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2-4 换面法作直线的实长和平面的实形

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第二章第四节

换面法作直线的实长和平面的实形

一、求作直线的实长及其对投影面的倾角

二、求作投影面垂直面的实形

一、求作直线的实长及其对投影面的倾角

换面法的基本作图

二、求作投影面垂直面的实形

异面直线所成的角求法总结加分析

异面直线所成的角求法 总结加分析 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

异面直线所成的角 一、平移法: 常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1.在空间四边形ABCD 中,AD =BC =2,E ,F 分别为AB 、CD 的中点,EF = 3 ,求AD 、BC 所成角的大小. 解:设BD 的中点G ,连接FG ,EG 。在△EFG 中 EF = 3 FG =EG =1 ∴∠EGF=120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2.正?ABC 的边长为a ,S 为?ABC 所在平面外的一点,SA =SB =SC =a ,E ,F 分别是SC 和AB 的中点.求异面直线SA 和EF 所成角. 答案:45° 3.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点,如图SA =SB =SC ,且∠ASB =∠BSC =∠CSA = 2 π ,M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值. 证明:连结CM ,设Q 为CM 的中点,连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 连结BQ ,设SC =a ,在△BQN 中 BN = a 25 NQ =2 1SM = 4 2 a BQ = a 4 14 ∴COS∠QNB= 5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点,若 BC =CA =CC 1,求BM 与AN 所成的角. 解:连接MN ,作NG∥BM 交BC 于G ,连接AG , 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角. 设:BC =CA =CC 1=2,则AG =AN = 5 ,GN =BM = 6 , cos∠GNA= 10 30 5 62556= ??-+。 5.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别是1BB 、CD 的中点.求AE 与F D 1所 成的角。 证明:取AB 中点G ,连结A 1G ,FG , 因为F 是CD 的中点,所以GF ∥AD , 又A 1D 1∥AD ,所以GF ∥A 1D 1, 故四边形GFD 1A 1是平行四边形,A 1G∥D 1F 。 设A 1G 与AE 相交于H ,则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

如何求异面直线所成的角

如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位,求异面直线所成的角是其中重的内容之一,也是高考的热点,求异面直线所成的角常分为三个步骤:作→证→求。其中“作”是关键,那么如何作两条异面直线所成的角呢?本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。 Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角 一、端点平移法 例1、在直三棱柱111C B A ABC -中,090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点,若 1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解:取BC 的中点E ,连结EF ,DF , //DF EC Q 且DF EC = ∴四边形DFEC 为平行四边形 //EF DC ∴ EFA ∴∠(或它的补角)为CD 与AF 所成的角。 设2AB =, 则EF = AF = EA = 故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==g arccos 10 EFA ∴∠= 二、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点,求AM 与CN 所成的角的余弦值。 解:连结MD ,取MD 的中点O ,连结NO , Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点, ∴NO 为DAM ?的中位线, ∴//NO AM , ONC ∴∠(或它的补角)为AM 与CN 所成的角。 设正四面体ABCD 的棱长为2 ,则有2NO = ,CN = ,2CO =, 故2222 cos 23 NO CN CO ONC NO CN +-∠= =g 2 arccos 3 ONC ∴∠= 1 B D C

异面直线所成的角的求法

异面直线所成的角的求法 法一:平移法 在正方体 ABCD A i B i C i D i 中,求下列各对异面直线所成的角。 恵,求直线AB 与CD 所成的角。 习题1?在空间四边形ABCD 中,AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点,EF =为, 求AD 、BC 所成角的大小. 例1: (1) AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ; (3) A i B 与 A C 。 法二: 例2: 求直线AB 与MN 所成的角。 中位线 在空间四边形 ABCD 中,AB = CD ,且AB CD ,点M 、N 分别为BC 、AD 的中点, 变式:在空间四边形 ABCD 中,点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点,AB = CD = 2,且 MN =

正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点,SA = SB = SC = a, E , F 分别 是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC = CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的 余弦值. 如图,在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中,/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中 点, 若BC = CA = CC i ,求BM 与AN 所成的角. 5.如图1 — 28的正方体中,E 是A D 勺中点 (1) 图中哪些棱所在的直线与直线 BA 成异面直线? (2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线 2. 3. 4 . BA 和CC 所成的角的大小; AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 B A (图 1— 28)

异面直线所成的角求法 答案

异面直线所成的角的两种求法 初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处?不会作! 下面介绍两种求法 一.传统求法--------找、作、证、求解。 求异面直线所成的角,关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择:一般在其中一条直线上的特殊位置,但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定:一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面,有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展,有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1 设空间四边形ABCD ,E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点,若AB =122,CD =4 2,且四边形EFGH 的面积为12 3, 求AB 和CD 所成的角. 解? 由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD, ∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵? EFGH 是平行四边形,HG =2 1 AB =62, H G F E D C B A

HE =2 1 ,CD =23, ∴? S EFGH =HG·HE·sin∠EHG=126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG=123. ∴? sin∠EHG= 2 2 ,故∠EHG=45°. ∴? AB 和CD 所成的角为45° 注:本例两异面直线所成角在图中已给,只需指出即可。 例2.点A 是BCD 所在平面外一点,AD=BC ,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,且EF=2 2 AD ,求异面直线AD 和BC 所成的角。(如图) 解:设G 是AC 中点,连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点,故EG∥BC 且EG= 2 1 BC ,FG∥AD,且FG=2 1 AD ,由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角,即∠EGF 为 所求。由BC=AD 知EG=GF=2 1 AD ,又EF=AD ,由余弦定理可得cos∠EGF=0,即∠EGF=90°。 注:本题的平移点是AC 中点G ,按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线,然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时,常取另一线段中点,以构成中位线,既可用平行关系,又可用线段的倍半关系。 例3.已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 与CN 所成的角的余弦值; A B C G F E D

异面直线所成角求法-总结加分析

异面直线所成的角 一、平移法: 常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1.在空间四边形ABCD 中,AD =BC =2,E ,F 分别为AB 、CD 的中点,EF =3,求AD 、BC 所成角的大小. 解:设BD 的中点G ,连接FG ,EG 。在△EFG 中 EF =3 FG =EG =1 ∴∠EGF=120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2.正?ABC 的边长为a ,S 为?ABC 所在平面外的一点,SA =SB =SC =a ,E ,F 分别是SC 和 AB 的中点.求异面直线SA 和EF 所成角. 答案:45° 3.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点,如图SA =SB =SC ,且∠ASB =∠BSC =∠CSA =2 π ,M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值. 证明:连结CM ,设Q 为CM 的中点,连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ,设SC =a ,在△BQN 中 BN = a 25 NQ =2 1SM = 4 2a BQ = a 4 14 ∴COS∠QNB=5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点,若BC = CA =CC 1,求BM 与AN 所成的角. 解:连接MN ,作NG∥BM 交BC 于G ,连接AG , 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角. 设:BC =CA =CC 1=2,则AG =AN =5,GN =BM =6 , cos∠GNA= 10 305 62556=??-+。 B M A N C S

补充构造异面直线所成角的几种方法

一. 异面直线所成角的求法 1、正确理解概念 (1)在异面直线所成角的定义中,空间中的点O 是任意选取的,异面直线a 和b 所成角的大小,与点O 的位置无关。 (2)异面直线所成角的取值范围是(0°,] 90? 2、熟练掌握求法 (1)求异面直线所成角的思路是:通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线,进而利用平面几何知识求解,整个求解过程可概括为:一作二证三计算。 (2)求异面直线所成角的步骤: ①选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角,通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°,所以在三角形中求的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角。 3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例1如图,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2,AD =1,点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点,则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。 E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G

例 2 已知 S 是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC, 且∠ASB=∠BSC=∠CSA= 2 π ,M、N分别是AB和SC的中点. 求异面直线SM与BN所成的角的余弦值. 例3长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 B M A N C S B M A N C S B M A N C S

异面直线所成角的几种求法(最新编写)

异面直线所成角的几种求法 异面直线所成角的大小,是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的。因此,通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线,形成角,然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中,平移直线是求异面直线所成角的关键,而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。 一、向量法求异面直线所成的角 例1:如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。 解法一:(作图法)作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线 到某个点上。作法:连结B 1E ,取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H , 连结GH ,有GH//A 1E 。过F 作CD 的平行线RS ,分别交CC 1、DD 1于点R 、S ,连结SH ,连结GS 。 由B 1H//C 1D 1//FS ,B 1H=FS ,可得B 1F//SH 。在△GHS 中,设正方体边长为a 。GH=a (作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ,46连QH ,可知△GQH 为直角三角形),HS=a (连A 1S ,可知△HA 1S 为直角三角形),2 6GS=a (作直线GP 交BC 于点P ,连PD ,可知四边形GPDS 为直角梯形)。426∴Cos ∠GHS=。6 1所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。61解法二:(向量法)分析:因为给出的立体图形是一个正方体, 所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 以B 为原点,BC 为x 轴,BA 为y 轴,BB 1为z 轴,设BC 长度为2。 B A C D F E B 1A 1D 1C 1 G H S R P Q 1

立体几何异面直线成角求法习题

构造异面直线所成角的几种方法 异面直线所成角的大小,是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的.准确选定角的顶点,平移直线构造三角形是解题的重要环节.本文举例归纳几种方法如下,供参考. 一、抓异面直线上的已知点 过一条异面直线上的已知点,引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行),往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标. 例1(2005年全国高考福建卷)如图,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2,AD =1,点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( ) 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时,抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点,DE ⊥AB 于E (如图).现将△ADE 沿DE 折起,使二面角A -DE -B 为45°,此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ,则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________. 三、平移(或构造)几何体 有些问题中,整体构造或平移几何体,能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图,PA ⊥平面ABC ,90ACB ∠=?且 PA AC BC a ===,则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____. 1. 解:连B 1G ,则A 1E ∥B 1G ,知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角.在 △B 1GF 中,由余弦定理,得 cos B 1GF =2221112B G GF B F B G GF +-= ?=0, 故∠ B 1 G F = ,应选(D). 2评注:本题是过异面直线FG 上的一点G ,作B 1G ,则A 1E ∥B 1G ,知∠B 1G F 就是所求的 角,从而纳入三角形中解决. 解:取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ,BN ∥ED ,GM =21ED ,BN =2 1 ED . ∴ GM ∥BN ,且GM =BN . ∴BNMG 为平行四边形,∴MN//BG ∵A 的射影为B . ∴AB ⊥面BCDE . P B C A

如何求异面直线所成的角

3 3 如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位,求异面直线所成的角是其中重的内容之一,也 是高考的热点,求异面直线所成的角常分为三个步骤:作 证 求。其中“作”是关键,那 么如何作两条异面直线所成的角呢?本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处 理方法。 I 、用平移法作两条异面直线所成的角 、端点平移法 例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中, CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点,若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解:取BC 的中点E ,连结EF ,DF , QDF//EC 且 DF EC 四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC EFA (或它的补角)为CD 与AF 所成的角。 设 AB 2,则 EF 76,AF 730 arccos 10 、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, 解:连结MD ,取MD 的中点0,连结NO , Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点, NO 为DAM 的中位线, NO//AM , ONC (或它的补角)为AM 与CN 所成的角。 広 J 7 设正四面体ABCD 的棱长为2,则有NO —,CN 73, CO — 2 2 皿 NO 2 CN 2 CO 2 故 cos ONC ----------------- 2NOgCN 2 ONC arccos-故EFA EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA 730 10 75,EA 45 M , N 分别是BC, AD 的中点,求AM 与CN 所成的角的余弦值。 EFA A l A D

天大18秋《画法几何及工程制图》在线作业二

(单选题) 1: 根据投射方向是否垂直于轴测投影面,轴测投影可分成两类即正轴测投影和斜轴测投影 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 2: 凡是屋檐相交的两屋面必相较于倾斜的屋脊或天沟。如果两屋檐正交,则在水平投影中斜脊梁=或天沟无屋檐成()度角的直线。 A: 30 B: 45 C: 60 D: 90 正确答案: (单选题) 3: 用简化伸缩系数所画的图在长度上成为实际投影长度的()倍 A: 1 B: 1.22 C: 0.82 正确答案: (单选题) 4: 判断:在环面上作点,一般会用经圆法。 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 5: 下列不属于装配尺寸的是() A: 配合尺寸 B: 连接尺寸 C: 特性尺寸 正确答案: (单选题) 6: 组合体的组合方式不包括() A: 堆积 B: 相切 C: 杂交 正确答案: (单选题) 7: A: A B: B C: C D: D 正确答案: (单选题) 8: 平面与回转体表面相交产生的交线称为() A: 截交线 B: 相贯线 正确答案: (单选题) 9: 平面上的各等高线彼此平行,但各等高线间的高差与水平距离的比值会有变化 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 10: 凸台和凹坑的作用是() A: 保证良好的接触并减小加工面 B: 便于装配并防止锐角伤人 C: 便于退刀或者使相配零件良好接触 正确答案: (单选题) 11: 两个回转体共轴时,其相贯线是()

D: 以上均有可能 正确答案: (单选题) 12: 根据有关标准规定,用正投影法绘制出物体的图形,称为() A: 视图 B: 剖视图 C: 断面图 正确答案: (单选题) 13: 通常用直线上两点的标高投影来表示该直线 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 14: 假想用剖切面剖开机件,将处在观察者和剖切面之间的部分移去,而将其余部分向投影面投射所得到图形,属于() A: 正视图 B: 斜视图 C: 剖视图 正确答案: (单选题) 15: A: A B: B C: C D: D 正确答案: (单选题) 16: A: A B: B C: C D: D 正确答案: (单选题) 17: 如果曲面体表面的投影或直线的投影具有积聚性,那么,贯穿点的投影在有积聚性的投影中为已知,其余投影可利用表面做点的方法求得 A: 正确 B: 错误 正确答案: (单选题) 18: 下列不属于求作截交线的方法的是() A: 辅助平面法 B: 换面法 C: 素线法 正确答案: (单选题) 19: 直线上任意两点的高差与其水平距离之比,称为该直线的() A: 倾角 B: 倾斜比 C: 平距 D: 坡度 正确答案: (单选题) 20: 两曲面体的相贯线一般为封闭的空间曲线,当两圆柱面的素线平行时,相贯线为() A: 直线和一段圆弧 B: 全部直线 C: 圆 正确答案:

画法几何及工程制图习题解答 第一章 制图基本知识

第一章制图基本知识第二章正投影法基础第三章换面法 第四章组合体 1. 组合体视图的画法 2. 平面与回转面的交线 3. 两回转面的交线 4. 组合体视图及其尺寸注法 5. 读组合体视图 第五章轴测图 第六章机件形状的基本表示 方法 1. 视图、剖视 2. 断面、简化画法 第七章零件图 第八章常用标准件和齿轮、 弹簧表示法 第九章装配图 P 3 P 2 第一章制图基本知识

第一章制图基本知识 第二章正投影法基础 第三章换面法 第四章组合体 1. 组合体视图的画法 2. 平面与回转面的交线 3. 两回转面的交线 4. 组合体视图及其尺寸注法 5. 读组合体视图 第五章轴测图 第六章机件形状的基本表示 方法 1. 视图、剖视 2. 断面、简化画法 第七章零件图 第八章常用标准件和齿轮、 弹簧表示法

第一章制图基本知识 第二章正投影法基础 第三章换面法 第四章组合体 1. 组合体视图的画法 2. 平面与回转面的交线 3. 两回转面的交线 4. 组合体视图及其尺寸注法 5. 读组合体视图 第五章轴测图 第六章机件形状的基本表示 方法 1. 视图、剖视 2. 断面、简化画法 第七章零件图 第八章常用标准件和齿轮、 弹簧表示法

第一章制图基本知识 第二章正投影法基础 第三章换面法 第四章组合体 1. 组合体视图的画法 2. 平面与回转面的交线 3. 两回转面的交线 4. 组合体视图及其尺寸注法 5. 读组合体视图 第五章轴测图 第六章机件形状的基本表示 方法 1. 视图、剖视 2. 断面、简化画法 第七章零件图 第八章常用标准件和齿轮、 弹簧表示法

立体几何中求异面直线所成的角解法举例

立体几何中求异面直线所成的角解法举例 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 例1:如图,在Rt AOB △中,π6 OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --的直二面角.D 是AB 的中点. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ; (II )求异面直线AO 与CD 所成角的正切值. 解法1(几何法): (I )由题意,CO AO ⊥,BO AO ⊥, BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角, CO BO ∴⊥,又AO BO O = , CO ∴⊥平面AOB , 又CO ?平面COD . ∴平面COD ⊥平面AOB . (II )作DE OB ⊥,垂足为E ,连结CE (如图),则DE AO ∥, CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角. 在Rt COE △中,2CO BO ==,112 OE BO ==, CE ∴ 又12 DE AO == ∴在Rt CDE △ 中,tan CE CDE DE ∠= ∴异面直线AO 与CD 解法2:(I )同解法1. (II )(坐标法)建立空间直角坐标系O xyz -, 如图,则(000)O ,, ,(00A ,,(200)C ,, ,D , ∴(00OA = , ,(CD =- , ∴cos OA CD OACD OA CD <>= ,= O C A D B E x

∴异面直线AO 与CD 小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有: ①平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线或利用中位线; ②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系. 一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:0,2π?? ??? . 例2:如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角余弦值; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 解法一(几何法): (Ⅰ)取AD 的中点,连结PM ,QM . 因为P -ABCD 与Q -ABCD 都是正四棱锥, 所以AD ⊥PM ,AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM . 又?PQ 平面PQM ,所以PQ ⊥AD . 同理PQ ⊥AB ,所以PQ ⊥平面ABCD . (Ⅱ)连结AC 、BD 设O BD AC = ,由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上,从而P 、A 、Q 、C 四点共面.取OC 的中点N ,连接PN . 因为 21,21===OC NO OA NO OQ PO ,所以OA NO OQ PO =, 从而AQ ∥PN ,∠BPN (或其补角)是异面直线AQ 与PB 所成的角. 因为3PB ==, PN === 10)2()22(22 2 2 =+==ON OB BN Q B C P A D O M

异面直线所成角的求法

异面直线所成角的求法 内蒙古杭锦后旗奋斗中学 刘 宇 例:长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,若AB=BC=3,AA 1=4,求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。 选题意图,通过该题,让学生进一步理解异面直线所成角的概念,熟练掌握异面直线所成角的求法。 分析:构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平面问题,解三角形求之。 解法一:如图①连结B 1C 交BC 1于0,过0点作OE ∥DB 1,则∠BOE 为所求的异面直线DB 1与BC 1所成的角。连结EB ,由已知有 B 1B C 1=5,BE=2,∴c o s ∠BOE=170 ∴∠BOE=cos arc 170 解法二:如图②,连DB 、AC 交于O 点,过O 点作OE ∥DB 1,过E 点作EF ∥C 1B ,则∠OEF 或其补角就是两异面直线所 成的角,过O 点作OM ∥DC ,连结MF 、OF 。则 ,cos ∠OEF=,∴异面直线B 1D 与 BC 1所成的角为cos arc 170 解法三:如图③,连结D 1B 交DB 1于O ,连结D 1A ,则四边形ABC 1D 1为平行四边形。在平行

四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F,则∠DOF或其补 ,cos∠角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF= 2 DOF=cos arc 解法四:如图④,过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。 则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角, 连结DE交AB于M, cos∠DB1 ∴∠DB1E=cos arc 解法五:如图⑤,在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E,则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角,连结C1E,在△B1C1E 中,∠C E=135°,C1 cos∠C1C1BE=cos arc 分析:在已知图形外补作一个相同的 几何体,以例于找出平行线。 解法六:如图⑥,以四边形ABCD为上底补接 一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则 DB1∥D2B,∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与 BC1所成的角,连C1D2,则△C1D2C2为Rt△,cos∠ C1BD2=

最新用向量法求异面直线所成的角教案

学习-----好资料 第一讲:立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角 大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法; 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程 更多精品文档. 好资料学习----- Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识:??],0?()、两异直线所成的角:(范围:12所成的b′bo(1)定义:过空间任意一点分别作异面直线a与b的平行线a′与′,那么直线a′与. b 所成的角锐角或直角,叫做异面直线a与ba(2的方向向量分别为,和)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a、b a

异面直线所成的角求法答案

异面直线所成的角求法 答案 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

异面直线所成的角的两种求法 初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处不会作! 下面介绍两种求法 一.传统求法--------找、作、证、求解。 求异面直线所成的角,关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择:一般在其中一条直线上的特殊位置,但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定:一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面,有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展,有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1 设空间四边形ABCD ,E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点,若AB =122,CD =4 2,且四边形EFGH 的面积为12 3,求AB 和CD 所成的角. 解 由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD,∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵ EFGH 是平行四边形,HG =2 1 AB =62, HE =2 1 ,CD =23, ∴ S EFGH =HG·HE·sin∠EHG=126 si n∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG=123. ∴ sin∠EHG= 2 2 ,故∠EHG=45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45° H G F E D C B A

注:本例两异面直线所成角在图中已给,只需指出即可。 例2.点A 是BCD 所在平面外一点,AD=BC ,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,且EF= 2 2 AD ,求异面直线AD 和BC 所成的角。(如图) 解:设G 是AC 中点,连接DG 、FG 。因D 、F 分别 是AB 、CD 中点,故EG∥BC 且EG=2 1 BC ,FG∥AD, 且FG=2 1 AD ,由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角,即∠EGF 为所求。由BC=AD 知EG=GF=2 1AD ,又EF=AD ,由余弦定理可得cos∠EGF=0,即∠EGF=90°。 注:本题的平移点是AC 中点G ,按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线,然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时,常取另一线段中点,以构成中位线,既可用平行关系,又可用线段的倍半关系。 例3.已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 与CN 所成的角的余弦值; 解:(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ,则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1, 则NC=21· 23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中,CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 A B C G F E D

用向量法求异面直线所成的角教案

第一讲:立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角 大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法; 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识: 1、两异直线所成的角:(范围:]2 , 0(π θ∈) (1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a ′与b ′,那么直线a ′与b ′ 所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与b 所成的角. (2)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b , a b θ O

关于画法几何中换面法的初步探讨

关于画法几何中换面法的初步探讨摘要:换面法是画法几何中最重要的概念之一,也是很重要的解题工具。解决一些画法几何问题采用换面法非常简便。本文对换面法做了简单介绍并,且就学习中常见的换面法问题做了一些初步剖析。 关键词:换面法、夹角、实形、交线。 一般位置的平面或直线,在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。而与投影面平行时,却能真实地反映它们原来的形状和长度。由此得到启示,只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置,就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。这时我们假设空间几何元素的位置保持不变,用新的投影面代替原来的投影面,使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便,这种方法称为变换投影面法,简称换面法。 换面法的核心理论就是把空间几何问题转化为平面几何问题,特别是解决复杂的空间几何问题作用尤为突出。换面法的新投影面选择必须符合两个基本条件:新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置和新投影面必须垂直于一个不变的投影面。只有把握这两个核心来剖析问题才能解决问题。 1、换面法求空间一般位置平面的实形 一般教材都使用换面法空间一般位置平面的实形, 如图 1 所示, 求正五棱柱被正垂面P v 切割后的截面的实形1121314151第一步作直线X , 平行于正垂面在主投影面上的投影线P v ; 第二步分别过1′2′3′4′5′作直线x1的垂直线并延长, 在延长线上画出俯视图投影点12 3 4 5 到主视图底边的各自等高线得到11 21 31 41 51 , 即可。

用换面法进行解题不仅需要研究几何元素之间的相对关系和这些元素与投影面之间的相对位置, 更重要的是研究如何选择新投影面以及几何元素在新投影面体系及原投影体系中投影之间的关系, 建立解题的空间几何模型, 拟定解题方法和步骤, 这都需要对空间几何关系以及这些关系在投影中的反映有更深人的分析和理解, 而分析和理解能力的提高建立在学习大量例题和完成大量作业的基础上, 所以需要大量的课时来完成。 2、求一般位置平面对投影面的夹角 方法: 将一般位置平面变换成投影面的垂直面, 如图 2 。 作图方式分二步: ( 1) 在平面内作投影面平行线, 如求a 换V 面作水平线; 求β, 换H 面作正平线; 求γ在>体系中换V 面, 作侧平线, 图为求β, 换H 面作正平线A D 。(2 ) 使新的投影轴X1 , 轴垂直于a’b′, 再将各点变换, 得到新的投影积聚为一直线b1 a1 c1, 则此直线与X1轴的夹角即为平面与V 面的倾角β。

异面直线所成角教学设计

课题:异面直线所成的角 教材:中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》(基础模块)下册(修订本)(语文出版社) 一、教材分析 1?教学内容 “异面直线所成的角”是中等职业教育课程改革国家规划新教材,语文出版社《数学》(基础模块)下册(修订本)第九单元第二节第2部分, “直线与直线所成的角”,主要的内容是认识异面直线以及掌握异面直线夹角的定义和求解方法. 2.地位与作用 (1)空间想象能力的培养?异面直线及其夹角是立体儿何教学的重点 内容之一,也是难点之一.对发展学生的空间想象能力、培养学生优良数学思维品质是非常必要的; (2)“转化”思想.即将“三维”的问题降低维度来研究(三维到二维),空间问题平面化,不仅是这节课的重要思想,也是立体儿何学习的核心思想. (3)示范模式作用.立体儿何是对空间位置关系作研究,前面都主要 是定性研究,从本节课开始,要求我们对空间位置关系作出量化(量化研究);异面直线夹角的概念、求法为以后求线面角和面面角提供了一种模式,起着承上启下的重要作用.

二、学情分析 1.知识基础:由于学生刚刚接触立体儿何不久,立体感还没有完全形成,虽然己经具备了一定的归纳、猜想能力,但在分析推理能力、空间想象能力方面比较欠缺。空间意识还不够,还没有解决空间问题的思路、方法和基本技能,作图时学生往往会把不同平面的直线看成是在同一个平面. 2.认知水平与能力:高二的学生已经具备了一定的归纳、猜想能力, 能够借助一些实物、多媒体辅助教学以及老师的良好引导来理解和掌握一些知识,但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养. 3、任教班级学生特点:我所任班级是2014级计算机平面设计班,学生数学基础知识薄弱,班里个别学生思维较活跃,大部分学生需要教师引导、鼓励,在合作交流中解决一些问题。 三、目标分析 根据教材内容和学生的认知特点,本节课设置的教学目标为: 1 ?教学目标 知识目标:①记住异面直线的概念; ②理解异面直线夹角的概念,并掌握其求法. 能力目标:①培养学生作图能力; ②培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想; ③培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力; 情感目标:①通过让学生积极参与探究,投入到课堂教学双边活动中, 培养学生的合作意识.

高中数学:异面直线所成的角求法

异面直线所成的角
一、平移法:
常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补
形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处
理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法:
1.在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别为 AB、CD 的中点,EF= 3 ,求 AD、BC 所 成角的大小.
解:设 BD 的中点 G,连接 FG,EG。在△EFG 中 EF= 3 FG=EG=1
∴∠EGF=120°
∴AD 与 BC 成 60°的角。
2.正 ABC 的边长为 a,S 为 ABC 所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点.求异面直线 SA 和 EF 所成角.
正确答案:45°
3.S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图 SA=SB=SC,且 ASB= BSC= CSA= ,
2
M、N 分别是 AB 和 SC 的中点.求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值.
证明:连结 CM,设 Q 为 CM 的中点,连结 QN ,则 QN∥SM
S
∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角
连结 BQ,设 SC=a,在△BQN 中
N
BN= 5 a NQ= 1 SM= 2 a BQ= 14 a
2
2
4
4
∴COS∠QNB= BN 2 NQ2 BQ2 10
2BN NQ
5
C
B
M A
4.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点,若 BC= CA=CC1,求 BM 与 AN 所成的角.
解:连接 MN,作 NG∥BM 交 BC 于 G,连接 AG, 易证∠GNA 是 BM 与 AN 所成的角. 设:BC=CA=CC1=2,则 AG=AN= 5 ,GN=BM= 6 ,
cos∠GNA= 6 5 5 30 。
2 6 5 10

异面直线所成的角求法总结加分析

异面直线所成的角求法 总结加分析
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】




线




一、平移法: 常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移 法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几 何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法
1.在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别为 AB、CD 的中点,EF= 3 ,求 AD、BC 所成角的大小.
解:设 BD 的中点 G,连接 FG,EG。在△EFG 中 EF= 3 FG=EG=1 ∴∠EGF=120°∴AD 与 BC 成 60°的角。
2.正 ABC 的边长为 a,S 为 ABC 所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点.求异面直线 SA 和 EF 所成角.
答案:45° 3.S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图 SA=SB=SC,且 ASB= BSC=
CSA= ,M、N 分别是 AB 和 SC 的中点.求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦
2
值.
S
证明:连结 CM,设 Q 为 CM 的中点,连结 QN 则 QN∥SM
N
∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角
连结 BQ,设 SC=a,在△BQN 中
C
B
BN= 5 a NQ= 1 SM= 2 aBQ= 14 a
2
2
4
4
∴COS∠QNB= BN 2 NQ2 BQ2 10
2BN NQ
5
M A
4.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中
点,若 BC=CA=CC1,求 BM 与 AN 所成的角.
解:连接 MN,作 NG∥BM 交 BC 于 G,连接 AG,
易证∠GNA 就是 BM 与 AN 所成的角.
设:BC=CA=CC1=2,则 AG=AN= 5 ,GN=BM= 6 ,
cos∠GNA= 6 5 5 30 。
2 6 5 10
5.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1 、CD 的中
点.求 AE 与 D1F 所成的角。 证明:取 AB 中点 G,连结 A1G,FG, 因为 F 是 CD 的中点,所以 GF∥AD,
D1 A1
又 A1D1∥AD,所以 GF∥A1D1,
故四边形 GFD1A1 是平行四边形,A1G∥D1F。
D
C1 B1
E
F
C
A
B

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