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圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题
圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民

问题1:平面上一动点

(,)

P x y

与两点

(2,0),(2,0)

A B

-

的连线的斜率之积是

3

4

-

,求

点P的轨迹方程

22

1(2)

43

x y

x

+=≠±

.

问题2:椭圆

22

1

43

x y

+=

上任一点P与两点

(2,0),(2,0)

A B

-

的连线的斜率之积是

123 4

k k=-

.

探究:(1)已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=

上两点

(,0),(,0)

A a

B a

-

,椭圆上任意异于A、B的点

P与A、B连线的斜率之积是

2

2 b

a -

.

(2)已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=

上两点(0,),(0,)

A b

B b

-,椭圆上任意异于A、B的点P与

A、B连线的斜率之积是

2

2 b

a -

.

(3)已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=

上两定点0000

(,),(,)

A x y

B x y

--

,椭圆上任意异于A、B

的点P与A、B连线的斜率之积是

2

2 b

a -

.

结论1.设A、B是椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

上关于原点对称的两点,点P是该椭圆

上不同于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则

2

122

b

k k

a

=-

探究:(3)设A、B是双曲线

22

22

1(0)

x y

a b

a b

-=>>

上关于原点对称的两点,点P是该

双曲线上不同于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率是k1,k2,猜想k1k2是否为定值?并给予证明.

结论2.设 A 、B 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点,点P 是该双曲线上不同于A ,B 的任一点,直线PA ,PB 的斜率分别为k1,k2,则

2

122

b k k a =. 应用拓展:

1.设椭圆的左、右顶点分别为,A

点P 在椭圆上且异于,A B 两点,若直线AP 与BP 的斜率之积为则椭圆的离心率为

.

解析:利用k AP ·k BP =22b a -,可以得到c e a ==2.椭圆C:22

143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值

范围是[2,1]-- ,那么直线1PA 斜率的取值范围是

A. 13

[,]24 B. 33[,]84 C. 1[,1]2 D. 3[,1]4

解析:因为122

234

PA PA b k k a ?=-=-,所以123

4PA PA k k -

=

,∵2

[2,1]PA k ∈--

∴133[,]84

PA k ∈,故选B.

3.如图2,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别为椭圆

的左、右焦点,B 、C 分别为椭圆的上、下顶点,直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2=7

25

,则直线CD 的斜率为 .

解析:由已知可得21227cos cos 2cos 125

F BF OBF ∠=∠-=

,所以24cos 5b OBF a ∠==,所以35c a =,又因为BD b

k c =-,且BD CD k k ?=2

2b a

-,

所以22CD b b k c a -?=-,即4312

5525

CD b c k a a =?=?=22

221(0)x y a b a b

+=>>22

221(0)x y a b a b

+=>>

3.已知椭圆2

2:12

x C y +=,点125,,

,M M M 为其长轴AB 的6等分点,分别过这五点

作斜率为(0)k k ≠的一组平行线,交椭圆C 于点1210,,

,P P P ,则这10条直线1AP ,

210,

,AP AP 的斜率的乘积为132-.

2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题 定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题,蕴含着动、静依存的辩证关系,深刻体现了数学的魅力,在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置.本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件,从具体问题入手,通过对解决方法进行总结辨析,使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径,并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 过椭圆C :x 24+y 2 =1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭 圆于M ,N 两点.求证:直线MN 过定点,并求出该定点坐标. 本题考查的是定点问题,由题意可知,题中的两已知直线 存在斜率,且斜率之积为-1,利用此结论,结合韦达定理及代数恒等变形,导出动直线可化为点斜式方程,其中所过的点是一个定点,从而证明动直线过定点. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 24+y 2 3=1的左顶点为A , P ,Q 是椭圆C 上的两个动点.

(1)如图34-1,当P ,O ,Q 三点共线时,直线P A ,QA 分别与y 轴交于M ,N 两点,求证:AM →·AN → 为定值; (2)设直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,当k 1·k 2=-1时,求证:直线PQ 经过定点R . 图34-1 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆T 的方程为x 2 2+y 2 =1. 设A ,B ,M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使OM → =cos θOA →+sin θOB →. (1)求证:直线OA 与OB 的斜率之积为定值; (2)求OA 2+OB 2的值. (江苏卷)如图34-2,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2 9+ y 2 5=1的左、右顶点为A ,B ,设过点T (9,m )的直线TA ,TB 与此椭圆分别交于点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),其中m >0,y 1>0,y 2<0.

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民 问题1:平面上一动点 (,) P x y 与两点 (2,0),(2,0) A B - 的连线的斜率之积是 3 4 - ,求 点P的轨迹方程 22 1(2) 43 x y x +=≠± . 问题2:椭圆 22 1 43 x y += 上任一点P与两点 (2,0),(2,0) A B - 的连线的斜率之积是 123 4 k k=- . 探究:(1)已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两点 (,0),(,0) A a B a - ,椭圆上任意异于A、B的点P 与A、B连线的斜率之积是 2 2 b a - . (2)已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两点(0,),(0,) A b B b -,椭圆上任意异于A、B的点P与A、 B连线的斜率之积是 2 2 b a - . (3)已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两定点0000 (,),(,) A x y B x y -- ,椭圆上任意异于A、B 的点P与A、B连线的斜率之积是 2 2 b a - . 结论1.设 A、B是椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>> 上关于原点对称的两点,点P是该椭圆 上不同于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则 2 122 b k k a =- . 探究:(3)设 A、B是双曲线 22 22 1(0) x y a b a b -=>> 上关于原点对称的两点,点P是该 双曲线上不同于A,B的任一点,直线PA,PB的斜率是k1,k2,猜想k1k2是否为定值?并给予证明.

第6章 斜率之积为定值一 wps

第6章 斜率之积为 22b a - 2222222222b b b b b a a a a a ?????-?? ? ????-? ?? ????-?-?? ????-??? 中点弦椭圆中斜率之积斜率之积双曲线中斜率之积轨迹问题(一)斜率之积轨迹问题(二) 斜率之积得应用与有关的定值问题(一) 与有关的定值问题(二) 本章主要探究圆锥曲线中两条相交直线的斜串之积为2 2b a -的等价条件,以及 充分或必要条件。6.1节聚焦于中点弦问题;6.2节阐述圆锥曲线斜率之积为2 2 b a -这一问题;6.3节探索满足这一条件的点的轨迹方程。读完本章,你会意识到其中的结论是多么方便实用,但我们却不希望这些结论仅仅只起到“结论”的作用,我们更希望引导你形成自主探索式的学习思维! 6.1中点弦 直线与圆锥曲线相交时,若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼,则这样的题型往往可以避免使用韦达定理来计算。对于这个类型的题,首先设出弦的两端点然后代入圆锥曲线并将两式相减,这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系,我们把这个方法叫做点差法。 【例6.1】 (2017全国1文 20改编)设A,B 为曲线2:4C x y =上两点,点A 与点B 的横坐标之和为4,则直线AB 的斜率为____ 【分析】由于点A 与点B 的横坐标之和为4,故求解直线AB 的斜率,只需代入点作差。

【解析】设()()1122,,?,A x y B x y , 因为A,B 是椭圆上两点,所以代入得 22 21121212 22 44()4x y x x y y x y ?=?-=-?=? 整理可得212121()()4y y x x x x -+=-,由题意212121()41() y y x x x x -+=?=-,可得直线AB 的斜率为1.故填1. 【例 6.2】 (2018 全国Ⅲ 文理 20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆 22:143x y C +=交于A,B 两点,线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >。证明:1 2 k <- 【解析】设()()1122,,?,A x y B x y , 由题意知12122,2x x y y m +=+=,因为A,B 是椭圆上两点,所以代入双曲线得 21122122 1122212222 222211()133343 4441 4 3()()()x y y y y y y y x x x x km x x x y ?+=?-??=-?-?=-?-?+=??-+=-+ 则34m k =- 即3(1,)4M k 。因为点M 在椭圆内,所以2131,416k +<解得1 2 k <-。 在例6.1与例6.2中都是直线与圆锥曲线相交,且都利用点差法解决问题的 情形,那么是否可以认为直线与圆锥曲线相交都可以用点差法呢?这显然不是那么准确。为什幺呢?是因为利用点差法需要知道出段的中点与线段的斜率.如若不具备这两个条件条件,利用点差法往往以失败告终。 既然点差法依赖于线段的中点,那么我们需要总结一下有哪些条件可以翻译出中点的信息。对称就是其中最为重要的一类条件。 【例6.3】 (2018 河南一模文15)已知双曲銭2 2 13 y x -=上存在两点M,N 关于直线:l y x m =+对称,且MN 的中点在抛物銭218y x =上,则实数m 的值为____ 【解析】设()()1122,,?,M x y N x y , MN 的中点坐标为00(,)E x y ,

解析几何中斜率之积为定值的问题探究

微专题:解析几何中斜率之积为定值(2 2 21a b k k -=?)的问题探究 【教学重点】掌握椭圆中2 2 21a b k k -=?的形成的路径探寻及成果运用理性判断 【教学难点】运算的设计和化简 活动一:2 2 21a b k k -=?形成的路径探寻 1. 若AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的不过原点的弦,点P 是弦AB 的中点,且直线OP,AB 的斜率都存在,求PO AB K K ?. 【解析】 :设点()0 ,y x P ,()1 1 ,y x A ,()2 2 ,y x B , 则有;;)2(1)1(122 222 222 122 1=+=+b y a x b y a x (代点作差) 将①式减②式得, , , 所以所以, 即2 2 a b K K PO AB -=?. 【结论1】 若AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的非直径的弦,点P 是弦AB 的中点,且 直线OP,AB 的斜率都存在,则1222 -=-=?e a b K K PO AB . 2.已知AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上过原点的弦,点P 是椭圆异于A,B 的任意一点,

若直线PA,PB的斜率都存在,记直线PA,PB的斜率分别为 2 1 k k,.求 2 1 k k?的值。 【解法1】:设()0 ,y x P,()1 1 ,y x A又因为A,B是关于原点对称, 所以点B的坐标为()1 1 -, -y x B,所以 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1x x y y x x y y x x y y k k - - = + + ? - - = ?. 又因为点()0 ,y x P,()1 1 ,y x A在椭圆上,所以有; ;)2(1 )1(1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 0= + = + b y a x b y a x 两式相减得, 2 2 2 1 2 2 1 2 0- a b x x y y = - - ,所以 2 2 2 1a b k k- = ?. 【方法小结】本解法从设点入手,利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。 ------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化;由圆的结论类比到椭圆中。 过圆2 2 2r y x= +上异于直径两端点的任意一点与一条直 径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 1- = ? PB PA K K 类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化 令 ' ;'y b y x a x = = 则有 ()1 ' )'( )0 (12 2 2 2 2 2 = + ? > > = +y x b a b y a x ()? ? ? ? ? ? b y a x P y x P0 , ' ,;点P,A,B为椭圆上点 ()? ? ? ? ? ? b y a x A y x A1 1 1 1 , ' ,点p’,A’,B’为新圆上点 ()? ? ? ? ? - - ? - - b y a x B y x B1 1 1 1 , ' ,由圆上的1- ' ' ' ' = ? B P A P k k的关系过渡到PA,PB上

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问题 为定值的问题 Prepared on 24 November 2020

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题 温县第一高级中学数学组 任利民 问题1:平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 3 4- ,求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± . 问题2:椭圆22 143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之 积是 1234k k =- . 探究:(1)已知椭圆22 221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于 A 、 B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. (2)已知椭圆22 221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的 点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. (3)已知椭圆22 221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --,椭圆上任意异 于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. 结论1.设 A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点,点P 是 该椭圆上不同于A ,B 的任一点,直线PA ,PB 的斜率分别为k1,k2,则 2 122 b k k a =-.

探究:(3)设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点, 点P 是该双曲线上不同于A ,B 的任一点,直线PA,PB 的斜率是k1,k2,猜想k1k2是否为定值并给予证明. 结论2.设 A 、B 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点,点 P 是该双曲线上不同于A ,B 的任一点,直线PA ,PB 的斜率分别为k1,k2, 则 2 122 b k k a =. 应用拓展: 1.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> ,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点,若直线AP 与斜率之积为12 -,则椭圆的离心率为 . 解析:利用k AP ·k BP =22b a -,可以得到2c e a ====. 2.椭圆C:22 143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 斜 率的取值范围是[2,1]-- ,那么直线1PA 斜率的取值范围是 A. 13[,]24 B. 33[,]84 C. 1[,1]2 D. 3 [,1]4 解析:因为122 2 34 PA PA b k k a ?=- =-,所以123 4PA PA k k - = ,∵2 [2,1]PA k ∈-- ∴133 [,]84 PA k ∈,故选B.

圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究 【教学目标】 会合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量,探究、证明动态图形中 的不变性质,体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用. 【教学难、重点】解题思路的优化. 【教学过程】 【温故习新】 2 2 1. (2012天津理19改编)设椭圆 笃?爲= l (a b - 0)的左、右顶点分别为 A, B ,点P 在 a b 2 2 2.如图2,在平面直角坐标系 xOy 中,F 1;F 2分别为椭圆 笃-当=1(a b 0)的左、右焦 a b 点,B 、C 分别为椭圆的上、下顶点,直线 BF 2与椭圆的另一交点为 D.若cos / F 1BF 2 =云, 则直线CD 的斜率为 _______________ . X 2 2 3. (2016如东月考)已知椭圆C: 2 y =1,点M 1N2, ll|M 5为其长轴AB 的6等分点, 分别过这五点作斜率为 k (k 式0)的一组平行线,交椭圆 C 于点PhPjH’P o ,则这10条直线 AR, AP 2,|",AR 0的斜率的乘积为 ____________ iy 椭圆上且异于 A, B 两点,若直线AP 与BP 的斜率之积为

2 2 4. (2011江苏18改编)如图3,已知椭圆方程为—-L =1,过坐标原点的直线交椭圆 4 2 于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆 于点B,设直线PA的斜率为k,对任意k 0 , 求证:PAI PB. 二.释疑拓展 2 2 例1.(南京市、盐城市2017 一模改编)已知椭圆C的方程——1,直线I : y = kx亠m , 4 2 (m =0 )交椭圆C于P,Q两点,T为弦PQ的中点,M(-1,0),N(1,0),记直线TM ,TN的斜率分别为k1,k2,当2m2 -2k2=1时,求k1 k2的值.

小专题椭圆----斜率之积是定值

O x y P A B 椭圆一个性质的应用 性质 如图1,椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线 PA 、PB 与坐标轴不平行,则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ?为定值2 2b a -. 证明 设(,)P x y ,11(,)A x y ,则11(,)B x y --. 所以122 22=+b y a x ① 12 2 1 22 1=+b y a x ② 由①-②得2 2 1 222 12b y y a x x --=-, 所以22 2 1 22 12a b x x y y -=--, 所以222 111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-?=?==--+-为定值. 这条性质是圆的性质:圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广,它充分揭示了椭圆的本质 属性,因而能简洁解决问题,下举例说明. 一、证明直线垂直 例1 如图2,已知椭圆22 142 x y +=,,A B 是其左、右顶点,动点M 满足MB AB ⊥,连结AM 交椭 圆于点P .求证:MO PB ⊥. 证明 设(2,)M y ,由性质知1 2 PA PB k k ?=-,即 1 2 MA PB k k ?=- ③ 图1 图2

直线MA ,MO 的斜率分别为24MA y y k a == ,2 MO y y k a ==, 所以1 2 MA MO k k = ④ 将④代入③得1MO PB k k ?=-, 所以MO PB ⊥. 例2 如图3,PQ 是椭圆不过中心的弦,A 1、A 2为长轴的两端点,A 1P 与Q A 2相交于M ,P A 2与A 1Q 相交于点N ,则MN ⊥A 1A 2. 证明 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由性质知12 22PA PA b k k a ?=-,即1222MA NA b k k a ?=-,所以222211a b a x y a x y -=-?+ ⑤ 1222QA QA b k k a ?=, 即2122MA NA b k k a ?=-,所以221122a b a x y a x y -=-?+ ⑥ 比较⑤与⑥得 1221()()()()x a x a x a x a +-=+-, 所以2112()()a x x a x x -=-, 所以12x x =. 所以MN ⊥x 轴,即MN ⊥A 1A 2. 二、证明直线定向 例3 如图4,已知A (2,1),B (-2,-1)是椭圆E :x 26+y 2 3=1 上的两点,C ,D 是椭圆E 上异于A ,B 的两点,且直线AC ,BD 相交于点M ,直线AD ,BC 相交于点N .CA ,CB ,DA ,DB 的斜率都存在. 求证:直线MN 的斜率为定值. 证明 设(,)M M M x y ,(,)N N N x y ,由性质知12CA CB k k ?=- ,即1 2MA NB k k ?=-, 12DA DB k k ?=-,即1 2 NA MB k k ?=-. 所以 111222N M M N y y x x +-?=--+,1 1(224)2 M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦ x y A O B C D M N 图4 图3

圆锥曲线斜率乘积为定值

斜率乘积为定值的问题探究 知识梳理 结论1:设A 、B 是椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 关于原点对称的两点,点P 是该椭圆上不同于A 、B 的任一点,直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ,则22 21a b k k -=?。 结论2:设A 、B 是双曲线122 22=-b y a x )0,0(>>b a 上关于原点对称的两点,点P 是该双曲线上不同于A 、B 的任一点,直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ,则22 21a b k k =?。 基础训练 1、设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右顶点分别为A 、B ,点P 在椭圆上且异于A 、B 两点,若直线AP 与BP 的斜率之积为2 1-,则椭圆的离心率为 。 2、在平面直角坐标系中,21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点,B 、C 分别为椭圆的上下顶点,直线2BF 与椭圆的另一交点为D ,若21cos BF F ∠25 7= ,则直线CD 的斜率为 。 3、已知椭圆C :12 22 =+y x ,点54321,,,,M M M M M 为其长轴AB 的六等分点,分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线,交椭圆C 于1021,,,P P P ,则这10条直线1011,,AP AP AP 的斜率的乘积为 。

4、如图所示,已知椭圆方程为12 42 2=+y x ,过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点,其中点P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C ,连接AC ,并延长交椭圆于点B ,设直线PA 的斜率为k ,对任意0>k 。求证:PB PA ⊥。 方法梳理: 一、解决直线和圆锥曲线问题的一般方法: Step1 设(点的坐标、直线方程、曲线方程) Step2 代(点的坐标带入方程,方程联立方程组带入消元) Step3 化(化简方程,解方程) 二、常用的化简策略 “设而不求”,整体代换

椭圆斜率之积是定值专题

椭圆斜率之积为定值专题 性质 如图1,椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线 PA 、PB 与坐标轴不平行,则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ?为定值2 2b a -. 证明 设(,)P x y ,11(,)A x y ,则11(,)B x y --. 所以122 22=+b y a x ① 12 2 1 22 1=+b y a x ② 由①-②得2 2 1 222 12b y y a x x --=-, 所以22 2 1 22 12a b x x y y -=--, 所以222 111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-?=?==--+-为定值. 这条性质是圆的性质:圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广,它充分揭示了椭圆的本质 属性,因而能简洁解决问题,下举例说明. 一、证明直线垂直 例1 如图2,已知椭圆22 142 x y +=,,A B 是其左、右顶点,动点M 满足MB AB ⊥,连结AM 交椭 圆于点P .求证:MO PB ⊥. 证明 设(2,)M y ,由性质知1 2 PA PB k k ?=-,即 12 M A P B k k ?=- ③

直线MA ,MO 的斜率分别为24MA y y k a == ,2 MO y y k a ==, 所以1 2 MA MO k k = ④ 将④代入③得1MO PB k k ?=-, 所以MO PB ⊥. 例2 如图3,PQ 是椭圆不过中心的弦,A 1、A 2为长轴的两端点,A 1P 与Q A 2相交于M ,P A 2与A 1Q 相交于点N ,则MN ⊥A 1A 2. 证明 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由性质知12 22PA PA b k k a ?=-,即1222MA NA b k k a ?=-,所以222211a b a x y a x y -=-?+ ⑤ 1222QA QA b k k a ?=, 即2122MA NA b k k a ?=-,所以221122a b a x y a x y -=-?+ ⑥ 比较⑤与⑥得 1221()()()()x a x a x a x a +-=+-, 所以2112()()a x x a x x -=-, 所以12x x =. 所以MN ⊥x 轴,即MN ⊥A 1A 2. 二、证明直线定向 例3 如图4,已知A (2,1),B (-2,-1)是椭圆E :x 26+y 2 3=1 上的两点,C ,D 是椭圆E 上异于A ,B 的两点,且直线AC ,BD 相交于点M ,直线AD ,BC 相交于点N .CA ,CB ,DA ,DB 的斜率都存在. 求证:直线MN 的斜率为定值. 证明 设(,)M M M x y ,(,)N N N x y ,由性质知12CA CB k k ?=- ,即1 2MA NB k k ?=-, 12DA DB k k ?=-,即1 2 NA MB k k ?=-. 所以 111222N M M N y y x x +-?=--+,1 1(224)2 M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦ 图4

_斜率乘积为定值的问题探究(苏州

斜率乘积为定值的问题探究 苏州工业园区第二中学 【教学目标】 会合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量,探究、证明动态图形中的不变性质,体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用. 【教学难、重点】解题思路的优化. 【教学过程】 一.基础知识、基本方法梳理 问题1.已知AB 是圆O 的直径,点P 是圆O 上异于A ,B 的两点,直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1.k 2=__________. 问题2.(类比迁移1)点P 是椭圆上22 143 x y +=上异于长轴端点以外的任一点,A 、B 是该椭 圆长轴的两个端点,直线P A ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2=__________. 问题3.(引申拓展1)求证:椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连 线斜率之积为2 2b a -. 问题4.(引申拓展2)设A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点,点P 是该 椭圆上不同于A ,B 的任一点,直线P A ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2是否为定值?并给予证明. 问题5.(类比迁移2)设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点,点P 是 该双曲线上不同于A ,B 的任一点,直线P A ,PB 的斜率是k 1,k 2,猜想k 1k 2是否为定值?并给予证明. 二.基础训练 1.(2012天津理19改编)设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点,若直线AP 与BP 的斜率之积为12 -,则椭圆的离心率为______.

小专题---解析中的斜率之积为定值

椭圆中的一类问题 (1)平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 3 4 -,求点P 的轨迹方程.221(2)43x y x + =≠± (2)椭圆22 143 x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之 积是 123 4 k k =- 你发现了什么? 222 122221x y b k k a b a +=?=- 大胆猜想、类比圆与双曲线 探究:(1)椭圆22 221x y a b +=上任一点P 与两点(,0),(,0)A a B a -的连线的斜 率之积是 2 2b a - (2)椭圆22 221x y a b +=上任一点P 与椭圆上两定点0000(,),(,)A x y B x y --的 连线的斜率之积是 2 2b a - (3)P 是椭圆22 221x y a b +=上一点,直线2y x =与椭圆相交于两点,A B , 则直线,PA PB 的连线的斜率之积是 2 2b a - (4)椭圆22 2210)x y a b a b +=>>( 上任一点P 与两点(,0),(,0)A a B a -的连线的斜率之积是3 4 -,则椭圆的离心率 (5)一椭圆上任一点P 与椭圆上两定点0000(,),(,)A x y B x y --的连线的斜率之积是43 -,则椭圆的离心率

展示1: 已知直线y =12x 与椭圆C :22 182x y +=交于D ,E 两点,过D 点作斜率 为k 的直线l 1.直线l 1与椭圆C 的另一个交点为P ,与直线x =4的交点为Q ,过Q 点作直线EP 的垂线 l 2.求证:直线l 2恒过一定点. 展示2:已知椭圆C :x 24+y 2 3=1上一点P (1,3 2),过点P 的直线12,l l 与 椭圆C 分别交于点A ,B (不同于P ), 且它们的斜率k 1,k 2,满足k 1k 2=-3 4. (1)求证:直线AB 过定点; (2)求△PAB 面积的最大值. (注:专业文档是经验性极强的领域,无法思考和涵盖全面,素材和资料部分来自网络,供参考。可复制、编制,期待你的好评与关注)

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问 题为定值的问题 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题 温县第一高级中学数学组 任利民 问题1:平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 3 4- ,求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± . 问题2:椭圆22 143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之 积是 1234k k =- . 探究:(1)已知椭圆22 221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于 A 、 B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. (2)已知椭圆22 221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的 点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. (3)已知椭圆22 221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --,椭圆上任意异 于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. 结论1.设 A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点,点P 是 该椭圆上不同于A ,B 的任一点,直线PA ,PB 的斜率分别为k1,k2,则 2 122 b k k a =-.

探究:(3)设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点, 点P 是该双曲线上不同于A ,B 的任一点,直线PA,PB 的斜率是k1,k2,猜想k1k2是否为定值并给予证明. 结论2.设 A 、B 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点,点 P 是该双曲线上不同于A ,B 的任一点,直线PA ,PB 的斜率分别为k1,k2, 则 2 122 b k k a =. 应用拓展: 1.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> ,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点,若直线AP 与斜率之积为12 -,则椭圆的离心率为 . 解析:利用k AP ·k BP =22b a -,可以得到2c e a ====. 2.椭圆C:22 143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 斜 率的取值范围是[2,1]-- ,那么直线1PA 斜率的取值范围是 A. 13[,]24 B. 33[,]84 C. 1[,1]2 D. 3 [,1]4 解析:因为122 2 34 PA PA b k k a ?=- =-,所以123 4PA PA k k - = ,∵2 [2,1]PA k ∈-- ∴133 [,]84 PA k ∈,故选B.

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