2011年高考数学一轮精品题集：不等式
2011届高考数学一轮复习精品题集
不等式
第3章不等式
重难点：通过具体情境，能建立不等式模型；掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．
考纲要求：①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
②会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
③通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
④会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
经典例题：某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车Sm和汽车车速x km/h有如下关系：
2
11
20180
s x x
=+
，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01km/h）.
当堂练习：
1. 方程
2(21)0
mx m x m
+++=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）
A.
1
4
m>-
B.
1
4
m<-
C.
1
4
m≥
D.
1
4
m m
>-≠
且
2. 下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（）
A．(x+3)(x－1)>0B．(x+4)(x－1)<0C．x2－2x+3<0D．2x2－3x－2>0
3. 不等式组
127,
(1)(2)4
x
x x
-<-
?
?
+-≥
?的解集为（）
A．（－∞，－2］∪[3，4) B．（－∞，－2］∪（4，+∞）
C．（4，+∞） D．（－∞，－2］∪（4，+∞）
4. 若0 1 ()()0 x a x a --< 的解是（） A. 1 a x a << B. 1 x a a << C. 1 x x a a >< 或 D. 1 x a x a >< 或 5. 若2 2520 x x -+-> 22 x- 等于（） A.5 4- x B.3 - C.3 D.x4 5- 6. 一元二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－ 1 2, 1 3)，则a＋b的值是( ) A.10 B.－10 C.14 D.－14 7. 若0＜a ＜1，则不等式（x －a ）(x －1 a )>0的解集是（ ） A ．(a ，1a ) B ．(1 a ，a) C ．(－∞，a)∪(1a ，+∞) D ．(－∞，1 a )∪(a ，+∞) 8. 若不等式 20(0)ax bx c a ++>≠的解集为?，则下列结论中正确的是（ ） A. 20,40a b ac <-> B. 2 0,40a b ac >-< C. 20,40a b ac <-≤ D. 2 0,40a b ac >-≥ 9. 己知关于x 的方程(m+3)x 2－4mx +2m －1= 0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( ) A ．－3< m<0 B ．0 C ．m<－3或m> 0 D ．m<0 或 m>3 10. 有如下几个命题： ①如果x1, x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根且x1 ③0x a x b -≤-与不等式(x －a)(x －b)≤0的解集相同； ④223 1x x x -<-与x2－2x ＜3(x －1)的解集相同. 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 11. 函数 y = . 12. 已知关于x 的不等式2 0x x t ++>对x ∈R 恒成立，则t 的取值范围是 . 13. 若不等式 2 10x qx p p ++>的解集为{|24}x x <<，则实数p= . 14. α和β是关于x 的方程x2－(k －2)x+k2+3k+5=0的两个实根,则α2+β2的最大值为 . 15. 设0a >，解关于x 的不等式： 2 (1)10.ax a x -++< 16. 已知函数y=(k2+4k－5)x2+4(1－k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围. 17. 要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸? 18. 设A={x|x2 +3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k+k2≥0}且A B，试求k的取值范围. 第3章不等式 §3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题 重难点：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 考纲要求：①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 经典例题：求不等式|x－2|+|y－2|≤2所表示的平面区域的面积. 当堂练习： 1．下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y－1=0的同一侧的是（） A．（0，0）B．（－1，1）C．（－1，3）D．（2，－3） 2．下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x－y+4）＜0表示的平面区域内的是（） A．（0，0）B．（－2，0）C．（－1，0）D．（2，3） 3．用不等式组表示以点（0，0）、（2，0）、（0，－2）为顶点的三角形内部，该不等式组为_______. 4．甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别是300t和750t.A、B、C三地需要该种产品的数量分别为200t、450t、400t，甲运往A、B、C三地每1t产品的运费分别为6元、3元、5元，乙地运往A、B、C三地每1t产品的运费分别为5元、9元、6元，为使运费最低，调运方案是_______，最低运费是_______. 5．画出不等式组? ? ? ? ? ≤ ≥ + ≥ + - 3 ,0 ,0 5 x y x y x 表示的平面区域. 6．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润? 7．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围. 8．给出的平面区域是△ABC内部及边界（如下图），若目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值及z的最大值. 9．若把满足二元二次不等式（组）的平面区域叫做二次平面域. （1）画出9x2-16y2+144≤0对应的二次平面域； （2）求x2+y2的最小值； （3）求2-x y 的取值范围. 第3章 不等式 §3.4基本不等式 重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 考纲要求：①了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 经典例题：若a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-不可能同时大于41 ． 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．21 11a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．1 2 Ｂ．22 a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x>0,则 1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x, y 是正数，且14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1 16 6. 若a, b, c ∈R ，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．222 2a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ．1 11a b c + + ≥ D ．a b c ++≤7. 若x>0, y>0,且x+y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2 D ．1 1 xy ≥ 8. a,b 是正数，则 2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22 a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤ + Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ． 22ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ． 2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ． 4y x x =+ Ｂ．4 sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ． 3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y = . 12. 建造一个容积为18m3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元， 那么池的最低造价为 元. 13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 . 14. 若x, y 为非零实数，代数式2222 8()15x y x y y x y x +-++的值恒为正，对吗？答 . 15. 已知：2222 ,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx+ny 的最大值. 16. 已知)R ,10(log )(+ ∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+ ∈R 2x , 试比较)]()([2121x f x f +与 ) 2(21x x f +的大小，并加以证明. 17. 已知正数a, b 满足a+b=1（1）求ab 的取值范围;（2）求 1 ab ab + 的最小值. 18. 设()13221+++?+?=n n a n .证明不等式 ()212) 1(2 +< <+n a n n n 对所有的正整数n 都成立. 第3章 不等式 §3.5不等式单元测试 1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 （ ） A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ 2． “0>>b a ”是“ 22 2b a ab +< ”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．不等式b ax >的解集不可能是 （ ） A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ． ) ,(a b --∞ 4．不等式022 >++bx ax 的解集是 )31 ,21(-，则b a -的值等于 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．不等式||x x x <的解集是 （ ） A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．若011< b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ， 12)(2 -+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 （ ） A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 （ ） A ．y x ＋x y B ．4522 ++x x C ．tanx ＋cotx D ． x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是 （ ） A ．02 >x 与0>x B ．01) 2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ． )23(log 2 1>+x 与123<+x D ．1 12 ≤--x x 与112≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 （ ） A. }8|{a a C. }8|{≥a a D. }8|{≤a a 11．若+ ∈R b a ,，则b a 11+与b a +1的大小关系是 . 12．函数 121lg +-=x x y 的定义域是 . 13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 14. 已知 0()1,0x x f x x ≥?=? - 16．解不等式：21582 ≥+-x x x 17．已知1 2>-x ax ． 18．已知0=++c b a ，求证：0≤++ca bc ab 。 19．对任意]1,1[-∈a ，函数 a x a x x f 24)4()(2 -+-+=的值恒大于零，求x 的取值范围。 20．如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？ 21．已知函数 b ax x x f ++=2 )(. （1）若对任意的实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围； （2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ； （3）若)21,0(∈a ，求证：对于任意的]1,1[-∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是. 142 a b a -≤≤- 1．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（ ） A ．4 B ．34 C ．9 D ．18 2、数列{}n a 的通项为n a =12-n ，*N n ∈，其前n 项和为n S ，则使n S >48成立的n 的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 3、若不等式897 x +<和不等式022 >-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（ ） A ．a =﹣8 b =﹣10 B ．a =﹣4 b =﹣9 C ．a =﹣1 b =9 D ．a =﹣1 b =2 4、△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．锐角三角形 5、在首项为21，公比为1 2的等比数列中，最接近1的项是（ ） A ．第三项 B ．第四项 C ．第五项 D ．第六项 6、在等比数列{}n a 中，117a a ?=6，144a a +=5，则1020 a a 等于（ ） A ．32 B ．23 C ．23或32 D ．﹣32或﹣23 7、△ABC 中，已知()()a b c b c a bc +++-=，则A 的度数等于（ ） A ．120 B ．60 C ．150 D ．30 8、数列{}n a 中，1a =15，2331-=+n n a a （*N n ∈） ，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ） A ．2221a a B ． 2322a a C ． 2423a a D ． 2524a a 9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ） A ．41.1 B ．5 1.1 C ．610(1.11)?- D ． 511(1.11)?- 10、已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边的长为a 、b ，则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于（ ） A ．2 B ．2-π C ．4 D ．24-π 11、在△ABC 中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= 12．函数 2 lg(12)y x x =+-的定义域是 13．数列{}n a 的前n 项和 *23()n n s a n N =-∈，则5a = 14、设变量x 、y 满足约束条件 ?? ? ??≥+-≥-≤-112 2y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100个 面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的1 3是较小的两份之和，则最小1份的大小是 16、已知数列 {}n a 、{}n b 都是等差数列，1a =1-，41-=b ，用k S 、'k S 分别表示数列{}n a 、{}n b 的前k 项和（k 是正整数），若 k S +'k S =0，则k k b a +的值为 17、△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos cos 2B b C a c =- + （1）求∠B 的大小； （2）若a =4，35=S ，求b 的值。 18、已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列 （1）求通项公式 n a （2）设2n a n b =，求数列n b 的前n 项和n s 19、已知： ab a x b ax x f ---+=)8()(2 ，当)2,3(-∈x 时， 0)(>x f ；),2()3,(+∞--∞∈ x 时，0)( （1）求)(x f y =的解析式 （2）c 为何值时， 02≤++c bx ax 的解集为R. 20、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。 （1）若设休闲区的长 11A B x =米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数)(x S 的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 21、设不等式组 ?? ? ??+-≤>>n nx y y x 30 0所表示的平面区域为 n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整 数的点）个数为 ))((* N n n f ∈ A （1）求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式； （2）记 ()(1) 2n n f n f n T ?+= ，试比较1n n T T +与的大小；若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围； （3）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，其中) (2n f n b =，问是否存在正整数t n ,，使161 11 <-+++n n n n tb S tb S 成立？若存在，求出正整数t n ,；若不存在，说明理由。 参考答案 第3章 不等式 §3.1不等关系、一元二次不等式 经典例题：79.94km/h 当堂练习： 1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A; 8.C; 9.A; 10.D;11. （－8，8）; 12.1,4 ??+∞ ? ?? ; 13. - ; 14. 18; 15. 11 1,{| 1}1,{|1}a x x a x x a a ><<<<<当时解集为；当时解集为; 16. [)1,19; 17．半圆直径与矩形的高的比为2∶1 ; 18．[)[) 0, 1,0+∞- . §3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题 经典例题：79.94km/h 当堂练习： 1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A; 8.C; 9.A; 10.D;11. （－8，8）; 12.1,4 ??+∞ ? ?? ; 13. - ; 14. 18; 15. 11 1,{| 1}1,{|1}a x x a x x a a ><<<<<当时解集为；当时解集为; 16. [)1,19; 17．半圆直径与矩形的高的比为2∶1 ; 18．[)[) 0, 1,0+∞- . §3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题 经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题. 解法一：原不等式|x －2|+|y －2|≤2等价于 ? ????? ?≤≤≥+≥≤-≥-≤≥≤-≥≥≤+,2,2, 2, 2,2,2,2,2,2,2,2,6y x y x y x y x y x y x y x y x 作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为22的正方形，其面 积为8. 解法二：∵|x －2|+|y －2|≤2是|x|+|y|≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的， ∴|x －2|+|y －2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2表示的平面区域的面积，由于|x|+|y|≤2 的图象关于x 轴、y 轴、原点均对称，故求得平面区域?? ? ??≥≥≤+.00,2y x y x 如下图所示的面积为2，故|x|+|y|≤2 的面积为4×2=8. ∴所求面积为8. 当堂练习： 1.C; 2.B; 3. ?? ? ??<--<>02, 0,0y x y x ; 4. 甲地运往B 地300t ，乙地运往A 地200t ，运往B 地150t ，运往C 地400t ， 5650元; 5. 思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出 直线x －y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0）， 代入x －y+5.∵0－0+5=5＞0，∴原点在x －y 表示的 平面区域内，即x －y+5≥0表示直线x －y+5=0上及右 下方的点的集合，同理可得x+y ≥0表示直线x+y=0 上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x=3上及左方的点的集合. 6. 思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为x 、y 亩，根据条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润. 解：如下图所示，设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得? ????? ?≥≥≤+≤+.0,0,40080240, 2y x y x y x 而利润P=（3×400－240）x+（5×100－80）y =960x+420y （目标函数）， 可联立? ? ?=+=+,40080240, 2y x y x 得交点B （1.5，0.5）. 故当x=1.5，y=0.5时， Pmax=960×1.5+420×0.5=1650， 即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大. 7. 思路分析：可以把a 、b 分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目标函数9x －y 的最大值和最小值. 解：问题转化为在约束条件? ? ?≤-≤-≤-≤-541,14b a b a 下，目标函数z=9a －b 的取值范围. 画出可行域如下图所示的四边形ABCD 及其内部. 由???-=-=-14,1b a b a ，解得? ??==1,0b a 得点A （0，1）. 当直线9a －b=t 通过与可行域的公共点A （0，1）时， 使目标函数z=9a －b 取得最小值为zmin=9×0－1=－1. 由?? ?=--=-,54, 4b a b a 解得? ??==7,3b a 得点C （3，7）. 当直线9a －b=t 通过与可行域的公共点C （3，7）时， 使目标函数z=9a －b 取得最大值为zmax=9×3－7=20. ∴9a －b 的取值范围是［－1，20］. 8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论. 解：直线z=ax+y （a ＞0）是斜率为－a ，y 轴上的截距为z 的直线族，从题图可以看出，当－a 小于直线AC 的斜率时，目标函数z=ax+y （a ＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；当－a 大于直线AC 的斜率时，目标函数z=ax+y （a ＞0）取得最大值的最优解是（5，2）； 只有当－a 等于直线AC 的斜率时，目标函数z=ax+y （a ＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC 上 的所有点都是最优解.直线AC 的斜率为-21，所以a=21时，z 的最大值为21×1+4=29 . 9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x2-16y2+144≤0所表示的平面区域. 解：(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144，其值为144>0，因此9x2-16y2+144≤0表示的平面区域如图所 示的阴影部分，即双曲线92y -162 x =1的含有焦点的区域. (2)设P(x ，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P 与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x2+y2=|OP|2=16. (3)取Q(2，0)，则直线PQ 的斜率为k=2-x y ，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x2-16y2+144=0得 (9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ=0得k=±105 3， 由图可知k ≥1053或k ≤-105 3. 故所求2-x y 的取值范围是(-∞，- 1053］∪［105 3，+∞). §3.4基本不等式 经典例题： 【 解析】 证法一 假设b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-同时大于41 ， ∵ 1－a>0，b>0，∴ 2)1(b a +-≥ 21 41)1(= > -b a ， 同理212)1(>+-c b ，212)1(>+-a c .三个不等式相加得23 23> ，不可能， ∴ (1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能同时大于41 . 证法二 假设 41)1(> -b a ，41)1(>-c b ，41 )1(>-a c 同时成立， ∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ 641 )1()1()1(> ---a c c b b a ， 即 641)1()1()1(>---c c b b a a . （*） 又∵ a a )1(-≤412)1(2 =??? ???+-a a ， 同理b b )1(-≤41，c c )1(-≤41 ， ∴c c b b a a )1()1()1(---≤641 与（*）式矛盾， 故a c c b b a )1(,)1(,)1(---不可能同时大于41 . 当堂练习： 1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. 1 2; 12. 3600 ; 13. ; 14. 对; 15 16. 【 解析】 2 121log log )()(x x x f x f a a +=+2log )2( ),(log 12121x x x x f x x a a +=+=． ∵ 1x 、+ ∈R x 2， ∴ 2 2121)2( x x x x +≤． 当且仅当1x ＝2x 时，取“＝”号． 当1>a 时，有 )2( log )(log 2 121x x x x a a +≤． ∴ ≤)(l o g 2 1 21x x a )2( l o g 21x x a +≤．)2(log ]log [log 21 2121x x x x a a a +≤+． 即)2()]()([21 2121x x f x f x f +≤+． 当10< a a x x log )(log 21≥?2 21)2( x x +． 即). 2()]()([21 2121x x f x f x f +≥+ 17. (1)10,4?? ? ?? (2)17 4 18．【 解析】 证明 由于不等式 21 22)1()1(+=++< + 对所有的正整数k 成立,把它对k 从1到n(n ≥1)求和,得到 212252321++++< <+++n a n n 又因 2)1(21n n n +=+++ 以及2)1()]12(531[2121225232+= +++++<++++n n n 因此不等式()212 )1(2 +< <+n a n n n 对所有的正整数n 都成立. §3.5不等式单元测试 1.C; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.D; 9.B; 10.A;11. b a b a +>+111; 12. ) 21 ,1(-; 13. 20 ; 14. ]1,(-∞;15．{|20,}x x -<<或0 16．解：原不等式等价于： 15830 1720158301720215822222≤+-+-?≥+--+-?≥-+-x x x x x x x x x x x 3 25 0)5)(3()52)(6(<≤?≤----? x x x x x 或65≤ ∴原不等式的解集为] 6,5()3,25 [ 17．解：不等式12>-x ax 可化为0 22 )1(>-+-x x a ． ∵1 212 <--- x a x ， 故当10< 2|{a x x -< <； 当0=a 时，原不等式的解集为φ； 当0 | {<<-x a x ． 18．证明：法一（综合法） 0=++c b a ， 0)(2 =++∴c b a 展开并移项得：0 22 22≤++-=++c b a ca bc ab 0≤++∴ca bc ab 法二（分析法） 要证0≤++ca bc ab ，0=++c b a ，故只要证2 )(c b a ca bc ab ++≤++ 即证02 2 2 ≥+++++ca bc ab c b a ， 也就是证0 ])()()[(21 222≥+++++a c c b b a ， 而此式显然成立，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立。 法三：0=++c b a ，b a c +=-∴ 22 2 2 23()()[()]0 24 b b ab b c ca ab b a c ab a b a b ab a ∴++=++=-+=---=-++≤ 0≤++∴ca bc ab 法四：,22 2ab b a ≥+ bc c b 222≥+，ca a c 22 2≥+ ∴由三式相加得：ca bc ab c b a ++≥++2 22 两边同时加上)(2ca bc ab ++得： )(3)(2 ca bc ab c b a ++≥++ 0=++c b a ， ∴0≤++ca bc ab 19．解：设22)2()2(24)4()(-+-=-+-+=x a x a x a x a g ， 则)(a g 的图象为一直线，在]1,1[-∈a 上恒大于0，故有 ?? ?>>-0)1(0 )1(g g ，即???>+->+-02306522x x x x ，解得：1 ∴x 的取值范围是),3()1,(+∞?-∞ 20．解：设花坛的长、宽分别为xm ，ym ，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区 域的边界。依题意得：25 )2()4(22=+y x ，（0,0>>y x ） 问题转化为在0,0>>y x ，100 422 =+y x 的条件下，求xy S =的最大值。 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____． 答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83， 当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3 解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导 过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均 变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时， 等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有() 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 1.（2018?卷Ⅱ）设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围 2.（2013?辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1 （1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集； （2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 4.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 5.（2017?新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分） （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 6.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 7.（2018?卷Ⅰ）已知 （1）当时，求不等式的解集 （2）若时，不等式成立，求的取值范围 8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 10.（2014?新课标II）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）． （1）证明：f（x）≥2； （2）若f（3）＜5，求a的取值范围． 11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．（1）求的值； 高三数学不等式练习题（理） 一、选择题 1、以下命题正确的是（ ） A 若b a >，d c >，则bd ac > B 若 bc ac >，则b a < C 若 22c b c a <， 则b a < D 若b a >，d c >，则d b c a ->- 2、不等式 1 1x ≤的解集是( ) A ．(1,+∞) B ．[1,+∞) C ．(-∞,0)∪[1,+∞) D ．(-∞,0)∪(1,+∞) 3、在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，222 2b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+2 2，其中正确的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、已知p ：存在01,2≤+∈mx R x ；q ：对任意01,2 >++∈mx x R x ,若p 或q 为假，则实数m 的取 值范围为（ ） A. 2-≤m B. 2≥m C. 22-≤≥m m 或 D. 22≤≤m － 5、若+ ∈R b a ,，且4=+b a ，则b a 22log log +的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 6.如果方程02)1(2 2 =-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是 A ．)22(，- B ．（－2，0） C ．（－2，1） D ．（0，1） 7、已知()f x ＝1ln 0 10 x x x x ?>??? ?－的解集为( ) A ．(1) (0)e ∞－，－， B ．(1)()e ∞∞－，－，＋ C ．(1,0)()e ∞－，＋ D ．(1,0)(0)e －， 8、下列结论正确的是（ ） A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B ．10,2x x x >+≥当时 C ．x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2 D ．当1 02,x x x <≤-时无最大值 9、在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车 可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ） A ．2000元 B ．2200元 C ．2400元 D ．2800元 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 2012高考真题分类汇编：不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即12 1 <<-x 或1=x ，所以不等式的解为12 1 ≤<- x ，选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b B.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b C.若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a -2a=a b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其 余选项用同样方法排除．故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ， 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ，目标函数为300400Z x y =+， 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1．在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题. 2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 （1）一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． （2）简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x )>0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)；②变形?f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. （3）简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )；②当0a g (x )?f (x ) 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 2015-2019高考数学全国卷真题（不等式选讲） 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ．证明： （1）22211 1 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像； (2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f ． （1）求不等式1)(≥x f 的解集； （2）若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围． 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 2．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 5．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6 6．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 7．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3] 8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．0 C．D．3 9．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3 10．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（） A．1 B．C．2 D．2 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c 12．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（） A．2 B．2 C．4 D．2 13．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（） A．6 B．C．D． 14．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（） A．35 B．105 C．140 D．210 15．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 16．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D． 二．解答题（共10小题） 17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． （Ⅰ）求m﹣n； （Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值． 18．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B； 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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