概率论与数理统计教程答案(魏宗舒版)chapter01[1]

第一章事件与概率

第一章事件与概率
1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有
1件是不合格品，从中任取
2件得
1件不合格品。
(2)一个口袋中有
2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白
球，(ⅱ)得红球。
解
(1)记
9个合格品分别为正1,正2,
.,
正9
，记不合格为次，则


Ω=
{(
正1,
正2),
(正1,
正3),
.,
(正1
正9),
(正1
次),
(正2,
正3)(正2,
正4),
.,
(正2,
正9),
(正2, 次), (正3,
正), ., (正,
正9),((,) 正3, 次)(,) ,
.,
(正8,
正9),((,) 正8,
次), (正9,
次)}
A = {( 正1,
次)
,
((4) 正2,
次)(3) ,
.,(正9,
次)}


(2)记
2个白球分别为ω1，ω
2
，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别
为r1，r2
，r3
，r4
。则
Ω=
{ω1，ω
2
，b1，b2，b3，r1，r2
，r3
，
r4
}


(ⅰ)
A
=
{ω1，ω
2
}
(ⅱ)
B
=
{r1，r2
，r3
，
r4}
1.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件
A表示被选学生是男生，事件
B表示被选学生是三年级学生，事件
C表示该生是运动员。
(1)叙述
ABC的意义。
(2)在什么条件下
ABC
=C成立？
(3)什么时候关系式
C
.B是正确的？
(4)什么时候
A
=B成立？
解
(1)事件
ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。


(2)ABC
=
C
等价于C
.AB
，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3一个工人生产了n
个零件，以事件Ai
表示他生产的第i个零件是合格品
（1≤
i
≤
n
）。用Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品；
(2)至少有一个零件是不合格品；
(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解
(1) ∩(n) Ai
;
(2) ∩(n) Ai
=
∪(n) Ai
;
(3)
∪(n) [Ai
(∩(n) Aj
)]
;


i=1
i=1
i=1
i=1
j
=1
j≠i



(4)(4)品
”，可表示为Ai
Aj
；∪(n)
i,j
=1
i≠
j


1.4证明下列各式：
(1)
A
∪
B
=
B
∪
A
;
(2)
A
∩
B
=
B
∩
A
(3)
(A
∪
B)∪
C
=
A
∪
(B
∪
C);
(4)
(A
∩
B)∩
C
=
A
∩
(B
∩
C)
(5)
(A
∪
B)
∩
C
=
(A
∩
C)∪
(B
∩
C)
(6)
∩
∪niniAA=
ii11==
证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页
（1.5）式和(1.6)式的证法。
1.5在分别写有
2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡
片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解样本点总数为A82
=
8×
7。所得分数为既约分数必须

分子分母或为
7、11、


13中的两个，或为
2、4、6、8、12中的一个和
7、11、13中的一个组合，所以

事件A
“所得分数为既约分数”包含A32
+
2A31
×
A51
=
2×
3×
6个样本点。于是


P(A)
=
2×
3×
6
=
9
。


8×
7
14


1.6有五条线段，长度分别为
1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，
求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
解样本点总数为
...
5
..
.
=
10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必


3

..


须是
3、5、7或
3、7、9或多或
5、7、9。所以事件
A“所取三条线段能构成一

个三角形”包含
3个样本点，于是P(A)
=
3
。


10


1.7一个小孩用
13个字母
A,A,A,C,E,H,I,I,M
,M
,N,T,T作组字游戏。如
果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN
”一词
的概率为多大？

解显然样本点总数为13!，事件A
“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含


3!2!2!2!
48

3!2!2!2!个样本点。所以
P(A)
=
13!
=
13!


1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车
”，求它们
正好可以相互吃掉的概率。
解任意固定红“车
”的位置，黑“车
”可处于
9×10.1=
89个不同位置，当



它处于和红“车”同行或同列的9+8
=
17个位置之一时正好相互“吃掉
”。故所
求概率为


17

P(A)
=


89


1.9一幢
10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上
7位乘客。电梯在每一
层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，
求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解每位乘客可在除底层外的
9层中任意一层离开电梯，现有
7位乘客，所

以样本点总数为97
。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于


“从
9层中任取
7层，各有一位乘客离开电梯
”。所以包含A97
个样本点，于是


P(A)
=A
9977
。


1.10某城市共有
10000辆自行车，其牌照编号从
00001到
10000。问事件“偶
然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字
8”的概率为多大？
解用A
表示“牌照号码中有数字
8
”，显然P(A)
=
94
=
.
.
9
..
4
，所以

10000
.10.


4

9
..
9
.4


P(A)
=
1-P(A)
=
1.=
1
..

10000
.10.


1.11任取一个正数，求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是
1；
(2)该数的四次方的末位数字是
1；
(3)该数的立方的最后两位数字都是
1；
1

解
(1)答案为
5
。


(2)当该数的末位数是
1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是
1，所以答
案为
4
=2

10
5


(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样
本空间包含102
个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是
1”，


则该数的最后一位数字必须是
1，设最后第二位数字为
a，则该数的立方的最后
两位数字为
1和
3a
的个位数，要使
3a
的个位数是
1，必须a
=
7，因此A所包
含的样本点只有
71这一点，于是

。

1.12一个人把
6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人
把
6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后
6根草恰好连成一个环的
概率。并把上述结果推广到
2n根草的情形。
解
(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的
5个头之一相接，再取
另一头，它又可以与其它未接过的
3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故


对头而言有5.
3.1种接法，同样对尾也有5.3.1种接法，所以样本点总数为


(5.3.1)2
。用A
表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有
5.3.1


种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另
4根草的尾连
接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另
2根草的尾连接，最后再将其余

的尾连接成环，故尾的连接法为4.
2。所以A
包含的样本点数为(5.3.1)(4.
2)，


于是
P(A)
=
(5(
.
53
.
.
31)(
.14)2
.
2)
=
158


(2)
2n根草的情形和(1)类似得
1.13把n
个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能
区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨
的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有
k个球
.
N
+
n
.
k
.
2.
的概率为.
.
..
n
.
k
.
.
..
，
0
≤k
≤
n
.
N
+
n
.1.


..
..
..

n

..


.
N
..
n
.1
.


(2)恰好有m
个盒的概率为.
..
.
m
.
...
.
..
.
N
.
m
.1.
..
.
，
N.
n
≤
m
≤
N
.1
.
N
+
n
.1.
..
..
...
.

n


.
m
+
j
.1..
N
.
m
+
n
.
j
.1.


(3)指定的m
个盒中正好有j
个球的概率为.
..
.
m
.1
.
.
..
.
N
.
..
.
+
n
.
n
1
.
.
j
.
..
.
，
..
..
..

n

..


1≤m
≤
N,0
≤
j
≤
N.


解略。

1.14某公共汽车站每隔
5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是
任意的，求一个乘客候车时间不超过
3分钟的概率。
解所求概率为
P(A)
=
53


1.15在ΔABC
中任取一点P
，证明ΔABP与ΔABC
的面积之比大于n
.1的概
n


率为12
。


n

解截取CD′=
1CD
，当且

仅当点P
落入ΔCA′B′
之内时ΔABP与ΔABC
的面


n


积之比大于n
.1，因此所求概率为


n


P(A)
=
ΔA′B′C有面积
=
CD′2
=
n
12
CD′2
=
1
。
ΔABC的面积CD2
CD2
n2



1.1.
为
1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待
一段时间的概率。
解分别用
x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等

待当且仅当0≤
x
.
y
≤
2,0≤
y
.
x
≤
1
。因此所求概率为


21
21
2

24
.×
23
.×
22


22

P(A)
=
2
≈
0.121


24


1.17在线段AB
上任取三点x1,x2,x3
，求：
(1)x2
位于x1与x3
之间的概率。
(2)Ax1,Ax
2,Ax
3
能构成一个三角形的概率。
11

1.
3××
解
(1)
P(A)
=
13
(2)
P(B)
=
13
2
=
12


1.18在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，
该三角形的边长为a,b,c
（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。


解分别用A1,A2,A3
表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线


相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)
=
P(A2)
=
0.所求概率为P(A3)。分别用


Aa
,Ab
,Ac
,Aab
,Aac
,Abc
表示边a,b,c
，二边ab,ac,bc
与平行线相交，则


P(A3)=
P(Aab
∪
Aac
∪
Abc
).
显然P
(
Aa
)
P(Aab
)+P(Aac
)，P(Ab
)
=
P(Aab
)+P(Abc
)，


P(Ac
)
=
P(Aac
)+
P(Abc
)。所以


1
21

P(A3)
=
[
P(Aa
)+
P(Ab
)+
P(Ac
)]
=
(a
+
b
+
c)
=
(a
+
b
+
c)

22π
d
πd


（用例
1.12的结果）

1.19己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可
能事件？试举例说明之。
解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为
1的线段内随机投
点。则事件A
“该点命中AB
的中点”的概率等于零，但A
不是不可能事件。


1.20甲、乙两人从装有a
个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，
乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一
随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

..........

b


解ω1表示白，ω
2
表示黑白，ω3
表示黑黑白，…ωb+1表示黑.黑白，
则样本空间
Ω=
{ω1，ω
2
，…，ω
b+1}，并且P({
ω1})
=
a
+
ab
，
P({
ω
2})
=
b
.
a
，P({
ω3})
=
b
.
b
.1
.
a
，…，


a
+
ba
+
b
.1
a
+
ba
+
b
.1
a
+
b
.
2
bb
.1
b
.
(i
.
2)
a

P({
ωi
})
=.
....


a
+
ba
+
b
.1
a
+
b
.
(i
.
2)
a
+
b
.
(i
.1)
b!a

P({
ωb+1})
=


(a
+
b)(
a

+
b
.1).a
甲取胜的概率为
P({
ω1})+
P({
ω3})+
P({
ω5})+…
乙取胜的概率为
P({
ω
2})+
P({
ω
4})+
P({
ω
6})+…


1.21设事件A,B
及A
∪
B
的概率分别为p
、q
及r
，求P(AB
)，P(AB)
，
P(AB)，
P(AB)
解由
P(A
∪
B)
=
P(A)+
P(B).
P(AB
)得
P(AB
)
=
P(A)+
P(B).
P(A
∪
B)
=
p
+
q
.
r
P(AB)
=
P(A
.
AB
)
=
P(A).
P(AB
)
=
r
.
q
，
P(AB)
=
r
.
p
P(AB)
=
P(A
∪
B)
=
1.
P(A
∪
B)
=
1.
r


1.22设A1
、A2为两个随机事件，证明：
(1)
P(AA
)
=
1.
P(A
).
P(A
)+
P(AA
);
12
1212


(2)
1.P(A
).
P(A
)
≤
P(AA
)
≤
P(A
∪
A
)
≤
P(A
)+
P(A
).
12
12
12
12


证明
(1)


P(A1A2)
=
P(A
∪
A
)
=
1.
P(A1
∪
A
)=1.P(A1).
P(A
)+
P(A1
A
)

122
22


(2)由(1)和
P(A1
A2)
≥
0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别
得第二、三个不等式。
1.23对于任意的随机事件A
、B
、C
，证明：
P(AB
)+P(AC
).
P(BC
)
≤
P(A)
证明
P(A)
≥
P[A(B
∪
C)]
=
P(AB
)+
P(AC
).
P(ABC
)



≥P(AB)+
P(AC).
P(BC)


1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订
甲报的有
45%，订乙报的有
35%，订丙报的有
30%，同时订甲、乙两报的有
10%，
同时订甲、丙两报的有
8%，同时订乙、丙两报的有
5%，同时订三种报纸的有
3%，
求下述百分比：
(1)只订甲报的；
(2)只订甲、乙两报的；
(3)只订一种报纸的；
(4)正好订两种报纸的；
(5)至少订一种报纸的；
(6)不订任何报纸的。
解事件A
表示订甲报，事件B
表示订乙报，事件C
表示订丙报。
(1)
P(ABC)
=
P(A
.
(AB
∪
AC))=
P(A).
P(AB
∪
AC)=30%
(2)
P(ABC)
=
P(AB
.
ABC)
=
7%
(3)
P(BAC)
=
P(B).
[P(AB)+
P(BC).
P(ABC)]=
23%
P(C
AB)
=
P(C).[P(AC)+
P(BC).
P(ABC)]=
20%


P(ABC
∪
+
BAC
+
C
AB)=
P(ABC)+
P(BAC)+
P(C
AB)=73%


(4)
P(ABC
+
ACB
+
BC
A)
=
P(ABC)+
P(ACB)+
P(BC
A)
=
14%
(5)
P(A
+
B
+
C)
=
90%
(6)
P(ABC)
=
1.
P(A
+
B
+
C)
=
1.
90%
=
10%
1.26某班有n个学生参加口试，考签共
N张，每人抽到的考签用后即放回，
在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？
解用Ai
表示“第张考签没有被抽到i ”，i = 1,2,.,N 。要求P(∪(N) Ai
)。


i=1


P(Ai
)
=
.
.
N
.1.
.
n
，P(AA
njiN..
..
.
=2)，……，
P(A1
.AN
)
=
.
.
N
.
N
.
.
n
=
0
.
N
..
N
..
N
.


N
.
N
..
N
.1.n
1.1.
N
..
N
.1.

n


ΣP(Ai
)
=. .
....
..
.=
(.1)..
..
..
.
.
i=1
.1
..
N
..1
..
N
.


.ΣP(Ai
Aj
)
=
.
.
.
..
N
.
.
..
.
.
N
.
2.
.
n
=
(.1)2.1.
.
..
N
.
.
..
.
.
N
.
2.
.
n
，……
1≤
i
≤
N
.2
..
N
..2
..
N
.


所以
P(∪
iN
=∑
iiA.
=
.
=111(1))
N
i
..
.
N
.
i
..
n
N
.



1.27从
n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的
概率是多少？
解n
阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1ia2i
.ani
，当


12
n

且仅当1,2,.,n
的排列(i1i2
.in
)
中存在k
使ik
=k
时这一项包含主对角线元素。


用Ak
表示事件“排列中ik
=
k
”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。


则

P
(
Ai
)
=
(nn
.
!
1)!
1
≤
i
≤
nP(Ai
Aj
)
=(n
.
n!
2)!(1≤
i
<
j
≤
n)，……


所以
P(
i=
i
.
.n
.
.
(n.
i)!
(1)
!
(1))
11111niAiii=
.
=
..=..
..
.=i
1
i!

∪(N) Σ(n) Σ(n)

1.29已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩
的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。
解用
b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：


Ω={(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}


其中样本点依年龄大小的性别排列。A
表示“有女孩”，B
表示“有男孩”，则
P(AB)
6/8
6

P(B|
A)
=
==


P(A)
7/8
7


1.30设M
件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概
率。
(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概
率。
解（1）设A
表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，B表示“所取产
.
m..
m..
M
.
m..
m.
品都是不合格品”，则
P(A)
=
.
..
.
2.
..
.
+
.
..
.
1.
....
..
.
1
.
..
.
P(B)
=
.
..
.
2.
..
.
.
M
..
M
.


..
..
..
..
..
..

22

..
..


P(AB)
P(B)
m.1

P(B
|
A)
=
==


P(A)
P(A)2M
.
m
.1


(2)设C
表示“所取产品中至少有一件合格品”，D表示“所取产品中有一
件合格品，一件不合格品”。则
.
m..
M
.
m..
M
.
m..m..
M
.
m.


....
..
..
..
..+..
..
..
....
..
..
..
..

112
11

......
....

P(C)
=
P(D)
=


.
M
..
M
.


..
..
..
..
..
..

22

..
..



P(CD
)
P(D)2m

P(D
|C)
=
==


P(C)
P(C)
M
+
m
.1


1.31
n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：
(1)已知前k
.1(k
≤
n)个人都没摸到，求第k个

人摸到的概率；
(2)第k
(k
≤n)个人摸到的概率。
解设Ai
表示“第个人摸到
”，i
=
1,2,.,n

i
。


11

(1)
P(Ak
|
A1
.Ak
.1)
==
n
.
(k
.1)
n
.
k
+1
n
.1
n
.
2
11

(2)
P(Ak
)
=
P(A1
.Ak
.1
Ak
)
=....=
nn
.1
n
.
k
+1
n


1.32已知一个母鸡生k
个蛋的概率为
λke.λ
(λ>
0)，而每一个蛋能孵化成小
k!


鸡的概率为p
，证明：一个母鸡恰有r
个下一代（即小鸡）的概率为(λ
rp
!
)re.λp
。


解用Ak
表示“母鸡生k
个蛋”，B
表示“母鸡恰有r
个下一代”，则


∞
k
.λ
.λ
ek
.
rk
.r

P(B) =Σ(∞) P(Ak
)P(B
|
Ak
)
=∑
...
..
.
p
(1.
p)
k=rk
=rk!
.r
.


r

(λ
p)
(λ
p)
.λ
λ(1.
p)

==
e
.
e
r! Σ=....rkrkrrkpe)][(1λλ(∞) ()!
r!


(λ
p)r
.λp

=
e


r!


1.33某射击小组共有
20名射手，其中一级射手
4人，二级射手
8人，三
级射手
7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率
分别是
0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进
入决赛的概率。
解用Ak
表示“任选一名射手为k
级”，k
=
1,2,3,4，B表示“任选一名射手


能进入决赛
”，则


4871

P(B) =Σ(4) P(Ak
)P(B
|
Ak
)
=×
0.9+×
0.7+×
0.5+×
0.2=
0.645


k
=1
20
20
20
20


1.34在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占
25%，
35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有
5%，4%，2%。现在从产品中任

取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？
A

取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？
A1
表示“任取一只产品是甲台机器生产”


A2表示“任取一只产品是乙台机器生产”


A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”


B表示“任取一只产品恰是不合格品
”。
则由贝叶斯公式：


P(A
)P(B
|
A
)
25
P(A
)P(B
|
A
)
28

P(A
|
)
111=B=
P(A
|
)
222=B=


69
69

Σ(3) P(Ak )P(B | Ak ) Σ(3) P(Ak
)P(B
|
Ak
)


k=1
k
=1


P(A
)P(B
|
A
)
16

P(A|
)
333=B= Σ(3) P(Ak
)P(B
|
Ak
)
69


k
=1


1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为
9:3:2:1，它们在一
定时间内需要修理的概率之比为
1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机
床是车床的概率是多少？
解则P(A1)
=
9
，P(A2)
=
3
，P(A3)
=
2
，
P(A4)
=
1


15
15
1515
P(B
|
A1)
=
71
，P(B
|
A2)
=
72
，P(B
|
A3

)
=
73
，
P(B|
A4)
=
71


由贝时叶斯公式得
P(A|
)
P(A
)P(B
|
A111=B)
= 9 Σ(4) P(Ak
)P(B
|
Ak
)
22


k
=1


1.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是
0.3、
11

0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是
4
、
3
、
1，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

12


解用A1
表示“朋友乘火车来
”，A2表示“朋友乘轮船来
”，A3表示“朋友乘


汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来
”，B表示“朋友迟到了
”。


则
P(A|
)
P(A
)P(B
|
A111=B)
= 1 Σ(4) P(Ak
)P(B
|
Ak
)2


k
=1


1.37证明：若三个事件A
、B
、C
独立，则A
∪
B
、AB
及A
.
B
都与C独
立。
证明（1）
P((
A
∪
B)C)
=
P(AC
)+
P(BC
).
P(ABC
)


=
P(A
∪B)P(C)


（2）
PABC
)
=
P(A)P(B)P(C)
=
P(AB
)P(C)

（3）
P((
A
.
B)C)
=
P((
A
.
AB
)C)
=
P(AC
.
ABC
)=
P(A
.B)P(C)
1.38试举例说明由P(ABC
)
=
P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB
)
=P(A)P(B)一
定成立。
1
18

解设Ω=
{ω1,ω
2,ω3,ω
4,ω5}，P({
ω1})
=
64
，P({
ω5})
=
64
，
P({
ω
2})
=
P({
ω3})
=
P({
ω
4})
=
15
，A
=
{ω1,ω
2}
，A
={ω1,ω3}
，


64
1
151

A
=
{ω1,ω
4}
则P(A)
=
P(B)
=
P(C)
=
64
+
64
=
4
，
1


P(ABC
)
=
P({
ω1})
==
P(A)P(B)P(C)

64
1

但是
P(AB
)
=
P({
ω1})
=
64
≠
P(A)P(B)


1.39设A1,A2,.,An为n
个相互独立的事件，且P(Ak
)
=pk
(1≤
k
≤
n)，求下
列事件的概率：
(1)
n个事件全不发生；
(2)
n个事件中至少发生一件；
(3)
n个事件中恰好发生一件。
n


解 (1) P(∩Ak ) =Π(n) P(Ak ) =Π(n) (1.
pk
)


k
=1
k
=1
k
=1


(2)
P(
Ak
)
=
1.
P(
Ak
)
=
1.(1.
pk )∪(n) ∩(n) Π(n)
k
=1
k=1
k
=1


(3)
P[
(Ak
Aj
)]
=(Ak
Aj
)
=[pk
(1.
pj
)].∪(n) ∩(n) Σ(n) ∩(n) Σ(n) .(n)
k
=1
j
=1
k
=1
j
=1
k
=1
j
=1
j≠kj≠kj≠k


1.40已知事件A,B
相互独立且互不相容，求min(
P(A),
P(B))
（注：
min(
x,y)表示x,
y中小的一个数）。
解一方面P(A),
P(B)
≥
0，另一方面P(A)P(B)
=
P(AB
)
=
0，即
P(A),
P(B)
中至少有一个等于
0，所以
min(
P(A),
P(B))
=
0.


1.41一个人的血型为O,A,B,AB
型的概率分别为
0.46、0.40、0.11、0.03，
现在任意挑选五个人，求下列事件的概率
(1)两个人为
O型，其它三个人分别为其它三种血型；
(2)三个人为O
型，两个人为A型；
(3)没有一人为
AB

。

解
解从
5个人任选
2人为O
型，共有...
5..
种可能，在其余
3人中任选一人


2

..


为A
型，共有三种可能，在余下的
2人中任选一人为B型，共有
2种可能，另一


人为
AB型，顺此所求概率为：
...
..
3×
2×
0.462
×
0.40×
0.11×
0.13≈
0.0168

2

..


.5.
22

(2)
..
..
0.46
×
0.40
≈
0.1557
3

..


(3)
(1.0.03)5
≈
0.8587
1.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是
0.6，求同时发射一发炮
弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以
99%以上的概率击
中它，问至少需要多少门高射炮。
解用Ak
表示“第k
门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，k
=
1,2,.，B表


示“击中飞机
”。则P(Ak
)
=
0.6，k
=
1,2,.。


(1)
P(A
∪
A
)
=
1.
P(AA
)
=
1.
0.42
=
0.84
12
12


n
lg0.01

(2)
P(A
∪.A
)
=
1.
P(
Ak
) = 1. 0.4 > 0.99 , n >≈ 5.026∩(n)
11=knlg0.4


取
n
=
6。至少需要
6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证
99%的概率击中
飞机。

1.43做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p
，求在成功n次之前
已失败了
m次的概率。

解用A
表示“在成功n
次之前已失败了m
次”，B
表示“在前n+
m
.1次试
验中失败了m
次”，C
表示“第n
+m
次试验成功”


则
P(A)
=
P(BC
)
=
P(B)P(C)
=
...n
+
m
.1
..
.
pn.1(1.
p)m
.
p

m

..


+
m
1
.n
..
nm

=..
..
p
(1.
p)

m

..


1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有
n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任
取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r
根火柴（1≤r
≤
n
）的
概率。
解用Ai
表示“甲盒中尚余根火柴
”，用Bj
表示“乙盒中尚余

ij根火柴”，


C,D
分别表示“第2n
.
r
次在甲盒取”，“第2n
.
r
次在乙盒取”，A0BrC
表示取



了2n
.
r
次火柴，且第2n
.
r
次是从甲盒中取的，即在前2n
.
r
.1在甲盒中取了


n.1
n.r


n
.1，其余在乙盒中取。所以
P(A0BrC)
=
.
.
...
2nn
.
.
r
1
.1
.
.
...
.
.
.
12.
.
.
.
.
.
.
12.
.
.
.
12
由对称性知
P(Ar
B0C)
=
P(A0Br
D)，所求概率为：


2n.r.1

.2n
.
r
.1.
1.

P(ABC
∪
ABD)
=
2P(ABC)
=. .
..
..
..
.

0
rr
00
r


.
n
.1
..
2.