遗传算法及其在遥感线性_非线性模型反演中的应用效果分析

*国家 九七三 计划资助项目(G2*******);国家自然科学基金资助项目(49871055)

收稿日期:2001 11 20

遗传算法及其在遥感线性、非线性模型

反演中的应用效果分析

*唐世浩 朱启疆 闫广建 周晓东

(北京师范大学遥感与GIS 研究中心,资源与环境科学系和环境遥感与数字城市北京市重点实验室,

100875,北京!第一作者30岁,男,博士)

摘要 分别以2类常见的遥感模型???线性光谱混合模型和G OM S 模型为代表研究了遗传

算法在遥感线性和非线性模型反演中的应用效果,并与逐步二次规划法等确定性搜索算法进行了

比较.结果表明,遗传算法在线性遥感模型反演中的优势并不明显.而在非线性遥感模型反演中优

于确定性搜索算法.这主要是因为对于线性模型来说,一般定义的代价函数为凸函数,大多优化算

法可以收敛于全局最优解,相比较而言,遗传算法因其搜索效率低,故优势不明显.而在非线性模

型反演中,代价函数的形式比较复杂,可能是非凸的,因此遗传算法的优势得以发挥,这也说明与

一般确定性搜索算法相比,遗传算法具有更好的全局收敛性.

关键词 遥感;反演;先验知识;遗传算法

分类号 T P 701

遥感模型反演是遥感反演的重要手段之一.遥感前向模型大多比较复杂,难于求出其反函数的解析表达式,再加上遥感获得信息的途径有限,给模型的反演带来一定困难.依靠计算机迭代的方法实现反演是目前常用的方法之一[1].这种反演方法最终可以归结到求解约束最优化问题.在反演过程中,最优化算法对结果的影响不应忽略.然而在目前的遥感反演研究中,反演算法的影响很少被考虑.确定性搜索算法是目前此类反演常用的算法.Privette 在1994年对3种常用的确定性搜索算法:dow nhill simplex 方法、conjug ate direction set 方法、quasi New ton 方法进行了比较,认为dow nhill simplex 算法比较精确可靠[2].但目前一般认为大多确定性搜索算法除了在搜索效率上有所改进外,对于算法的全局收敛性改进较小.

近年来,随着计算技术的发展,一些新的智能算法(如模拟退火算法、模拟进化算法等)得到了迅速发展和广泛应用,为优化问题的解决提供了一条新途径.特别是模拟进化算法(遗传算法(GA)、进化策略(ES)、进化规划(EP)),无论理论研究还是应用研究都空前活跃.同时,一些新的模拟进化算法,如蚁群算法等也逐渐发展起来.它们都是利用自然现象与优化过程的某些相似性而逐步发展起来的随机搜索技术.这些算法求解时不依赖于梯度信息,应用范围较广,尤其适用于传统搜索方法解决不了的大规模复杂问题.遗传算法是其中理论比较成熟并且较有潜力的一种.

遥感前向模型按参量之间的关系可以归结为线性和非线性模型2类.下面分别以遥感中常用的线性光谱混合模型和几何光学交互遮蔽模型(GOM S 模型)为例研究遗传算法在遥感线性、非线性模型反演中的应用效果.

2002年 4月

第38卷 第2期北京师范大学学报(自然科学版)Journal of Beijing Nor mal University (Natural Science)A pr.2002Vol.38 N o.2

第2期唐世浩等:遗传算法及其在遥感线性、非线性模型反演中的应用效果分析267 1遗传算法的基本原理

常用的遗传算法一般包含4个主要操作:编码、选择、交叉和变异.应用遗传算法寻求最优解的基本思想是:先将问题的候选解进行编码,即一个候选解对应一个编码,经过编码后的候选解称为个体,许多候选解的个体组成了候选解群,称之为群体.对这样的群体像生物进化那样进行选择、交叉和变异的操作,产生新一代群体.选择的基础是适应度值,不同的问题有不同的适应度函数,对于适应度函数值高的个体在下一代有较多的选择机会,而适应度函数值低的个体,则在下一代产生数目较少后代,最后逐渐被淘汰.通过这样的筛选,使得整个群体一代比一代优良.选择操作提高了群体的平均适应度值,但没有产生新的个体.新个体的产生是通过交叉和变异操作实现的.交叉通过双亲编码的随机交换产生新一代的群体,体现了自然界信息交换的思想.交叉操作产生的新一代的个体,既保留了双亲的部分基因,又引入新的基因.变异操作模拟生物进化过程中基因突变现象,对于二进制编码来说,变异相当于将某一个体中任一位码按某一概率进行取反操作,即原码为0的变为1,原码为1的变为0.虽然和生物界一样,发生变异的概率值是很小的,但这种变异在优化过程中非常有意义,它可以防止求解过程中过早收敛产生局部最优解而非总体最优解.经过上述多代操作,即可最终获得问题的最优解.

与传统启发式搜索算法不同,遗传算法像撒网一样,在参变量空间中进行搜索,由串组成的群体在遗传算子作用下,同时对空间中不同区域进行计算,从而构成一个不断进化的群体序列.通过保持空间不同区域中多个点的搜索,遗传方法即使在所定义的适应函数不连续、非规则或有噪声的情况下,也能以很大的概率求得全局最优解[3].

2遗传算法在线性模型反演中的应用效果分析

遥感影像是以像元为基本单位,来检测和获取地物信息.如果空间分辨率越低,则一个像元覆盖的面积越大,一个像元内包括数种地物的可能就越大,就越有可能形成混合像元.严格说来,所有的像元均是混合像元.然而,在一个像元中,如果一个像元所占的面积百分比足够大,这样的像元就可近似看作典型像元.

混合像元问题不仅影响地物识别分类精度,而且是遥感技术向定量化深入发展的重要障碍.如果通过一定方法,找出组成混合像元的各种典型地物的比例,则可解决混合像元问题,提高分类和定量遥感精度.

线性光谱混合模式是最常用、最简单的光谱混合模式,即将像元光谱看成是像元内组分光谱的面积加权线性混合.在线性光谱混合模式中,像元光谱波段反射率被看成为像元内组分光谱反射率与其面积比的线性组合.第i波段的像元反射率r i可以表示成:

r i=#n j=1(a i j f j)+e i,i=1,?,m,(1)其中m为光谱波段数,n为像元内组分数,a i j表示像元内第j组分在第i波段的反射率,f j为像元内第j组分的面积比,e i为第i波段的误差项.

式(1)可以表示成矩阵的形式:

r=A f+e,(2)其中:r,e为m维矢量;f为n维矢量;A为m%n维矩阵.

若已知r ,A ,并且&f &1=1,则求解f 的问题转化为从m +1个方程中求n 个未知数的问题.

一般将线性光谱混合模式反演组分面积比问题转化为如下约束最优化问题:

min f

(r (f )- r )T

(r (f )- r ),s.t.&f &1=1,0?f ?1,

(3)其中f 为待反演参数,r (f )为计算值, r 为实际值.

下面利用遗传算法对线性光谱混合模型进行反演,并与约束线性模型反演常用的有效集法进行比较.为便于说明问题,反演采用模拟数据.

2.1 模拟数据获取 从USGS(United States Geolog ical Survey)光谱库中取出松树和枯枝落叶光谱,从JHU (Johns H opkins University)土壤光谱库中取出棕黑沙壤土光谱,并将它们分别按AVIRIS (Airborne V isible/Infrared Imaging Spectrometer)波段插值,采用松树和枯枝落叶、沙壤土按6(3(1的比例混合产生AV IRIS 波段混合光谱(图1 a).在混合光谱上分别叠加2%,5%,10%的随机噪声(图1 b~

d).图1 混合光谱曲线

2.2 遗传算法进行亚像元分解的具体步骤 构造适应度函数为

c(f )=-(

#m i=1(r i (f )- r i )2+ h 2(f )),(4)

其中:h(f )=f 1+f 2+f 3-1,f 为待反演参数矢量;m 为波段数;r , r 分别为拟合值与真值; 268 北京师范大学学报(自然科学版)第38卷

为可以取无穷大的正数,这里取108.

将待反演参数作为基因,采用实数编码策略,每种基因的组合作为一个染色体.根据参数的物理意义,限定待反演参数(组分面积比)的区间为[0,1].算法的具体步骤参见文献[4].

2.3 遗传算法与有效集法在线性光谱模型反演中的应用效果比较 将遗传算法的反演结果与线性模型反演中常用的有效集法进行比较.有效集法是求解存在不等式约束的二次规划的一个重要方法.直观上,将不起作用约束去掉,将起作用约束作为等式约束,通过解一系列等式约束的二次规划来实现不等式约束的优化[5].表1分别列出了2种算法的反演效果.采用式

(5)的标准化绝对误差和作为各反演结果之间比较的指标.

E =#3i=1

|f i - f i | f i ,(5)其中:f i 为第i 个待反演参数; f i 为该参数的真实值,分别为60%,30%,10%.

表1 2种算法的反演结果算法

初值0.5,0.5,0.5

f 1f 2f 3E 有

效

集

法

原始混合光谱0.6 0.3 0.1 0 叠加2%随机误差0.6010.2980.1010.018叠加5%随机误差0.6030.2950.1020.042叠加10%随机误差0.6060.2910.1030.070遗

传

算

法原始混合光谱0.6 0.3 0.1 0 叠加2%随机误差0.6020.2970.1010.023叠加5%随机误差

0.5970.3120.0940.105叠加10%随机误差0.6120.2780.1100.193

分析表1中数据可以看出2种算法的反演结果差不多,随误差增大,反演效果均变差.与有效集法相比,遗传算法并没有表现出任何优势.可见,对于线性模型来说,遗传算法并不是最好的反演算法.因为上述定义的代价函数是一个凸函数,一般基于梯度的算法可以快速、准确地找到最优值点,而遗传算法却要花费相对较长的时间,而二者最终的反演结果差不多.3 遗传算法在反演非线性模型参数时的应用效果分析

同样利用上述遗传算法对几何光学相互遮蔽(GOMS)模型

[6]进行反演,并将反演结果与

确定性搜索算法???逐步二次规划法进行比较.3.1 几何光学GOMS 模型 GOMS 模型从宏观的角度出发,把树冠当作椭球体,基于 景合成模型 和Bollean 原理从统计角度计算像元内各组分所占的比例和二向反射分布函数[7].该模型的反演,有望使我们获得像元组分结构、光谱等有关信息.GOMS 模型形式比较复杂,为便于描述,这里使用如下的简单关系式表示:

Y(n r 2,b r ,h b , h b

,G ,C ,Z , i ,!i , v ,!v )=K g G +K c C +K z Z,(6)其中:Y 为观测值;G ,C,Z 为光谱参数,分别表示光照地面、光照树冠及阴影的亮度分量;K g ,K c ,K z 是由结构参数、入射角度及观测角度所决定的各组分的面积比,可以用nr 2,b/r ,h /b, h /b, i ,!i , v ,!v 的非线性函数描述,其中 i ,!i , v ,!v 分别为太阳天顶角、

太阳方位角、观测天顶角和观测方位角,n 表示单位面积内树冠的数目,r 为椭球的水平半径,b 为垂直半径,h 为球心离地表的距离, h 为树冠中心高度均匀分布时最高值与最低值之差(图2).

第2期唐世浩等:遗传算法及其在遥感线性、非线性模型反演中的应用效果分析

269

270北京师范大学学报(自然科学版)第38卷

nr2描述了天顶观测时树冠的覆盖度,b/r表示了树冠的基本

形状,主要影响非天顶方向的覆盖度,h/b主要影响热点宽

度, h/b影响BRDF碗边效应的形状.

3.2遗传算法的反演效果分析分别采用遗传算法和逐步二

次规划法对GOM S模型进行反演,以获取组分结构参量信息.

其中逐步二次规划法目前被认为是求解约束非线性最优化问

题的比较有效的方法[5],其基本原理是首先构造拉格朗日函

数,用二次函数近似拉格朗日函数后化为二次规划问题,然后

通过求解一系列二次规划子问题最终获得问题的解.反演数据

来自BOREAS(Boreal Ecosystem-Atmosphere Study),SSA

(Southern Study Area),OBS(Old Black Spruce)试验点机载

ASAS观测数据及相应的地面观测数据.反演中采用ASAS近红外波段(波长0.856?m)主平面和垂直主平面14个角度的反射率数据.OBS试验区实测结构参数nr2,b/r,h/b, h/b的均值分别取为0.222, 4.175, 1.065, 2.706.根据TE13实测的冠层反射率和USGS光谱库有关信息及地面实际情况(地面目标为云杉,地表覆盖为枯枝落叶),反演中的光谱参数分别取为G=0.3328,C=0.3974,Z=0.04.

反演中的适应度函数定义为:

f(nr2,b/r,h/b, h/b)=-(#m i=1(Y i(nr2,b/r,h/b, h/b)-!Y i)2),(7)其中:Y i,!Y i分别为模拟值和实际值;m为反演中所采用的角度数;其他参数同公式(6).根据参数的实际意义及有关树结构的先验知识,参数的取值范围分别定义为nr2)[0,1],b/r) [0,10],h/b)[0,10], h/b)[0,10].由于反演时2种算法采用相同的先验知识和代价函数形式,因此使用的光谱参数和待反演参数的取值范围对本文的结论影响不大.

表2分别列出在不同初值下(接近于真实值和以参数区间中间值作为初值)逐步二次规划法与遗传算法的反演效果比较.从表中数据可以看出,由于逐步二次规划法采用确定性搜索算法,其反演结果受初值的影响很大,当初值与实际值有较大偏差时,易收敛于局部最优解,导致反演结果误差很大.遗传算法采用并行随机搜索算法,基本不受初值影响,但同时也不可避免带来局部搜索效率差、收敛速度慢等问题.实际计算时,遗传算法所需的运行时间远远高于逐步二次规划法.

表2不同初值下遗传算法与逐步二次规划法反演结果比较

nr2b/r h/b h/b E nr2b/r h/b h/b E 算法

0.200 4.000 1.000 2.000?0.500 5.000 5.000 5.000?

逐步二次规划法0.222 4.175 1.065 2.7060 1.0007.105 5.000 5.092 2.446

遗传算法(50代)0.208 4.278 1.055 2.5840.1480.208 4.278 1.055 2.5840.148

3.3混合遗传算法的反演效果为了提高搜索效率,采用将遗传算法与逐步二次规划相结合的混合遗传算法对GOMS模型进行反演,即以遗传算法的初步反演结果作为逐步二次规划法的初值进行反演.表3列出了反演结果.从表中数据可以看出,将50代遗传计算后获得的值作为逐步二次规划法初值进行反演,最终结果与经250代遗传计算获得的结果相当,而实际计算时间也可大大缩短.

第2期唐世浩等:遗传算法及其在遥感线性、非线性模型反演中的应用效果分析271

表3混合遗传算法反演结果

算法nr2b/r h/b h/b E

遗传算法(50代)0.208 4.278 1.055 2.5840.148

遗传算法(50代)+逐步二次规划法0.222 4.175 1.065 2.7060

遗传算法(250代)0.222 4.176 1.065 2.7050.001

4结论与讨论

在计算机迭代反演过程中,不仅需要定义合适的代价函数,使待反演参数在接近真实值处具有最优的代价函数值,同时还要保证反演算法能够收敛于全局最优解.而一般的确定性寻优算法往往不能保证这一点,以遗传算法为代表的全局随机搜索算法理论上具有更好的全局收敛性.本文将遗传算法与一般确定性搜索算法在遥感线性、非线性模型反演中的效果进行了比较.结果表明,对于线性模型来说,算法之间除了在搜索效率上有差别外,在全局收敛性上差别不大.而对于非线性遥感模型反演来说,遗传算法比一般确定性搜索算法具有更好的全局收敛性.这主要是因为反演线性模型时,所定义的代价函数一般为凸函数,此时大部分算法都可以找到全局最优点,遗传算法的优势表现得并不明显.而反演非线性模型时,其代价函数形式比较复杂,往往是多峰的,这时随机搜索算法的优势就得以发挥.此外,遗传算法在搜索效率上一般低于确定性搜索算法,将遗传算法与确定性搜索算法相结合,充分发挥二者的优势,可以获得较为理想的效果.

当然,遗传算法目前也无法确保收敛于全局最优解.先验信息的引入可以使代价函数由非凸变为凸函数,从而使反演问题成为凸规划[8].对于凸规划来说,一般最优化算法都可以顺利找到全局最优点.另外,即使采用了很不确定的先验知识,不能完全消除局部极小点,也可使代价函数变得更为光滑,从而增加成功反演的概率.尤其当反演过程中出现明显不合理的局部极小点(不光远离真实值,而且也不在先验知识的不确定性范围内)时,先验知识的约束作用会更加明显,这样将大大降低迭代反演过程陷入此类局部极小点的可能性,保证了反演结果的合理性.因此如果具有比较确定的先验知识,可以适当降低对算法的要求.欲使计算机迭代反演真正达到实用化,除了需注意反演算法的影响外,还需强化前向模型、代价函数、先验知识的获取与表达等方面的研究.

本工作得到波士顿大学客座教授、北京师范大学资环学院李小文院士及王锦地等专家的支持和指导,谨致谢忱!

5参考文献

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272北京师范大学学报(自然科学版)第38卷

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[8]闫广建.地表遥感要素反演研究[博士论文D].北京:中国科学院遥感应用研究所,1999:20

EFFEC TS O F GA ON THE INVERSION OF

LINEAR AND NONLINEAR REMOTE

S ENSING MODELS

Tang Shihao Zhu Qijiang Yan Guangjian Zhou Xiaodong (Research Center for Remote S ensing an d GIS;Department of Resources and Environmental S cience,

Beijing Normal University;Beijing Key Laboratory for Remote Sensing of Environment

and Digital Cities:100875,Beijing,China)

Abstract Iteration is an im portant w ay to invert complicate remote sensing models.The g lobal convergence of the alg orithm used in this method should be considered.GA is a randomly searching algorithm,w hich is currently considered to be relatively mature and have good global convergence ability.In this paper,GA is applied to invert two common remote sensing models, Linear Spectral M ixing model and GOM S model,to analyze the effect of GA on the inversion of linear and nonlinear remote sensing models.The results show that GA is not better than commonly used algorithms for the inversion of linear remote sensing models,but is more effective for the nonlinear models.T his is mainly because that for the former,the commonly defined merit functions are convex and the maximum point can be found easily,w hile for the later are not.In the latter case,the superiority of GA can be exerted.T his result further attests that GA has better global convergence than the other optimum algorithms.

Key words remote sensing;inversion;prior know ledg e;genetic algorithm

第一章 非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法（6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念； 2、掌握线性稳定性的分析方法； 3、掌握奇点的分类及判别条件； 4、理解结构稳定性及分支现象； 5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。 二、教学重点 1、线性稳定性的分析方法； 2、奇点的判别。 三、教学难点 线性稳定性的分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。 六、教学过程

本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。 1.1相空间和稳定性 一、动力系统 在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。 假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。 ),,,(2111 n X X X f dt dX ???=λ ),,,(2122 n X X X f dt dX ???=λ (1.1.1) … ),,,(21n n n X X X f dt dX ???=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如:)cos(t A x x ω=+

第三章 瞬态动力学分析

§3.1瞬态动力学分析的定义 瞬态动力学分析（亦称时间历程分析）是用于确定承受任意的随时间变化载荷结构的动力学响应的一种方法。可以用瞬态动力学分析确定结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下的随时间变化的位移、应变、应力及力。载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要。如果惯性力和阻尼作用不重要，就可以用静力学分析代替瞬态分析。 瞬态动力学的基本运动方程是： 其中： [M] =质量矩阵 [C] =阻尼矩阵 [K] =刚度矩阵 {}=节点加速度向量 {}=节点速度向量 {u} =节点位移向量 在任意给定的时间，这些方程可看作是一系列考虑了惯性力（[M]{}）和 阻尼力（[C]{}）的静力学平衡方程。ANSYS程序使用Newmark时间积分方法在离散的时间点上求解这些方程。两个连续时间点间的时间增量称为积分时间步长（integration time step）。 §3.2学习瞬态动力学的预备工作 瞬态动力学分析比静力学分析更复杂，因为按“工程”时间计算，瞬态动力学分析通常要占用更多的计算机资源和更多的人力。可以先做一些预备工作以理解问题的物理意义，从而节省大量资源。例如，可以做以下预备工作：

1.首先分析一个较简单模型。创建梁、质量体和弹簧组成的模型，以最小的代价深入的理解动力学认识，简单模型更有利于全面了解所有的动力学响应所需要的。 2.如果分析包括非线性特性，建议首先利用静力学分析掌握非线性特性对结构响应的影响规律。在某些场合，动力学分析中是没必要包括非线性特性的。 3.掌握结构动力学特性。通过做模态分析计算结构的固有频率和振型，了解这些模态被激活时结构的响应状态。同时，固有频率对计算正确的积分时间步长十分有用。 4.对于非线性问题，考虑将模型的线性部分子结构化以降低分析代价。<<高级技术分指南>>中将讲述子结构。 §3.3三种求解方法 瞬态动力学分析可采用三种方法：完全（Full）法、缩减（Reduced）法及模态叠加法。ANSYS/Professional产品中只允许用模态叠加法。在研究如何实现这些方法之前，让我们先探讨一下各种方法的优点和缺点。 §3.3.1完全法 完全法采用完整的系统矩阵计算瞬态响应（没有矩阵缩减）。它是三种方法中功能最强的，允许包括各类非线性特性（塑性、大变形、大应变等）。 注─如果并不想包括任何非线性，应当考虑使用另外两种方法中的一种。这是因为完全法是三种方法中开销最大的一种。 完全法的优点是： ·容易使用，不必关心选择主自由度或振型。 ·允许各种类型的非线性特性。 ·采用完整矩阵，不涉及质量矩阵近似。 ·在一次分析就能得到所有的位移和应力。 ·允许施加所有类型的载荷：节点力、外加的（非零）位移（不建议采用）和单元载荷（压力和温度），还允许通过TABLE数组参数指定表边界条件。 ·允许在实体模型上施加的载荷。 完全法的主要缺点是它比其它方法开销大。

非线性动力学数据分析

时间序列分析读书报告与数据分析 刘愉 200921210001 时间序列分析是利用观测数据建模，揭示系统规律，预测系统演化的方法。根据系统是否线性，时间序列分析的方法可分为线性时间序列分析和非线性时间序列分析。 一、 时间序列分析涉及的基本概念 1、 测量 对于一个动力系统，我们可以用方程表示其对应的模型，如有限差分方程、微分方程等。如果用t X 或)(t X 表示所关心系统变量的列向量，则系统的变化规律可表示成 )(1t t X f X =+或)(X F dt dX = 其中X 可以是单变量，也可以是向量，F 是函数向量。通过这类方程，我们可以研究系统的演化，如固定点、周期、混沌等。 在实际研究中，很多时候并不确定研究对象数据何种模型，我们得到的是某类模型（用t X 或)(t X 表示）的若干观测值（用t D 或)(t D 表示），构成观测的某个时间序列，我们要做的是根据一系列观测的数据，探索系统的演化规律，预测未来时间的数据或系统状态。 2、 噪声 测量值和系统真实值之间不可避免的存在一些误差，称为测量误差。其来源主要有三个方面：系统偏差（测量过程中的偏差，如指标定义是否准确反映了关心的变量）、测量误差（测量过程中数据的随机波动）和动态噪音（外界的干扰等）。 高斯白噪声是一类非常常见且经典的噪声。所谓白噪声是指任意时刻的噪声水平完全独立于其他时刻噪声。高斯白噪声即分布服从高斯分布的白噪声。这类噪声实际体现了观测数据在理论值（或真实值）周围的随机游走，它可以被如下概率分布刻画： dx M x dx x p 2222)(exp 21 )(σπσ--= （1） 其中M 和σ均为常数，分别代表均值和标准差。 3、 均值和标准差 最简单常用的描述时间序列的方法是用均值和标准差表示序列的整体水平和波动情况。 （1）均值 如果M 是系统真实的平均水平，我们用观测的时间序列估计M 的真实水平方法是：认为N 个采样值的水平是系统水平的真实反映，那么最能代表这些观测值（离所有观测值最近）的est M 即可作为M 的估计。于是定义t D 与est M 的偏离为2 )(est t M D -,所以，使下面E 最小的M 的估计值即为所求： 21)(∑=-=N t est t M D E （2）

瞬态动力学分析

第16章瞬态动力学分析 第1节基本知识 瞬态动力学分析，亦称时间历程分析，是确定随时间变化载荷作用下结构响应的技术。它的输入数据是作为时间函数的载荷，可以是静载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用。输出数据是随时间变化的位移及其它导出量，如：应力、应变、力等。 用于瞬态动力分析的运动方程为： []{}[]{}[]{}() {}t F M= u + + C K u u 其中：式中[M]为质量矩阵；[C]为阻尼矩阵；[K]为刚度矩阵。 所以在瞬态动力分析中密度或质点质量、弹性模量及泊松比、阻尼等因素均应考虑，在ANSYS分析过程中密度或质量、弹性模量是必须输入的，忽略阻尼时可以选忽略选项。 瞬态动力学分析可以应用于承受各种冲击载荷的结构，如：炮塔、汽车车门等，应用于承受各种随时间变化载荷的结构，如：混凝土泵车臂架、起重机吊臂、桥梁等，应用于承受撞击和颠簸的办公设备，如：移动电话、笔记本电脑等，同时ANSYS在瞬态动力学分析中可以使用线性和非线性单元（仅在完全瞬态动力学中使用）。材料性质可以是线性或非线性、各向同性或正交各项异性、温度恒定的或温度相关的。分析结果写入jobname.RST文件中。可以用POST1和POST26观察分析结果。 ANSYS在进行瞬态动力学分析中可以采用三种方法，即Full(完全)法、Reduced（缩减）法和Mode Superposition（模态叠加）法。ANSYS提供了各种分析类型和分析选项，使用不同方法ANSYS软件会自动配置相应选择项目，常用的分析类型和分析选项如表16-1所示。

在瞬态分析中，时间总是计算的跟踪参数，在整个时间历程中，同样载荷也是时间的函数，有两种变化方式： Ramped ：如图16-1（a ）所示，载荷按照线性渐变方式变化。 Stepped ：如图16-1（b ）所示，载荷按照解体突变方式变化。 图16-1 载荷增加方式 渐变与突变 依据载荷变化方式可以将整个时间历程划分成多个载荷步（LoadStep ），每个载荷步代表载荷发生一次突变或一次渐变阶段。在每个载荷步时间内，载荷增量又可以划分多个子步（Substep ），在子步载荷增量的条件下程序进行迭代计算即Iteriation ，经过多个子步的求解实现一个载荷步的求解，进而求出多个载荷步的求解实现整个载荷时间历程的求解。 利用ANSYS 进行瞬态动力学分析时可以在实体模型或有限元模型上施加下列载荷：约束（Displacement ）、集中力（Force ）、力矩（Moment ）、面载荷（Pressure ）、体载荷（Temperature 、Fluence ）、惯性力（Gravity ，Spinning ，ect.）。 在ANSYS 中，进行多载荷步加载的基本方法常用有三种：（1）连续多载荷步加载法。 （2）定义载荷步文件批加载法。（3）定义表载荷加载法。 第2节 瞬态动力学分析实例 案例1——自由度弹簧质量系统瞬态分析 LOAD (a) Ramped （b ） Stepped

《从非线性动力学到复杂系统》

《从非线性动力学到复杂系统》 段法兵 系统理论博士生课程

第一讲动态系统的发展 系统是一些相互关联的客体组成的集合，动态（动力dynamical）系统是系统状态变量，比如温度、位移、价格、信号幅值等，随着时间变化的。它的描述可以用微分方程或者离散方程。 微分方程历史悠久，可追溯到牛顿、伽利略、欧拉、雅克比等人，用以描述行星的运动轨迹。研究中发现即使满足牛顿引力定律的三体运动也非常复杂，其微分方程是非线性的，非线性是指不满足叠加定律的方程，解无法利用已知函数进行描述，如果能够描述的我们称为显式解。因此，庞加莱在1880年-1910年期间，试图利用解的拓扑几何性质来解释动态系统的运动规律，发现即使确定性系统，其运动规律也会出现随机性态，非常复杂（确定性系统是指其外力是确定的不随机，只要知道初始条件和演化方程，其运动是可预先确定的）。 非线性系统运动的复杂性：李雅普诺夫研究了系统平衡点？的稳定性？问题，随后本迪尔松等发现系统的解包含（1）平衡态（静止不动）；（2）周期运动（比如行星）（3）拟周期，就是几个频率不可公约周期之和。 接着1975年Li和Yorke提出了混沌的概念，即系统的解是非周期的一种类似随机运动的现象，这其中就包含了洛伦兹提出的“蝴蝶效应”，根源在于这类非线性动力系统对于初始条件的极其敏感性，初始条件的微小变化导致了系统状态的巨大改变，从此有关非线性科学的发展异常迅速，形成了现代动力学理论，其最重要的贡献是揭示了一个简单的模型可能蕴含了无比复杂的动力学性态。 例子：Van der Pol（范德波尔）方程 1920年Van der Pol利用电子震荡管研究心脏的跳动问题，比如人工心脏起

第一章 非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法(6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念; 2、掌握线性稳定性得分析方法; ?3、掌握奇点得分类及判别条件; ?4、理解结构稳定性及分支现象; 5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象. 二、教学重点 1、线性稳定性得分析方法； ?２、奇点得判别。 三、教学难点 ?线性稳定性得分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 ?学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。 六、教学过程 本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。 1、1相空间与稳定性 ?一、动力系统 在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学. 假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方

程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X ＝X i（t),则控制它们 ｉ 得方程组为常微分方程组。 ?????（１。1．1) … 其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。1．１)为自治动力系统。若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统. 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如： 令,,上式化为 上式则就是一个三维自治动力系统。 又如: 令,则化为 它就就是三微自治动力系统、 对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。 能严格求出解析解得非线性微分方程组就是极少得,大多数只能求数值解或近似解析解。 二、相空间 ,X2,…Ｘn）描述得系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支由n个状态变量＝(Ｘ １ 起一个n维空间，这个n维空间就称为系统得相空间。在ｔ时刻，每个状态变量都有一个确定得值，这些值决定了相空间得一个点，这个点称为系统状态得代表点(相点），即它代表了系统t时刻得状态。随着时间得流逝,代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线.它代表了系统状态得演化过程。 三、稳定性 把方程组（1。1．1)简写如下

遗传算法解非线性方程

遗传算法解非线性方程组的Matlab程序 程序用MATLAB语言编写。之所以选择MATLB，是因为它简单，但又功能强大。写1行MATLAB程序，相当于写10行C++程序。在编写算法阶段，最好用MATLAB语言，算法验证以后，要进入工程阶段，再把它翻译成C++语言。 本程序的算法很简单，只具有示意性，不能用于实战。 非线性方程组的实例在函数(2)nonLinearSumError1(x)中，你可以用这个实例做样子构造你自己待解的非线性方程组。 %注意：标准遗传算法的一个重要概念是，染色体是可能解的2进制顺序号，由这个序号在可能解的集合(解空间)中找到可能解 %程序的流程如下： %程序初始化，随机生成一组可能解(第一批染色体) %1: 由可能解的序号寻找解本身(关键步骤) %2：把解代入非线性方程计算误差，如果误差符合要求，停止计算 %3：选择最好解对应的最优染色体 %4：保留每次迭代产生的最好的染色体，以防最好染色体丢失 %5: 把保留的最好的染色体holdBestChromosome加入到染色体群中 %6: 为每一条染色体(即可能解的序号)定义一个概率(关键步骤) %7：按照概率筛选染色体(关键步骤) %8：染色体杂交(关键步骤) %9：变异 %10:到1 %这是遗传算法的主程序，它需要调用的函数如下。 %由染色体(可能解的2进制)顺序号找到可能解： %(1)x=chromosome_x(fatherChromosomeGroup,oneDimensionSet,solutionS um); %把解代入非线性方程组计算误差函数：(2)functionError=nonLinearSumError1(x); %判定程是否得解函数：(3)[solution,isTrue]=isSolution(x,funtionError,solutionSumError); %选择最优染色体函数： %(4)[bestChromosome,leastFunctionError]=best_worstChromosome(fatherC hromosomeGroup,functionError); %误差比较函数：从两个染色体中，选出误差较小的染色体 %(5)[holdBestChromosome,holdLeastFunctionError]... % =compareBestChromosome(holdBestChromosome,holdLeastFunctionError,... % bestChromosome,leastFuntionError) %为染色体定义概率函数，好的染色体概率高，坏染色体概率低 %(6)p=chromosomeProbability(functionError); %按概率选择染色体函数： %(7)slecteChromosomeGroup=selecteChromome(fatherChromosomeGroup,p );

反演原理及公式介绍工科

第一章反演理论 第一节基本概念 一．反演和正演 1．反演 反演是一个很广的概念，根据地震波场、地球自由振荡、交变电磁场、重力场以及热学等地球物理观测数据去推测地球内部的结构形态及物质成分，来定量计算各种有关的物理参数，这些都可以归结为反演问题。在地震勘探中，反演的一个重要应用就是由地震记录得到波阻抗。 有反演，还有正演。要正确理解反演问题，还要知道正演的概念。 2．正演 正演和反演相反，它是对一个假设的地质模型，给定某些参数（如速度、层数、厚度）用理论关系式（数学模型）推导出某种可测量的量（如地震波）。在地震勘探中，正演的一个重要应用就是制作合成地震记录。 3．例子 考虑地球内部的温度分布，假定地球内部的温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz 正演：给定a和b，求不同深度z的对应温度T(z) 反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b。 二．反演问题描述和公式表达的几个重要问题 1．应用哪种参数化方式——离散的还是连续的？ 2．地球物理数据的性质是什么？观测中的误差是什么？ 3．问题能不能作为数学问题提出，如果能够，它是不是适定的？ 4．对问题有无物理约束？ 5．能获得什么类型的解，达到什么精度？要求得到近似解、解的范围、还是精确解？ 6．问题是线性的还是非线性的？ 7．问题是欠定的、超定的、还是适定的？ 8．什么是问题的最好解法？ 9．解的置信界限是什么？能否用其它方法来评价？ 第二节反演的数学基础

一．解超定线性反问题 1．简单线性回归 可利用最小平方法确定参数a 、b 使误差的平方和最小。 ??? ? ???∑-∑∑∑-∑=-=∑∑-=2 2)()(x x n y x xy n b x b y n x b y a （1-2-1） 拟合公式为： bx a y +=? （1-2-2） 该方法的公式原来只适用于解超定问题，但同样适用于欠定问题，当我们有多个参数时，称为多元回归，在地球物理领域广泛采用这种方法。此过程用矩阵形式表示，则称为广义最小平方法矩阵方演。 2．非约束最小平方法反演——广义矩阵方法 由前面讨论可知，参数估计的最小平方方法用矩阵公式表示，所得到的算法等价于一个或多个模型参数的一个或多个数据集反演，步骤为： 问题定义→矩阵公式→最小平方解 线性问题采用广义矩阵形式 d=Gm （1-2-3） 对于精确的数据模型，参数m 为 m=G -1d （1-2-4） 但是由于试验误差，实际数据将不能精确拟合获得，故采用最小平方法求解。解的矩阵表示式为 d G G G m T T 1][?-= （1-2-5） 上式具体计算时可用奇异值分解方法 G=U ∧V T 最后，得 m ?=（G T G ）-1G T d=V ∧-1U T d （1-2-6）

单摆非线性动力学

单摆的非线性动力学分析 亚兵 （交通大学车辆工程专业，，730070） 摘要:研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况。再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况。关键词:单摆；振动；阻尼；驱动力 Abstract:The vibration of simple pendulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force its influence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an approximate Lyapunov theory of stability of motion is derived pendulum situation. Drawing tools with help from matlab, small angle and wide-angle pendulum motion simulation, by changing the parameters, such as damping size, drive size draw simple pendulum of different phase diagram, analysis and comparison of the phase diagram, from the verification the stability of the situation pendulum movement. Key words: simple pendulum; vibration; damp; drive force 1 引言 单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动（摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解析解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解析的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动。 θ=时, 随着摆角的减小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降,至0 加速度取极小值。本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的非线性运，得出了在运动过程中.,t θθθ --的关系。

非线性模型参数估计的遗传算法

滨江学院 毕业论文（设计）题目非线性模型参数估计的遗传算法 院系大气与遥感系 专业测绘工程 学生姓名李兴宇 学号200923500** 指导教师王永弟 职称讲师 二Ｏ一三年五月二十日

- 目录- 摘要 (3) 关键词 (3) 1.引言 (3) 1.1 课题背景 (3) 1.2 国内外研究现状 (4) 1.3 研究的目的和意义 (4) 1.4 论文结构 (5) 2.遗传算法简介 (5) 2.1 遗传算法的起源 (5) 2.2 遗传算法的基本思想 (6) 2.2.1 遗传算法求最优解的一般步骤 (7) 2.2.2 用技术路线流程图形式表示遗传算法流程 (7) 2.3 遗传算法的基本原理及设计 (8) 2.3.1 适应度设计 (8) 2.3.2 遗传算子操作 (9) 3.遗传算法的应用实例 (9) 3.1 非线性模型参数估计 (10) 3.2 实例分析 (10) 4.结语 (12) 参考文献 (12) 英文题目 (14) - 1 -

- 2 - 致谢 (15)

非线性模型参数估计的遗传算法 李兴宇 南京信息工程大学滨江学院测绘工程专业，南京 210044 摘要：关于非线性模型计算中的参数估计是十分棘手的问题，为此常常将这样的问题转化成非线性优化问题解决，遗传算法作为一种具有强适应性的全局搜索方法而被频繁的应用于非线性系统参数估计的计算当中，本文介绍了遗传算法及其理论基础,阐述了遗传算法在非线性模型参数估计中的应用的起源和发展,引入实例说明了遗传算法在非线性模型参数估计的实际运用中的实现，并概述了基于遗传算法的非线性参数模型估计具体解算过程，将使用遗传算法得到的结果与其他算法的解算结果进行比较，结果表明：遗传算法是一种行之有效的搜索算法，能有效得到全局最优解，在今后的研究中值得推广。 关键词：遗传算法非线性模型参数估计应用 1.引言 1.1课题背景 当前科学技术的发展和研究已经进入了进入各个领域、多个学科互相交叉、互相渗透和互相影响的时代，生命科学的研究与工程科学的交叉、渗透和相互补充提高便是其中一个非常典型的例子，同时也表现出了近代科学技术发展的一个新的显著特点。遗传算法研究工作的蓬勃发展以及在各个领域的广泛应用正是体现了科学发展过程的的这一明显的特点和良好的趋势。 非线性科学是一门研究复杂现象的科学，涉及到社会科学、自然科学和工程技术等诸多领域，在测绘学的研究中，尤其是在测量平差模型的研究和计算过程中，大量引入的都是非线性函数方程模型，而对于非线性模型的解算，往往过程复杂。遗传算法的出现为研究工作提供了一种求解多模型、多目标、非线性等复杂系统的优化问题的通用方法和框架。 对于非线性系统的解算，传统上常用的方法是利用其中参数的近似值将非线性系统线性化，也就是线性近似，测绘学中通常称之为线性化，经过线性化之后，将其视为线性模型并利用线性模型的解算方法得到结果，这就很大程度的简化了解算步骤，减少了工作量，但同时会带来新的问题，运用这种传统方法得到的数据结果存在的误差较大、精度不足等问题。利用线性近似方法对非线性模型进行参数估计，精度往往取决于模型的非线性强度。 - 3 -

瞬态动力学分析

瞬态动力学分析 瞬态动力学分析（也称时间历程分析）是用于确定承受任意的随时间变化载荷的结构的动力学响应的一种方法。 本章将通过实例讲述瞬态动力学分析的基本步骤和具体方法。 瞬态动力学概论 弹簧阻尼系统的自由振动分析 任务驱动&项目案例

Note

Note

对话框，输入“ Note 图10-2 定义工作标题 ）定义单元类型。选择主菜单中的Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete 图10-3 Element Types对话框图10-4 Library of Element Types对话框 （3）定义单元选项。在如图所示的对话框中单击Options按钮，弹出COMBIN40 element type options对话框，如图10-5所示，在Element degree(s) of freedom K3下拉列表框中选择UX选项，在 Mass location K6下拉列表框中选择Mass at node J选项，如图10-5所示，单击OK按钮，回到如图10-3 所示的对话框。单击Close按钮关闭该对话框。 图10-5 COMBIN40 element type options对话框 ）定义第一种实常数。选择主菜单中的Main Menu > Preprocessor > Real Constants > Add/Edit/ ·276·

Element Type for Real Note 图10-6 Real Constants对话框Element Type for Real Constants 10-7所示的对话框中选择Type 1 COMBIN40选项，单击OK按钮，弹出Real Constant Set Number1,for COMBIN40对话框，在Spring constant K1文本框中输入“10000”，在Mass M ”，在Limiting sliding force FSLIDE“1.875”，在Spring const(par to slide) K2 文本框中输入“30”，如图10-8所示，单击按钮。接着单击Real Constants对话框中的 关闭该对话框，退出实常数定义。 ）创建节点。选择主菜单中的Main Menu > Preprocessor > Modeling > Create > Nodes > In Active CS Create Nodes in Active Coordinate System NODE Node number文本框中输入 图10-8 Real Constant Set Number1, 图10-9 生成第一个节点 for COMBIN40对话框 在Create Nodes in Active Coordinate System对话框的NODE Node number文本框中输入“2”，在 X,Y,Z Location in active CS文本框中输入“1、0、0”，单击OK按钮，屏幕显示如图10-10所示。 （6）打开节点编号显示控制。选择实用菜单中的 Plot Numbering Controls对话框，选中NODE Node numbers 所示，单击OK按钮。

完全非线性反演初步

第四章完全非线性反演初步 前面几章讨论了地球物理反演问题的线性反演方法。它们是理论最完整、应用最广泛、最为成熟的反演方法。但是，在现实工作中，绝大多数地球物理问题都是非线性问题。用线性反演方法处理非线性反演问题总显得“力不从心”。因此，研究、发展非线性反演方法是地球物理工作者刻不容缓的重要任务。与线性反演相比，非线性反演无论在理论上还是在处理方法上都要困难得多，故非线性反演理论、方法相对而言至今仍处于不太完善的状态。近年来，由于广大地球物理工作者的不懈努力，非线性反演方法得到了迅速发展，并在实际工作中得到了应用。 由于非线性反演相对于线性反演而言至今仍处于不太完善的状态，而且非线性反演较线性反演难度要大，故它常借鉴一些新兴学科的前沿理论作为基础，涉及的面较广，所需的基础知识较深较新。为使读者对非线性反演有一个初步的了解，本章仅简单地介绍若干最常用、最成熟的完全非线性反演方法。对非线性反演有兴趣的读者可阅读有关的参考资料。 如前所述，所谓地球物理非线性反演问题，是指观测数据 d 和模型参数m 之间不存在简单的线性关系（包括线性函数、线性泛函），而是复杂的非线性关系。它们之间可能以隐式形式出现，如F（d，m ）=0；也可能以显式形式出现，如d =g（m ）。 目前发展的大量非线性反演方法大体上可以分为两大类，一类为线性化方法；另一类为完全非线性反演方法。前一章已介绍了线性化方法，本章简单介绍完全非线性反演方法。 §4.1 线性化反演方法求解非线性反演问题的困难 由前所述可知，线性化反演方法求解非线性反演问题时强烈地依赖于初始模型。若初始模型选择得好，可以得到真实解，否则就可能得到错误的解。初始模型的选择显然需要对模型参数的先验了解，即先验知识和先验信息。若先验知识和信息丰富，则初始模型可以选择得较好，否则就难以选择。幸运的是，对于许多地球物理问题，我们已经有了不少先验知识和先验信息，可以方便地选择初始模型。这也就是为什么线性化反演方法能够解决许多地球物理非线性反演问题的原因。但是，还有很多地球物理问题，人们没有太多的先验知识和先验信息，难以正确地选择初始模型。为了解决这些问题，必须使用完全非线性反演方法。在介绍完全非线性反演方法之前，首先需要了解为什么线性化反演方法强烈地依赖于初始模型，即了解其困难所在。 由前一章可知，线性化方法在每一次迭代时，首先搜索在当前模型下目标函数的下降（或上升）方向，然后按此方向以一定步长前进，求得一个新的模型；以此新模型作为起点，再进行搜索，不断迭代，直至不能前进为止。当然，搜索的方法可以不同（或利用导数，或不利用导数），但其基本思想必为搜索下降（或上升）方向，如果没有下降（或上升）方向了，搜索也就停止。 由于线性化反演方法每一次迭代时均只朝目标函数值减小（或增大）的方向搜索，不可能向相反的方向搜索。当初始模型在真实模型附近时，这种搜索能达到最小值（或最大值）所对应的真实模型处。但当初始模型离真实模型较远，在某一局部极值所对应的模型附近时，这种搜索会到达局部极值为止，再也不可能改变了，即陷入了局部极值。显然，局部极值对应的模型不是真实模型，而是一个错误的模型。因此，我们说线性化方法强烈地依赖于初始模型；它求取的只是初始模型附近某一局部极值所对应的解。这种解虽然是所谓的满意解：因为它的目标函数值确实较大，且用这些方法在此初始模型下再也找不到更好的解了；但不一定是我们欲求的“最佳”解，其意义仅仅是指在初始模型附近的最好解。 线性反演问题的目标函数只有一个极值。非线性反演问题存在多个极值。多极值的存在使线性化反演求解非线性反演问题时，若初始模型选择不当会陷入局部极值，得到错误的解。这就是用线性化反演方法求解非线性问题的困难所在。解决的办法一是利用丰富的先验知识和先验信息选择较好的初始模型，二是发展不依赖于初始模型的完全非线性反演方法。

基于Matlab遗传算法的非线性方程组优化程序

基于Matlab遗传算法的非线性方程组优化程序 clear,clc;%清理内存，清屏 circleN=200;%迭代次数 format long %构造可能解的空间，确定染色体的个数、长度 solutionSum=4;leftBoundary=-10;rightBoundary=10; distance=1;chromosomeSum=500;solutionSumError=0.1; oneDimensionSet=leftBoundary:distance:rightBoundary; oneDimensionSetN=size(oneDimensionSet,2);%返回oneDimensionSet中的元素个数 solutionN=oneDimensionSetN^solutionSum;%解空间(解集合)中可能解的总数 binSolutionN=dec2bin(solutionN);%把可能解的总数转换成二进制数 chromosomeLength=size(binSolutionN,2);%由解空间中可能解的总数(二进制数)计算染色体的长度 %程序初始化 %随机生成初始可能解的顺序号,+1是为了防止出现0顺序号 solutionSequence=fix(rand(chromosomeSum,1)*solutionN)+1; for i=1:chromosomeSum%防止解的顺序号超出解的个数 if solutionSequence(i)>solutionN; solutionSequence(i)=solutionN; end end %把解的十进制序号转成二进制序号 fatherChromosomeGroup=dec2bin(solutionSequence,chromosomeLength); holdLeastFunctionError=Inf;%可能解的最小误差的初值 holdBestChromosome=0;%对应最小误差的染色体的初值 %计算 circle=0; while circle

(完整版)地球物理学中的反演问题

地球物理学中的反演问题 1、介绍 物理科学的一个重要的方面是根据数据对物理参数做出推断。通常，物理定律提供了计算给定模型的数据值的方法，这就被称为“正演问题”，见图-1。在反演问题中，我们的目标是根据一组测量值重建物理模型。在理想情况下，存在一个确定的理论规定了这些数据应该怎样转换从而重现该模型。从选择的一些例子来看，这样一个存在的理论假定了（我们）所需要的无限的、无噪声的数据是可以获得的。在一个空间维度中，当所有能量的反射系数已知时，量子力学势能可以被重建[Marchenko,1955; Brurridge,1980]。这种手法可以推广到三维空间[Newton,1989]，但是在那样的情形下要求有多余数据组，其中的原因并不是很理解。在一条一维的线上的质量密度可以通过对它的所有本征频率的测量来构建[Borg,1946]，但是因为这个问题的对称性，因而只有偶数部分的质量密度可以被确定。如果（地下的）地震波速只和深度有关，那么根据地震波的距离，运用阿贝尔变换，这个速度可以通过测定震波的抵达时间来精确构建[Herglotz,1907;Wiechert,1907]。从数学上看，这个问题和构建三维空间中的球对称量子力学势是相同的[Keller et al.,1956]。然而，当波速随着深度单调增加时，Herglotz-Wiechert的构建法只能给出唯一解[Gerver and Markushevitch,1966]。这种情况和量子力学是相似的，在量子力学中，当电势没有局部最小值时，径向对称势只能被唯一建立[Sabatier,1973]。（量子力学相关概念不熟悉，翻译起来有点坑~~）

ANSYS动力学分析

第5章动力学分析 结构动力学研究的是结构在随时间变化载荷下的响应问题，它与静力分析的主要区别是动力分析需要考虑惯性力以及运动阻力的影响。动力分析主要包括以下5个部分：模态分析：用于计算结构的固有频率和模态。 谐波分析（谐响应分析）：用于确定结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应。 瞬态动力分析：用于计算结构在随时间任意变化的载荷作用下的响应，并且可涉及上述提到的静力分析中所有的非线性性质。 谱分析：是模态分析的应用拓广，用于计算由于响应谱或PSD输入（随机振动）引起的应力和应变。 显式动力分析：ANSYS/LS-DYNA可用于计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 本章重点介绍前三种。 【本章重点】 ?区分各种动力学问题； ?各种动力学问题ANSYS分析步骤与特点。 5.1 动力学分析的过程与步骤 模态分析与谐波分析两者密切相关，求解简谐力作用下的响应时要用到结构的模态和振型。瞬态动力分析可以通过施加载荷步模拟各种何载，进而求解结构响应。三者具体分析过程与步骤有明显区别。 5.1.1 模态分析 1.模态分析应用 用模态分析可以确定一个结构的固有频率利振型，固有频率和振型是承受动态载荷结构设计中的重要参数。如果要进行模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析，固有频率和振型也是必要的。可以对有预应力的结构进行模态分析，例如旋转的涡轮叶片。另一个有用的分析功能是循环对称结构模态分析，该功能允许通过仅对循环对称结构的一部分进行建模，而分析产生整个结构的振型。 ANSYS产品家族的模态分析是线性分析，任何非线性特性，如塑性和接触(间隙)单元，即使定义也将被忽略。可选的模态提取方法有6种，即Block Lanczos(默认)、Subspace、Power

遗传算法解决非线性规划问题的Matlab程序

非线性整数规划的遗传算法Matlab程序（附图） 通常，非线性整数规划是一个具有指数复杂度的NP问题，如果约束较为复杂，Matlab优化工具箱和一些优化软件比如lingo等，常常无法应用，即使能应用也不能给出一个较为令人满意的解。这时就需要针对问题设计专门的优化算法。下面举一个遗传算法应用于非线性整数规划的编程实例，供大家参考！ 模型的形式和适应度函数定义如下： 这是一个具有200个01决策变量的多目标非线性整数规划，编写优化的目标函数如下，其中将多目标转化为单目标采用简单的加权处理。 function Fitness=FITNESS(x,FARM,e,q,w) %% 适应度函数 %输入参数列表 %x决策变量构成的4×50的0-1矩阵 %FARM细胞结构存储的当前种群，它包含了个体x

%e4×50的系数矩阵 %q4×50的系数矩阵 %w1×50的系数矩阵 %% gamma=0.98; N=length(FARM);%种群规模 F1=zeros(1,N); F2=zeros(1,N); for i=1:N xx=FARM{i}; ppp=(1-xx)+(1-q).*xx; F1(i)=sum(w.*prod(ppp)); F2(i)=sum(sum(e.*xx)); end ppp=(1-x)+(1-q).*x; f1=sum(w.*prod(ppp)); f2=sum(sum(e.*x)); Fitness=gamma*sum(min([sign(f1-F1);zeros(1,N)]))+(1-gamma)*sum(min([sign(f2-F2);zeros(1,N)])); 针对问题设计的遗传算法如下，其中对模型约束的处理是重点考虑的地方 function [Xp,LC1,LC2,LC3,LC4]=MYGA(M,N,Pm) %% 求解01整数规划的遗传算法

ansys动力学分析全套讲解

第一章模态分析 §模态分析的定义及其应用 模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性（固有频率和振型），即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。同时，也可以作为其它动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。 ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。 ANSYS产品家族中的模态分析是一个线性分析。任何非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，即使定义了也将被忽略。ANSYS提供了七种模态提取方法，它们分别是子空间法、分块Lanczos法、PowerDynamics法、缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法。阻尼法和QR阻尼法允许在结构中存在阻尼。后面将详细介绍模态提取方法。 §模态分析中用到的命令 模态分析使用所有其它分析类型相同的命令来建模和进行分析。同样，无论进行何种类型的分析，均可从用户图形界面（GUI）上选择等效于命令的菜单选项来建模和求解问题。 后面的“模态分析实例（命令流或批处理方式）”将给出进行该实例模态分析时要输入的命令（手工或以批处理方式运行ANSYS时）。而“模态分析实例（GUI方式）” 则给出了以从ANSYS GUI中选择菜单选项方式进行同一实例分析的步骤。（要想了解如何使用命令和GUI选项建模，请参阅<>）。<>中有更详细的按字母顺序列出的ANSYS命令说明。 §模态提取方法 典型的无阻尼模态分析求解的基本方程是经典的特征值问题： 其中： =刚度矩阵, =第阶模态的振型向量（特征向量）, =第阶模态的固有频率（是特征值）, =质量矩阵。 有许多数值方法可用于求解上面的方程。ANSYS提供了7种方法模态提取方法，下面分别进行讨论。 1.分块Lanczos法 2.子空间（Subspace）法 Dynamics法