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2013高考总复习江苏专用理科：第四篇三角函数、解三角形《第18讲同角三角函数的基本关系与诱导公式》

A 级基础达标演练

(时间：45分钟满分：80分)

一、填空题(每小题5分，共35分) 1．cos ? ??

－113π＝________.

解析 cos ? ????－113π＝cos ? ?

???－4π＋π3＝cos π3＝12.

答案 1

2．(2011·南京模拟)已知cos(π＋x )＝3

5，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.

解析由cos(π＋x )＝－cos x ＝35，得cos x ＝－35＜0，所以x ∈? ?

???π，3π2.此时sin x

＝－45，故tan x ＝4

3. 答案 43

3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)

sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．

解析 ∵sin (α－3π)＋cos (π－α)

sin (－α)－cos (π＋α)

＝sin (－4π＋π＋α)－cos α－sin α＋cos α

＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α

＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又tan(5π＋α)＝m ， ∴tan(π＋α)＝m ，tan α＝m ， ∴原式＝m ＋1

m －1

. 答案

m ＋1

m －1

4．(2010·苏州模拟)已知cos ? ????π6－α＝23，则sin ? ?

???α－2π3＝________.

解析 sin ? ?

???α－2π3＝sin ??????－π2－? ????π6－α ＝－sin ??????π2＋? ????π6－α＝－cos ? ????π6－α＝－23.

答案－2

5．(2011·镇江月考)已知cos(π－α)＝817，α∈? ?

???π，3π2，则tan α＝________.

解析 cos(π－α)＝－cos α＝817，即cos α＝－8

17. 又α∈? ?

???π，3π2，∴sin α＜0.

所以sin α＝－1－cos 2α＝－1517. 故tan α＝sin αcos α＝15

8. 答案 158

6．(2012·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π

2，则cos α－sin α的值是________．

解析 1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝34，又∵π4＜α＜π2，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－32. 答案－3

7.1－2sin (π＋4)cos (π＋4)＝________. 解析原式＝cos 24＋sin 24－2cos 4sin 4 ＝(cos 4－sin 4)2＝|cos 4－sin 4|＝cos 4－sin 4. 答案 cos 4－sin 4

二、解答题(每小题15分，共45分) 8．已知cos ? ????π2＋α＝2sin ? ?

??α－π2.

求：

sin (π－α)＋cos (α＋π)

5cos ? ????5π2－α＋3sin ? ??

?7π2－α.

解 ∵cos ? ????π2＋α＝2sin ? ????α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， ∴原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3 cos α＝1

9．已知sin(3π＋θ)＝1

3，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋

cos (θ－2π)

sin ? ????θ－3π2cos (θ－π)－sin ? ??

??3π2＋θ的值．

解因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13. 所以原式

＝－cos θ

cos θ(－cos θ－1)

＋cos (2π－θ)

－sin ? ??

3π2－θcos (π－θ)＋cos θ

＝11＋cos θ＋cos θ

－cos 2 θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ ＝2sin 2θ＝2

? ??

??－132＝18.

10．(2012·苏州模拟)已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－5

5，试求2sin αcos α－cos α＋1

1－tan α

的值．

解因为cos α－sin α＝－55，所以1－2sin α·cos α＝1

5. 所以2sin α·cos α＝45，

所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.

因为0＜α＜π2，所以sin α＋cos α＝3

5 5.

由cos α－sin α＝－55，sin α＋cos α＝355得sin α＝255，cos α＝5

5，∴tan α＝2， ∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝2·255·55－5

5＋1

1－2

＝55－95.

B 级综合创新备选

(时间：30分钟满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．若x ∈? ????0，π2，则2tan x ＋tan ? ????

π2－x 的最小值为________．

解析因为x ∈? ?

??0，π2，所以tan x >0.

所以2tan x ＋tan ? ????π2－x ＝2tan x ＋1tan x ≥22，所以2tan x ＋tan ? ????π2－x 的最小值为2 2. 答案 2 2

2．已知sin x ＋sin y ＝1

3，则sin y －cos 2x 的最大值为________．解析因为sin x ＋sin y ＝13，所以sin y ＝1

3－sin x .

又－1≤sin y ≤1，所以－1≤13－sin x ≤1，得－2

3≤sin x ≤1. 因此，sin y －cos 2x ＝1

3－sin x －(1－sin 2x ) ＝－2

3－sin x ＋sin 2x

＝? ????sin x －122－1112? ??

－23≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－23时，sin y －cos 2x 取最大值49. 答案 49

3．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 解析 sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°

＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 245°＋…＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°) ＝sin 21°＋sin 22°＋…＋? ??

??222＋…＋cos 22°＋cos 21°

＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝44＋12＝89

2. 答案 892

4．(2011·扬州调研)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos ? ?

???α－π6的值是________．

解析依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝1

2或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ? ????α－π6＝cos ? ????

－π3－π6＝cos π2＝0.

答案 0

5．设α∈? ?

???0，π4，sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.

解析将sin α＋cos α＝7

5，①

两端平方得：sin αcos α＝12

25，② 由①②得：?????

sin α＝35，

cos α＝4

5，

或?????

sin α＝4

5，cos α＝3

又因为0＜α＜π

4，所以sin α＜cos α，所以?????

sin α＝35cos α＝4

5，故tan α＝3

答案 34

6．(2011·盐城模拟)已知cos ? ????5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ? ??

π12－α＝

________.

解析 cos ? ????π12－α＝cos ??????π2－? ????5π12＋α＝sin ? ????

5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜

5π12＋α＜－π

12.

所以sin ? ????512π＋α＝－223，所以cos ? ????

π12－α＝－223.

答案－22

二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝cos ? ????

π2－x ＋cos x .

(1)若x ∈[0，π]，求f (x )的值域；

(2)若x ∈? ?

??0，π6，且sin 2x ＝13，求f (x )的值．

解 (1)f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ? ????

x ＋π4.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈??????π4，5π4，

所以－22≤sin ? ??

x ＋π4≤1，所以f (x )的值域为[－1，2]．

(2)因为[f (x )]2＝(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＝4

3，且f (x )＞0，所以f (x )＝233.

8．(★)已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝1

5. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求

cos 2

x －sin 2x

的值．

思路分析 (思路一)：由已知条件与平方关系联立方程组求解；(思路二)：先求sin x －cos x 再与已知条件联立方程组求解．解 (1)法一联立方程，得

???

sin x ＋cos x ＝15， ①sin 2 x ＋cos 2 x ＝1， ②

由①得sin x ＝1

5－将其代入②，整理得 25cos 2x －5cos x －12＝0.

因为－π

2＜x ＜0，所以?????

sin x ＝－3

5，cos x ＝4

5，

所以sin x －cos x ＝－7

5. 法二由sin x ＋cos x ＝1

5，

得(sin x ＋cos x )2

＝? ??

??152

，

即1＋2sin x cos x ＝1

25，所以2sin x cos x ＝－24

25.

因为(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝49

25①

且－π

2＜x ＜0，所以sin x ＜0，cos x ＞0，所以sin x －cos x ＜0.② 由①②可知，sin x －cos x ＝－7

5. (2)由已知条件及(1)可知 ?????

sin x ＋cos x ＝1

5，

sin x －cos x ＝－75，

解得?????

sin x ＝－35，

cos x ＝4

所以tan x ＝－34.

所以1

cos 2x －sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin 2x ＝tan 2x ＋11－tan 2x

＝? ????－342

＋11－? ??

??－342＝257.

【点评】要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要构造方程来解决，在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.

高三三角函数专题复习(题型全面)

三角函数考点1：三角函数的有关概念；考点2：三角恒等变换；（两角和、差公式，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式）考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周期、对称轴对称中心）考点4：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周期、对称轴对称中心、图像的变换）一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，则sin θ= ．练习1．已知角α的终边上一点的坐标为（3 2cos ,32sin π π），则角α的最小正值为（） A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法：例2.设(0,)2πα∈，若3 sin 5α=)4 πα+=（） A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1．若πtan 34α??-= ??? ，则cot α等于（）Ａ．2- Ｂ．12 - Ｃ．12 Ｄ．2 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α=（） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3． cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为。 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324 θππ ≤≤，则cos2θ的值是． 3．化简求值例3.已知α为第二象限角，且sin α，求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值练习：1。已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（） A ．15 - B ．35 - C ．15 D ．35

三角函数解三角形综合

1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．解：（Ⅰ）．依题意：函数．所以．，所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0．．（Ⅱ）∵，∴ ．．在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．（I）求y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，

∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为；（Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理，得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1，此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值．【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2．则f（x）=2sin（2x）﹣1；（2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=．而=ac?cosB=，∴ac=3．

高中数学专题练习-三角函数及解三角形

高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D．【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点:；当时，

图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D．【答案】B 【解析】，，，又，，又，，故选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及解析答案

新数学《三角函数与解三角形》高考知识点一、选择题 1．在ABC ?中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =?的面积为 1，则BD 的长为（） A ．32 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?的面积25cos S C =，且 1,25a b ==，则c =（） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1 sin 25cos 2 S ab C C ==，所以tan 2C =，所以5cos C = ，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B. 3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至 BC ，在旋转的过程中，记([0,])2 ABP x x π ∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（）

A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,4x π?? ∈???? 时，()112y f x tanx ==??; 当,42x ππ?? ∈ ??? 时，()11112y f x tanx ==-??; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。二、典例剖析例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=．（Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．【解析】（Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

三角函数-解三角形的综合应用

学思堂教育个性化教程教案数学科教学设计学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容教学目标重点难点教学过程命题点二解三角形难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．教学效果分析

教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科教学效果分析

高中数学三角函数、解三角形知识点

三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式：平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．

三角函数及解三角形知识点

三角函数知识点 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

高三一轮复习三角函数专题(汇编)

三角函数 2018年6月考纲要求：基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x , y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ?? - ??? 内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x = 1, sin tan .cos x x x = （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 考向一三角恒等变换样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若 1 sin 3 α=，则cos() αβ -=___________. 【答案】 7 9 -

必修四三角函数与解三角形综合测试题(基础含答案)

必修四三角函数与解三角形综合测试题（本试卷满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是（） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（）

三角函数及解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符（2）商数关系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦）（1）平方关系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点

5. 特殊角的三角函数值度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin :

三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形一、选择题： 1．设α是锐角,223)4 tan(,+=+απ 则=αcos （） 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( A ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间??????3,0π上单调递增，在区间??? ???2,3ππ上单调递减，则=ω( ) A ．3 B ．2 4．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于 , π则 ) (x f 的单调递增区间是（） A.Z k k k ∈????? ?+ - ,125,12 πππ π B. Z k k k ∈????? ? ++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈?? ??? ?+-,6,3 ππππ D.［Z k k k ∈?? ??? ? ++,32,6 ππππ 5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若,216=abc 则三角形的面积为

（） 2 2 C. 2 D. 22 6．已知5 4cos -=α且,,2 ? ? ? ??∈ππα则?? ? ? ? +4tan πα等于( C ) A ．－17 B ．－7 C ．1 7 D ．7 7．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则a b 的取值范围是（ D ） A ．（﹣2，2） B ．（0，2） C ．（，2） D ．（，） 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π 3 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D ) A ．y ＝4sin ? ????4x ＋π6 B ．y ＝2sin ? ????2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π6＋2 9．函数)3 2sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12 (π - 成中心对称（） A.向左平移 12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12 π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6 π -=x 对称，那么=a （）

高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：4.1三角函数的概念(第2课时)

高考文科数学总复习（第1轮）广西专版课件：4.1三角函数的概念（第2课时） * 第四章函数* 4.1 三角函数的概念第二课时题型4 三角函数的定义 1. 已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求α的四个三角函数值. 解：因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，所以r= |a|,x=a,y=2a. * 当a>0时，当a<0时，点评：三角函数的定义中，终边上的点的坐标值可正、可负、也可以为零，但距离恒为正.如果坐标或距离是含参数的式子，注意对参数的正负进行讨论. * 若P从(1，0)出发，沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( ) 解：依题意可知，点Q在角的终边上，且圆的半径为r=1.设Q(x，y)，由三角函数的定义可知即故选A. * 2. 解答下列问题： (1)若θ在第四象限,试判断sin(cosθ)·cos (sinθ)的符号； (2)若tan(cosθ)·cot(sinθ)＞0，试指出θ所在的象限. 解：(1)因为θ在第四象限，所以所以sin(cosθ)＞0，cos(sinθ)＞0，所以sin(cosθ)·cos(sinθ)＞0. 题型5 三角函数的符号* (2)由题意，得或所以或即θ在第一或第三象限. 点评：三角函数在各象限的符号，按口诀熟记：“一全正，二正弦，

三切函，四余弦”，即第一象限全是正，第二象限正弦函数为正，第三象限正切、余切函数为正，第四象限余弦函数为正. * 函数的值域是( ) A. {-2，4} B. {-2，0，4} C. {-2，0，2，4} D. {-4，-2，0，2，4} 解：当x在第一象限时，各种三角函数值均为正值，则当x在第二象限时，只有sinx＞0，其他函数值为负值，则同理，当x分别在第三、四象限时，函数值分别为0和-2.故选 B. 拓展练习* 3. 若试比较β -sinβ与α-sinα的大小. 解：如图所示,则sinα =MP，sinβ=NQ，AP=α，AQ=β，所以PQ=β-α. 过P作PR⊥QN于R，则MP=NR，所以RQ=sinβ-sinα＜PQ＜PQ=β-α，所以β-sinβ＞α-sinα. 题型 6 三角函数的应用( ( ( ( * 点评：三角函数线可用来解决有关三角函数大小比较、三角函数值变化等问题，是三角函数中数形结合的一种工具，应用时注意找到对应三角函数线的有向线段. * 若θ∈(0，)，则( ) A. sinθ＜θ＜tanθ B. cosθ＜θ＜tanθ C. θ＜sinθ＜tanθ D. θ＜tanθ＜cosθ 解：如图，在单位圆中，因为S△OPA＜S扇形OPA＜S△OTA，所以|OA||MP|＜|OA|2θ ＜|OA|·|AT|，即|MP|<θ<|AT|,所以sinθ<θ

高考真题：三角函数及解三角形综合

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ．（2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?．因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值．【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ，

因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--，因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值．【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-，所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-，由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±．由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．（Ⅰ）求2( )3 f π 的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-，

三角函数与解三角形专题复习

专题一三角函数与解三角形一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式角错误!未找到引用源。的弧度数公式 r 角度与弧度的换算错误!未找到引用源。 ①rad 180 1 ② 错误!未找到引用源。弧长公式扇形面积公式 2 第一定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则错误!未找到引用源。第二定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边上的任意一点P(x,y)，则错误!未找到引用源。. 考点1 三角函数定义的应用例1 .已知角的终边在直线043 y x 上，则 tan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角的终边过点)30sin 6,8( m P ，且5 4 cos ，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．（3）4tan 3cos 2sin 的值（） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在考点2 扇形弧长、面积公式的应用例2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为 120，则扇形的弧长为面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角的大小为，所在的扇形弧长为，弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2 cos sin tan

例1.已知是三角形的角，且.5 cos sin (1)求 tan 的值； (2)把 2 2sin cos 1 用 tan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知是三角函数的角，且3 1 tan ，求 cos sin 的值. 2、已知.3 4tan （1）求 cos 2sin 5cos 4sin 的值；（2）求 cos sin 2sin 2 的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.

高考数学总复习三角函数

高三数学二轮专题复习教案――三角函数一、本章知识结构：二、重点知识回顾 1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； ⑴角度制与弧度制的互化：π弧度ο 180=， 1801π = ο弧度，1弧度 ο )180 ( π ='1857ο≈ ⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式： Rl R S 21212==θ。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则： ,cos ,sin r x r y == ααx y =αtan （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值 α 6π 4π 3π 2π π 23π 2π sin α 0 21 22 23 1 -1 cos α 1 23 22 21 0 -1 0 1

tan α 0 33 1 3 不存在 0 不存在 0 （3）同角三角函数的基本关系： x x x x x tan cos sin ; 1cos sin 22==+ （4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）: sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan α sin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan α sin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈ sin(2 π α -)＝cos α,cos(2 π α -)＝sin α sin(2 π α +)＝cos α,cos(2 π α +)＝-sin α 3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式 ①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=± ②;sin sin cos cos )cos( βαβαβαμ=±③βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±= ± （2）二倍角公式二倍角公式：①αααcos sin 22sin =； ②ααααα2 222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③ ααα2tan 1tan 22tan -= （3）经常使用的公式 ①升（降）幂公式： 21cos 2sin 2αα-= 、21cos 2cos 2αα+=、1 sin cos sin 22ααα =； ②辅助角公式：sin cos )a b ααα?+=+（?由,a b 具体的值确定）； ③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-?. 4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况； ⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ω?=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上

三角函数与解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋＋－＋－＋－－－＋＋－ sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(

考点13 三角函数定义——2021年高考数学专题复习真题练习

考点13 三角函数定义【题组一终边相同的角】 1．终边在直线y x =上的角α的取值集合是（） A ．2,4k k Z πααπ? ?=+∈???? B ．2,4k k Z πααπ??=-∈???? C ．,4k k Z πααπ? ?=-∈???? D ．,4k k Z πααπ? ?=+∈???? 2．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（） A ．{}|45120αα??- B ．{}|120315αα?? C ．{} |45360120360,a k a k k Z ????-+?+?∈D ．{}|120360315360,k k k Z αα????+?+?∈ 3．下列选项中叙述正确的是（） A ．钝角一定是第二象限的角 B ．第一象限的角一定是锐角 C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D ．终边相同的角一定相等 4．设集合M ＝{x|x ＝ 2k ×180°＋45°，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝4k ×180°＋45°，k ∈Z}，那么( ) A ．M ＝N B ．N ?M C ．M ?N D ．M∩N ＝? 5．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈______.（用弧度制描述）

6．给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同； ⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是______．（填序号）【题组二三角函数的定义】 1．已知角α的终边过点()3,8P m -，且4sin 5 α=- ，则m 的值为。 2．已知3log ,0()4,0x x x f x x >?=?≤?，若角α的终边经过点(1,P ，则()()cos f f α的值为。 3．角α终边上有一点(1,2)-,则下列各点中在角3α的终边上的点是。 4．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点 1tan ,1tan 1212P ππ??+- ?? ?是α终边上一点，则α的值是________. 5．已知55sin ,cos 66P ππ?? ???是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 6．在平面直角坐标系中，角α的终边过点(3,4)A ，则tan α=___；将射线OA （O 为坐标原点）按逆时针方向旋转 2π后得到角β的终边，则sin β=___. 【题组三三角函数值的正负】 1．设角α是第二象限角,且αcos 2=-cos α2,则角α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角

2013高考总复习江苏专用理科：第四篇 三角函数、解三角形《第18讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式》