2019高考数学文一轮分层演练：第8章立体几何 第5讲

[学生用书P254(单独成册)]

一、选择题

1．

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有直角三角形的个数为()

A．4B．3

C．2 D．1

解析：选A．由P A⊥平面ABC可得△P AC，△P AB是直角三角形，且P A⊥BC．又∠ABC ＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P-ABC中共有4个直角三角形．

2．

如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

解析：选A．由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1．

因为AC?平面ABC，

所以平面ABC1⊥平面ABC．

所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

3．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c

解析：选B．A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β．

由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b?α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b?α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c．由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b?α，且c?α时，若b∥c，则c∥α．由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．

4．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，给出下列命题：

①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．

其中正确命题的个数是()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B．命题①，若α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，又l?β，所以m⊥l，正确；

命题②，l与m可能相交，也可能异面，错误；

命题③，α与β可能平行，错误；

命题④，因为m∥l，又m⊥α，所以α⊥β，正确．

5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是() A． 5 B．2 5

C．3 5 D．4 5

解析：选D．如图，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC．

又P A⊥平面ABC，根据三垂线定理，得PD⊥BC．

在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，所以AD＝4．

在Rt△P AD中，P A＝8，AD＝4，所以PD＝45．

6．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD．将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()

A．A′C⊥BD

B．∠BA′C＝90°

C ．CA ′与平面A ′B

D 所成的角为30° D ．四面体A ′-BCD 的体积为1

3

解析：选B ．若A 成立可得BD ⊥A ′D ，产生矛盾，故A 不正确；

由题设知：△BA ′D 为等腰Rt △，CD ⊥平面A ′BD ，得BA ′⊥平面A ′CD ，于是B 正确； 由CA ′与平面A ′BD 所成的角为∠CA ′D ＝45°知C 不正确； V A ′-BCD ＝V C -A ′BD ＝1

6，D 不正确．故选B ． 二、填空题 7．

如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△P AC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有__________________；与AP 垂直的直线有________．

解析：因为PC ⊥平面ABC ， 所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ． 因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， 所以AB ⊥平面P AC ， 又因为AP ?平面P AC ，

所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB ． 答案：AB ，BC ，AC AB

8．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD ．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析：

连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ．又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC ．所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ．

而PC ?平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD ． 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) 9．

如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1

的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ．要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．

解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ?平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ． 由已知可以得A 1B 1＝2，

设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝1

2h ，

又2×2＝h ×22＋（2）2， 所以h ＝233，DE ＝3

3．

在Rt △DB 1E 中， B 1E ＝

（

22）2－（33）2＝6

6． 由面积相等得6

6

× x 2＋（

22）2＝22x ，得x ＝12．即线段B 1F 的长为12

． 答案：1

2

10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n ．

其中所有正确的命题是________．(将正确命题的序号都填上)

解析：借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n ，故④正确．故①④正确．

答案：①④ 三、解答题

11．如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点．

(1)求证：BF ∥平面ADP ；

(2)已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF ． 证明：

(1)如图，取PD 的中点为G ，连接FG ，AG ，

因为F 是CE 的中点，所以FG 是梯形CDPE 的中位线， 因为CD ＝3PE ，所以FG ＝2PE ，FG ∥CD ， 因为CD ∥AB ，AB ＝2PE ，

所以AB ∥FG ，AB ＝FG ，即四边形ABFG 是平行四边形，

所以BF ∥AG ，又BF ?平面ADP ，AG ?平面ADP ，所以BF ∥平面ADP ． (2)延长AO 交CD 于M ，连接BM ，FM ，

因为BA ⊥AD ，CD ⊥DA ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点， 所以ABMD 是正方形，则BD ⊥AM ，MD ＝2PE ． 所以FM ∥PD ， 因为PD ⊥平面ABCD ，

所以FM ⊥平面ABCD ，所以FM ⊥BD ， 因为AM ∩FM ＝M ，所以BD ⊥平面AMF ， 所以BD ⊥平面AOF ．

12．(2018·郑州第二次质量检测)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝1

3

AB ＝

1，M 为AB 的三等分点．现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC ．

(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC ?

(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．

解：(1)当AP ＝1

3AB 时，有AD ∥平面MPC ．

理由如下：

连接BD 交MC 于点N ，连接NP ．

在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝1

2，

因为△ADB 中，AP PB ＝1

2，所以AD ∥PN ．

因为AD ?平面MPC ，PN ?平面MPC ， 所以AD ∥平面MPC ．

(2)因为平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ， 平面AMD 中AM ⊥DM ，所以AM ⊥平面MBCD ． 所以V P -MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝1

6． 在△MPC 中，MP ＝12AB ＝5

2，MC ＝2，

又PC ＝

（12）2＋12＝52，所以S △MPC ＝1

2

×2×（

52）2－（22）2＝6

4

． 所以点B 到平面MPC 的距离为 d ＝3V P -MBC

S △MPC ＝3×1

664

＝63．

1．

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，AD＝2，∠DAB ＝60°，E为AB的中点．

(1)证明：平面PCD⊥平面PDE；

(2)若PD＝3AD，求点E到平面PBC的距离．

解：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，

所以PD⊥AB，

连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，

所以△DAB为等边三角形，又E为AB的中点，

所以AB⊥DE，又PD∩DE＝D，

所以AB⊥平面PDE，

因为CD∥AB，所以CD⊥平面PDE，

因为CD?平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PDE．

(2)因为AD＝2，所以PD＝23，

在Rt△PDC中，PC＝4，同理PB＝4，

易知S△PBC＝15，S△EBC＝

3 2，

设点E到平面PBC的距离为h，连接EC，

由V P-EBC＝V E-PBC得，1

3S△ABC·PD＝

1

3S△PBC·h，

所以h＝15 5．

2．如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB＝2AD＝2．

(1)求证：EA⊥EC；

(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，EF＝1，求三棱锥E-ADF的体积．

解析：(1)证明：因为矩形ABCD⊥平面ABE，CB?平面ABCD且CB⊥AB，

所以CB⊥平面ABE，从而AE⊥BC，①又因为在半圆ABE中，AB为直径，

所以∠AEB＝90°，即AE⊥BE，②

由①②知AE⊥平面BCE，

故有EA⊥EC．

(2)因为AB∥CD，

所以AB∥平面DCE．

又因为平面DCE∩平面ABE＝EF，

所以AB∥EF，

在等腰梯形ABEF中，

EF＝1，AF＝1，∠AFE＝120°，

所以S△AEF＝1

2×EF×AF×sin 120°＝

3

4，

V E-ADF＝V D-AEF＝1

3×S△AEF×AD

＝1

3×

3

4×1

＝

3 12．