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用待定系数法求二次函数解析式(涵盖所有类型和考点)

用待定系数法求二次函数解析式(涵盖所有类型和考点)
用待定系数法求二次函数解析式(涵盖所有类型和考点)

求一次函数解析式的常见题型

一次函数及其图像是初中代数的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。 一. 定义型

例1. 已知函数y m x

m =-+-()33

2

8

是一次函数,求其解析式。 解:由一次函数定义知m m 281

30

-=-≠???

∴=±≠??

?

m m 3

3

∴=-m 3,故一次函数的解析式为y x =-+33

注意:利用定义求一次函数y k x b =+解析式时,要保证k ≠0。如本例中应保证m -≠30 二. 点斜型

例2. 已知一次函数y k x =-3的图像过点(2,-1),求这个函数的解析式。 解: 一次函数y k x =-3的图像过点(2,-1) ∴-=-123k ,即k =1

故这个一次函数的解析式为y x =-3

变式问法:已知一次函数y k x =-3,当x =2时,y =-1,求这个函数的解析式。 三. 两点型

已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是(-2,0)、(0,4),则这个函数的解析式为_____________。

解:设一次函数解析式为y k x b

=+ 由题意得024

=-+=??

?k b

b

∴==??

?

k b 2

4 故这个一次函数的解析式为y x =+24

四. 图像型

例4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。

y

2

O 1 x

解:设一次函数解析式为y k x b

=+ 由图可知一次函数y k x b

=+的图像过点(1,0)、(0,2) ∴有020=+=+??

?k b

b

∴=-=???

k b 22

故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 斜截型

例5. 已知直线y k x b =+与直线y x =-2平行,且在y 轴上的截距为2,则直线的解析式为___________。 解析:两条直线l 1:y k x b =+11;l 2:y kx b =+22。当k k 12=,b b 12≠时,l l 12// 直线y k x b =+与直线y x =-2平行,∴=-k 2。 又 直线y k x b =+在y 轴上的截距为2,∴=b 2 故直线的解析式为y x =-+22 六. 平移型

例6. 把直线y x =+21

向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析:设函数解析式为y k x b =+, 直线y x =+21向下平移2个单位得到的直线y k x b =+与直线y x =+21平行 ∴=k 2

直线y k x b

=+在y 轴上的截距为b =-=-121,故图像解析式为y x =-21

七. 实际应用型

例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q (升)与流出时间t (分钟)的函数关系式为___________。

解:由题意得Q t =-2002.,即Q t =-+0220. Q t ≥∴≤0100

, 故所求函数的解析式为Q t =-+0220

.(0100≤≤t ) 注意:求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型

例8. 已知直线y k x =-4

与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________。 解:易求得直线与x 轴交点为(

4

k

,0),所以4412=4??||k ,所以||k =2,即k =±2

故直线解析式为y x =-24或y x =--24 九. 对称型

若直线l 与直线y k x b

=+关于 (1)x 轴对称,则直线l 的解析式为y kx b =-- (2)y 轴对称,则直线l 的解析式为y kx b =-+

(3)直线y =x 对称,则直线l 的解析式为y k x b k =-1 (4)直线y x

=-对称,则直线l 的解析式为y k x b

k

=+1 (5)原点对称,则直线l 的解析式为y k x b

=- 例9. 若直线l 与直线y x =-21关于y 轴对称,则直线l 的解析式为____________。 解:由(2)得直线l 的解析式为y x =--21 练习题:

1. 已知直线y=3x -2, 当x=1时,y=

2. 已知直线经过点A (2,3),B (-1,-3),则直线解析式为________________

3. 点(-1,2)在直线y=2x +4上吗? (填在或不在)

4. 当m 时,函数y=(m-2)3

2

-m

x

+5是一次函数,此时函数解析式为 。

5. 已知直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6,则函数的解析式为 .

6. 已知变量y 和x 成正比例,且x=2时,y=-

2

1

,则y 和x 的函数关系式为 。 7. 点(2,5)关于原点的对称点的坐标为 ;关于x 轴对称的点的坐标为 ;关于y 轴对称的点的坐

标为 。

8. 直线y=kx +2与x 轴交于点(-1,0),则k= 。

9. 直线y=2x -1与x 轴的交点坐标为 与y 轴的交点坐标 。 10. 若直线y=kx +b 平行直线y=3x +4,且过点(1,-2),则k= .

11. 已知A(-1,2), B(1,-1), C(5,1), D(2,4), E(2,2),其中在直线y=-x+6上的点有_________,在直线y=3x-4上

的点有_______

12. 某人用充值50元的IC 卡从A 地向B 地打长途电话,按通话时间收费,3分钟内收费2.4元,以后每超过

1分钟加收1元,若此人第一次通话t 分钟(3≤t ≤45),则IC 卡上所余的费用y (元)与t (分)之间的关系式是 .

13. 某商店出售一种瓜子,其售价y (元)与瓜子质量x (千克)之间的关系如下表

质量x (千克) 1 2 3 4 售价y (元)

3.60+0.20

7.20+0.20

10.80+0.20

14.40+0.2

由上表得y 与x 之间的关系式是 14. 已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-

3

2

X 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n 的值

15. 已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= 1

2

x 的图象相交于点(2,a),求

(1)a 的值 (2)k,b 的值

(3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积.

待定系数法求二次函数解析式(讲义)

?

??

??

一、【基础知识精讲】

(一)、导航图

1.二次函数的意义;

2.二次函数的图象;

3.二次函数的性质??

?????

顶点

对称轴

开口方向增减性

顶点式:y=a(x-h)2

+k(a ≠0) 4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式:y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式:y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5.二次函数与一元二次方程的关系。 6.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。 (二)、中考知识梳理 1.二次函数的图象

在画二次函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a

)2+ 4a 2

4ac-b 的形式,先确定顶

点(-b 2a

,4a 2

4ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.

2.理解二次函数的性质

抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随

x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a 24ac-b ;反之当a

2a 时

y 最大值=4a

2

4ac-b .

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y?的值)?可设解析式为y=ax 2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x?轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解.

4.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,?方程ax 2+bx+c=0无实根.

5.抛物线y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定

a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,?抛物线开口向下;c 的符号由抛物

线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y?轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;?简记左同右异.

6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,?应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 二、【典型例题精析】 一般式:

例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

3,3,642.a b c a b c a b c =-+??=++??=++? 解得1,0,2.a b c =??

=??=?

∴解析式为y=x 2+2.

变式:已知一个二次函数,当x=-1时,y=3;当x=1时,y=3;当x=2时,y=6。求这个二次函数的解析式。 解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

3,3,642.a b c a b c a b c =-+??=++??=++? 解得1,0,2.a b c =??

=??=?

∴解析式为y=x 2+2.

顶点式:

例2 已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式。

分析:二次函数y =ax 2+bx +c 通过配方可得y =a(x +h)2+k 的形式称为顶点式,(-h ,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为: y =a(x -8)2+9 由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a 的值。 请同学们完成本例的解答。

变式1:已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8,求它的解析式。 解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).?

设解析式为y=a(x-h)2+k, 即y=a(x-1)2-8.

把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x 2-4x-6.

解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,

把x=1,y=-8?代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式为y=2x 2-4x-6.

解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.

∴2

4(3)(2)4a a a a

---=-8.

又∵a ≠0,∴a=2.

∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.

变式2: 已知抛物线对称轴是直线x =2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式。 解法1:设所求二次函数的解析式是y =ax 2+bx +c ,

因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c =-5,

又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x =2,可以得

?????-b 2a =29a +3b =6

解这个方程组,得:???a =-2

b =8

所以所求的二次函数的关系式为y =-2x 2+8x -5。

解法二:设所求二次函数的关系式为y =a(x -2)2+k ,

由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到

???a(3-2)2

+k =1a(0-2)2

+k =-5 解这个方程组,得:???a =-2

k =3

所以,所求二次函数的关系式为y =-2(x -2)2+3,即y =-2x 2+8x -5。

变式3:已知抛物线的顶点是(2,-4),它与y 轴的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系式。 解法1:设所求的函数关系式为y =a(x +h)2+k ,依题意,得y =a(x -2)2-4

因为抛物线与y 轴的一个交点的纵坐标为4,所以抛物线过点(0,4),于是a(0-2)2-4=4,解得a =2。所以,所求二次函数的关系式为y =2(x -2)2-4,即y =2x 2-8x +4。 解法2:设所求二次函数的关系式为y =ax 2+bx +c?依题意,得

?

????-b 2a =24ac -b 2

4a =-4c =4

解这个方程组,得:?????a =2b =-8c =4

所以,所求二次函数关系式为y =2x 2-8x +4。 变式4:一条抛物线y x mx n =

++142

经过点()032,与()432

,。求这条抛物线的解析式。

解: 抛物线y x m x n =++1

4

2

经过点(032,)和(,)43

2

, ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2。

设所求抛物线的解析式为y x h =-+1

4

2

2

()。 将点(,)032代入,得

1402322()-+=h ,解得h =12

。 ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122(),即y x x =-+143

2

2。

点评:当点M (x y 11,)和N (x y 22,)都是抛物线上的点时,若y y 12=,则对称轴方程为x x x =

+12

2

,这一点很重要也很有用。

两根式:

例3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的解析式。 解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,

又∵图象与x 轴两交点的距离为6,即AB=6.

由抛物线的对称性可得A 、B 两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x 1)·(x-x 2),

将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x 2-2x+8.

变式: 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=-3,x 2=1,且与y 轴交点为(0,-3),求这个二次函数解析式。

点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;?如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2).

根据图像求解析式:

例1.如图所示,求二次函数的关系式。

分析:观察图象可知,A 点坐标是(8,0),C 点坐标为(0,4)。从图中可知对称轴是直线x =3,由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形,所以此抛物线在x 轴上的另一交点B 的坐标是(-2,0),问题转化为已知三点求函数关系式。

解:观察图象可知,A 、C 两点的坐标分别是(8,0)、(0,4),对称轴是直线x =3。因为对称轴是直线x =3,所以B 点坐标为(-2,0)。

设所求二次函数为y =ax 2

+bx +c ,由已知,这个图象经过点(0,4),可以得到c =4, 又由于其图象过(8,0)、(-2,0)两点,可以得到

???64a +8b =-44a -2b =-4

解这个方程组,得???

???

?=-=2341b a

所以,所求二次函数的关系式是y =-14x 2+3

2

x +4

练习:

一条抛物线y =ax 2

+bx +c 经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式。

其它应用类型:

【例1】已知函数y=x 2

+bx +1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的表达式;

(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x >0时,求使y ≥2的x 的取值范围.

【例2】 一次函数y=2x +3,与二次函数y=ax 2

+bx +c 的图象交于A (m ,5)和B (3,n )两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9.

(1)求二次函数的表达式;

(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象;

(3)从图象上观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大. (4)当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值?

【例3】 行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还要继续向前滑动一段距离才停止,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过130km/h ),对这种汽车进行测试,测得数据如下表:

刹车时车速(km/h ) 0 10 20 30 40 50 60 70 刹车距离(m ) 0 1.1 2.4 3.9 5.6 7.5 9.6 11.9

(1)以车速为x 轴,刹车距离为y 轴,在下面的方格图中建立坐标系,描出这些数据所表示的点,并用平滑曲线连接这些点,得到函数的大致图象;

(2)观察图象,估计该函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数表达式;

(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故,现测得刹车距离为26.4m ,问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶,请说明理由.

【例4】 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市

时间的关系用图①中的一条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示.(1)写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f (t ),写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g (t );

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成

本的单位:元/102

kg ,时间单位:天)

三、【同步练习】

1. 已知二次函数当x =-3时,有最大值-1,且当x =0时,y =-3,求二次函数的关系式。 2.已知二次函数y =x 2+px +q 的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数关系式。

3. 已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与y 轴交点为(0,-5),求二次函数的关系式。 4.函数y =x 2+px +q 的最小值是4,且当x =2时,y =5,求p 和q 。 5.若抛物线y =-x 2+bx +c 的最高点为(-1,-3),求b 和c 。 四、【创新探究】

美好而难忘的初中生活即将结束了,在一次难忘同窗情的班会上,有人出了这样一道题,如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手,那么全班同学之间共握了多少次?

为解决该问题,我们可把该班人数n 与握手次数s 间的关系用下面的模型来表示.

(1)若把n 作为点的横坐标,s 作为点的纵坐标,根据上述模型的数据,在给出的平面直角坐标系中,找出相应5个点,并用平滑的曲线连接起来.

(2)根据图象中各点的排列规律,猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上,如果在,写出该函数的表达式.

(3)根据(2)中的表达式,求该班56名同学间共握了多少次手?

第一部分:根据下列条件求二次函数解析式

(1)已知一个二次函数的图象经过了点A (0,-1),B (1,0),C (-1,2);

(2)已知抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6);

(3)二次函数图象经过点A (-1,0),B (3,0),C (4,10);

(4)已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4;

(5)已知二次函数的图象经过一次函数y =-

2

3

x+3的图象与x 轴、y 轴的交点,且过(1,1); (6)已知抛物线顶点(1,16),且抛物线与x 轴的两交点间的距离为8;

第二部分:

1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的解析式是_______________。

2、已知二次函数图象与x轴交点(2,0)(-1,0)与y轴交点是(0,-1),那么这个二次函数的解析式是_______________。

3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,它们的横坐标为-1和3,与y轴的交点C的纵坐标为3,那么这个二次函数的解析式是_______________。

4、已知直线y=x-3与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数的图象经过A、B

两点,且对称轴方程为x=1,那么这个二次函数的解析式是_______________。

5、已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8),那

么这个二次函数的解析式是_______________。

6、如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴

交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)(0,4),求这个抛物线的解析式。

第三部分:在延伸中中考、在平面直角坐标系中,AOB的位置如图所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1)。

(1)求点B的坐标。

(2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式;

(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1,求ΔAB1B的面积。

九年级数学_二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考 试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点,且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=x x 23 2 12 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21

∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式,将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 ∴y=x 3)3(2 2--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d= a ? 就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A (1,0),B (3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型 例 6 如图1, 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212 其中一条的顶点为P ,

用待定系数法求函数的解析式教案

运用待定系数法求函数的解析式(教案) 教学目标: 1.了解用待定系数法求函数解析式的一般步骤; 2.掌握用待定系数法求函数的解析式的方法; 3.通过自主、合作学习,培养学生勇于探索、勤于思考的精神. 教学重点:用待定系数法求函数的解析式 教学难点:选设适当形式的函数解析式并用待定系数法求出解析式 教学设计: 一、基础扫描 1.已知一次函数y=kx+3的图像经过两点A(2,-1),则k=__________. 2.已知反比例函数 k y x =的图象经过(1,-2).则k=__. 3.在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).求经过A、B、C三点的抛物线的解析式. 4.抛物线的顶点为(-2,-3),且过点(0,-7),求该抛物线的解析式. 问题1:结合上述四题,说说何为待定系数法?(板书课题) 问题2:谈谈用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数解析式的一般步骤. 二、课内探究 活动一:一次函数的解析式的确定 1.与直线y=x平行,并且经过点P(1,2)的一次函数解析式为_________. 2.如图,在平面直角坐标系中,A、B均在边长为1的正方形网格格点上. (1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当02 y ≤≤时,自变量x的 取值范围; (2)将线段AB绕点B逆时针旋转90,得到线段BC,请在图中画出线段 BC.若直线BC的函数解析式为y kx b =+, 则y随x的增大而(填“增大”或“减小”). 活动二:反比例函数解析式的确定 1.如图,某反比例函数的图象过点(-2,1),则此反比例函数表达式为() A. 2 y x =B. 2 y x =-C. 1 2 y x =D. 1 2 y x =-

二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考 试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点,且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23 212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4.

再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式,将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 ∴y=x 3)3(2 2 --=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d= a ? 就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A (1,0),B (3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型

专题用待定系数法求二次函数的解析式

精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式: 一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式:y=a(x -h)2+k (a ≠0,(h ,k )是抛物线的顶点坐标) 交点式:y=a(x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标) 例1.如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点坐标为(-2,4),且经过原点,求二次函数解析式. 求二次4例2x=-1x=-11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3,最小值为-2,,且过(0,1),求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为(-5,0),(2,0),且图象经过(3,-4),求解析式 6.抛物线的顶点为(-1,-8),它与x 轴的两个交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2,且过(2,1)、(-1,-8)两点,求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位,求所得二次函数的

精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ,当x <6时y 随x 的增大而减小,x >6时y 随x 的增大而增大,其最小值为-12,其图象与x 轴的交点的横坐标是8,求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过(1,5)、(1,1--)、(2,11)三点,求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为(2,k ),在一次函数y=x+1上,并且点(1,1)在图像上,求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点,A 左B 右,与y 轴正半轴交于点C ,AB=4,OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0), (1Q 点坐15(1(2)

高中数学解题思路大全:用待定系数法求三角函数最值

用待定系数法求三角函数最值 武增明 用均值不等式求三角函数最值时,“各数相等”及“和(或积)为定值”是两个需要刻意凑出的条件,从何处入手,怎样拆项,如何凑出定值且使等号成立,又能使解答过程简捷明快,这确实既“活”又“巧”,对此问题,现利用待定系数法探析。 例1. 设x ∈(0,π),求函数x sin 22x sin y +=的最小值。 分析:拿到此题,很容易想到下面的解法。 因为 sinx >0, 所以2x sin 22x sin 2x sin 22x sin y =?≥+=。故y min =2。 显然,这种解法是错误的!错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由 x sin 22x sin =得sinx=2,这样的x 不存在,故为错解。 事实上,此题是可以用均值不等式来解答的,但需要拆项,如何拆,既能使其积为定值,又能使“=”号成立,这确实是一个难点,笔者认为,待定系数法就能很好地解决这 个问题,为此,先引入一个待定系数λ(0<λ<2,使x sin 2x sin 2x sin y λ-+λ+=。由均值不等式及正弦函数的有界性,得λ-+λ≥λ-+λ?≥22x sin 2x sin 2x sin 2y 。 当且仅当x sin 2x sin λ=且sinx=1,即λ=21时,上式等号成立。将λ=21代入,得y min =2 5。 另解:y=)x sin 4x (sin 21+。 令sinx=t(0<t ≤1=,易证)t 4t (21y +=在(0,1]上单调递减,所以25)141(21y min =+=。 例2. 当x ∈(0,2π)时,求函数x cos 2x sin 36y +=的最小值。 分析:因为x ∈(0, 2 π),所以sinx >0,cosx >0,引入大于零的待定系数k ,则函数x cos 2x sin 36y +=可变形为x cos 1x cos 1x sin k x sin 33x sin 33y 2++++=+kcos 2x -k ≥

九年级数学二次函数几种解析式的求法素材

二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考 试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代 入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系 数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点, 且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.

再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函 数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式,将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移 两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为 2,求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d=a ?

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式: 1、一般式:y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式:y=a(x -h)2+k (a ≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h 。 3、交点式:y=a(x -x 1)(x -x 2) (a ≠0),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式: y=a(x -x 1)(x -x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式: 1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离,通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1、m)(x 2、m),则设成: y=a(x -x 1)(x -x 2)+m (a ≠0),再将另一个坐标代入式子中,求出a 的值,再化成一般形式即可。 探究问题,典例指津: 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解:设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得:?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x -4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(,求这条抛物线的解析式。 分析:此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2,重新设顶点式y=a(x -h)2+k (a ≠0),其中点(h,k)为顶点。 解:依题意,设这个二次函数的解析式为y=a(x -4)2 -1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

待定系数法求解析式

待定系数法求函数解析式 【要点梳理】 一.已知三点求抛物线解析式 例1 二次函数的图象经过点(1,4),(-1,0)和(-2,5),求二次函数的解析式. 例2若抛物线经过A(-1,0)和B(3,0),且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的解析式及顶点坐标. 二.已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是(-2,3)且过(-1,5),求抛物线的解析式. 三.已知两点及对称轴,求抛物线解析式 例4已知抛物线过A(1,0),B(0,-3)两点,且对称轴为直线x=2,求抛物线解析式. 四.已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式 例5若抛物线经过A(-2,0)和B(4,0),且与y轴交点(0,-3),求此抛物线的解析式及顶点坐标. 五.求平移后新抛物线解析式 例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位,然后 向上平移3个单位,求平移后新的抛物线解析式. 六.求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式 例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图 象,沿x轴把这张纸对折,描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线, 并写出新抛物线解析式. 【课堂操练】 1.求下列条件下的二次函数解析式: (1)过点(-1,0),(0,2)和(4,0). (2)顶点为(2,-3),且过点(-1,15). 2.已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示,求它关于y轴对称的抛物线解析式. 3.已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示,求它关于x轴对称的抛物线解析式. 4.已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A (c,-2),,求证:这 个二次函数图象的对称轴是直线x=3,题目中横线 上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字. (1)根据已知和结论中现有信息,你能否求出题 目中的二次函数解析式?若能,请写出解题过程; 若不能,请说明理由. (2)请你根据已有的信息,在原题中的横线上添 加一个适当的条件,把原题补充完整. 【课后巩固】 1.将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位,则 平移后的抛物线的解析式为___________. 2.二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次 函数2x y=的图象平移而得到,下列平移正确的 是() A、先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单 位长度 B、先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单 位长度 C、先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单 位长度 D、先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单 位长度 3.已知2 y ax bx c =++的图象过(-2,-6)、 (2,10)和(3,24)三点,求函数解析式. 4.已知函数2 y ax bx c =++,当x=1时,有最 大值-6,且经过点(2,-8),求出此抛物线的 解析式. 5.已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别 为2和3,与y轴交点的纵坐标是72,求它的解 析式.

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点,学不易掌握.他的基本思想方法是待定系数法,根据题目给出的具体条件,设出不同形式的解析式,找出满足解析式的点,求出相应的系数.下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下,和大家共勉: 一、定义型: 此类题目是根据二次函数的定义来解题,必须满足二个条件:1、a ≠0; 2、x 的最高次数为2次. 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m -1是二次函数,则m = . 解:由m 2+ m ≠0得:m ≠0,且 m ≠- 1 由m 2–2m –1 = 2得m =-1 或m =3 ∴ m = 3 . 二、开放型 此类题目只给出一个条件,只需写出满足此条件的解析式,所以他的答案并不唯一. 例2、(1)经过点A (0,3)的抛物线的解析式是 . 分析:根据给出的条件,点A 在y 轴上,所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3,且a ≠0即可∴32++=χχy (注:答案不唯一) 三、平移型: 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ,当图像向左(右)平移n 个单位时,就在x – h 上加上(减去)n ;当图像向上(下)平移m 个单位时,就在k 上加上(减去)m .其平移的规律是:h 值正、负,右、左移;k 值正负,上下移.由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a 得值不变.

例3、二次函数 2 53212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位,再向 平移 个单位得到的. 解:Θ253212++= χχy = ()232 12-+χ, ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的. 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时,设为一般式c b a y ++=χχ2 ,转化成一个三元一次方程组,以求得a ,b ,c 的值; 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值,则设为顶点式()k h x a y +-=2.这顶点坐标为( h ,k ),对称轴方程x = h ,极值为当x = h 时,y 极值=k 来求出相应的系数; 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ,,, ,设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=,根据题目条件求出a 的值. 例4、根据下面的条件,求二次函数的解析式: 1.图像经过(1,-4),(-1,0),(-2,5) 2.图象顶点是(-2,3),且过(-1,5) 3.图像与x 轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过(1,- 29) 解:1、设二次函数的解析式为:c b a ++=χχγ2,依题意得:

用待定系数法求数解析式

用待定系数法求数解析式

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用待定系数法求二次函数解析式 二次函数是初中数学主要内容之一,也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点,求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式,要观察题目中给出的条件,灵活选用方法。一般地,有三个点且点不是特殊点时,一般采用一般式;若有三个点,且有二点为函数图像与x 轴交点时,采用交点式;若有顶点时,一般采用顶点式。同时,在采用交点式时,要注意二次项系数a 不能漏掉。应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式,运用待定系数法求解。即:根据已知条件列出关于a 、b 、c 或h 、k 及x 1、x 2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程);解方程组求出待定的系数;写出解析式,要化为一般式. (1)一般式:y=ax 2+bx+c(a ≠0) ⑵顶点式:y=a(x-h)2+k(a ≠0),(h,k )是抛物线顶点坐标。 (3)交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0),x 1,x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标. 思路1、已知图象过三点,求二次函数的解析式,一般用它的一般形式: 较方便。 例1 图像过A(0,1),B(1,2),C(2,-1)三点,求这个二次函数的关系式. 解:分析:因为图像过三点,且三个点不属于特殊点。因此,只能采用一般式求解。 设函数解析式为y=ax 2+bx+c ∵抛物线过(0,1),(1,2),(2,-1) c=1 ∴ a+b+c=2 4a+2b+c=-1 解之得a=-2,b=3,c=1; ∴函数解析式为y=-2x 2+3x+1 小结:此题是典型的根据三点坐标求其解析式,关键是:(1)熟悉待定系数法;(2)点在函数图象上时,点的坐标满足此函数的解析式;(3)会解简单的三元一次方程组。 思路2、已知顶点坐标,对称轴、最大值或最小值,求二次函数解析式,一般用它的顶点式 较方便。 例2 已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式. 分析 因为这个二次函数的图象的顶点是(8,9),因此,可以设函数关系式为y =a (x -8)2+9. 根据它的图象过点(0,1),容易确定a 的值. 小结:此题利用顶点式求解较易,用一般式也可以求出,但仍要利用顶点坐标公式。试一试,比较一下。 思路3、已知图象与 轴两交点坐标,可用交点 的形式,其中x 1、x 2, 为抛物线与 轴的交点的横坐标,也是一元二次方程 的两个根。 一般地,函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2+bx +c =0的解;当二次函数y =ax 2+bx +c 的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax 2+bx +c =0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以,已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时,可选用二次函数的交点式:y =a(x -x 1)(x -x 2),其中x 1 ,x 2 为两交点的横坐标。 例3已知二次函数的图象过(-2,0)、(4,0)、(0,3)三点,求这个二次函数的关系式. 解 设所求二次函数为,y=a(x+2)(x-4),由于这个函数的图象过(0,3),可以得到a(0+2)×(0-4)=3 解这个方程组,得a= -38 所以: y= -38(x+2)(x-4)= 233 384 x x -++. 所以,所求二次函数的关系式是y= 233 384 x x -++. 思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ,求解析式,可用︱x 1-x 2︱2=(x 1+x 2)2 -2x 1x 2的形式来求,其中︱x 1-x 2︱ 为两交点之间的距离, x 1、x 2为图象与 轴相交的交点的横坐标。 4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2,且过(2,1)、(-1,-8)两点,求此二次函数的解析式。 思路5、由已知图象的平移求解析式,一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2+k 的形式,若图象向左(右)移动m 个单位,括号里-h 的值就加(减)m 个单位;若图象向上(下)平移 n

二次函数待定系数法求函数解析式(供参考)

专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y=ax2+bx+c经过(-1,-22),(0,-8),(2,8)三点,求它的开口方向、对称轴和顶点. 2.一个二次函数的图像经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点.求这个二次函数的解析式. 3. 已知二次函数的图象经过点(-1,-6),(1,-2)和(2,3),求这个二次函数的解析式,并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4.已知抛物线y=ax2+bx+c经过(1,0),(2,0),(3,4)三点,则求抛物线的解析式。 5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),(2,7),且3a+2b=0,求该抛物线的解析式。 6.抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式.

7. 已知抛物线C :y =-x 2+bx +c 经过A (-3,0)和B (0,3)两点,将这条抛物线的顶点记为M ,它的对称轴与x 轴的交点记为N.(1)求抛物线C 的解析式;(2)求点M 的坐标; 8.已知:如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A ,B ,C 三点.求此抛物线的解析式. 9. 如图所示,求此抛物线的解析式。 10. 如图,抛物线c bx x y ++- =22 1与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且OA =2,OC =3.求抛物线的解析式.

11.如图所示,抛物线y=ax2+bx-4a经过点A(-1,0),C(0,4). (1)求抛物线的解析式; (2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于x轴对称的点的坐标. 12.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0),C(0,-3). (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在一点P,使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标. 13. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3). (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴; (3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).

利用待定系数法求函数解析式练习题

20.已知点A( 1,)、B 、O(0,0),试说明A、O、B三点在同一条直线上。 22.为缓解用电紧张矛盾,某电力公司特制定了新的用电收费标准,每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示.分别求出当0≤x≤50和x>50时,y与x的函数关系式; 23.已知一个正比例函数和一个一次函数,它们的图象都经过点P(-2,1),且一次函数图象与y轴交于点Q(0,3)。 (1)求出这两个函数的解析式; (2)在同一个坐标系内,分别画出这两个函数的图象。 24..若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y轴于同一点,且过点(2,-6),求此函数解析式25、某一次函数的图像与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点,求此函数的解析式. 26、已知直线y=kx+b在y轴上的截距为-2,且过点(-2,3). (1)求函数y的解析式;(2)求直线与x轴交点坐标;(3)x取何值时,y>0; 27、直线x-2y+1=0 在y轴上的截距为______. 28.一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是-3≤x≤6相应函数值的范围是-5≤y≤-2,求这个函数的解析式. 29. 一次函数y=kx+b的图象过点(-2,5),并且与y轴相交于点P,直线y=-1/2x+3与y轴相交于点Q,点Q与点P关于x轴对称,求这个一次函数解析式 30、正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示,它们的交点A的坐标为(3,4),并且OB=5 (1)求△OAB的面积 (2)求这两个函数的解析式 3)3 ,1 (- -

6.一次函数y=kx+b中,kb>0,且y随x的增大而减小,则它的图象大致为() 8.下面是y=k1x+k2与y=k2x在同一直角坐标系中的大致图象,其中正确的是( )

待定系数法求函数的解析式

一次函数的解析式 1、把y=kx+b (k ≠0,b 为常数)叫做一次函数的标准解析式,简称标准式。 直线过()11,y x , ()22,y x =>2121x x y y k --=,或1212x x y y k --= b:与y 轴交点的刻度( 纵坐标) 1:若点A (2,4)在直线y=kx-2上,则k=( ) A .2 B .3 C .4 D .0 2:一条直线通过A (2,6),B (-1,3)两点,求此直线的解析式。 3:一条直线通过A (1,6),B (0,3)两点,求此直线的解析式。 4:若A (0,2),B (-2,1),C (6,a )三点在同一条直线上,则a 的值为( ) A .-2 B .-5 C .2 D .5 5.已知点M (4,3)和N (1,-2),点P 在y 轴上,且PM+PN 最短,则点P 的坐标是( ) A .(0,0) B .(0,1) C .(0,-1) D .(-1,0) 6.如图,已知一次函数y=kx+b 的图象经过A (0,1)和B (2,0),当x >0时,y 的取值范围是( ) A .y <1 B .y <0 C .y >1 D .y <2 7.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示 (1)当x <0时,y 的取值范围是______。 (2)求k ,b 的值.

用待定系数法求二次函数解析式 二次函数的解析式有三种基本形式: 1、一般式:y=ax2+bx+c (a≠0)。 C:与y轴交点刻度(纵坐标) 2、顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h。 3、交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2 ) (a≠0),其中x 1 ,x 2 是抛物线与x轴的交点 的横坐标。 1.已知一个二次函数的图象过点(0,-3)(4,5),(-1, 0)三点,求这个函数的解析式? 2.已知二次函数的图象经过点)4 ,0( ), 5 ,1 (- - -和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 3. 已知抛物线的顶点为(1,-4),且过点(0,-3),求抛物线的解析式? 4.过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6;求抛物线的解析式? 5.. 已知一个二次函数的图象过点(0,-3)(4,5),对称轴为直线x=1,求这个函数的解析式? 6.如图,已知两点A(-8,0),(2,0),与y轴正半轴交于点C(0、4)。求经过A、B、C 三点的抛物线的解析式。

二次函数的几种解析式及求法教学设计

二次函数的几种解析式及求法教学设计 福泉一中:齐庆方 一、指导思想与理论依据 (一)指导思想:本次课的教学设计以新课程标准关于数学教学的核心理念为基本遵循,坚持以教师为主导,以学生为主体,以培养能力为基准,采取符合学生学习特点的多样式的学习方法,通过教学容和教学过程的实施,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法,促进学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界. (二)理论依据:本次课的教学设计以新课程标准关于数学教育的理论为基本依据,主要把握了两个方面的理论: 1、新课程标准关于数学整体性的理论.教学中注意沟通各部分之间的联系,通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式,使学生体会知识之间的联系,感受数学的整体性,进一步理解数学的本质,提高解决问题的能力. 2、新课程标准关于教师教学的理论.教师应该更加关注:1)科学的基本态度之一是疑问,科学的基本精神之一是批判.要注意培养学生科学的质疑态度和批判性的思维习惯;2)提出问题是数学学习的重要组成部分,更是数学创新的出发点.要注意培养学生提出问题的能力;3)在教学中更加关注学生知识的储备、能力水平、思维水平等;4)关注学生的学习态度、学习方法、学习习惯,在思维的最近发展区设计教学容.

二、教学背景分析 (一)学习容分析 “待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段,初中阶段要求学生初步学会用待定系数法求函数解析式;因此这节课的学习既是初中知识的延续和深化,又为后面的学习奠定基础,起着承前启后的作用.另外,待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段,在其他学科中也有着广泛的应用. (二)学生情况分析 对于初三学生来说,在学习一次函数的时候,学生对于用待定系数法求函数解析式的方法已经有所认识,他们已经积累了一定的学习经验.在学习完一次函数后继续学习用待定系数法求函数解析式,学生已经具备了更多的函数知识,同时,初三的学生已经具备了一定的分析问题、解决问题能力和创新意识,这些对本节课的学习都很有帮助.在今后高中的数学学习中,学生还会继续运用待定系数法解决相关问题.新课标对学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有了更高的要求,在教学中还有待加强相应能力的培养. (三)教学方式与教学手段、技术准备以及前期的教学状况、问题、对策说明

用待定系数法求一下函数解析式

求一次函数解析式教案 京山县石龙镇中学赖光彩 教学目标: 1、理解待定系数法,并会用待定系数法求一次函数的解析式; 2、能结合一次函数的图象和性质,灵活运用待定系数法求一次函数解析式; 3、能根据函数图象确定一次函数的表达式,并由此进一步体会数形结合的思想; 4、通过引入待定系数法的过程,向学生渗透转化的思想,培养学生分析问题,解决问题的能力. 教学重点与难点: 1、重点:用待定系数法求一次函数的解析式; 2、难点:结合一次函数的性质,用待定系数法确定一次函数的解析式. 教学方法:引导探究法 教学过程: 一.创设情境,提出问题 1.练一练:画出函数y= 2x与y= -3/2 x +3的图象 反思:你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同取法吗? 2.引入新课:上节课我们学习了给定解析式的前提下,可以画函数的图像,反之,如果给你图像,能否求出函数的解析式呢?这将是本节课我们要研究的问题。二.提出问题,探究新知: 1.求下图中直线的解析式 考考你:1、已知一次函数解析式如何画它的函数图象? 2、已知一次函数的图象怎样求它的函数解析式? 形成概念:像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法. 三.应用举例,感悟新知: 例1、已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,9)求这个一次函数的解析式.教师引导学生想一想:已知函数图像和点的坐标,怎样求函数的解析式,

大家讨论以后再表述出来。 师生共同归纳:用待定系数法求一次函数关系的一般步骤: 可归纳为:“一设、二列、三解、四写” 一设:设出函数关系式的一般形式y=kx+b; 二列:根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元一次方程组; 三解:解这个方程组,求出k、b的值; 四写:把求得的k、b的值代入y=kx+b,写出函数关系式. 四.综合运用: 小试牛刀:1.已知y是x的一次函数,当x=-1时y=3, 当x =2 时y=-3,求y关于x 的一次函数解析式. 2.判断三点A(3,1)B(0,-2)C(4,2)是否在同一条直线上. [分析] 由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过 这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中, 若成立,说明在此直线上;若不成立,说明不在此直线上 例2、若一次函数的图象经过点A(2,0),且与直线y=-x+3平行,求其解析式。解:∵一次函数图象与直线y=-x+3平行∴设一次函数解析式为y=-x+b.由直线经过点A(2,0)得0=-2+b 解得b=2 ∴函数解析式为y= -x+2五.当堂检测:1、若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1,-1),则该函数图象必过点() A (-1,1) B (2,2) C (-2,2) D (2,一2) 2、若函数y=kx+b的图象平行于y= -2x的图象,且经过点(0, 4),则k= ,b= 。 3、若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y轴于同一点,且过点(2,-6),求此函数解析式 4. 在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买 400kg,单价是多少? 六.课堂小结: 通过本节课学习,你有哪些收获?

用待定系数法求二次函数的解析式

26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式(一) 教学目标 1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。 2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式,体会二次函数解析式之间的转化。 3、从学习过程中体会学习数学知识的价值,从而提高学习数学知识的兴趣。 教学过程重点难点: 重点:通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法 难点:能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式,体会二次函数解析式之间的转化 教具准备:多媒体课件,三角尺 教学方法:探究式 一、合作交流 例题精析 1、一般地,形如y =ax 2+bx +c (a,b,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数,所以,我们把________________________叫做二次函数的一般式。 例1 已知二次函数的图象过(1,0),(-1,-4)和(0,-3)三点,求这个二次函数解析式。 小结:此题是典型的根据三点坐标求其解析式,关键是:(1)熟悉待定系数法;(2)点在函数图象上时,点的坐标满足此函数的解析式;(3)会解简单的三元一次方程组。 2、二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成:y =a(x -h)2+k ,顶点是(h ,k)。配方: y =ax 2+bx +c = __________________=___________________=__________________=a(x +b 2a )2+4ac -b 24a 。对称轴是x =-b 2a ,顶点坐标是(-b 2a ,4ac -b 24a ), h =-b 2a ,k=4ac -b 24a , 所以,我们把_____________叫做二次函数的顶点式。 例2 已知二次函数的图象经过原点,且当x =1时,y 有最小值-1, 求这个二次函数的解析式。 小结:此题利用顶点式求解较易,用一般式也可以求出,但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试,比较它们的优劣。 3、一般地,函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2+bx +c =0的解;当二次函数y =ax 2+bx +c 的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax 2+bx +c =0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以,已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时,可选用二次函数的交点式:y =a(x -x 1)(x -x 2),其中x 1 ,x 2 为两交点的横坐标。 例3 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=-3,x 2=1,且与y 轴交点为(0,-3),求这个二次函数解析式。 想一想:还有其它方法吗? 二、应用迁移 巩固提高 1、根据下列条件求二次函数解析式 (1)已知一个二次函数的图象经过了点A (0,-1),B (1,0),C (-1,2); (2)已知抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6) (3)二次函数图象经过点A (-1,0),B (3,0),C (4,10); (4)已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4; (5)已知二次函数的图象经过一次函数y =-—x+3的图象与x 轴、y 轴的交点,且过(1,1); (6)已知抛物线顶点(1,16),且抛物线与x 轴的两交点间的距离为8;

待定系数法求解析式

19,2 待定系数法求一次函数解析式 在经历探索求一次函数解析式的过程中感悟数学中的数与形的结合 解决抽象的函数问题 【学习过程】 一, 1 一次函数的一般形式是什么? 2当b=0时,一次函数y=kx +b(常数k不为0),也叫做什么函数? 3 你知道它们的图像是什么? 二,想一想 由一次函数y=kx+b的图象如何确定k、b的符号 图略 三,练一练 画出函数y= 2 x与y= -1.5 x +3的图象 图略 你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同取法吗? 四,应用举例 已知一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的表达式。

解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b 。 因为y=kx+b 的图象过点(3,5)与(-4,-9), 所以 解得 这个一次函数的解析式为y=2x-1 先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知数,从而具体写出边个式子的方法,叫做待定系数法. 五,归纳 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 (1) 设函数表达式为y=kx+b ; (2) 将已知点的坐标代入函数表达式; (3) 解方程(组); (4) 写出函数表达式。 六,数形结合流程 函数解析式y=kx+b 满足条件的两定点(x1,y1)与(x2,y2) 一次函数的图象 七,用待定系数法求一次函数的解析式的步骤 解:设一次函数的解析式为y=kx+b 把(__ ,__)(__ ,__)代入函数解析式 得 ???-=+-=+9453b k b k ???- ==12b k

解得 这个一次函数的解析式为y=__x+__ 八,拓展举例 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,求函数表达式. 九,课堂练习 判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.十,作业与小结 习题19·2 第5题、第6题,第7题 本节课你学到了什么?

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