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高中数学必修五知识点总结

高中数学必修五知识点总结解直角三角形 (2)

数列 (5)

不等式 (11)

解三角形复习知识点

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R

=2c

R =； ()

2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R C

B A c

b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】

1．余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-?

2.推论：

222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??

+-?

?+-=

. 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若2

a b c +=，则90C =； ②若2

a b c +>，则90C <； ③若2

a b c +<，则90C >．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.111sin ()222

a S ah a

b C r a b

c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）

2.设)(2

c b a p ++=

,))()((c p b p a p p S ---=

【三角形中的常见结论】

（1）π

=++C B A (2)

sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- 2cos 2sin

C B A =+,2

sin 2cos C

B A =+;A A A cos sin 22sin ?=, （3）若?>>

C B A c b a >>?C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>?c b a >>?C B A >> （大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于

60，最小角小于等于

(6) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值（7）ABC ?中，A,B,C 成等差数列的充要条件是

60=B .

(8) ABC ?为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

（2）在ABC ?中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形

是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形

（注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?）

(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2

+B A .

例1.在ABC ?中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ?形状.

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

例2.在ABC ?中，1=a ，3=

b ，030=∠A ，求的值

例3.在ABC ?中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3

C ．

（Ⅰ）若ABC ?的面积等于3，求b a ,；

（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ?的面积．

题型3【证明等式成立】

证明等式成立的方法：（1）左?右，（2）右?左，（3）左右互相推.

例4.已知ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.

题型4【解三角形在实际中的应用】

仰角俯角方向角方位角视角

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角

（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达

C 点时，与灯塔A 的距离是多少？

数列知识点

1. 等差数列的定义与性质

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()

1112

n n

a a n n n S na

d +-==+

性质：{}n a 是等差数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；

（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

m m m m a S b T --=

（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）

n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负

分界项，

即：当100a d ><，，解不等式组10

0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由10

0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值.

(6)项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S

nd S S =-奇偶，

n n

a a S S 偶

奇.

（7）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，

有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

n n S S 偶

奇. 2. 等比数列的定义与性质

定义：

n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠），1

n n a a q -=.

等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ?=，或G xy =±.

前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =??

=-?≠?

-?（要注意！）

性质：{}n a 是等比数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··

（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.

3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法

如：数列{}n a ，122111

25222

n n a a a n +++=+……，求n a

解 1n =时，11

2152a =?+，∴114a = ①

2n ≥时，12121111

215222n n a a a n --+++=-+…… ②

①—②得：

122n

n a =，∴1

2n n a +=，∴114(1)2(2)

n n n a n +=?=?≥?

［练习］数列{}n a 满足1115

n n n S S a a +++==，，求n a

注意到11n n n a S S ++=-，代入得

4n n

S S +=；

又14S =，

∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，113

4n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法

如：数列{}n a 中，1131

n n a n

a a n +==+，，求n a

解 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11

n a a n

=又13a =，∴3n a n =

. （3）等差型递推公式

由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法

2n ≥时，21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=?

?-=?

???-=?…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……

∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()1

11132n n n a a a n --==+≥，，求n a （

()1312n

n a =

-）

（4）等比型递推公式

1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）

可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ?

?+??-?

?是首项为11d a c c +

-，为公比的等比数列

∴1111n n d d a a c c c -??+

=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -?

?=+- ?--??

（5）倒数法

如：11212

n n a a a a +==

+，，求n a 由已知得：

1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112

n n a a +-= ∴1n a ??????

为等差数列，11

1a =，公差为12，∴()

()11111122n n n a =+-=+·， ∴2

1n a n =+

( 附：

公式法、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

、累加法、累乘法.构造等差或等比

1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归

纳法、换元法 )

4. 求数列前n 项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求11

k k k a a =+∑

解：由

()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??

==-≠ ?+??

∴11111

223111*********n

k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??

????????=-=-+-++-?? ? ? ? ???????????∑∑…… 11111n d a a +??=

- ???

［练习］求和：111112123123n

++++++++++ (1)

n n a S n ===-+…………，

（2）错位相减法

若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.

如：2311234n n S x x x nx -=+++++……

①

()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……

②

①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……

1x ≠时，()()

111n

x nx S x

x -=-

--，1x =时，()

11232

n n n S n +=++++=

…… （3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?

?=++++?

…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……

［练习］已知2

()1x f x x

=+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??

++++

++= ? ? ?????

由2

222222

111()111111x x x f x f x x x x

x ?? ?????+=+=+= ?+++????+ ???

∴原式1111

1(1)(2)(3)(4)11132342

2f f f f f f f ?

???????=++

++++=+++= ? ? ???????????????????

(附：

a.用倒序相加法求数列的前n 项和

如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把

正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n 项和

对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公

式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n 项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。 d.用错位相减法求数列的前n 项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a n ·b n }中，{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。 e.用迭加法求数列的前n 项和

迭加法主要应用于数列{a n }满足a n+1=a n +f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a n+1-a n =f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n ，从而求出S n 。 f.用分组求和法求数列的前n 项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n 项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n 项和。

不等式知识点归纳

一、两实数大小的比较： 0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+；

④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >．三、基本不等式定理

1、整式形式：①()2

2,a b ab a b R +≥∈；②()22

a b ab a b R +≤∈；

③()20,02a b ab a b +??

≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???

2、根式形式：①

2a b

ab +≥（0a >，0b >）②a+b ≤)a 222b +（ 3、分式形式：a b +b

≥2（a 、b 同号）

4、倒数形式：a>0?a+a 1≥2 ；a<0?a+a

≤-2

四、公式：b

1a 12

+≤ab ≤2b

a +≤

2b a + 五、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．六、解不等式

1、一元一次不等式： ax>b （a ≠0）的解：当a>0时，x>a b ；当a<0时，x

； 2、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式2

4b ac ?=-

0?> 0?= 0?<

二次函数2

y ax bx c =++

()0a >的图象

一元二次方程2

0ax bx c ++=

()0a >的根

有两个相异实数根

1,22b x a

-±?=

()12x x <

有两个相等实数根

122b

x x a

==-

没有实数根

一元二次不等式的解集

20ax bx c ++>

()0a >

{}

x x x x x <>或

2b x x a ??≠-????

20ax bx c ++<

()0a >

{}1

2x x

x x <<

? ?

4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数

二判：判断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像写出不等式的解集 5、解分式不等式：

)()(f x g x >0?f(x)g(x)>0 ; )()

(f x g x ≤0??

??≠≤0)(0)()(f x g x g x 6、解高次不等式：(x-1a )(x-2a )…（x-n a ）>0

7、解含参数的不等式：解形如a 2

x +bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：（1）讨论a 与0的大小（2）讨论?与0的大小（3）讨论两根的大小七、一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解。

1、1x <2x

???>?<->0

)(k a b k f

2、k <1x <2x ?????

???>?>->0

20)(k a b k f

3、1x

4、1k <1x <2x <2k ????

????<-<>?>>2121200

)(0

)k k a b k k f f （

5、、1x <1k <2k <2x ??

??>>0)(0

)k 21k f f （

6、1k <1x <2k <2x <3k ? ??

??><>0

)(0)(0)k 321k f k f f （

八、线性规划问题 1、定义：

线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式．线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、区域判断

在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=． ①若0B >，则0x y C A +B +>

表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表

示直线0x y C A +B +=下方的区域． ②若0B <，则0x y C A +B +>

表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表

示直线0x y C A +B +=上方的区域．

3、解线性规划问题的一般步骤

第一步：在平面直角坐标系中做出可行域第二步：在可行域内找出最优解所对应的点

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值