专题 巧用增根的性质解题

初中数学竞赛辅导专题讲座

巧用增根的性质解题

在解分式方程去分母时，有可能产生不适合原方程的根，这种根叫做增根.由此不难得出增根具有如下两个重要性质：⑴增根能使最简公分母为零；⑵增根是通过去分母所得到的整式方程的根，但不是原方程的根.由于有的同学对此没有引起足够的重视，因此在解与增根有关的题目时，显得无从下手，无法可依.为了说明这一性质在解题中的重要作用，现分类说明如下.

1.已知中明确指出方程有增根求方程中的待定常数的值及已知方程的解.

该类问题的一般解法是：把所给的方程化为整式方程，再把增根代入化简后的整式方程，即可求出待定常数的值，然后将求出的待定常数的值代入化简后的整式(或已知)方程，就可以求出已知方程的根. [例1](重庆市中考题)若关于x 的方程

1101

ax x +-=-有增根，则a 的值为______. [例2](湖北潜江市中考题)使关于x 的方程22

24222x a a x x +-=--产生增根的a 的值是( )

A 、2

B 、-2

C 、±2

D 、与a 无关 [例3](武汉市初中数学竞赛题)解关于x 的方程

21

11

x k x x x x -

=

--+不会产生增根，则k 的值( )

A 、是2

B 、是1

C 、不是2或-2的实数

D 、无法确定 [例4](山东省中考题)若解分式方程

22111

x m x x x x

x

++-=

++产生增根，则m 的值是( )

A 、-1或-2

B 、-1或2

C 、1或2

D 、1或-2

2.已知中没有明确给出增根的条件，但题目中隐含有增根的条件，解题时又必须应用增根这一条件. 这类问题的一般解法是：首先应明确增根是什么，然后根据题目的要求作出解答. [例5](全国初中数学联赛题)

如果关于x 的方程

()

2202

2x x x a x x

x x --++=--只有一个实根，求a 的值及方程的根.

解：原方程可化为 2x 2-2x+4+a=0①

(1)若方程①有等根，则△=(-2)2-4×2×(4+a)=0，解得a=-3.5，此时原方程的解为x=0.5； (2)若方程①有不等二实根，则这两根中有一个根是原方程的增根，这时原方程才只有一个实根，而原方程的增根是x=0或x=2.

当x=0时，代入方程①，得a=-4，此时原方程的解为x=1；

当x=2时，代入方程①，得a=-8，此时原方程的解为x=-1.

综上所述：当a=-3.5时，原方程的根是x=0.5；当a=-4时，原方程的根为x=1；当a=-8时，原方程的根是x=-1.

[例6](湖北孝感市中考题)当m 为何值时，

22111

x m x x x

x --=+

--无实数解.

解：原方程可化为x 2-x+2-m=0①若原方程无实数解，只需方程①无实数解，或方程①的两根都是增根.当△=(-1)2-4×1×(2-m)＜0时，解得m ＜

74

.因此当m ＜

74

时，原方程无实数解.

又原方程的增根只能为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入方程①，得m=2. 综上所述：当m ＜

74

或m=2时，原方程无实数解.

[例7](山东聊城市中考题)已知关于x 的方程22

2

12022m x x x x m

-++=+-，其中m 为实数.

(1)当m 为何值时，方程没有实数根？

(2)当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.

解：原方程可化为 x 2+2x-m-1=0，① x 2

+2x-m+1=0，②

(1)要原方程无实数根，只要方程①与②均无实数根或方程①与②均有实数根且所有的根均为增根，

1)当原方程无实数根时，有△1=8+4m ＜0，△2=4m ＜0，所以m ＜-2. 2)当方程①与②均有两个实根，但这些根都是原方程的增根，即△1=8+4m≥0，△2=4m≥0，所以m≥0. 又x 2+2x=2m ，所以2m=m-1，2m=m+1，所以m=1，m=-1(舍去)，但当m=1时，原方程x 2+2x=0不会产生增根，所以m 不存在.

(2)因为原方程有三个互不相等的实根，所以有下列三种情况：

1)方程①有两个不相等的实根，方程②有两个相等的实数根，且此时的根均不能为原方程的增根，故

△1=8+4m ＞0，△2=4m ＞0，所以m=0.当m=0时，其三个根为x 1=1，x 2，x 3.

2)方程①有两个相等的实数根，方程②有两个不相等的实数根，且此时的根均不为原方程的增根，故

△1=8+4m=0，△2=4m ＞0，所以满足要求的m 不存在.

3)方程①②均有两个不相等的实数根，但其中有一根是原方程的增根，故

△1=8+4m ＞0，△2=4m ＞0，所以m ＞0，且方程①的根为x 1x 2方程②的根为

x 3，x 4. 若x 1(或x 2)是增根，则(-1+

)2+2(-1+

)-2m=0，[或(-1-)2+2(-1-)-2m=0，]

解得m=1。但当m=1时，原方程为x 2

+2x=0不能有三个不相等的实数根. 若x 3(或x 4)是增根，则(-1+

)2+2(-1+

)-2m=0，[或(-1-)2+2(-1-)-2m=0，]

解得m=-1，但m ＞0，所以m=-1应舍去.

综上所述：(1)当m ＜-2时，方程没有实数根；(2)当m=0时，方程恰有三个互不相等的实数根，其根为x 1=1，x 2=-1+

，x 3=-1-.

说明：对于第二种情况，应仔细地分析题意，找出其中的隐含条件，运用分类解答时，应做到不重不漏，以保证答案准确无误，完美无缺.

1.（辽宁省初二数学竞赛试题）如果方程333

x a x x =

--有增根，则a 的值为 .

2. 若关于x 的方程222151

1

k k x x x x x --+=

-+-有增根1x =，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）6

3. 已知方程

211533x x x x

x

x a

++-=--有增根1x =，那么a 的值为 .

4. m 为何值时，关于x 的方程2

232

4

2

m x x x x +

=

--+会产生增根？（m=6或-4.）

5. 若方程

22

512

2

4

m x x x x +-=

-+-有增根，则m 的值是（ ）（A ）

14

（B ）

12

（C ）1 （D ）

12

或12

-

6. 当a 为何范围内的值时，关于x 的方程212

1

2

a x x x x x x -=

-

--+-的解为正值.

7. 已知解方程

22

41142

2

x k k x

x x -+=

+

--+时不会产生增根，求实数k 的取值范围.（2k ≠且1k ≠-）

8. a 为何值时，方程

()

141

1x x x a x x

x x +++

=

++只有一个实数根.（ 15,1,2

a =.）

9. 当 m 为何值时，关于x 的分式方程1201

x x m x x m

-++

+=+-只有一个实数根.（0，-1，1）

10.若方程

2

413

4

712

x a x x x x --

=

---+有唯一实数解，求a 的值，并求这个方程的解.(当a=-2时，原方

程有唯一实数根x=5.)