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第1讲数与式中考第一轮复习教案(含答案)

数学辅导教案

学生姓名科目数学年级时间教师姓名甘磊课题数与式中考第一轮复习教案

授课内容

教学目标理解实数和代数式相关概念

教学重点实数的分类，整式的运算和二次根式的化简

教学难点二次根式的化简求值

知识点梳理

【实数】

1.实数的有关概念及分类：

①实数的分类

②数轴:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴,实数与数轴上的点一一对应；

③相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数；

④倒数:如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数；

⑤绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值；去绝对值：

≥

(

绝对值的几何意义：在数轴上，

表示a对应的点到b对应的点的距离。

⑥a

2，

非负数：

2.科学计数法和近似数：①科学计数法：10

10<

≤

a n;②近似数：与实际接近的数称为近似数。

精确度：一个近似数的精确度可用四舍五入法表述，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

3.实数的大小比较：数轴法，绝对值法。

实数的运算：实数的运算顺序，运算律。

【整式】

1、代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。单独一个数或者一个字母也称代数式。

①列代数式；②求代数式的值。

2、整式：单项式和多项式统称为整式

①单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

②多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。

③同类项:多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有的常数项也看做同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项的法则是：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3、整式的运算：

①多项式与多项式乘法法则：

②幂的运算：n m ·+=a a a n m ，mn )(a a n m =，n

n b a ab n )(=（m ，n 都是正整数）；n m -=÷a a a n m （0≠a ，m ，n 都是

正整数，且m>n ）；零指数幂：10=a （0≠a ）；负整数指数幂：p

-（0≠a ）

③乘法公式：22))((b a b a b a -=-+；2222)(b ab a b a ++=+；2222)(b ab a b a +-=-。

【因式分解】

因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。

因式分解的常用方法：①提取公因式法；②公式法：平方差公式，完全平方公式；③分组分解法；

④十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式

()()()ab x b a x b x a x +++=++2的逆运算来进行因式分解。

注意：整式的化简结果仍是整式，因式分解结果是几个整式相乘。

【分式】

(1)分式：表示两个整式相除，且除式中含有字母，这样的代数式叫做分式。()0≠B B

(2)分式的基本性质：

B M

A B A M B M A B A ÷÷=

??=,（其中M 是不等于零的整式）①约分;②通分。 (3)分式的运算：①分式的加减法：.c b a c b c a ±=±②分式的乘除法：;bd ac d c b a =? .bc

ad c d b a d c b a =?=÷ ③分式的乘方：n

n n a

b a

)(④分式的混合运算

(4)分式的化简与求值：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。

【二次根式】

(1)二次根式的概念：表示算术平方根的代数式a （a>0）叫做二次根式。

(2)二次根式的性质：0≥a ,

()

a a =2

, b a ab ?=,

();0,0>≥=b a b

a b

()()

;002???<-≥==a a a a a a (3)最简二次根式：根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的根式我们就说它是最简二次根式。（分母有理化） (4)二次根式的运算：①加减法；②乘除法：();0,0≥≥=?b a ab b a

().0,0>≥=

b a b

a (5)平方根、算术平方根、立方根:①平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根。②算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。③立方根：一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也叫做a 的三次方根。

教案

一、基础知识重温】

【实数】

1．有理数的意义

⑴ 数轴的三要素为原点、正方向和单位长度. 数轴上的点与实数构成一一对应. ⑵ 实数a 的相反数为—a . 若a ，b 互为相反数，则b a +=0.

⑶ 非零实数a 的倒数为

1. 若a ，b 互为倒数，则ab =1.

⑷ 绝对值??

??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a ．

⑸ 科学记数法：把一个数表示成a×10n 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数.

2.数的开方

⑴ 任何正数a 都有两个平方根,它们互为相反数.其中正的平方根a 叫

a 的算术平方根.负数没有平方根，0的算术平方

根为0.

⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为

a .

⑶

=2a ??

?<-≥=)

0( )

0( a a a a a . 3. 实数的分类有理数和无理数统称实数. 4.数的乘方

=n a

n a a a a 个??，其中a 叫做底数，n 叫做指数.

=0a 1（其中a ≠0 且a 是实数）=

-p a p

a 1

（其中a ≠0）

5. 实数运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.

6. 实数大小的比较

⑴ 数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

⑵ 正数>0，负数<0，正数>负数；两个负数比较大小，绝对值大的< 绝对值小的．【整式】

1.代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.

2.代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.

3. 整式

（1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

(2) 多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项. (3) 整式：单项式与多项式统称整式.

4. 同类项：在一个多项式中，所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是把同类

项中的系数相加减，字母部分不变.

5. 幂的运算性质: a m

·a n

=a m+n

； (a m )n

=a mn

； a m

÷a n

＝a m-n

； (ab)n

=a n b n

. 6. 乘法公式：

(1) =++)

)((d c b a ac+ad+bc+bd ；（2）（a ＋b ）(a －b)＝a 2

-b 2

；

(3) (a ＋b)2

＝a 2

+2ab+b 2

；(4)(a －b)2

＝a 2

-2ab+b 2

. 7. 整式的除法

⑴ 单项式除以单项式的法则：把系数、相同字母分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它

的指数一起作为商的一个因式．

⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

【因式分解】

1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．[来

2. 因式分解的方法：⑴提公因式法，⑵ 公式法，（3）十字相乘法.

3. 提公因式法：=++mc mb ma m(a+b+c).

4. 公式法: ⑴ =-22

b a

(a+b)(a-b) ⑵ =++222b ab a (a+b)2

，⑶=+-222b ab a (a-b)2

5. 十字相乘法：()=+++pq x q p x

(x+p)(x+q)．

6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．

【分式】

1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称 A B 为分式．若B ≠0，则 A

有意义；

若B=0，则 A B 无意义；若A=0且B ≠0，则 A

＝0.

2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为

)0()0(≠÷÷=≠??=C C

B C A B A C C B C A B A . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分. 5．分式的运算

⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减 .

② 异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减 .

⑵ 乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别

乘方.

⑶ 除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.

【二次根式】

1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子

)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是非负数．（要使二次根式

a 有意义，则a ≥0.）

⑵ 最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质

（1）

a ≥ 0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（3）??

?<-≥==)

0()

0(2a a a a a a ；

（4）

)0,0(≥≥?=b a b a ab ；（5）

)0,0(≥≥=b a b

b a

二、例题分析

1.一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径20厘米卖价10元，乙种煎饼直径30厘米卖价15元，请问：买哪种煎饼划算？（）

A ．甲

B ．乙

C ．一样

D ．无法确定【答案】B ．

2.(2015·湖北荆门)下列计算正确的是（） A ．2

35a

a a += B ．236a a a ?= C ．235()a a = D ．523a a a ÷=

【答案】D ．

3.下列运算正确的是（）

()3

39x x = B.()3

32x 6x -=- C.22x x x -= D.632x x x ÷=

【答案】A.

4.（2015·贵州遵义）如果单项式1+-b xy 与322

y x a -是同类项，那么2015)(b a -= ．

【答案】1． 5.若2

m 5x

y -与n x y 是同类项，则m n +的值为（）

A ．1 B.2 C ．3 D.4 【答案】C ．

6.（2015·湖南常德）计算：(25)(32)b a b a a b ++-＝【答案】52

b +32

a . 7.若

23xy 3x y ?=，则

内应该填的单项式是（） [来源:https://www.wendangku.net/doc/b317838797.html,]

A. xy

B. 3xy

C. x

D. 3x 【答案】C.

8. （2015·湖南长沙）先化简，再求值：(x+y)(x －y)－x(x+y)+2xy ，其中x=()

3p -，y=2.

【答案】xy －

2y ；－2.

9.化简下式，再求值：（﹣x 2

+3﹣7x ）+（5x ﹣7+2x 2

），其中x=2+1．

【答案】﹣3．

10.（2015·贵州铜仁）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b ）6

= ．【答案】a 6

+6a 5

b+15a 4b 2

+20a 3b 3

+15a 2b 4

+6ab 5

+b 6

．

11.观察以下等式：32

﹣12

=8，52

﹣12

=24，72

﹣12

=48，92

﹣12

=80，…由以上规律可以得出第n 个等式为．【答案】（2n+1）2

﹣（2n ﹣1）2

=8n 12.下列计算正确的是（） A ．2x 2

－4x 2

=－2 B ．3x ＋x=3x

C ．3x ·x=3x

D ．4x 6÷2x 2=2x 3

【答案】C 13.计算

()2x 3-的结果是（）

A. 2

x 6 B.2

x 6- C.2

x 9 D.2

x 9- 【答案】C

14.下列说法中，正确的是（）

A ．－

234x 的系数是3

B ．

232a p 的系数是32 C ．3a 2

b 的系数是3a D ．25x 2y 的系数是25

【答案】D 15.若52=n

，162=n b ，则()n ab = ．

【答案】45±．

16.一列单项式：﹣x 2

，3x 3

，﹣5x 4

，7x 5

，…，按此规律排列，则第7个单项式为．【答案】﹣13x 8

．

17.先化简，再求值：2

(3)(3)2(4)x x x +-++，其中2x =．

【答案】2

31x

-，5．

*18.(2016嘉兴市第1题)3

8的算术平方根是（）

A.2

B.±2

C.2

D.2±

【答案】C

*19.(2016金华市第8题)如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+q=0，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（）

A ．p

B ．q

C ．m

D ．n

【答案】A

*20. （2014年浙江台州4分）下列整数中，30与最接近的是( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7 【答案】B ．

*21. （2014年浙江杭州4分） 2012年末统计，杭州市常住人口是880.2万人，用科学记数法表示为 ▲ . 【答案】8.802×106

*22.(2016义乌市第6题)二次根式x -2有意义，则x 的取值范围是( )

A ．2>x

B ．2

C ．2≥x

D ．2≤x

【答案】D

23.(2015·义乌市第6题 4分)化简x

x x -+-11

12的结果是( ) A. 1+x B.

11+x C. 1-x D. 1

-x x 【答案】A [来源:学_科_网Z_X_X_K] *24. （2014年浙江杭州3分）若2

(

)w 1a 42a

+?=--，则w=（） A.a 2(a 2)+≠- B. a 2(a 2)-+≠ C. a 2(a 2)-≠ D. a 2(a 2)--≠-

【答案】D.

*25. （2014年浙江金华3分）在式子

11,,x 2,x 3x 2x 3

---- 中，x 可以取2和3的是（） A ．

1x 2- B ．1

x 3

- C ．x 2- D ．x 3- 【答案】C ．

【考点】二次根式和分式有意义的条件. *26.(2016温州市第13题)要使代数式有意义，则x 的取值范围是．

【答案】x ≥﹣1且x ≠0

*27.(2016嘉兴市第17题)将m 3

（x ﹣2）+m （2﹣x ）分解因式的结果是．【答案】m （x ﹣2）（m ﹣1）（m+1） *8.(2016衢州市第17题)若,0522

=-+b ab a 则b

a b

的值为。【答案】5

*28.(2015·舟山市第15题 4分)如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为

格点多边形，它的面积S 可用公式12

=b a S

（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”。现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S=40. （1）这个格点多边形边界上的格点数b = （用含a 的代数式表示）；（2）设该格点多边形外的格点数为c ，则a c -= [

【答案】82－2a ；118 【解析】

试题分析：将S=40代入“皮克定理”可得：40=a+

b －1，

b=41－a ，则b=82－2a ；

根据题意可得：c=200－a －b=200－a －(82－2a)=118+a ，则c －a=118+a －a=118. 考点：代数式的应用. 29.分解因式：2

21x x -++= ．

【答案】（x-1）2

30.（2015·湖北鄂州）分解因式：a 3b －4ab = ．【答案】ab （a+2）（a-2）．

31.分解因式：2

3a 6a 3++= . 【答案】()

a 1+.

32.分解因式：2

2am am a -+ . 【答案】()2

1a m -． 33.把多项式3

29a

ab -分解因式的结果是

【答案】a(3a+b)(3a －b)

34.分解因式：2

a c

c -+= ．【答案】()()c a b a b -+-. 35.分解因式：=--22

(b b a ．

【答案】

)3)(b a b a -+（

36、已知

31=y x ，则y y

x -的值为．【答案】2

-．

37、计算：22

x x y x y x

-= ．【答案】x y +．

38、【题源】2015·辽宁朝阳卷先化简，再求值：231(1)24

a a a ++

÷--，其中3a =-．【答案】2a +，﹣1． 39.下列计算错误的是（） A.

+= C.

=2 D.

【答案】B.[来源:学科网ZXXK] 40.化简：(

)

82-= 。

【答案】2. 41.若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（）

A ．x ≥－2

B ．x ＞－2

C ．x ≥2

D ．x ≤2

【答案】C

42、计算2(12)18-+的值是．

【答案】4

21-．

43.估计

8182

+的运算结果应在哪两个连续自然数之间（）

A ．5和6

B ．6和7

C ．7和8

D ．8和9 【答案】B ．

44.（2015·辽宁锦州）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A ．

24 B ．36 C ．

a b

D ．

4a +

【答案】D ． 45.要使二次根式

在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）

A ．x=35

B ． x ≠

C ．x ≥

D ．x ≤

【答案】C.

46.若x 、y 满足

()2

2x 12y 10-+-=，则x y +的值等于( )

A.1

B.32

C.2

D.52

【答案】B.

*47.（2016河北第7题）关于12的叙述，错误．．的是（） A ．12是有理数 B ．面积为12的正方形边长是12 C ．12=23

D ．在数轴上可以找到表示12的点

【答案】A.

*48.（2016山东威海第8题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）

A ．a ﹣b

B ．b ﹣a

C ．a+b

D ．﹣a ﹣b 【答案】C ．

*49.（2016湖南永州第1题）﹣

2016

的相反数的倒数是（） A ．1 B ．﹣1 C ．2016 D ．﹣2016 【答案】C ．

*50．（2015?通辽,第9题3分）已知边长为m 的正方形面积为12，则下列关于m 的说法中，错误的是（） ①m 是无理数；

②m 是方程m 2

﹣12=0的解；

③m满足不等式组；

④m是12的算术平方根．

A．①② B．①③ C．③ D．①②④【答案】C．

教

学

反

思

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