个比较固下的观念，尤其是一些公开课、示范课，一定要在课尾设计一些思考题，让优等生能跳一跳摘到果子。这种做法已经沿用了好多年，而且大家也一直认为效果很不错。笔者对此也持赞同意见，但是应该补充的有两点：一是设计一些发展题不是一定要局限于课尾，而是应该根据教材中对教学内容的编排和学生在学习中的实际情况，教师可以在新课教学时就适当拓展教学的空间，适当提高对新授知识的难度，让学生的学习具有一定的挑战性和创造性。二是设计的拓展性练习的难度是

适度，有的老师片面的认为课后的拓展练习一定要具有思考性，只是着眼于少数几个优等生的智力水平，其实不然。设计拓展练习应该考虑到全体学生，最起码是班级里相当一部分学生的认识水平，考虑到他们的知识结构和认知现状，所以只能是适当的提高难度，而不是漫无边际的提高难度。因为过大的难度会让学生在学习中感到困难重重，而过大的难度也会使他们丧失学习的信心和勇气，不利于学生的学习。 策略之二：开放练习 目前的数学教材中，大多数习题都是为了使学生牢记教学结论而设计的，在这种情况下，学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械方法代替智力活动的倾向。为了改变这一情况，使数学教学适应时代的需要，我们拓展性练习的时候要尽可能从学生已有认知结构出发，结合教材的内容，设计一定数量的开放题，并且以此为切入点，促进学生学习教学的开放性和个性张扬，从而有利于培养学生的创新精神和实践能力。 我在教学一位数乘三位数乘法一课时，在完成了课本的巩固练习后，设计了这么一道开放题：把1、2、3、4四个数字填入右边的口中，组成一道一位数乘三位数的乘法竖式，并计算。并且还要求学生用1分钟的时间，看谁写得算式又地又多。 然后让学生独立的书写竖式，并且进行计算。时间到后，让学生把他们写得算式抄到黑板上，师生逐一进行检查，然后要求按一定的标准进行分类。学生自然会认识到按第二个因数分成好几类，

论文心得-数学建模优秀论文心得体会

论文心得-数学建模优秀论文心得体会.txt你妈生你的时候是不是把人给扔了把胎盘养大？别把虾米不当海鲜。别把虾米不当海鲜。阅读一篇论文对我主要有以下四个方面的启发与指导： (1)大致了解数学建模论文写作时应包含哪些内容 (2)每部分内容都应写些什么 (3)汲取他写作与处理问题的成功之处，以便将这些优点运用于我以后的论文写作中 (4)总结这篇论文写作与处理问题过程中的败笔，提醒我注意在写作论文时不要犯类似错误 所以，在下面的学习心得中将主要涉及以上四个方面的内容。 摘要： 简明扼要地指出了处理问题的方法途径并给出作答，起到了较好的总结全文，理清条理的作用。让读者对以下论述有一个总体印象，而且对于本题的答案用图表形式给出，清晰明了 问题重述：（略） 问题背景： 交待问题背景，说明处理此问题的意义和必要性。 优点：叙述详尽，条理清楚，论证充分 缺点：前两段过于冗长，可作适当删节 问题分析： 进一步阐述解决此问题的意义所在，分析了问题，简述要解决此问题需要哪些条件和大体的解决途径 优点：条理比较清晰，论述符合逻辑，表达清楚 缺点：似乎不够详细，尤其是第三段有些过于概括。 模型的假设与约定： 共有8条比较合理的假设 优点：假设有依据，合情合理。比如第3条对上座率的假设，参考了上届奥运会的情况并充分考虑了我国国情，客观真实。第8条假设用了分块规划和割补的方法，估计面积形状比较合理，而且达到了充分花剑问题的作用。 缺点：有些假设阐述不太清楚也存在不合理之处，第4条假设中面积在50-100之间，下面的假设应该是介于50-100之间的数，假设为最小的50平方米，有失一般性。第6条假设中，假设MS最大营业额为20万，没有说明是多长时间内的，而且此处没有对下文提到的LMS 作以说明。 符号说明及名词定义 优点：比较详细清楚，考虑周全，而且较合理地将定性指标数量化。 缺点：有些地方没有标注量纲，比如A和B的量纲不明确。 模型建立与求解 6.1问题一： 对所给数据惊醒处理和统计，得出规律，找到联系。 优点：统计方法合理，所统计数据对解决问题确实必不可少，而且用图表和条形图的方式反映不同量的变化趋势，图文并茂，叙述清楚而且简明扼要，除了对数据统计情况进行报告以外，还就他们之间相关量之间的关系进行了详细阐述，使数据统计更具实效性。 6.2问题二： 6.2.1最短路的确定 为确定最短路径又提出了一系列假设并阐述了理由，在这些假设下规定了最短路径

如何提高小学生数学解决问题的能力

如何提高小学生数学解决问题的能力 发表时间：2010-05-24T09:30:41.733Z 来源：《新校园》2010年第3期供稿作者：黄秀平（乐清市柳市镇第四小学，浙江温州325604）[导读] 我们要把问题解决的主动权交给学生，提供学生更多展示才能的机会，培养学生解决问题的能力。 如何提高小学生数学解决问题的能力 ——记两位数相乘的对比教学 黄秀平 （乐清市柳市镇第四小学，浙江温州325604） 小学数学课堂是培养小学生创新思维的主要阵地，而在小学数学课中培养学生的创新思维主要依托于教师对数学问题的教学来完成，解决问题的学习应该成为改善学生数学学习的切入口。 第一次授课 1.设置问题 题目：再过半个月，六一儿童节就要到来了，听说二(一)班一些小朋友为了迎接自己的节日，正准备做纸花来布置教室庆祝一翻。安排每两个小朋友一小组，每个小朋友做3朵花，请问8个小组一共能做多少朵花？ 问题一抛出，学生很快解答出来了，并说了解决问题的过程和结果。根据平时解题的一些现象，对学生解决问题的方法做出评价，提醒学生今后解决问题时所需要注意的问题，并鼓励学生探讨解决新问题。 2.自主探索 题目：运动会开幕式上，每个方阵有8行，每行有10人，3个方阵一共有多少人？ 请学生独立观察画面，从图画中寻找收集解决问题所需要的信息数据，并思考解决问题的方法。学生在说的过程中，加深了学生对解决问题的步骤和方法的理解，并获得数学知识解决问题的成功体验。 3.合作交流 可以和同桌交流自己的想法，说解题过程和结果。 4.解题指导 课堂教学一切进行得那么顺利自然，因为每一道题目都是笔者一步一步，一字一句讲解的。笔者又出示一道例题：一辆小铲车把十二箱啤酒正运到一辆大卡车上去，旁边还堆着两堆啤酒，每堆十二箱，问每次运到车上多少箱？” 笔者讲解答案时，下面出现了窃窃私语的声音。一问才知道，有些学生误把旁边两堆啤酒也算进去了。笔者连忙给他们解释道：解决问题时要看清楚题目中的关键词，这里虽然有两辆车在运，但问题是相对于小铲车而言，因为问题中“运到”这个词就说明是小铲车把啤酒运到大卡车上面去，而不是“运走”，而小铲车每次只能运一堆。因此在解决这个问题时只要求计算小铲车上的那一堆，明白了吗？误算的学生经这么一讲也就恍然大悟了，而那些解题思路正确的学生则在下面自豪地说：“就是嘛！我也是这样想的。”看到学生那舒展开的眉头，笔者也很开心。 5.课堂总结 教师总结：在我们的生活中处处都有数学问题，希望每个同学都能注意观察，发现、提出身边的数学问题，并运用所学的数学知识去解决这些问题，每个同学都越来越聪明、能干。 校领导评价：这节课较好地结合了小课题“数学要讲究实用化”，通过几个活动能很好地实现了教学目标，让学生在自主探索中发现、解决问题。成功之处： (1)教态亲切，数学用语干脆，注意了课堂纪律的调控。在学习活动中注意关注全体，学生参与面广，积极性高。 (2)小组合作学习考虑到了合作的必要性，在小组合作中学生参与度高，且小组内分工已经初具规模。 (3)本课练习中能注意加强教学内容和学生生活的联系，让学生从生活中来，到生活中去，考虑到了学生的年龄特点，联系学生的生活实际，使学生体验到了数学在现实世界中广泛的应用。 不足之处: (1) 课堂节奏不紧凑,小组合作有点拖拉. (2) 评价时鼓励性的语言还要多一些,教师要少讲多引导,不要把学生紧紧地抓在手心，要大胆放手，相信他们的能力，不要步步给他们铺好垫脚石，把学生的思维权剥夺走. (3) 解决同一个问题有时有不同的解题思路和方法，教师要积极引导学生去探索去发现，使学生解题时能具有灵活性。

用数学模型思想方法解决实际问题

用数学模型思想方法解决 初中数学实际应用问题 关键词: 数学模型难点策略 随着新课改的进步落实，素质教育全方位、深层次推进，数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力。而数学实际应用问题具有这种考查功能。它不仅具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，而且其应用性、创造性及开放性的特征明显。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了。今天社会对数学教学提出更高要求，不仅要求培养出一批数学家，更要求培养出一大批善于应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的各类人才。初中阶段是探索和培养各类数学人才的黄金时段，而把实际问题转化为数学问题又是绝大多数初中学生的难题，如果在教学中我们有意识地运用数学模型思想帮助学生克服和解决这一难题，那么学生就会摆脱实际应用问题的思想束缚，释放出学习和解决实际应用问题的强大动力，激活创造新思维的火花。 把实际问题转化为一个数学问题，通常称为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征，主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程称为数学建模。它主要有以下三个步骤：①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。对初中学生来说，最关键最困惑的是第一步。 一、初中学生解决实际应用问题的难点 1.1、缺乏解决实际问题的信心 与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序，过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。 数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动，心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。 1.2、对实际问题中一些名词术语感到生疏 由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。例如：从2001年2月21日起，中国电信执行新的电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟为0.2元（不足3分钟按3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）。上星期天，一位同学调查了A、B、C、D、E五位同学某天打本地网营业区内电话

小学数学解决问题的一般步骤及方法-

小学数学解决问题的一般步骤及方法 如何才能减轻学生的学习负担，提高教师的教学效率，关键是提高学生解决问题的能力。我从多年的教学实践中总结出了解决问题的过程及方法。 一、解决问题的一般步骤 （二）耐心分析，明确数量关系 （三）通过画图，构建模型 无论高低年级的小学生，解决问题的呈现形式用图会更直观而有趣地表达题意。学生一看通俗易懂，非常喜欢，乐于解决。 图中可以更清晰看出各种数量关系，已知量与未知量先求什么，再求什么，而不是只限于文字的想象，所以教师应培养学生的作图能力，这也是更快、更准确解决问题的重要手段。 （四）列式解答，别忘检验 根据以上分析的数量关系，列出算式，算出结果，这只是初步把问题解决，是否正确呢？需要进一步的检验，检验的习惯是提高学生解决问题的能力的重要保障。 检验的方法有多种： 1.估算法。估计结果是否符合题意，如果数据结果与实际差距太大，就要反思解答过程及计算。 2.代入法。把已得出的数据结果当做已知条件，根据题目中的数量关系代入题中，看最后的结果是否是另一个条件中的数据，如果与已知条件相符就是正确的，反之是错误的。 3.寻找其他方法。检验时可以用不同的方法解答，比较两种方法所得出的结果是否一致。

以上是在我们解决问题的一般步骤。在实际的解决问题过程中，要具体问题具体分析。 二、解决问题的方法 掌握解决问题的一般步骤是前提，还要掌握解答问题的方法。解决问题的方法很多，比如消元法、替代法等，在实际问题中，可能两种或两种以上的综合运用，要掌握各种方法，随问题中的条件灵活运用，不能生搬硬套。 （一）消元法 所谓消元法是对要求两个或两个以上未知数的应用题，必须想方设法消去一个未知数，求出另一个未知数，最后再求出消去的那个未知数。我们由浅入深地来分析此类型的方法。 例1.甲乙二人去商店买练习本和笔记本，甲买了5个练习本和6个笔记本，共花了9.5元。乙买了5个练习本和7个笔记本，共花了10.7元，求每个练习本多少钱？ 分析：此题有两个未知数，要想求每个练习本多少钱，可以消除一个未知数，也就是利用甲乙二人花钱的差，先求出一个笔记本的价钱，此题关键是数控量关系：（5个练习本+7个笔记本）-（5个练习本+6个笔记本）=1个笔记本 解：（1）乙比甲多买几个笔记本？7-6=1（个） （2）1个笔记本多少钱？10.7-9.5=1.2（元） （3）6个笔记本多少钱？6×1.2=7.2（元） （4）5个练习本多少钱？9.5-7.2=2.3（元） （5）1个练习本多少钱？2.3÷5=0.46（元） （二）替代法 什么是替代法呢？题中给出两个或两个以上未知数量的关系。可以用一个未知数量替代它的未知数量，使数量关系化繁为简，数量关系单一了，也就可以解?Q问题了。