椭圆和双曲线基础题练习题及答案

圆锥曲线基础测试题

一、选择题（ 60 ）

1已知椭圆1252

22=+y a

x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）

（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 414

2椭圆136

1002

2=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）

（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）8

3椭圆

19

252

2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）

（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8

4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）

（A ）222=-y x （B ）222=-x y

（C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y

5双曲线

19

162

2=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（ ）

（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12

6过双曲线82

2

=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（ ）

（A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）28

7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2，?=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ）

（A ）3（B ）

26（C ）36（D ）3

3 8在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2

1

，则该双曲线的离心率为( C ) A 、2

2

B 、2

C 、2

D 、22

9 如果椭圆

19

362

2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） （A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x

10 如果双曲线22

142

x y -

=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ A ）

A

B

C

、 D

、11 中心在原点，焦点在y 轴的椭圆方程是 22sin cos 1x y αα+= ，(0,)2

π

α∈，

则 α∈ （ ） A ．(0,

)4π

B ．(0,]4π

C ．(,)42ππ

D ．[,)42

ππ

12 已知双曲线()22

2210,0x y C a b a b

-=>>：的右焦点为F ,过F

C

于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为（ A ）

w.w.w..s.5.u.c.o.m A 、

65 B 、75 C 、58 D 、95

二、填空题（ 20 ）

13 与椭圆22

143

x y +=具有相同的离心率且过点（2，

方程是 。 14 离心率3

5

=

e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是 。

15 以知F 是双曲线

22

1412

x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 9

16已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，

若双曲线上存在一点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

=，则该双曲线的离心率的取值范围是

(11)e ∈ ． 三、解答题（ 70 ）

17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

18) 已知双曲线与椭圆125

92

2=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.

19)求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为3

3

8的双曲线方程。

20．(1)椭圆C:12

222

=+

b

y a x

(a ＞b ＞0)上的点A(1,3)到两焦点的距离之和为4,

求椭圆的方程;

(2)设K 是(1)中椭圆上的动点, F 1是左焦点, 求线段F 1K 的中点的轨迹方程;

(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线PM 、PN 的斜率都存在并记为k PM 、k PN 时，那么PN PM k k ?是与点P 位置无关的

定值。试对双曲线 12

222

=-

b y a x

写出具有类似特性的性质，并加以证明。

解：(1)

13

4

22=+

y x

(2)设中点为(x,y), F 1(-1,0) K(-2-x,-y)在13

422

=+

y x 上 ?

13

4

)2(22

=+

+y x

(3)设M(x 1,y 1), N(-x 1,-y 1), P(x o ,y o ), x o ≠x 1

则 )1(221

2

2

-=a x o

b y )1(221

2

21

-=a x b y

22

21

202

2120221

2021201

0101

010)

(a b x x b x x y y x x y y x x y y PN PM a x x k k =

=

=

?

=

?---++---

为定值.

21. 已知双曲线方程为2222=-y x 与点P(1,2),

（1）求过点P （1，2）的直线l 的斜率k 的取值范围，使直线与双曲线

有一个交点，两个交点，没有交点。

(2) 过点P （1，2）的直线交双曲线于A 、B 两点，若P 为弦AB 的中点，

求直线AB 的方程；

（3）是否存在直线l ，使Q （1，1）为l 被双曲线所截弦的中点？若存在，

求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率

存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得

(2－k 2

)x 2

+2(k 2

－2k)x －k 2

+4k －6=0

(*

)

(ⅰ)当2－k 2=0,即k=±2时，方程(*

)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2

≠0,即k ≠±2时

Δ=［2(k 2

－2k)］2

－4(2－k 2

)(－k 2

+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=

2

3时，方程(*

)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜

23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜2

3

时，方程(*

)有两不等实根，l 与C 有两个交点.

③当Δ＜0，即k ＞

2

3时，方程(*

)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=

2

3

，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜

2

3

,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；

当k ＞

2

3

时，l 与C 没有交点. （2）假设以P 为中点的弦为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12

－y 12

=2,2x 22

－y 22

=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)

又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=4 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB =

2

12

1x x y y --=1

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与有交点，所以以P 为中点的弦为：1+=x y .

(3)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12

－y 12

=2,2x 22

－y 22

=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)

又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB =

2

12

1x x y y --=2

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.

13)与椭圆22

143

x y +=具有相同的离心率且过点（2，

-）的椭圆的标准方程是 22186x y +=或22

3412525y x +=。 14）离心率3

5

=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是2291520x y +=。 17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交

椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。(8分)

解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:

2

2

19x y +=.联立方程组22

192

x y y x ?+=???=+?,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么: 12185

x x +=-,0x =1

29

25x x += 所以0y =0x +2=15

.也就是说线段AB 中点坐标为(-95,1

5).

18) 已知双曲线与椭圆

125

92

2=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.(10分)解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=4

5

,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为

2,

从而

所以求双曲线方程为:

22

1412

y x -=. 20)求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为3

3

8的双曲线方程。(10分)

解:设双曲线方程为x 2-4y 2

=λ.

联立方程组得: 22x -4y =30

x y λ??--=?,消去y 得，3x 2

-24x+(36+λ)=0

设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：1212

2

83632412(36)0x x x x λλ+=?

?+?

=???=-+>?? 那么：

==

解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2

214

x y -=