一道07年物理高考题的多种解法及其启示

一道07年物理高考题的多种解法及其启示

（株洲市二中 郭建军 株洲景炎中学 唐峻林）

进入21世纪，国际间的竞争日趋激烈。国际竞争说到底是综合国力的竞争，而综合国力的竞争关键在于科学技术、创新人才和国民科学素质的竞争。创新人才要有创新思维能力,发散思维能力是创新思维能力的重要组成部分,在习题教学中教师可以启发学生从问题多角度多侧面分析思考,用一题多解, 一题多变, 一题多用等形式让学生不仅可以获取知识，深刻地领会和掌握知识，而且还能使学生产生一种对问题的敏感性，迅速抓住问题的要害，找出各种解决问题的途径，这对于学生形成科学思维能力、提高科学素养都有作用。请看07年全国卷理科综合24题.

如图所示，质量为m 的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m 的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450。

解法一（从绝缘球能量的角度出发找规律）:设在第n 次碰撞前绝缘球的速度为v n-1, 碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v n V n 。由于发生弹性碰撞，有动量守恒，碰撞前后动能相等，设速度向左为正，则

m v n-1=M V n -m v n 22212

12121n n n mv MV mv +=- 由以上两式及M =19m 解得v n =1109-n v V n =110

1

-n v

第n 次碰撞后绝缘球动能为

E n =

02

)81.0(2

1E mv n n = （E 0是第1次碰撞前绝缘球动能，即初始能量。） 绝缘球在θ=θ0=600与θ=450处的势能之比为

586.0)

cos 1()cos 1(00=--=θθmgl mgl E E 式中l 为摆长。 由上式，经过n 次碰撞后

n E E

)81.0(0

= 易算出2

)81.0(=0.656 3

)81.0(=0.531,因此,经过3次碰撞后θ将小于450。

解法二（从绝缘球能量的角度出发递推）:设在第1次碰撞前绝缘球的速度为v 0, 碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v 1 V 1。由于发生弹性碰撞，有动量守恒，碰撞前后动能相等，设速度向左为正，则

m v 0=M V 1 -m v 1

2121202

1

2121mv MV mv += 由以上两式及M =19m 解得v 1=0109v V 1=0101

v

第1次碰撞后绝缘球动能为E 1=02

1)81.0(2

1E mv = （E 0是第1次碰撞前绝缘球动能，即初始能量。）

绝缘球在θ= 600的势能为E 0=)60cos 1(0-mgl =0.5mgl θ=450处的势能为E P =)45cos 1(0-mgl = 586.0E 0

由E 1>E P ,会有第2次碰撞，同理可得第2次碰撞后绝缘球动能为E 2=0.656 E 0>E P ,会有第3次碰撞，同理可得第3次碰撞后绝缘球动能为E 3=0.531 E 0

解法三（从能量损失的角度出发找规律）:同解法一解得v n =1109-n v V n =110

1

-n v 第n 次碰撞后金属球损失的能量为

?E n =212

119.02

121--=n n mv Mv

n 次碰撞损失的能量为?E=?E 1+?E 2+┄┄.+ ?E n =0.19E 0(1+0.81+┄┄+0.81n-1)

（绝缘球在θ= 600的势能为E 0=)60cos 1(0-mgl =0.5mgl ，即初始能量。） 绝缘球在θ=θ0=600到θ=450处的过程中损失能量 E 损= )60cos 1(0-mgl -)45cos 1(0-mgl =0.207mgl 要满足?E> E 损,解出n=3时成立。

解法四（从速度的角度出发递推 ）: 同解法二解得v 1=

0109v V 1=010

1

v

可得v n =0)109(

v n

由碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450有 )45cos 1(2

102

-

可得v n =0)10

9(

v n

碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度为θn

)cos 1(2

1n 2

θ-=mgl mv n n c o s θ>045cos n=3时，上式成立

解法七（从摆角的角度出发递推）:同解法二 解得 v 1=010

9

v 碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度为θ1

)cos 1(2

112

1θ-=mgl mv 1c o s θ=0.595<045cos =0.707

同理可得2cos θ=0.672<0

45cos =0.707 3cos θ=0.734>0

45cos =0.707 所以，最多碰撞3次

同理可得h 2>h 临 h 3

010

9v

绝缘球摆动450高度为h 临= )45cos 1(0

-l

h n =0.81n h 0<临 n=3时，上式成立 上面所介绍的几种方法，都要用到数学上的一些方法虽各不相同，但不难看出在计算或推证物理问题的过程中，不仅要熟练掌握有关的物理概念和公式，还要有灵活的数学运算技巧。在物理教学中，用些需要用数学思想、方法及技巧处理物理问题的考题，来训练学生的思维能力，增强学生科学素养，这也是新一轮国家基础教育课程改革的一个重要任务。

一道高考数学几何题的多种解法探究

一道高考数学几何题的多种解法探究 本文通过一个高考填空题的四种解法着重阐明解析 几何的思想和方法。解法一打破题目所给的坐标系的禁锢，重新建立坐标系另辟蹊径。解法二根据直线AC⊥BD以此建立新的坐标系，这是本题的又一个另辟蹊径。有了参数α，写出新坐标系下的圆的方程，再数形结合用根与系数的关系求弦长。解法三采用直线参数方程，再一次另辟蹊径为解决本题寻求新的方法，其根本目的是便于计算弦长。解法四是几何法，用添加两条垂线的巧妙运用，结合几个重要定理求出弦长，用重要不等式求四边形的最大值。有了这些好方法，使本来很难做的问题得以迎刃而解。 命题：如图⑴已知AC、BD为⊙O：x?+y?=4的两条互相垂直的弦， 垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值是__. 解法一： 由于|OM|= ，考虑到原来的坐标系中两条弦长的计算比较繁琐，因此可改变方法，以 直线OM为x轴，建立新的直角坐标系，此时M的坐标是（，0）。 1.直线AC与BD有一条斜率不存在时，另一条的斜率

为0.不妨设BD的斜率 不存在，则BD⊥x轴，另一条|AC|为直径4，弦|BD|= 此时四边形ABCD 的面积S=1/2|AC|?|BD|=4 2.当直线AC与BD的斜率都存在时，不妨设AC的斜率为k，（k≠0）则BD的斜率为-1/k.所以AC的直线方 k?x-y-k=0，BD的直线方程为x+k?y-=0 。 设O到AC、BD的距离分别是d1，d2，则d1=，d2= 由垂径定理和相交弦定理得|AC|?=4（|AC|/2）?=4（2+d1）（2-d1）=4（4-d1?）类似地可得到|BD|? S?=（1/2|AC|?|BD|）? ∴S ≤ 5. 当k?=1/k?时k=±1时等式成立，此时四边形ABCD的面积S取得最大值5。 坐标系的恰当建立是解析法解题的重要基础和关键，否则会使计算繁琐。本题解法打破题目所给的直角坐标系的禁锢，重新建立坐标系，这就是另辟蹊径的重要途径。然后再综合运用圆的垂经定理和相交弦定理，点到直线的距离公式和重要不等式定理就可解决问题。 解法二：由于AC⊥BD，分别以AC、BD所在直线为x′、y′轴，建立如图新的直角坐标系设∠xMx′=α，则M的坐标为（0，0），O的坐标是（-cosα，sinα），圆的方程是（x′+cosα）?+（y′-sinα）?=4

一道竞赛试题的解法探究

44 福建中学数学 2012年第3期 一道竞赛试题的解法探究 浙江省温州市第二十二中学（325000） 2011年全国高中数学联合竞赛第2题，试题简约，寓意深刻，考生可以从多个角度切高洪武 吴勇军 一试（A 卷）中22(1)1(1)y x t t x t t =??? ?令=??=≥?? （＊2） 而直线入，很好地考查高中数学常见的一些思想方法以及学生对基本知识、基本技能的掌握情况．本文拟从四个角度出发，对该题目进行初步的剖析，以 期引发更多的思考． 题目 （2011年全国高中数学联合竞赛一试试题 （A (1)t y x =? 过定点（1，0）．当时，两曲线有公共点，则； 0y >1y >时，两曲线有公共点，x 直线(1t y 当0y <)=?应 绕着点(1，0)从逆时针方向旋转到的位置，与 曲线t 2L 卷）第2 题）函数()1 f x x = ?的值域是 ． 解法一三角换元法 令tan x θ=，（22θπ?<<，且π4 θπ ≠） （注：换元时保持变量的等价性） 则y tan 1cos θθ? = 11 sin cos )4 θθθ==π??． 22θππ?<<∵，且4θπ≠， 3444 <，且0θπππ ∴?π?， ()f x ∴ 的值域为((12 ?∞?+∞∪，，)． 评析 此函数为分式型无理函数，解决此类问题 通常是化无理式为有理式，即努力将根式中的被开方数(式)化成完全平方数(式)，由221tan 1cos θθ+=联想到三角换元，思路由此打开．解法二 数形结合法 y =∵ ，(y x ∴1)?=（＊1）， 322t x L 3L 1(1)?=≥切． 相联立方程221t x (1)t y x =????=?， 得(1)y x ??． 即2222(1)210y x y x y ，22210x ?=??+?=． 若直线1)(t y x =?x t ≥相切， )4(0y y 与2t ?=21( 1)2y =?则2(21)222Δ=?=??，． ∴直线(1)t y x =?绕着点(1，逆时针方向旋转过程中，0)从2 L 2 到L 的y ≤3． 综上得y ≤或即函数的值域为 1y >， ((1)?∞+∞∪，， ． 解法比较巧妙地函数值赋予“特殊身份”，想，将问题转化为我们熟悉的两类曲线有公共点问题．其转化基本思路为：函数 有意义评析 本将利用数形结合思方程有解曲线有公共点． ←←解法三 基本不等式法 （1） 若1x >， ()f x 1x >∵，20x x ∴+?>2x x ∴+>，， 2 1112x x ∴+>+?，f x ()1∴>（2）若． ， x 1<

一道高考涂色问题

一道高考涂色题的探究 (2010年天津理10)如图1，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有________种. 试题分析：本题考查排列应用题中的涂色问题，考查分类、分步计数 原理，考查学生的运算推理能力以及分类讨论的思想. 1.解题思路 解法一: 按选用颜色种数进行分类. 【解析】分三类：（1）B 、D 、E 、F 用四种颜色，则有A 必与F 颜色 相同、C 与E 颜色相同，故241144=??A 种方法. （2）B 、D 、E 、F 用三种颜色，则有：B 、E 同色或D 、F 同色必有其一，若B 、E 同色， 则A 有异于B 和D 的两种颜色，C 只有一种，D 、F 同色同理，12234???A ；B 与D 同色，则A 、C 都有异于B 、E 两种选择， 2234??A ，故12234???A +2234 ??A =192种. （3）B 、D 、E 、F 用二种颜色，只能B 、E 同色，D 、F 同色，A 、C 有异于B 、D 两种 颜色，则有 242248A ??=，所以共有不同的涂色方法有24+192+48=264种. 解法二：利用“捆绑法”, 分步着色. 【解析】第一类：用三种颜色涂色，A 、D 、E 颜色各不相同，若B 与E 同色，必有C 与 A 、F 与D 同色，可将C 与A 看作一个整体，F 与D 看作一个整体;若 B 、D 同色同理， 故234?A 种. 第二类：四种颜色（都用）涂六个点，必有4个点的位置颜色不同，即这六个点中必有两组点同色，看作一个整体，而这两组必为：AF 、AC 、BE 、BD 、CE 、DF 中的两组，如下：（AF 、BE ），（AF 、BD ），（AF 、CE ），（AC 、BE ），（AC 、BD ），（AC 、DF ），（BE 、DF ），（BD 、CE ），（CE 、DF ）共9种，944?A ，共有不同的涂色方法有234?A +944?A =264种. 解法三：着眼于“位置”：以四边形ABCD 为主分类、分步进行涂色. 【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，先涂四边形ABCD 的4个顶点， 有3 4A 种，必有AC 或BD 颜色相同，若AC 颜色相同，E 、F 颜色唯一确 定。BD 同色同理，故234?A 种. 第二类：四种颜色全都用上，（1）先用两种颜色涂矩形ABCD 的4个顶 图1C F B D E A 图2F E D C B A

一道高考数学试题的多种解法

一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: S?ABCDABCD为平行四边形底面,四棱锥中, CBBCS?A面侧.已知底面2BC?23?SA?SB2?AB45??ABC. ,,,BC?SA; 证明(Ⅰ)SABSD. 与平面所成的角的大小(Ⅱ)求直线下面只列,第一问证法较多,第二问相对作法较少: 举几种第一问的证法AOO?BCSSO. ）垂足为证法一:过（如图作,连接1,?SOCDBC?ABS面底得由侧面底面 ABCDSASBCDAOBOAB内的射,、分别是、在底面影. ?OBOASA?SB? ,又45??ABC?ABO?, 形直,角三角又是等腰?OB?OA. BC?SA. 由三垂线定理得SOOAO?BCA1). 连接如图,垂足为(:证法二过,作?SBCSBCSASOSBC?ABCDAO?且由侧面,在侧面底面内的射 影得是,侧面BO,AO?AO?SO. 45?ABO??SBO????SA?ABO?SBSAOOBOA?. .,在又,中90SOA???SOB??SOOB?. 即BCSA?. 由三垂线定理得 OBCAC连接,记证法三:连接的中点为,ABCAOSO?中2).、在(如图 2BC?245??ABC?2AB?ABC?,,,?BCAO?) .(是等腰直角三角形, 下同证法二OACBC连接的中点为,记,证法四:连接 2BC?245ABO???2AB?ABC?SOAO?ABC是等腰直角,中,,2).、(如图在?BC?AO. 三角形, ??SBCSOSASBCSBCABCDAO?. 在侧面,是又侧面底面,内的射影侧面3?cosSBA?SAB?. 在中易得3． 6???SBCcosCBAcos??cos?SBCcos?SBA. 又3?3SC?SO??BCSBC. 中由余弦定理得,在SA?BC. 由三垂线定理得AAO?BCOSO(如图,连接,垂足为过证法五:1). 作?SOSA?SBCSBCSBC?ABCDAO内的射影侧面由侧面,,底面在侧面得且是AO?SO,AO?BO. OA?OB?245??ABC?2AB?ABO?Rt. ,在中,AOS?SORt??12SA?3,AO?. ,在中BOSSO?1?OB?SO?2BO?SB?3,. 中在,,SA?BC. 由三垂线定理得?SBABCDABCDBCSBC?. ,证法六: 侧面在底面内的射影为底面 3??SBAcosSAB?. 中易得在36?cos?SBC?CBA??SBA?cos?SBCcoscos又. 3 SC?3SBC?. 在中由余弦定理得?AO?ABCDBC?SOBCOAOSOSO?是记则的中点为,连接底面、,(如图1),SAABCD内的射影.

中考化学实验探究题归类及解法(最新整理)

中考化学实验探究题归类及解法 实验探究活动是新课标理念中的一种全新的学习方法，也是中考考查的重点和热点，但不少同学对于实验探究类试题，往往不知如何入手去解答。实验探究题中的许多内容都是平时学习（实验）或生活中司空见惯的，只是命题形式新颖，选择素材陌生度高，但基础知识或原型实验来源于教材的演示实验或学生实验。很多同学做题时联想不到，这就要求我们在平时学习和生活中要多想多问几个为什么？要注意从化学的视角去观察思考学习和生产生活中的各种问题，并能根据自己已有的化学知识和经验对问题做出有意义的猜想和假设，并设法用实验去检验验证它。在解答实验探究类试题时要①通读全题划出关键的语句，审清题意,明确要求；②回归教材确定知识点；③细心分析明确设计意图，灵活应用基础知识解决探究题中的问题（关键是分析题中的设计方案和实验装置图）。现从近年来各地中考试题中选取数题，进行简要的归类与评析。 根据探究题的内容可分为以下几种类型： 一、气体成分的探究 如人吸入和呼出气体成分探究、酒精和蜡烛等可燃物燃烧后产生气体成分探究、两种物质反应后产生气体成分探究、鱼瞟内气体成分探究等。涉及的知识点有空气、O2、N2、H2、CO、CO2等这些物质的制法及检验，以及它们与氧气、水、碱溶液等反应产生的特有现象。 对应的知识点及应用 探究 的 物质 物理性质化学性质及制法 空气无色无味气体，微 溶于水。①支持燃烧，供给呼吸。 ②收集方法：可用注射器抽取或先往集气瓶注满水盖上玻 片，移到需取样之处将水倒掉并盖上玻片。 O2无色无味气体，微 溶于水。①具有氧化性：燃烧更剧烈；金属锈蚀；食物腐败。 ②制法：加热高锰酸钾或用MnO2催化过氧化氢(H2O2)制取 氧气 N2无色无味气体，难 溶于水。化学性质很不活泼：用作焊接金属、灯泡、食品包装的保护气，防止氧化、腐败。 H2无色无味气体，难①具有可燃性：绿色高能燃料，产物只有水。

(完整版)高考综合实验探究题解题指导汇总

高考综合实验探究题解题指导 高考实验探究题，担负着区分考生、选拔人才的功能。一道题十几分，拉开分差很容易。高手遇此就兴奋，弱者遇此常唉叹。实验探究——几家欢喜几家愁。 高考对化学综合实验的考查，主要包括物质的制备、物质性质的探究等实验，有关实验条件的控制和实验“绿色化”要求等。近几年化学实验综合题常常将定性实验与定量实验相结合，将实验基础知识与实验基本操作相结合，立足于对考生综合实验能力的考查。实验综合题的主要特点： (一)在形式上不再出现大型的连接仪器装置的试题，均为小型的探究性试题。 (二)在内容上大多为无机实验题，设置的问题主要填写化学方程式、仪器装置的作用、简述实验操作步骤等。 (三)在实验原理上均源于教材，但实验装置又高于教材，这就要求考生既要有扎实的实验基础、又要有创新能力。 题型一性质探究类综合实验题 1．(2013·四川高考)为了探究AgNO3的氧化性和热稳定性，某化学兴趣小组设计了如下实验。 Ⅰ.AgNO3的氧化性 将光亮的铁丝伸入AgNO3溶液中，一段时间后将铁丝取出。为检验溶液中Fe的氧化产物，将溶液中的Ag＋除尽后，进行了如下实验。 可选用的试剂：KSCN溶液、K3[Fe(CN)6]溶液、氯水。 已知：Fe2＋与K3[Fe(CN)6]溶液反应产生蓝色沉淀 (1)请完成下表： Ⅱ.AgNO3的热稳定性 用下图所示的实验装置A加热AgNO3固体，产生红棕色气体，在装置D中收集到无色气体。当反应结束以后，试管中残留固体为黑色。

(2)装置B的作用是________________________________________________________。 (3)经小组讨论并验证该无色气体为O2，其验证方法是_________________________ ________________________________________________________________________。 (4)【查阅资料】Ag2O和粉末状的Ag均为黑色；Ag2O可溶于氨水。 【提出设想】试管中残留的黑色固体可能是：ⅰ.Ag；ⅱ.Ag2O；ⅲ.Ag和Ag2O。 【实验验证】该小组为验证上述设想，分别取少量黑色固体放入试管中，进行了如下实验。 实验编号操作现象 a 加入足量氨水，振荡黑色固体不溶解 b 加入足量稀硝酸，振荡黑色固体溶解，并有气体产生 )。 【实验结论】根据上述实验结果，该小组得出的AgNO3固体热分解的产物有________。 [解析](1)能用来检验Fe3＋的试剂是KSCN溶液，加入后如果溶液变为红色，则其中含有Fe3＋。若溶液中含有Fe2＋，加入K3[Fe(CN)6]溶液后，溶液中有蓝色沉淀生成。(2)装置B中的进气管和出气管的长度相等，故为安全瓶，防止C中的溶液倒吸入A装置中，引起试管炸裂。(3)检验O2的方法：将带火星的木条伸入集气瓶内，若木条复燃则证明气体为氧气。(4)银不溶于氨水，实验a中，加入氨水后固体不溶解，说明黑色固体为Ag；金属银与稀硝酸反应生成NO，Ag2O也与稀硝酸反应生成AgNO3，故实验b不能说明固体是Ag还是Ag与Ag2O的混合物；根据上述分析可知只能采用实验a的结论，故AgNO3固体分解的产物为Ag、NO2、O2。 [答案](1)溶液呈红色K3[Fe(CN)6]溶液产生蓝色沉淀(2)防倒吸(3)用带火星的木条伸入集气瓶内，木条复燃，证明无色气体为O2(4)b Ag、NO2、O2 [技法归纳] 1．物质性质实验题的解题策略 性质验证型实验题的关键是结合题目要求和所给的仪器、装置以及所给的试剂，了解命题的意图。一般思路是：

一道试题的解法探究

一道试题的解法探究 题目（2015届湖北省部分重点中学高三起点考试理科第13题）已知函数f（x）=12x2-bx+1（b∈R），若方程f（x）=x在区间（-1，1）上有解，求实数b的取值范围. 点评本题的处理方法一般是利用实根分布的知识解决二次方程在区间上有解的方法，但若只是顾及问题的表面，解完之后缺乏反思，就没有有效挖掘本题所蕴含的一系列数学思想方法，应该说就错失了一次绝佳锻炼思维的机会.为说明问题，下面给出几种思路，供参考： 解法一（分类讨论的思想）由方程f（x）=x12x2-（b+1）x+1=0，记函数h（x）=12x2-（b+1）x+1，考虑h（0）=1>0，对称轴x=b+1的不确定，于是b+1与定义域区间（-1，1）的位置关系生成讨论的标准：①若-1≤b+1≤1即-2≤b≤0时，此时上述方程中Δ=（b+1）2-21即b>0时，要函数h （x）在（-1，1）上有零点，则只须h（1）12；③若b+112. 评析一般的在涉及二次函数在区间上有零点或最值的问题上，通常研究的方法都是利用其对称轴与定义域区间的位置关系生成分类讨论的标准，然后再逐步依据题目的要求将问题予以解决.此种做法易想能做，但解题过程繁杂，能否找到有效回避分类讨论的处理方法呢？

解法二：（正繁则反补集法）考虑到h（0）=1>0，问题的对立面为方程f（x）=x在区间（-1，1）上无解，也即是函数h（x）=12x2-（b+1）x+1在区间（-1，1）上无零点，则只须h（1）≥0 h（-1）≥0-52≤b≤12，则原题有解b的范围为b12. 评析一个数学问题通常都具有两面性，当一方较为繁琐的时候，往往其对立面一般就会稍显简单，上述处理正是有效利用这一点，使解题过程得到了简化.以上两种做法都绕不开利用二次方程在区间上有实根的相关知识来解题的，那么本题能否另辟蹊径呢？ 解法三：（等价转换的思想）由方程f（x）=x在（-1，1）上有解，可得bx=12x2-x+1.若x=0时，上述方程显然不成立，即方程的解一定不为0，于是可得b=x2+1x-1（x≠0），也即对x∈（-1，0）∪（0，1）时总存在唯一实数b让方程成立，于是参数b可看作是以x为自变量的函数，即求b的范围等价于求右侧函数的值域了.易求上述函数的值域为（-∞，-52）∪（12，+∞），也即为b的取值范围. 评析将方程有解问题转化为求函数值域问题，为常规的解题寻找到全新的视角，凸显了等价转换思想的重要意途.然而纵观上述三种处理无一例外都是从代数层面来进行求解的，那么本题是否可以从“形”的一面来介入呢？ 解法四：（数形结合的思想）由解法三知方程

一道高考填空题解法探究

一道高考填空题解法探究 江苏省通州市石港中学(226351) 高志军 设函数3()31f x ax x =-+()x R ∈，若对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，则实数a 的值为▲ ．（2008年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）14题）. 解法一 (对x 进行分类讨论) (1)若x ＝0时，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立. (2)当0x >时, 即(]0,1x ∈时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x = -，则()()' 4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ??? 上单调递增， 在区间1,12?????? 上单调递减，因此()max 142g x g ?? == ???，从而4a ≥. (3)若0x <时, 即[)1,0x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331 a x x ≤ - ()() '4 3120x g x x -= <， 所以()g x 在区间[)1,0x ∈-上单调递增，所以min ()(1)4,g x g =-=从而4a ≤. 综上所述,4a =. 解法二(对a 进行分类讨论) 2()33f x ax '=-. (1)0a ≤时, ()0f x '≤恒成立,∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-()f x ≥0 恒成立，∴20,2,a a -≥∴≥与0a ≤矛盾. ∴0a ≤不可能. (2) 0a >时, 2()33f x ax '=-=3(a x x +. ①01a <≤时, []1,1x ∈- ∴()f x '=3(a x x +≤0恒成立, ∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-∴20,2,a a -≥∴≥与 01a <≤矛盾. ∴01a <≤不可能. ②1a >时, ()f x '的正负、()f x 的单调性及函数值如下表

一道高考选择题的多种解法

一道高考选择题的多种解法 题目：两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（ ） A. 45 B. 30 C. 5.22 D. 15 解法一：力矩平衡 辅助线如图所示，其中ON 垂直ab ，OM 垂直水平虚线，则θ=∠MON 。又由于R ab 2=，所以三解形aOb 为等腰直角三角形。以O 点为转轴，用力矩平衡原理有（图中未做出转轴到力的作用线的距离）： ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin gR m gR m b a 整理得 ?? ? ??+=??? ??-θπθπ4sin 4sin 3…………………………（1） 将四个选项代入可知，选项D 正确。 附：若将上面的（1）式展开来看，可以直接求出关于关于θ的三角函数值，但从下面的计算可以看出，这样做来选择正确选项，并不是容易的。 θθθθcos 2 2sin 22sin 223cos 223+=?-? 整理可得： 32tan -=θ 图2 图1

可以很容易的知道A 和B 是不正确的，但由于我们没有记住C 和D 的角度的正切值，所以说不易找到结果。这说明了解选择题和解答题的解法是不同的。 解法二：共点力平衡——正弦定理 受力分析如图3所示，由于两物体处于平衡状态，所以所受到的三个力将分别构成封闭的三角形。 由两直线平行，同位角相等，可知a 、b 两物体所受支持与直方向的夹角分别为θπ -4和 θπ +4。在两个三角形中分别用正弦定理，有 4sin 4sin 1π θπg m F =??? ??- (2) 4sin 4sin 2π θπg m F =??? ??+ (3) （2）式除以（3）式，整理可得 34sin 4sin 12==?? ? ??-??? ??+m m θπθπ 将四个选项分别代入上式可以找到正确答案。 解法三：共点力平衡——正交分解法 如图对a 进行受力分析并建立直角坐标系。由共点力平衡条件可知 图4 图3

科学探究试题的一般解题方法1

科学探究试题的一般解题方法1 科学探究是人们猎取科学知识的，认识世界的重要途径，它既是新课标理念实施中的一种全新的学习方法，也是九年级化学学习的重要内容。科学探究活动能有效激发学生对化学学习的兴趣，能让学生学会从日常生活、工农业生产、科学研究中或从化学问题的实际情景中，发明有探究价值的问题。科学探究活动可有效的培养学生的实验能力、探究能力、创新能力。因而科学探究能力也就理所所以成为中考考查的重点和热点，但许多同学关于科学探究类试题，往往不知如何入手去解答。实际上该类问题一般来说是在同学们已有知识和经验的基础上设计的，只要基础扎实，掌握了科学探究的一般步骤〔科学探究的一般步骤为提出问题→猜想与假设→制定计划→进行实验→收集证据→解释与结论→反思与评价→表达与交流〕，能够说并不难解，本文结合近几年典型探究类中考题，从科学探究的步骤动身，剖析该类试题解题的一般思路和方法，供参考。 【一】要在已学知识和经验的基础上，敢于和大胆的做出合理的猜想和假设 实际上科学探究试题中的许多内容基本上平时学习时已学过的，或生活中司空见惯的，关键问题是特别多同学做题时联想不到，这就要求我们每一个同学在平时的学习和生活中要多问几个什么原因，要注意从化学的视角去观看思考学习和生产生活中的各种问题，并能依照自己已有的化学知识和经验对问题做出有意义的猜想和假设。 例1.甲同学在某食品包装袋内，发明有一个装有白色颗粒状固体A的小纸袋，上面写着“生石灰干燥剂，请勿食用”。甲同学随手将小纸袋拿出来放在空气中，通过一段时间后，发明纸袋内的白色颗粒粘在一起成为块状固体B。请你与甲同学一起对块状固体B进行探究。 〔1〕猜想一：块状固体B中除氧化钙外还可能 有：、。 写出白色颗粒状固体A在空气中转化为块状固体B的化学反应方程 式： 〔2〕猜想二：块状固体B溶于水可能有现象〔填“放热”或“吸热”〕。 请设计实验方案验证你的这 一猜想〔至少写出两种方案，假如写出三种正确方案奖励1分〕： ①；②； ③。 〔3〕取适量块状固体B加入盛有一定量水的试管中，振荡、静置、过滤，得到少量白色固体C。就白色固体C的成分，甲同学与乙同学进行讨论，一起猜想。 甲同学认为，白色固体C可能是：氢氧化钙；乙同学认为，白色固体C可能是：碳酸钙； 你认为，白色固体C还可能 是：。 方案现象和结论 同时又对学生们知识的掌握情况及思维能力、实验设计能力、探究能力及综合能力提出了较高的要求。它以生活中司空见惯的食品干燥剂生石灰作为试题的情景，通过分析生石灰放在空气中变成块状固体的缘故进行猜想和探究。事实上此题考查的仍然是知识的应用，考查的是相关物质的性质。解题的关键是抓住生石灰氧化钙及其在空气中变质后一系列物质的性质

一道高考填空题的解法探究

一道高考填空题的解法探究-中学数学论文 一道高考填空题的解法探究 贾周德 （赣榆中等专业学校，江苏连云港222100） 摘要：本文探究了一道高考填空题的多种解法，开扩了学生的解题思路，培养了学生的创新思维.教学实践证明，在数学教学中开展一题多解训练，有利于学生掌握数学基础知识和基本方法，提高解题能力。 关键词：基本不等式；判别式；三角换元；几何；导数 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0020-01 在数学教学中，笔者引导学生对下面一道高考填空题的解法作了一番探究，得到了多种不同的解法，现总结如下，供解题参考。 题目：设x,y,z为正实数，满足x－2y+3z=0，则y2xz的最小值是。 (2008年江苏高考数学卷第11题) 一、基本不等式法 解法1：由x－2y+3z=0,得y=x+3z2.将此式代入y2xz中,整理得y2xz=x4z+9z4x+32.由题设知,x4z,9z4x均为正实数,由基本不等式,得x4z+9z4x+32≥2x4z.9z4x+32=3,即y2xz≥3(当x=y=3z时,取“=”)，所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法1是用基本不等式ab≤a+b2（a≥0, b≥0）求解的。本题也可以这样解,将已知等式化为y=x+3z2，由基本不等式,得y≥3xz0，即y2xz≥3,从而得解。利用基本不等式求最值时,要注意满足“一正数、二定值、三相等”的条件。

二、判别式法 解法2：设y2xz=t (t0)，则y2=txz.由已知等式,得y=x+3z2.将此式代入y2=txz 中,整理得(xz)2+(6－4t)xz+9=0.因为这个关于xz的二次方程有正实数根，所以判别式Δ＝(6－4t)2－36≥0,解得t≥3或t≤0(舍去），即y2xz≥3（当x=y=3z 时，取“＝”）.所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法2是将y2xz用新变量t表示，结合已知等式，用代入法消去y，整理得关于xz的二次方程，从而利用“判别式法”得解.利用判别式法求函数的最值时,要注意检验其结论的正确性，防止出现“误判”或“漏判”的情形. 三、三角换元法 解法3：将x－2y+3z=0化为x2y+3z2y=1.令x2y=cos2θ,3z2y=sin2θ,θ∈(0,π2).两式相乘并整理，得y2xz=3sin22θ.因为2θ∈(0,π),所以1sin22θ≥1,于是y2xz≥3.当θ=π4时, 1sin22θ取最小值1,从而y2xz取最小值3,此时x=y=3z.所以y2xz的最小值是3. 点评：上述解法3是将已知等式化为x2y+3z2y=1，利用三角换元法把问题转化为求三角函数的最值问题而得解的。这里得出x2y+3z2y=1后,也可以利用基本不等式求解。 四、几何法 解法4：作线段AP=x，延长AP至点B,使PB=3z，则AB=x+3z=2y(x,y,z为正实数). 以线段AB为直径作圆O (如图),作半径OC,使OC⊥AB,则OC=y.过点P作PE⊥AB,交圆O于点E,则3xz=PE2≤OC2,即3xz≤y2,所以y2xz≥3.显然,当点P 与圆心O重合时,此不等式取“＝”，此时x=y=3z.所以y2xz的最小值是3.

一道高考题的五种解法

一道高考题的五种解法-中学数学论文 一道高考题的五种解法 高成龙 （首都师范大学数学科学学院，北京100048） 摘要：数学被称为思维的体操，一题多解可以透过多个角度来审视一道题目，对学生的解题能力有很大提高。本文通过对一道高考题进行深入分析，得出五种解法，拓展了解题思路，培养学生探究式学习的兴趣。 关键词：三角函数；一题多解；高考 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0025-01 题目：（2012年全国大纲卷·理7）已知α为第二象限角，且si nα+cosα=33，则cos2α=（） A.－53 B.－59 C.53 D.59 分析一：利用三角函数基本公式sin2α+cos2α=1，联立方程组来求解得sinα,cosα的值，进而求得cos2α的值. 解法一：sin2α+cos2α=1（1），sinα+cosα=33（2），联立（1）式与（2）式消去cosα得：2sin2α－233sinα－23=0， 求得sinα=3+156或sinα=3－156. 又由题设α为第二象限角，所以sinα0，即sinα=3+156 ，代入（2）式得cosα=3－156，由cos2α=cos2α－sin2α得cos2α=－53，选A. 分析二：在解法一中求得sinα的值之后，无需在求cosα，直接利用cos2α=1－2sin2α来求cos2α的值. 解法二：由解法一求得sinα=3+156，由cos2α=1－2sin2α得cos2α=1－

2sin2α=1－23+1562=－53，选A. 分析三：根据sinα+cosα=33先求得sin2α的值，进而求得cos2α的值. 解法三：因为sinα+cosα=33，将其两边完全平方得: sinα+cosα2=1+sin2α=13，解得:sin2α=－23，利用sin22α+cos22α=1得cos2α=±53，由题设α∈π2,π，则2α∈π,2π，即2α位于第三或第四象限，这样cos2α的符号不唯一，因此这种方法不能确定cos2α的符号. 下面从另一个角度来确定cos2α的符号：根据二倍角公式cos2α=cos2α－sin2α=cosα+sinα·cosα－sinα，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，从而cosα－sinα0，另外sinα+cosα=330，因此cos2α0，从而cos2α=－53，选A. 分析四：解法思路同解法三相同，区别在于判断cos2α的符号取决于cosα与sinα的大小. 解法四：同解法三实质一样，求得cos2α=±53，下面来判断cos2α的符号，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，且sinα+cosα=330，从而sinαcosα，因此cos2α=cosα2－sinα20，从而cos2α=－53，选A. 分析五：由已知sinα+cosα的值，利用恒等式去求解cosα－sinα的值，进而求得cos2α的值. 解法五：由于题目已知sinα+cosα=33,为避免求sin2α的值，直接利用恒等式cosα+sinα2+cosα－sinα2=2得cosα－sinα2=53，又由解法三cosα－sinα0，因此cosα－sinα=－153，从而cos2α=cosα+sinα·cosα－sinα=33×－153=－53,选A. 作者简介：高成龙，首都师范大学数学科学学院，2012级研究生，研究方向：

一道高考数学试题的多种解法

一道高考试题的多种解法 2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题: 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面S B C ⊥底面A B C .已知 45ABC ∠=,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成的角的大小. 第一问证法较多,第二问相对作法较少,下面只列 举几种第一问的证法: 证法一:过S 作SO BC ⊥,垂足为O ,连接AO （如图1）. 由侧面S B C ⊥底面A B C D 得SO ⊥底面 A B C D ,AO 、BO 分别是SA 、SB 在底面ABCD 内的射 影. 又SA SB =,∴OA OB = 又45ABC ∠=,∴ABO ?是等腰直角三角形, ∴OA OB ⊥. 由三垂线定理得SA BC ⊥. 证法二:过A 作AO BC ⊥,垂足为O ,连接SO (如图1). 由侧面SBC ⊥底面ABCD 得AO ⊥侧面SBC ,∴SO 是SA 在侧面SBC 内的射影,且,AO SO AO BO ⊥⊥. 在ABO ?中45ABO ∠=,∴OA OB =.又SA SB =,SAO SBO ∴???. 90SOB SOA ∴∠=∠=即OB SO ⊥. 由三垂线定理得SA BC ⊥. 证法三:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接 AO 、SO (如图2).在ABC ?中 45ABC ∠=,2AB =,BC =∴ABC ? 是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥.(下同证法二) 证法四:连接AC ,记BC 的中点为O ,连接 AO 、SO (如图2).在ABC ?中45ABO ∠=,2AB =,BC =∴ABC ?是等腰直角三角形, ∴AO BC ⊥. 又侧面SBC ⊥底面ABCD ,∴AO ⊥侧面SBC ,SO 是SA 在侧面SBC 内的射影. 在SAB ?中易得cos SBA ∠=

一道高考数学试题的解法探究及教学思考

一道高考数学试题的解法探究及教学思考 马兴奎（云南省昭通市实验中学） 题目：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1、l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1、l 2于A 、B 两点. 已知||、||、||成等差数列，且与同向. （1）求双曲线的离心率； （2）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程. 一、试题分析 本题是2008年高考数学全国卷I 文科第22题（理科第21题），是主要考查解析的几何基本思想和基本方法的压轴题，看似平凡，其实是一道可以用来归纳求解离心率的常用方法和技巧的好题，对启迪学生的发散性思维，拓宽学生的解题思路很有帮助。其命题意图是考查学生数形结合、化归与转化的数学思想和方程的思想。考生初读题目，感觉常规，下笔却困难重重。原因是试题的第（1）问对考生的思维能力要求较高，许多考生草读一遍题意， 便下笔求解A 、B 两点的坐标，虽然一些考生能够正确求出A 、B 两点的坐标为2,a ab A c c ?? ???， 22222,a c abc B a b a b ??- ?--??，接下来计算||和||还较容易，但计算||由于计算量大，陷入解题困境，部分考生算出了一个相当复杂的结果；部分考生甚至算了半天也计算不出结果，最后心慌，放弃此题。本文以此题为载体，引导学生一题多解，发散思维，并引发了几点思考，旨在与同行交流。 二、第（1）问解法探究 分析：如图1所示，设双曲线方程为22 22x y a b -=1(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F(c,0)(c ＞0)，则c 2=a 2+b 2.不妨设l 1：bx-ay=0，l 2：bx+ay=0，依题意||FA ==b ，|| ==a ，由22 1a b a c e +==知，只需求出a b 的值即可，可用多种思维建立a 与 b 的关系。 图1

一道初中几何题的多种解法

一道初中几何题的多种解法 【题目】已知：过ABC ?的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E . 求证： FB AF ED AE 2=. 【分析】平行线分线段成比例 【提示】系数2既是难点，又是突破点 【解法1】 证：连BE ，则由同高三角形面积关系得 BCF ACF BEF AEF S S S S FB AF ????==，CDE AEC S S ED AE ??= 根据等比性质得： BCE ACE BEF BCF AEF ACF S S S S S S FB AF ??????= --= ∵D 为BC 的中点， ∴D CE BCE S S ??=2 ∴ DE AE FB AF 2=，即FB AF ED AE 2= 【解法2】 证：过D 作CF DM //交AB 于M ， ∵CF DM //， ∴ FM AF ED AE = ∵D 为BC 的中点，CF DM // ∴M 为BF 的中点，即BF MF 2 1 = ， ∴BF AF ED AE 2 1 = ，即FB AF ED AE 2= 【解法3】 证：过D 作AB DN //交CF 于N ， ∵AB DN //， C D B C C

∴ DN AF ED AE = ∵D 为BC 的中点，AB DN // ∴N 为CF 的中点， ∴DN 为BCF ?的中位线，则BF DN 2 1 = ∴ BF AF ED AE 2 1= ，即FB AF ED AE 2= 【解法4】 证：过B 作CF BG //交AD 延长线于G ， ∵CF BG //， ∴ EG AE FB AF = ∵D 为BC 的中点，CF BG // ∴D 为GF 的中点，即DE EG 2= ∴ DE AE FB AF 2=， 即FB AF ED AE 2= 【解法5】 证：过B 作AD BH //交CF 延长线于H ， ∵AD BH //， ∴BH AE FB AF = ∵D 为BC 的中点，AD BH // ∴E 为CH 的中点， ∴DE 为BCH ?的中位线，则DE BH 2= ∴DE AE FB AF 2=，即FB AF ED AE 2= 【解法6】 证：过A 作BC AK //交CF 延长线于K ， ∵BC AK //， G C C