解析几何大题答案
解析几何大题答案
1、椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥PF 2,,| P F 1|=3
4
,,|
P F 2|=
3
14. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522
1
2221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,
从而b 2=a 2
－c 2=4,
所以椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心
M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.
因为A ，B 关于点M 对称. 所以.29491822221-=++-=+k k k x x 解得9
8
=k ， 所以直线l 的方程为,1)2(9
8
++=
x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,1492
121=+y
x
①
,14
92
22
2=+y
x
②
由①－②得
.04
)
)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x
③
因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得
2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为9
8
，
所以直线l 的方程为y －1＝
9
8
（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
2、已知椭圆12
22
=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。 解：（I ）
222,1,1,(1,0),:
a b c F l ==∴=- 圆过点O 、F ，
∴圆心M 在直线1
2
x =-
上。
设1
(,),2
M t -
则圆半径
13()(2).22
r =---=
由,OM r =3
,2
=
解得t = ∴所求圆的方程为2219
()(.24
x y ++±=
（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠
代入2
21,2
x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。
记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y
则2
122
4,21
k x x k +=-+
AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001
().y y x x k
-=--
令0,y =得
222002222211
.
2121212421
0,0,
2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<<
∴点G 横坐标的取值范围为1
(,0).2
-
3、设,A B 分别为椭圆22
221(,0)x y a b a b
+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
4x =为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
解：（Ⅰ）依题意得 a ＝2c ，c
a 2
＝4，解
得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3.
故椭圆的方程为 13
42
2=+y x . （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），
B （2，0）.设M （x 0，y 0）.
∵M 点在椭圆上，∴y 0＝
4
3
（4－x 02）. ○1 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2 2 600 +x y ）. 从而＝（x 0－2，y 0），＝（2， 2 600 +x y ）. ∴BM ·＝2x 0－4＋2602 0+x y ＝22 +x （x 02－4＋3y 02）. ○2 将○1代入○2，化简得BM ·BP ＝ 2 5 （2－x 0）. ∵2－x 0>0，∴BM ·>0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内。 解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则－2 2 2 1x x +，221y y +）， 依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差 2 BQ － 2 41MN ＝(221 x x +－2）2＋（221y y +）2－4 1[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ○3 又直线AP 的方程为y ＝ )2(211++x x y ，直线BP 的方程为y ＝)2(2 22 --x x y ， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上， ∴ 26262211-=+x y x y ，即y 2＝2 )2311 2+-x y x （ ○4 又点M 在椭圆上，则1342 12 1=+y x ，即)4(4 32 121x y -= ○5 于是将○4、○5代入○3，化简后可得2 BQ －2 41MN ＝0)2)(24 521<-x x －（. 从而，点B 在以MN 为直径的圆内。 4、已知椭圆C 1:22 143 x y +=,抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>,且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点. (Ⅰ)当AB ⊥x 轴时,求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为： x =1，从而点A 的坐标为（1，2 3 ）或（1，－23）. 因为点A 在抛物线上.所以p 249=，即8 9=p .此时C 2的焦点坐标为（ 16 9 ，0），该焦点不在直线AB 上. （II ）解法一： 假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上，由（I ）知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB 的方程为(1)y k x =-． 由22(1)14 3y k x x y =-?? ?+=??消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=…① 设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）, （x 2,y 2）, 则x 1,x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝ 2 2438k k +. 由2()2(1) y m px y k x ?-=?=-? 消去y 得2 ()2kx k m px --=. ………………② 因为C 2的焦点( ,)2p F m '在直线)1(-=x k y 上， 所以(1)2p m k =-，即2kp m k +=.代入②有2()22 kp kx px -=. 即22 2 2 2 (2)04 k p k x p k x -++=. …………………③ 由于x 1,x 2也是方程③的两根，所以x 1＋x 2＝22 (2) p k k +. 从而22834k k +＝22 (2) p k k +. 解得2228(43)(2)k p k k =++ ……………………④ 又AB 过C 1、、＼、、C 2的焦点，所以 12121211 ()()(2)(2)2222 p p AB x x x x p x x =+++=++=-+-， 则221222 312412 4()4.24343 k k p x x k k +=-+=-=++ …………………………………⑤ 由④、⑤式得22222 8412(43)(2)43 k k k k k +=+++，即42 560k k --=． 解得2 6.k =于是4.3 k p == 因为C 2的焦点),3 2(m F '在直线1)y x =-上，所以26(1)3 m =-. ∴ m = m = 由上知，满足条件的m 、p 存在，且m =m =43 p =． 解法二： 设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22()x y ． 因为AB 既过C 1的右焦点)0,1(F ，又过C 2的焦点( ,)2 p F m '， 所以)2 1 2()212()2()2(212121x x p x x p x p x AB -+-=++=+++=. 即122 (4)3 x x p += -. ……① 由（Ⅰ）知12,2x x p ≠≠，于是直线AB 的斜率2121 02212 y y m m k p x x p --= == ---， ……② 且直线AB 的方程是2(1)2 m y x p = --, 所以121224(1) (2)23(2) m m p y y x x p p -+= +-=--. ……③ 又因为?????=+=+12 4312 4322222121y x y x ，所以0)(4)(312122121=--?+++x x y y y y x x . ……④ 将①、②、③代入④得2 2 3(4)(2)16(1) p p m p --=-． ……………⑤ 因为2 11 2 22 ()2()2y m px y m px ?-=??-=??，所以21122122x x y y m p y y -+-=-． …………⑥ 将②、③代入⑥得2 2 3(2).1610p p m p -= - ……………⑦ 由⑤、⑦得 23(4)(2)16(1)p p p ---2 3(2).1610p p p -=-即2320320p p +-= 解得48()3p p = =-或舍去．将43p =代入⑤得22,3 m = ∴ m = 或m = 由上知，满足条件的m 、p 存在，且m = m =43 p = 5、如图，椭圆Q ：22 22x y 1a b ＋＝（a >b >0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点 （1） 求点P 的轨迹H 的方程 （2） 在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤ 2 π ），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD 的面积最大？ 解：如图，（1）设椭圆Q ：22 22x y 1a b ＋＝（a >b >0）上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，y ），则 222222 11222222 22b x a y a b 1b x a y a b 2?????＋＝…………（ ）＋＝…………（） 1?当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2， 由（1）－（2）得 b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2（y 1－y 2）2y ＝0 212212y y b x y x x a y x c ∴－＝－＝ －－ ∴b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0 (3) 2?当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F 故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx （2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝2 a c ，原点距l 的距离为2a c ，由于c 2＝a 2－b 2，a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤2π ） 则2a c ＋＋＝2sin （2θ＋4π ） 当θ＝ 2 π 时，上式达到最大值。此时a 2＝2，b 2＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1 设椭圆Q ：22 x y 12 ＋＝上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积 S ＝ 12|y 1|＋12|y 2|＝1 2 |y 1－y 2| 设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入22 x y 12 ＋＝ 中，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0 由韦达定理得y 1＋y 2＝22k 2k － ＋，y 1y 2＝2 1 2k －＋， 4S 2 ＝（y 1－y 2）2 ＝（y 1＋y 2）2 －4 y 1y 2＝222 8k 1k 2（＋） （＋） 令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2＝ 2 8t 88 21t 14t 2t ≤＝＝（＋）＋＋，当t ＝1，k ＝0时取等号。 因此，当直线m 绕点F 转到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大。 6、双曲线C 与椭圆22 184 x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线. （1）求双曲线C 的方程； （2）过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3 8 21- =+λλ时，求Q 点的坐标. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -= 由椭圆22 184x y += 求得两焦点为(2,0),(2,0)-， ∴对于双曲线:2C c = ，又y =为双曲线C 的一条渐近线 ∴ b a = 解得 221,3a b ==， ∴双曲线C 的方程为2 2 13 y x -= （Ⅱ）解法一： 由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+， 22(,)B x y 则4 (,0)Q k - 1PQ QA λ=11144 (,4)(,)x y k k λ∴--=+ 11 11111 14444()44x k k x k k y y λλλλ? =--??-=+??∴??? ??-==-??? 11)(,A x y 在双曲线C 上，∴21211 11616 ()10k λλλ+--= ∴22 2211161632160.3 k k λλλ++- -= ∴2221116 (16)32160.3 k k λλ-++-= 同理有：22 22216(16)32160.3 k k λλ-++-= 若2 160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2 160,k ∴-≠ 12,λλ∴是二次方程222 16(16)32160.3 k x x k -++- =的两根. 122 328 163 k λλ∴+= =--24k ∴=， 此时0,2k ?>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)± . 7、在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2 y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→ --OA → --?OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴?=3； 当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠， 由22(3) y x y k x =??=-?得 2122606ky y k y y --=?=- 又 ∵ 22112211,22 x y x y ==， ∴2121212121()34 OA OB x x y y y y y y =+=+=， 综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ?=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果?=3,那么该直线过点 T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B( 2 1 ,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3 y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上； 说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足?=3，可得y 1y 2=－6， 或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0). 8、如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线2 4x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 角抛物线于另一点(,)n n n B s t 。 （Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥； （Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两 条切线的交点。试证：112221n n n FC FC FC -+++ +=-+； 证明：（Ⅰ）对任意固定的1,n ≥因为焦点F （0,1）,所以可设直 线n n A B 的方程为1,n y k x -=将它与抛物线方程2 4x y =联立得: 2 440n x k x --=,由一元 二次方程根与系数的关系得4(1)n n x s n =-≥． （Ⅱ）对任意固定的1,n ≥利用导数知识易得抛物线2 4x y =在n A 处的切线的斜率 ,2n n A x k = 故24x y =在n A 处的切线的方程为： ()2 n n n x y y x x -=-，……① 类似地，可求得2 4x y =在n B 处的切线的方程为：()2n n n s y t x s -=-，……② 由②－①得：22222244n n n n n n n n x s x s x s y t x ---=-+=-，22,242 n n n n n n x s x s x s x x --+=∴=……③ 将③代入①并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(,1)2 n n x s +-． 由两点间的距离公式得：22 2 2()42244 n n n n n x s x s FC +=+=++ 2 22422 2(),422n n n n n n n x x x FC x x x =++=+?=+ ． 现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得： 121212 21121 111()2( )21 11 1(222)2()(21)(22)22 1.2 22 2 n n n n n n n n n FC FC FC x x x x x x - -++++=++ +++++ =++++++ + =-+-=-+ 9、如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B . （Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，AB =抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线 22( 0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标 原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明：由题意设22 12 12120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p -＜ 由2 2x py =得22x y p =，则,x y p '= 所以12,.MA MB x x k k p p = = 因此直线MA 的方程为1 02(),x y p x x p += - 直线MB 的方程为2 02().x y p x x p += - 所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p +=- ② 由①、②得 2 12 120,2x x x x x +=+- 因此 2 12 02 x x x +=，即0122.x x x =+ 所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得： 22 11440,x x p --= 22 22440,x x p --= 所以 x 1、x 2是方程22 440x x p --=的两根， 因此2 12124,4,x x x x p +==- 又22 210122122,2AB x x x x x p p k x x p p - +===- 所以2.AB k p = 由弦长公式得 AB == 又AB = 所以p =1或p =2， 因此所求抛物线方程为2 2x y =或2 4.x y = （Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2), 则CD 的中点坐标为123123 ( ,),22 x x x y y y Q ++++ 设直线AB 的方程为0 11(),x y y x x p -= - 由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212 (,)22 x x y y ++也在直线AB 上， 代入得0 33.x y x p = 若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2 330322,x py x x == 因此 x 3=0或x 3=2x 0. 即D (0，0)或20 02(2,).x D x p （1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意. （2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时22 12 22 22 12 12000 2(2,),,224CD x x x x x x p C x k p x px +++== 又0 ,AB x k p = AB ⊥CD ， 所以2222 012122 01,44AB CD x x x x x k k p px p ++===- 即2 22 1 2 4,x x p +=-矛盾. 对于2002(2,),x D x p 因为22 12 0(2,),2x x C x p +此时直线CD 平行于y 轴， 又0 0,AB x k p = ≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意. 10、（本题15分）已知曲线C 是到点P （83,21- ）和到直线8 5 -=y 距离相等的点的轨迹。 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在 上）的动点；A 、B 在 上， x MB MA ⊥⊥, 轴（如图） 。 （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线 的方程，使得 QA QB 2 为常数。 本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本 思想方法和综合解题能力．满分15分． （Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则 ||NP = N 到直线5 8 y =-的距离为58y +． 58y =+． 化简，得曲线C 的方程为2 1()2 y x x =+． （Ⅱ）解法一： 设22x x M x ??+ ??? ，，直线:l y kx k =+，则 ()B x kx k +， ，从而||1|QB x +． 在Rt QMA △中，因为 22 2 ||(1)14x QM x ?? =++ ?? ?， 2 222 (1)2||1x x k MA k ? ?+- ? ??=+． 所以2 2 2 2 22 (1)||||||(2)4(1) x QA QM MA kx k +=-=++ . ||QA = 2||1 2||QB x QA x k +=+． 当2k =时， 2 |||| QB QA = 从而所求直线l 方程为220x y -+=． 解法二：设22x x M x ?? + ?? ?，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而 ||1|QB x =+． 过Q (10)-，垂直于l 的直线11 :(1)l y x k =-+． 因为||||QA MH = ，所以| |QA = 22||2(11 2||||QB k x QA k x k ++=+． 当2k =时， 2 |||| QB QA = 从而所求直线l 方程为220x y -+= ． 解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。 图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。 21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）2 2:14 x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841 kt x x k +=-+，2122 44 41t x x k -=+， ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=， ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=， ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? ， ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-?? 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。 专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ，得 圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。 例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k 例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。 三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点,所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而 因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为 此时 当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由 设A、B 两点的坐标分别为，则 又由l 与圆 所以 由于当时， 所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。 解：(I)由题意知 故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得 设是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为(0,—1),所以 故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此 由题意知， 又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±-> 2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． 《解析几何初步》检测试题 命题人 周宗让 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ） A ．2 1 B ．2 1- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( ) A ．()0,4 B ．()0,2 C ．()2,4- D ．()4,2- 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距 为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A ． 2 B ．32 C ．12 D ． 2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点， 则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点， 若MN ≥则k 的取值范围是（ ） A. 304?? -??? ?， B. []304??-∞-+∞????U ，， C. ???? D. 203?? -????， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的 1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范 围.（6分） 3已知以原点O 为中心，) F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直 线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。（8分） 4.如图，已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得 ·A B C D A B C D λ +=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分） 5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x 解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论. 3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的 专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分） 4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1 目录 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1) 一、设点或直线 (1) 二、转化条件 (1) （1）求弦长 (2) （2）求面积 (2) （3）分式取值判断 (2) （4）点差法的使用 (4) 四、能力要求 (6) 五、补充知识 (6) 关于直线 (6) 关于椭圆： (7) 例题 (7) 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线——————————————— 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为等。对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。在 抛物线上的点，也可以设为。◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求 的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次 项，所以直线设为或x=my+n联立起来更方便。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂 直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、 三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线 . 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知直线 1:210 l ax y ++=与直线2:(3)0 l a x y a --+=，若12//l l，则a 的值为（） A．1 B．2 C．6 D．1或2 2．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与 直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x－1)2＋y2＝1 C．(x＋1)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋y2＝4 3．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆 过点(0,2)，则C的方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 4．双曲线x21( ) A． B. m≥1 C．m>1 D. m>2 二、填空题（题型注释） 5．经过圆x 2＋2x ＋y 2 ＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________． 6．已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点F 恰好是双曲线22x a －2 2y b ＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线方程为________． 三、解答题（题型注释） 7．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程． 8．如图，在直角坐标系中，已知△PAB 的周长为8，且点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)． (1)试求顶点P 的轨迹C 1的方程； (2)若动点C(x 1，y 1)在轨迹C 1上，试求动点Q 11,322x y ?? ??? 的轨迹C 2的方程． 数学解析几何经典例题~ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 22－y 21 ＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3，0)，(－3，0) D ．(0，3)，(0，－3) 解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3. ∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C. 答案： C 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立； 当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1. 所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件． 答案： C 3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0 解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案： D 4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线 C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线 D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线． 答案： C 5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2 所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．－x ＋2y ＋4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12 (x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0. 答案： D 6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为 ( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355 三、解答题 26.（18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点，过坐 标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ， 连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐 标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线 . 32 21 1| 32 3432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y =代入 22221,421212x y x k k μ+==++解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为,20k k =++μ μμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2(32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 28. （理19） 已知椭圆2 2:14x G y +=.过点（m,0）作圆 22 1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将 AB 表示为m 的函数，并求 AB 的最大值. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 浙江高考历年真题之解析几何大题 2004年（22）（本题满分14分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）.点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m ,0）到直线AP 的距离为1. （Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,3 3[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+= m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程. （2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P 在直线l 上运动，求∠F 1PF 2的最大值． （2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T 且椭圆的离心率e= 23. (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2 AT AF AF ＝ 。 （2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程． （2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线8 5-=y 距离相等的点的轨迹。 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥ 轴（如图）。 （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得 QA QB 2为常数。 （2009年）已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）上一点A （m ，4）到焦点的距离为 174 . （I ）求p 于m 的值； （Ⅱ）设抛物线C 上一点p 的横坐标为t （t >0）,过p 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M 点，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N.若MN 是C 的切线，求t 的最小值; 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围000180α≤< （2）经过两点的直线的斜率公式 是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地， 当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-g 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知 112233 (,),(,),(,), A x y B x y C x y若 123AB AC x x x k k === 或，则有A、B、C三点共 线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。解析几何经典例题
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