绥德县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

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班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 已知i z 311-=,i z +=32,其中i 是虚数单位,则2

1

z z 的虚部为( ) A .1- B .

54 C .i - D .i 5

4 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念,复数除法的运算法则,主要突出对知识的基础性考查,属于容易题.

2. 若函数y=f (x )是y=3x 的反函数,则f (3)的值是( ) A .0

B .1

C .

D .3

3.

平面向量

与的夹角为60°

,=(2,0),

||=1,则

|

+2|=( )

A

B

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C .4

D .12

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4. 已知{}n a 是等比数列,251

24

a a ==,,则公比q =( ) A .12-

B .-2

C .2

D .12

5. 设i

是虚数单位,是复数z 的共轭复数,若

z

=2

(+i ),则z=( )

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A .﹣1﹣i

B .1+i

C .﹣1+i

D .1﹣i

6. 若复数z 满足iz=2+4i ,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )

A .(2,4)

B .(2,﹣4)

C .(4,﹣2)

D .(4,2)

7. 设1m >,在约束条件,,1.y x y mx x y ≥??

≤??+≤?

下,目标函数z x my =+的最大值小于2,则m 的取值范围为( )

A

.(1,1+ B

.(1)+∞ C. (1,3) D .(3,)+∞

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8. 如果是定义在上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( ) A .

B .

C .

D .

9. 某大学数学系共有本科生1000人,其中一、二、三、四年级的人数比为4:3:2:1,要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本,则应抽取三年级的学生人数为( ) A .80 B .40

C .60

D .20

10.已知函数f(x)=3cos(2x﹣),则下列结论正确的是()

A.导函数为

B.函数f(x)的图象关于直线对称

C.函数f(x)在区间(﹣,)上是增函数

D.函数f(x)的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到

11.函数f(x)=xsinx的图象大致是()

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A.B.

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C.D.

12.已知点F是抛物线y2=4x的焦点,点P在该抛物线上,且点P的横坐标是2,则|PF|=()

A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题

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13.已知sinα+cosα=,且<α<,则sinα﹣cosα的值为.

14.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:

①f(x)=a x g(x)(a>0,a≠1);

②g(x)≠0;

③f(x)g'(x)>f'(x)g(x);

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若,则a=.

15.下列说法中,正确的是.(填序号)

①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则k=1;

②在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称;

③y=()﹣x是增函数;

④定义在R上的奇函数f(x)有f(x)?f(﹣x)≤0.

16.已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论:

①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z,使得(a,b)?(2k,2k+1)”;其中所有正确结论的序号是.

17.直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积,若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0),则直线l的方程为.

18.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.

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三、解答题

19.已知函数y=f(x)的图象与g(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,且g(x)的图象过(4,2)点.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)若f(x﹣1)>f(5﹣x),求x的取值范围.

20.设函数f(x)=x3﹣6x+5,x∈R

(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围.

21.已知复数z=m (m ﹣1)+(m 2+2m ﹣3)i (m ∈R ) (1)若z 是实数,求m 的值; (2)若z 是纯虚数,求m 的值;

(3)若在复平面C 内,z 所对应的点在第四象限,求m 的取值范围.

22.【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数()()

2x f x x ax a e =++,其中a R ∈,e 是自然对数的底数.

(1)当1a =时,求曲线()y f x =在0x =处的切线方程; (2)求函数()f x 的单调减区间;

(3)若()4f x ≤在[]

4,0-恒成立,求a 的取值范围.

23.2008年奥运会在中国举行,某商场预计2008年从1日起前x 个月,顾客对某种奥运商品的需求总量p (x )

件与月份x 的近似关系是

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且x ≤12),该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )=150+2x ,(x ∈N*且x ≤12). (1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式;

(2)该商品每件的售价为185元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元?

24.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),[90,100)后得到如图的频率分布直方图.(Ⅰ)求图中实数a的值;

(Ⅱ)根据频率分布直方图,试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数;

(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

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绥德县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题

1. 【答案】B

【解析】由复数的除法运算法则得,i i i i i i i i z z 54

531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=,所以2

1z z 的虚部为54.

2. 【答案】B

【解析】解:∵指数函数的反函数是对数函数, ∴函数y=3x 的反函数为y=f (x )=log 3x , 所以f (9)=log 33=1. 故选:B .

【点评】本题给出f (x )是函数y=3x (x ∈R )的反函数,求f (3)的值,着重考查了反函数的定义及其性质,属于基础题.

3. 【答案】B

【解析】解:由已知|a|=2,

|a+2b|2=a 2+4ab+4b 2=4+4×2×1×cos60°+4=12,

∴|a+2b|=.

故选:B .

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【点评】本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模之间的关系,根据和的模两边平方,注意要求的结果非负,舍去不合题意的即可.两个向量的数量积是一个数量,它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积,结果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余弦值确定.

4. 【答案】D 【解析】

试题分析:∵在等比数列}{a n 中,4

1,2a 52==a ,21,81q 253

=∴==∴q a a .

考点:等比数列的性质. 5. 【答案】B

【解析】解:设z=a+bi (a ,b ∈R ),则=a ﹣bi ,

由z

=2(+i ),得(a+bi )(a ﹣bi )=2[a+(b ﹣1)i],

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整理得a 2+b 2

=2a+2(b ﹣1)i .

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则,解得.

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所以z=1+i.

故选B.

【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题.

6.【答案】C

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【解析】解:复数z满足iz=2+4i,则有z===4﹣2i,

故在复平面内,z对应的点的坐标是(4,﹣2),

故选C.

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题.

7.【答案】A

【解析】

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考点:线性规划.

【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目,采用线性规划的知识进行求解;关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为

z

m

,作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值,??

?==+00001mx y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m

的范围.

8.【答案】B

【解析】【知识点】函数的奇偶性

【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数,y=x是奇函数,故是偶函数。

故答案为:B

9.【答案】B

【解析】解:∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本,

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∴三年级要抽取的学生是×200=40,

故选:B.

【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例,本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率,得到结果.

10.【答案】B

【解析】解:对于A,函数f′(x)=﹣3sin(2x﹣)?2=﹣6sin(2x﹣),A错误;

对于B,当x=时,f()=3cos(2×﹣)=﹣3取得最小值,

所以函数f(x)的图象关于直线对称,B正确;

对于C,当x∈(﹣,)时,2x﹣∈(﹣,),

函数f(x)=3cos(2x﹣)不是单调函数,C错误;

对于D,函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度,

得到函数y=3co s2(x﹣)=3co s(2x﹣)的图象,

这不是函数f(x)的图象,D错误.

故选:B.

【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.

11.【答案】A

【解析】解:函数f(x)=xsinx满足f(﹣x)=﹣xsin(﹣x)=xsinx=f(x),函数的偶函数,排除B、C,因为x∈(π,2π)时,sinx<0,此时f(x)<0,所以排除D,

故选:A.

【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数值的应用,考查分析问题解决问题的能力.

12.【答案】B

【解析】解:抛物线y2=4x的准线方程为:x=﹣1,

∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离,P的横坐标是2,

∴|PF|=2+1=3.

故选:B.

【点评】本题考查抛物线的性质,利用抛物线定义是解题的关键,属于基础题.

二、填空题

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13.【答案】.

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【解析】解:∵sinα+cosα=,<α<,

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∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=,

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∴2sinαcosα=﹣1=,

且sinα>cosα,

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∴sinα﹣cosα=

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==.

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故答案为:.

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14.【答案】.

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【解析】解:由得,

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所以.

又由f(x)g'(x)>f'(x)g(x),即f(x)g'(x)﹣f'(x)g(x)>0,也就是

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,说明函数是减函数,

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即,故.

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故答案为

【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性,做题时应认真观察.

15.【答案】②④

【解析】解:①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则k=1或k=0,故错误;

②在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称,故正确;

③y=()﹣x是减函数,故错误;

④定义在R上的奇函数f(x)有f(x)?f(﹣x)≤0,故正确.

故答案为:②④

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了集合,指数函数的,奇函数的图象和性质,难度中档.16.【答案】①②④.

【解析】解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.

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∴f(2)=0.f(1)=f(2)=0.

∵f(2x)=2f(x),

∴f(2k x)=2k f(x).

①f(2m)=f(2?2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f(2)=0,故正确;

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②设x∈(2,4]时,则x∈(1,2],∴f(x)=2f()=4﹣x≥0.

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若x∈(4,8]时,则x∈(2,4],∴f(x)=2f()=8﹣x≥0.

一般地当x∈(2m,2m+1),

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则∈(1,2],f(x)=2m+1﹣x≥0,

从而f(x)∈[0,+∞),故正确;

③由②知当x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0,

∴f(2n+1)=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1,假设存在n使f(2n+1)=9,

即2n﹣1=9,∴2n=10,

∵n∈Z,

∴2n=10不成立,故错误;

④由②知当x∈(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x单调递减,为减函数,

∴若(a,b)?(2k,2k+1)”,则“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”,故正确.

故答案为:①②④.

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17.【答案】.

【解析】解:∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积,则直线过BD的中点(3,2),

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故斜率为=,

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∴由斜截式可得直线l的方程为,

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故答案为.

【点评】本题考查直线的斜率公式,直线方程的斜截式.

18.【答案】150

【解析】解:在RT△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100m.

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在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,

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由正弦定理得,,因此AM=100m.

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在RT△MNA中,AM=100m,∠MAN=60°,由

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得MN=100×=150m.

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故答案为:150.

三、解答题

19.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)∵g(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图象过点(4,2),

∴log a4=2,a=2,则g(x)=log2x.…

∵函数y=f(x)的图象与g(X)的图象关于x轴对称,

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∴.…

(Ⅱ)∵f(x﹣1)>f(5﹣x),

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∴,

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即,解得1<x<3,

所以x的取值范围为(1,3)…

【点评】本题考查对数函数的性质的应用,注意真数大于零,属于基础题.

20.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)

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∴当

∴f (x )的单调递增区间是,单调递减区间是

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当;当

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(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知y=f (x )图象的大致形状及走向, ∴当

的图象有3个不同交点,

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即方程f (x )=α有三解.

21.【答案】

【解析】解:(1)z 为实数?m 2

+2m ﹣3=0,解得:m=﹣3或m=1;

(2)z 为纯虚数?

,解得:m=0;

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(3)z 所对应的点在第四象限?

,解得:﹣3<m <0.

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22.【答案】(1)210x y -+=(2)当2a =时,()f x 无单调减区间;当2a <时,()f x 的单调减区间

是()2,a --;当2a >时,()f x 的单调减区间是(),2a --.(3)2

44,4e ??-??

【解析】试题分析:(1)先对函数解析式进行求导,再借助导数的几何意义求出切线的斜率,运用点斜式求出切线方程;(2)先对函数的解析式进行求导,然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求;(3)先不等式()4f x ≤进行等价转化,然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极

值与最值,进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

(2) 因为()()()()2'222x x f x x a x a e x a x e ??=+++=++??,

当2a =时,()()2

'20x f x x e =+≥,所以()f x 无单调减区间.

当2a ->-即2a <时,列表如下:

所以()f x 的单调减区间是()2,a --.

当2a -<-即2a >时,()()()'2x

f x x x a e =++,列表如下:

所以()f x 的单调减区间是(),2a --.

综上,当2a =时,()f x 无单调减区间;

当2a <时,()f x 的单调减区间是()2,a --; 当2a >时,()f x 的单调减区间是(),2a --.

(3)()()()()2'222x x

f x x a x a e x a x e ??=+++=++??.

当2a =时,由(2)可得,()f x 为R 上单调增函数,

所以()f x 在区间[]

4,0-上的最大值()024f =≤,符合题意. 当2a <时,由(2)可得,要使()4f x ≤在区间[]

4,0-上恒成立,

只需()04f a =≤,()()2

244f a e --=-≤,解得2442e a -≤<.

当24a <≤时,可得()4a

a

f a e -=

≤,()04f a =≤. 设()a a g a e =,则()1'a a

g a e

-=,列表如下:

所以()()max

114g a g e ??==

,可得4a a

e

≤恒成立,所以24a <≤. 当4a >时,可得()04f a =≤,无解.

综上,a 的取值范围是244,4e ??-??.

23.【答案】

【解析】解:(1)当x=1时,f(1)=p(1)=37.

当2≤x≤12时,

绥德县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

且x≤12)

验证x=1符合f(x)=﹣3x2+40x,∴f(x)=﹣3x2+40x(x∈N*且x≤12).该商场预计销售该商品的月利润为g(x)=(﹣3x2+40x)(185﹣150﹣2x)=6x3﹣185x2+1400x,(x∈N*且x≤12),

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令h(x)=6x3﹣185x2+1400x(1≤x≤12),h'(x)=18x2﹣370x+1400,令h'(x)=0,解得(舍去).>0;当5<x≤12时,h'(x)<0.

∴当x=5时,h(x)取最大值h(5)=3125.max=g(5)=3125(元).

综上,5月份的月利润最大是3125元.

【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识.新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中,如何建模是解决这类问题的关键.同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题.

24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由频率分布直方图,得:

10×(0.005+0.01+0.025+a+0.01)=1,

解得a=0.03.

(Ⅱ)由频率分布直方图得到平均分:

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=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74(分).

(Ⅲ)由频率分布直方图,得数学成绩在[40,50)内的学生人数为40×0.05=2,这两人分别记为A,B,

数学成绩在[90,100)内的学生人数为40×0.1=4,这4人分别记为C,D,E,F,

若从数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取2名学生,

则所有的基本事件有:

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),

(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个,

如果这两名学生的数学成绩都在[40,50)或都在[90,100)内,

则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10,

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,

则事件M包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共7个,

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所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=.

【点评】本题考查频率和概率的求法,二查平均分的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意频率分布直方图和列举法的合理运用.

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