空间中的平行与垂直关系(基础)

空间中的平行与垂直关系【知识图解】

【知识梳理】

一、平行

1、平行公理

2、构造三角形:

3、构造平行四边形:

4、线面平行性质：

5、面面平行性质：

6、线面平行判定：

7、面面平行的性质：

8、面面平行的判定1：

9、面面平行的判定2：

【典型例题】

例1、正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是C B BA 11,的中点，求证:ABCD EF 面//.

变式：如图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在的平面相交于AB ，AC M ∈,FB N ∈且FN AM =,求证：MN//平面BCE.

例2、如图，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，P A=AD ，E 、F 分别是AB 、PD

的中点。

(1)求证：AF ∥平面PCE ； (2)求证：平面PCE ⊥平面PCD 。

P

A

B

D

F

E

N

M

F

E

D

C

B

A

例3、2009浙江理20．（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ?

是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，

PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．

（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，

并求点M 到OA ，OB 的距离．

练习：

1、（2009浙江卷文）（本题满分14分）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，

22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为

,AE AB 的中点．

（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

2、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

（1）求证：BC

1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B 。

3、如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形．求证：AB ∥平面EFGH ．

2013安徽理（19）如图，圆锥定点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.50，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为600.

（1） 证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2） 求cos ∠COD

4、点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，E,F 分别是PA,BD 上的点，且

FD BF EA PE :: ，求证：PBC //面EF .

5、 (2009山东卷理)（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

E

A

B

C

F

E 1

A 1

B 1

C 1

D 1 D

C

6、2011安徽理（17）（本小题满分12分） （17）（本小题满分12分）

如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA=1，OD=2，⊿OAB, ⊿OAC, ⊿ODE, ⊿ODF 都是正三角形. （Ⅰ）证明直线B C ∥EF;

（Ⅱ）求棱锥F-OBED 的体积.

7、在四棱锥AB CD -P 中，ABCD 是平行四边形，点E 在

PD 上，且PE:ED=2:1，试问在棱PC 上是否存在一点F ，使得BF//面AEC ？

二、垂直

1、直角:三角形、四边形：特别是矩形、等腰梯形

B

2、勾股定理

3、线面垂直性质：

4、线面垂直判定：

5、面面垂直性质：

6、面面垂直性质：

例4、（广州2007水平测18）如图3，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中,60,BAD PA PD ?

∠==, E 为PC 的中点. （1）求证://PA 平面EBD ; （2）求证:PBC ?是直角三角形.

变式练习：底面是矩形的四棱锥B C D E A -中，面

B C D E ABC 面⊥，AB=AC,BC=2，CD=2，证明：CE AD ⊥.

例5、在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AA =1,111ABB A BC A 面面⊥，证明：BC ⊥B A 1.

E

C

A

1

A

例6、（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ??

=∠=∠=，

点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC . 求证：BC ⊥平面PAC ；

例7、（2009北京卷文）（本小题共14分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.

求证：平面AEC PDB ⊥平面；

例8、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

（1）求证：BC

1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B 。

例9、（2009江苏卷）（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、

1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C

⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ；

（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .

2013江苏16．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证： （1）平面//EFG 平面ABC ；

（2）SA BC ⊥．

练习：1、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o

A

B

C

S

G

F

E

（Ⅰ）证明：AB ⊥PC

（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ， 求三棱锥P ABC -体积。

2、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都

相等，M 是侧棱1CC 的中点，证明： BM

AB ⊥1.

3、（2010北京理16）（本小题共14分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面

互相垂直，CE AC ⊥//,1EF AC AB CE EF ===,.

（Ⅰ）求证：//AF 平面BDE ；

（Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A BE D --的大小。