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金融数学引论北大版第4章答案

第四章习题答案

1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第

2 年底的未结贷款余额。

解：设每个季度还款额是R ，有

Ra(4)

5p6%

￢= 1000

解得R ，代入B2 的表达式

B2 = Ra(4)

3p6%

￢

= 635.32 元

2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。

解：

n =

10000

2000

= 5

B5 = 10000 ×(1 + i)n ?2000s n p12% ￢

= 4917.72 元

3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。

解：以季度为时间单位，i = 2.5% 。

B0 = B1 ?v + 1500a4p i ￢

= 16514.4 元

4 某贷款将在1

5 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。

解：对现金流重新划分，有

B7 = 2000a￢8p + 1000a￢3p

北京大学数学科学学院金融数学系第1 页

5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。

解：设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有

5000 = Ra3p4% ￢

L = Ra7p4% ￢

整理得：

L = 5000 ?a￢7p

a￢3p

= 10814.16 元

6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ，计算第4 次还款后的未结贷款余额。

解：设第4 次还款后的未结贷款余额为L ，每次还款为R ，有

20000 = R ?a12p i ￢

L = R ?a8p i ￢

把(1 + i)4 = 2 代入整理得：

L = 5000 ? 1 ?(1 + i)?8

1 ?(1 + i)?12

= 17142.86 元

7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20

年内还清。计算调整后的每次还款额。

解：设正常每次还款为R ，调整后每次还款X ，以当前时间和第5 年底为比较日，有

20000 = Ra2￢0p

Xa1￢3p ?v2 = Ra1￢5p

整理得：

X = 20000 ?a15p ￢

a2￢0p

?(1 + i)2

a1￢3p

8 某贷款L 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的还款中每次多付K 元，结果提前5 年还清贷款。试证明：

K =

a2￢0p ?a1￢5p

a2￢5p a￢5p L

证：以第20 年年底为比较日，设每次还款为R ，有

L = Ra2￢5p

Ks￢5p (1 + i)10 = Ra￢5p

整理即得。

9 设B t 表示未结贷款余额，证明：

(1) (B t ?B t+1)(B t+2 ?B t+3) = (B t+1 ?B t+2)2;

(2) B t + B t+3 < B t+1 + B t+2

证：(1)

(B t ?B t+1)(B t+2 ?B t+3) = (

R + B t+1

1 + i

?B t+1) ?(B t+2 ?((1 + i)B t+2 ?R))

R ?iB t+1

1 + i

?(R ?iB t+2)

= (R ?iB t+1) ?R ?i((1 + i)B t+1 ?R)

1 + i

= (R ?iB t+1)2

= (B t+1 ?B t+2)2

(2)

B t ?B t+1 = R ?iB t

< R ?iB t+2

= B t+2 ?B t+3

) B t + B t+3 < B t+1 + B t+2

默认每次还款额是相同的！

10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算第6 次还款中的本金量。

解：

P6 = B5 ?B6

= 1000a20?5p3% ￢?1000a20?6p3% ￢

= 1000 ×1.03?15

= 641.86 元

11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。

解：设第t 年支付的利息为I t ，有

I t = iB n+1?t

= ia n+1?￢t p

= 1 ?v n+1?t

支付利息的总现值为：

I =

Σn

t=1

I t v t

Σn

t=1

(1 ?v n+1?t)v t

= a￢n p ?nv n+1

12 设10000 元贷款20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为

1000

1 + v10

元。

此处有改动10000改成1000

证：设每期还款额为R ，由上题的结论有

I11 = R(1 ?v10)

10000

a2￢0p (1 ?v10)

= 10000 ?i

1 + v10

1000

1 + v10

13 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额最小。

解：不妨设每次还款额为1。

P t ?I t = v n t+1 ?(1 ?v n?t+1)

= 2v n?t+1 ? 1

由

2v n?t+1 ? 1 = 0 ?t ≈12.96

验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。

14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元，季换算的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。

解：以一季度为时间单位，设每次还款额为R，由题意得

Rv20?3+1 = 100

?R =

100

v18

于是最后5 次本金总额为

R(v1 + ???+ v5) = 724.59 元

15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10 年的年利率为j 。计算：(1) 第5 次偿还中的利息量；(2) 第15 次偿还中的本金量。

解：设初始贷款量为1 ，每年还款额为R ，有：

1 = Ra10p i ￢+ Ra10p j ￢(1 + i)?10

) R =

a10p i ￢+ (1 + i)?10a10p j ￢

(1) I5 = iB4

= iR(a6p i ￢+ (1 + i)?6a10p j ￢)

(2) P15 = B14 ?B15

= Ra6p j ￢?Ra5p j ￢

= R(1 + j)?6

16 原始本金为A 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还K ，且最后一

次将不足部分一次还清。计算：(1) 第t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本金部分是否为等比数列？

解：设总还款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为B 。

(1) 利用追溯法可得

B t =

A(1 + i)t ?Ks￢t p , t < n

0, t = n

故

P t =

(K ?iA)(1 + i)t?1, t < n

(k ?iA)(1 + i)n?1 + B, t = n

(2) 显然前n ? 1 次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。

17 现有20 年的抵押贷款分年度偿还，每次1元。如果在第7 次正常还款的同时，额外偿还原摊还表中第8 次的本金，而且今后的还款仍然正常进行。（正常

的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变）。证明：还贷期间节约的利息为1 ?v13 。

证：在第7 次额外多还以后，第n 次还款刚好对应原摊还表中第n + 1 次的还款。所以节约的利息为原摊还表中第8 次还款中的的利息量，为1 ?v13 。

18 总量为L 的贷款分10 年偿还，已知v5 =

。计算：

(1) 前5 次偿还中的本金之和；

(2) 如果最后5 次还款因故取消，计算第10 年底的未结贷款余额。

解：(1) 由题意得前5 次偿还本金之和为

R(v10 + ???+ v6) = Rv6 1 ?v5

1 ?v

a1￢0p

1 ?v

v5(1 ?v5)

1 ?v10 v5(1 ?v5)

= 0.4L

(2) 利用追溯法

B10 = L(1 + i)10 ?Rs￢5p (1 + i)5

= Lv?10 ?L

v?10 ?v?5

1 ?v10

= 0.9L

19 现有35 年贷款按年度偿还。已知第8 次还款中的利息为135 元，第22 次还款中的利息为108 元，计算第29 次还款中的利息量。

解：由

I8 = R(1 ?v28)

I22 = R(1 ?v14)

R = 144

v7 =

于是

I29 = R(1 ?v7)

= 144 × 1

= 72 元

20 某贷款分n 次等额偿还，实利率为i ，已知第K 次还款前的未结贷款余额首次低于原始贷款额的一半。计算K。

解：由题意得

L = Ra￢n p

B k?2 = Ra n?k+￢2p > L

B k?1 = Ra n?k+￢1p <

2v n?k+2 ?v n 6 1

2v n?k+1 ?v n > 1

故

K = [n + 1 ?ln(v n + 1) ?ln 2

ln v

] + 1

其中[x] 表示取整函数。

21 设有年利率2.5%的15000 元贷款，每年偿还1000 元。计算第几次还款中本金部分最接近利息部分的4 倍

解：设第k 次还款本金部分最接近利息部分的4 倍。利用追溯法

B k?1 = L(1 + i)k?1 ?Rs k?￢1p

?I k = iB k?1 = iL(1 + i)k?1 ?R[(1 + i)k?1 ?1]

P k = R ?I k = R(1 + i)k?1 ?iL(1 + i)k?1

再由P k = 4I k 得k ≈11。

22 某贷款在每年的2 月1 日等额还贷。已知1989 年2 月1 日的还款中利息为103.00 元，1990 年2 月1 日的还款中利息为98.00 元，年利率8% 。计算：(1) 1990 年还款中的本金部份；(2) 最后一次不足额还款的日期和金额。

解：(1) 设I n, P n 为别为n 年的利息部分和本金部分，

I1990 = I1989 ?iP1989

?P1989 = 62.5

又I1989 + P1989 = I1990 + P1990

?P1990 = 67.5

(2) 利用递推公式容易求得2000 年2 月1 日还款后未结贷款余额为

101.43 元，已经小于165.5 元。同时易得B1989 = 1225 。设最后一次还

款在2000年2月1日后经过时间t收回。于是t满足

1225 = 165.5

1 ?v11+t

?t = 0.653

故最后一次还款时间为2000 年9 月24 日，金额为165.5 ×1.08t?1

0.08 = 106.67

元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一

年的等价时间偿还的方法。

与原答案有出入

23 某贷款通过2n 次偿还。在第n 次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额的3/4 ，计算下一次还款中利息部份的比例。

解：由题意得

L = Ra n p i ￢

L = Ra2n p i ￢

?v n =

而I n+1 = R(1 ?v n)，故利息部分所占的比例是

。

24 某银行提供月利率1% 的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清，只需对当时余额多付出K% 。如果某人在第5 年底找到另一家银行提供月利

率0.75% 的10 年贷款，对这个借款人来说K 的最大可接受值为多少？

解：K 最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。

a120p0.75% ￢= (1 + K%)a120p1% ￢

?K = 13.258%

25 现有10000 元贷款利率10% 。已知借款人以8% 累积偿债基金，第10 年底的偿债基金余额为5000 元，第11 年的还款金额为1500 元。计算：

(1) 1500 元中的利息量；

(2) 1500 元中的偿债基金存款；

(3) 1500 元中偿还当年利息的部分；

(4) 1500 元中的本金量；

(5) 第11 年底的偿债基金余额。

解：(1) I11 = 10000 ×10% = 1000 元；

(2) 偿债基金存款额为1500 ?1000 = 500 元；

(3) 也即是计算净利息: 1000 ?5000 ×8% = 600 元；

(4) 本金量1500 ?600 = 900 元；

(5) 11 年底的偿债基金余额5000 ×(1 + 8%) + 500 = 5900 元。

26 证明：a n p i&j ￢=

s n p j ￢

1 + is n p j ￢

。

证：利用

L = Ra n p i&j ￢

L = (R ?iL)s n p j ￢

消去R可得

(

a n p i&j ￢

?iL)s n p j ￢= L

再适当变形便可得结论。

27 现有利率为9%的10000 元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以利率7%向偿债基金存款K 。如果在第10 年底偿债基金的余额恰足以偿还

贷款。计算K。

解：由题意得

K¨s10p7% ￢= 104

?K = 676.43

28 现有10 年期贷款年利率5%，每年底还贷1000 元。贷款的一半按摊还方式进行，另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。

解：设贷款额为X ，有

X/2 = R1a10p5% ￢

X/2 = R2a n p5%&4% ￢

1000 = R1 + R2

整理得到

(

a10p5% ￢+

a n p5%&4% ￢) = 1000

X = 7610.48 元

29 为期10 年的12000 元贷款，每半年还款1000 元。已知前5 年以i(2) = 12% 计息，后5 年以i(2) = 10% 计息。每次还款除利息外存入利率i(2) = 8% 的偿

债基金。计算第10 年底偿债基金与贷款之间的差额。

解：前5 年每半年放入偿债基金

1000 ?12000 ×6% = 280

后5 年每半年放入偿债基金

1000 ?12000 ×5% = 400

故第10 年底偿债基金余额为

280s10p4% ￢×(1 + 4%)10 + 400s10p4% ￢= 9778.6

于是差额为2221.4 元。

30 为期10 年的3000 元贷款，以i(2) = 8% 计息。如果借款人将贷款的1/3 通过存入利率i(2) = 5% 的偿债基金偿还，剩余的2/3 通过存入利率i(2) = 7% 的

偿债基金偿还。计算每年的还款总额。

解：设对于1/3 部分贷款每年还款为R1 ，剩余部分贷款每年还款为R2 。有(R1 ?1000 ×4%)s20p2.5% ￢= 1000

(R1 ?2000 ×4%)s20p3.5% ￢= 2000

分别解得R1 = 79.15,R2 = 150.72。故每年的总还款额为

R1 + R2 = 229.87 元

31 为期31 年的400000 元贷款,每年底还款36000 元，若以年利率3%建立偿债基金。计算原贷款利率。

解：设原贷款利率就是i 。有

(36000 ?400000i)s31p3% ￢= 400000

解得i ≈7% 。

32 某20 年期末年金，以前10 年利率8%后10 年利率7%计算的现值为10000 元。某投资者以年利率9% 买得该年金，并允许以累积偿债基金的方式收回

这笔资金，偿债基金前10 年利率为6%，后10 年利率为5%。计算偿债基金

的存款额。

解：设期末年金每年的金额是R ，偿债基金存款额为X ，未结贷款余额为P ，

有

10000 = Ra10p8% ￢+ Ra10p7% ￢(1 + 8%)?10

R = X + P ×9%

P = Xs1￢0p 6%(1 + 5%)10 + Xs5%￢p

解得：X = 246.95 元

有待讨论！我们认为年利率9% 就是利率i

33 某n 年期利率为i 的贷款，以利率j 建立偿债基金。试给出以下各问的表达式(1 6 t 6 n )：

(1) 贷方每年得到的利息；

(2) 偿债基金每年的存款额；

(3) 第t 年偿债基金所得利息；

(4) 偿债基金在第t 年底的余额；

(5) 第t 年底的未结贷款余额；

(6) 第t 年支付的净利息；

(7) 第t 年支付的本金。

解：设贷款额为L。

(1) 贷方每年得到的利息为iL ；

(2) 由偿债基金的定义知，偿债基金每年的存款额为

s n p j ￢

(3) 偿债基金在t ? 1 年末的余额是

s n p j ￢s t?￢1p ，故在第t年所得利息为

(1 + j)t?1 ? 1

(1 + j)n ? 1

(4) 偿债基金在第t 年底的余额是

s n p j ￢s t p j ￢= L

(1 + j)t ? 1

(1 + j)n ? 1

(5) 第t 年底的未结贷款余额为

L ?L

(1 + j)t ? 1

(1 + j)n ? 1

= L

(1 + j)n ?(1 + j)t

(1 + j)n ? 1

(6) 第t 年支付的净利息为

iL ?jL

(1 + j)t?1 ? 1

(1 + j)n ? 1

(7) 第t 年支付的本金量是第t 年偿债基金所得利息与第t 年存入偿债基金

金额之和，即为

(1 + j)t?1 ? 1

(1 + j)n ? 1

s n p j ￢=

j(1 + j)t?1L

(1 + j)n ? 1

34 为期10 年的100000 元贷款，贷款利率12%，同时以年利率8%建立偿债基金。已知前5 年还款为K ；后5 年还款为2K 。计算K 。

解：每年的利息为

100000 ×12% = 12000

故

100000 = (K ?12000)s5p8% ￢(1 + 8%)5 + (2K ?12000)s5p8% ￢

解得K = 13454.36 元。

35 某10000 元贷款以利率i(12) = 15% 按月偿还利息，同时以利率i(12) = 9% 每月存款100 元累积偿债基金。一旦偿债基金的余额达到10000 元，则结束还贷。计算借款人总的还款额。

解：每月还利息为10000 ×i(12)

= 125 元，于是每月总支出为

100 + 125 = 225

再由

100s n p7.5% ￢> 10000 ?n = 75

但需要注意100s n p7.5% ￢?10, 000 = 18.33 ，故最后一个月放入偿债基金的应是100 ?18.33 元。

所以总共还款额为

75 ×225 ?18.33 = 16856.67 元

36 为期25 年的100000 元贷款，贷款利率12%。如果贷款人从每年的还款中

以年利率i 提取利息，同时将剩余部份以利率j 累积偿债基金。分别对

j = 8%, 12%和16%三种情况计算i 。

解：j = 12%相当于按照摊还方式对应的利率。设每次还款额为R ，于是

R =

a25p0.12 ￢

再根据偿债基金的定义有

(R ?iL)s25p j ￢= L

解得

i =

a25p12% ￢

s25p j ￢

代入数据便有

(1) j = 8% 时，i = 11.38%；

(2) j = 12% 时，i = 12%；

(3) j = 16% 时，i = 12.35%。

37 现有10 年期贷款按月偿还，其中月换算名利率i(12) = 12% ，首次为600 元，然后每次增加5 元。

(1) 计算原始贷款金额；

(2) 证明：P t = P1(1 + 0.01)t?1 + 5s t?1p1% ￢。

解：L = 595s120p1% ￢+ 5Ia120p1% ￢= 58490.89 元；

证：这个题证明方法不唯一，比如利用递推关系，找规律再用归纳法证明。下面

给出的证明方法是作者认为最简单的。

如果每次还款额是一样的，那么{P t} 呈等比数列，且P t = P1(1+i)t?1 。于

是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。下面用B1

t 表示等额还款时

第t次的未结贷款余额，B2

t 表示按题中方式进行还款时第t 次的未结贷款

余额。于是

t = L(1 + i)t ?600s t p i ￢

t = L(1 + i)t ?600s t p i ￢?5Is t?1p i ￢

故

?P1

t = (B2

t?1

?B2

t ) ?(B1

t?1

?B1

t )

= (B2

t?1

?B1

t?1) + (B1

?B2

t )

= 5(Is t?1p i ￢?Is t?2p i ￢)

= 5s t?1p i ￢(直接带公式化简)

于是

P t = P1(1 + 0.01)t?1 + 5s t?1p1% ￢

38 某帐户现有1000 元存款，每月实利率1%，且月月结算。如果每次恰好在利息结算的下一个瞬间取出100 元。问：最多可以提取几次？同时给出该帐户

每月余额和利息的列表。

解：设第t 个月帐户余额为B t ，于是

B t = 1000(1 + i)t ?100s t p i ￢

容易算得t = 10 时，帐户余额首次低于100 元，故最多能够提取10 次。每

月结余和利息列表如下：

月份利息帐户余额

0 0.00 1000.00

1 10.00 910.00

2 9.10 819.10

3 8.19 727.29

4 7.27 634.56

5 6.35 540.91

6 5.41 446.32

7 4.46 350.78

8 3.51 254.29

9 2.54 156.83

10 1.57 58.40

39 已知某贷款每半年偿还K 元，且三次连续还贷后的贷款余额为：5190.72 ，5084.68 和4973.66 。计算K。

解：利用追溯法可得

5190.72(1 + i) ?K = 5084.68

5084.68(1 + i) ?K = 4973.66

由此可解得K = 349.81 元。

40 利率为i 的贷款L ，每次偿还K ，直至最后的不足额(不足金额K )还款。证明：B t =

?L)(1 + i)t。

证：利用追溯法

B t = L(1 + i)t ?Ks t p i ￢

= L(1 + i)t ?K

(1 + i)t ? 1

?L)(1 + i)t

41 现有1000000 遗产，年投资收益5%。由A，B 和C 三人继承。A 每年从本金中得到125000 元，累计5 年；B 每年从本金中得到75000 元，累计5 年；C 每年得到利息。计算三人的遗产继承份额。

解：(1) A 继承遗产的终值为125, 000s5p5% ￢= 690, 703.91 元；

(2) B 继承遗产的终值为75, 000s5p5% ￢= 414, 422.34 元；

(3) C 继承遗产的终值为

1, 000, 000(1 + 0.05)5 ?125, 000s5p5% ￢?75, 000s5p5% ￢= 171, 155.31 元故三人的遗产继承份额分别为54.12%、32.47%、13.41%。

42 某10 年期年金，每季度500 元，年利率8%。计算10 年间所有的利息收入。解：设季实利率为i ，则i 满足(1+i)4 = 1+8% 。解得i = 1.94% 。于是利息收

入为

500s40p i ￢?500 ×40 = 9811.27 元

43 现有5 年期10000 元贷款，半年换算名利率12%。若在偿还利息之后，借款人每年年底以年利率8%的存款方式累积贷款本金。计算5 年内的还贷总

额。

解：(1) 每年偿还利息为10, 000 ×12%

×2 = 1200 元。

(2) 每年偿还本金为

10000

s5p8% ￢= 1704.56 元。故5 年内还贷总额为

(1200 + 1704.56) × 5 = 14522.82 元

北京大学数学科学学院金融数学系第17 页

44 某贷款以每年年底还3000 元偿还，季换算名利率10%。若第3 次还款中的利息量为2000 元，计算第6 次还款中的本金量。

解：设等价年实利率为i ，则i = (1 + 10%

4 )4 ? 1 = 10.38%。由题意

3000(1 ?v n?2) = 2000

解得v n?2 =

。故第六次还款中的本金为

3000v n?5 = 3000v n?2v?3 = 1344.84元

45 现有10 年期5000 元贷款，季换算名利率10%。借款人在第10 年底一次性

偿还所有累计利息和本金。为此，以半年换算名利率7%累计偿债基金。计

算偿债基金的每次存款额。

解：设每次存入偿债基金金额为R，由题意得

Rs20p3.5% ￢= 5000(1 + 2.5%)40

解得R = 474.73 元。

46 现有3000 元贷款按季度分20 次摊还，第11 次和12 次因故取消。经协商，摊还从第13 次重新开始，且每次金额为N，但是第14 ，16 ，18 和20 次的

还款都比正常还款逐次增加40 元。已知半年换算名利率8％，计算N 为多少

方可保证按原计划如期还贷。

解：设季度实利率为i ，由题意有

3000 = Ra20p i ￢

(1 + i)2 = 1 +

Ra10p i ￢?(1 + i)2 = Na8p i ￢+ 40Ia4p4% ￢

i ≈0.0198

R ≈183.087

N ≈185.08 元

47 设有10 年期贷款，其还款方式为：首次还款全部用于还利息，第2 次还款为第一次的两倍，第三次还款为第一次的三倍，依次类推。证明：Ia1￢0p = a∞￢p 证：不妨设贷款总额为1 ，利率为i ，则第n 年还款为ni 。于是

1 = iIa1￢0p

故

Ia1￢0p =

= a∞￢p

北京大学数学科学学院金融数学系第18 页

48 某贷款分10 次偿还，第1 次还款10 元，第2 次还款9 元，依次类推。证明：第6次还款中的利息为：(5 ?a￢5p )元。

证：由题意得L = Da1￢0p 。利用追溯法

B5 = L(1 + i)5 ?(5s￢5p + Da￢5p )

于是

I6 = iB5

= iL(1 + i)5 ?5is￢5p ?iDa￢5p

= (10 ?a1￢0p )(1 + i)5 ?5[(1 + i)5 ?1] ?[5(1 + i)5 ?s￢5p ]

= 5 ?s1￢0p (1 + i)5 + s￢5p

= 5 ?a￢5p

49 某贷款的偿还方式为：第1 年底200 元，以后每年递增50 元，直至1000 元。问：如果年利率4% ，第4 次还款中的本金量。

解：利用预期法可得

B3 = 300a14p i ￢+ 50Ia14p i ￢= 6795.18 元

故第4 次还款中的本金量为

350 ?iB3 = 78.19 元

50 某1000 元贷款，每半年一次分10 次等额偿还本金，同时按照半年换算名利率6% 偿还利息。为了保证半年换算名利率10% 的收益率，计算该贷款的出

让价格。

解：设出让价格为P ，

P ×(1 +

10%

)10

1000

?s10p5% ￢+

1000

×6%

×(Da)10p5% ￢

=1480.45

?P = 908.87 元

北京大学数学科学学院金融数学系第19 页

51 现有8000 元20 年期抵押贷款，每半年偿还100 元再加上以利率5% 计算的贷款余额的利息。在恰好得到第15 次还款后，贷款人转卖了这个贷款，价格

满足：贷款利率为6%，偿债基金利率为4%。假定以上所有利率均为半年换

算名利率。证明：

(1) 如果每半年的净回报相等，贷款转让价格为

75s25p2% ￢+ 6250

1 + 0.03s25p2% ￢

元= 4412 元；

(2) 如果每半年的偿债基金的存款额相同，则转让价格为

s25p2% ￢

0.03a25p3% ￢

a25p3% ￢+ 125

1 + 0.03s25p2% ￢

元= 4453 元

证：

52 设有利率10%的2000 元贷款，其还贷方式为：第一年底400 元，然后按4%的

比例递增，最后一次将小量余额付清。计算

(1) 计算第3 年底的未结贷款余额；

(2) 计算第3 次偿还中的本金量。

解：做摊还表。

次数利息部分还款额本金部分未结贷款余额

1 200 400 200 1800

2 180 416 236 1564

3 156.40 432.6

4 276.24 1287.76

53 两笔30 年等额贷款都以4%利率偿还。甲每年等额偿还；乙每年的还款中的本金量为常数，利息按摊还方式。计算甲的还款额首次超过乙的时刻。

解：设贷款总额为1 ，甲乙每年的还款额分别为R甲,R乙,n

R甲a30p4% ￢= 1

R乙,n =

31 ?n

×4%

解R甲> R乙,n 得

n > 12.6

所以，甲的还款额在第13 次首次超过乙。

北京大学数学科学学院金融数学系第20 页

54 甲以实利率i 投资。其中第1 年底取出利息收入的162.5%，第2 年底取出利息收入的325%，依此类推。已知在第16 年底原始投资资金全部收回。计算

i。

依此类推，有歧义，加上“第3 年底取出利息收入的487.5%”

解：考虑最后一年，设第15 年底未结余额为1 ，第16 年底取出利息收入i 的162.5 ×15 ，于是

1 + i = 162.5% ×15i

解得：

i = 4.28%

55 贷款额为aˉ2￢5p 的贷款以连续年金方式偿还，连续偿还函数为1 ，期限为25

年。如果：i = 0.05，计算第6 年到第10 年间的偿还利息总额。

与原答案有出入

解：记利息力为δ

I =

∫10

δ?

∫25

v s?t d s d t

∫10

(1 ?v25?t) ?δ

ln v

=4 +

v15 ?v19

ln v

=2.25204

56 证明：(1 + i)t ?sˉt p ￢

aˉn?￢t p =

aˉ￢n p

aˉn?￢t p

证：两边同时乘aˉ￢n p ，移项得：

(1 + i)t aˉ￢n p = aˉn?￢t p + sˉ￢t p

左边(1 + i)t aˉ￢n p 为n期标准连续年金在t期期末的现值

右边aˉn?￢t p + sˉ￢t p 是n 期标准连续年金前t 期与后n-t 期在t 期期末的现值

之和。于是得证。

北京大学数学科学学院金融数学系第21 页

57 设有连续方式偿还的n 年期贷款，时刻t 的偿还额为t 。给出未结贷款余额的计算式。

解：

B k =

∫n

tv t?k dt

∫n

tv t?k dt ?

∫k

t(1 + i)k?t dt

= (1 + i)k(Iˉaˉ)￢n p ?(Iˉsˉ)￢k p ne?nδ

δ(ln n + 1)

?se?sδ

δ(ln s + 1)

或者

B k =

∫n

tv t?k dt

∫n?k

(t + k)v t dt = (Iˉaˉ)n?￢k p + kaˉn?￢k p

58 现有连续方式偿还的10 年期贷款，其贷款余额呈线性变化。已知连续利率为10%。计算：

(1) 前5 年偿还的本金总额；(2) 前5 年偿还的利息总额。

解：设贷款总余额1

(1) ?dB t = d(1 ?t

) =

，所以前5 年偿还的本金总额为

(2) 前5 年偿还的利息总额I 为：

∫ 5

iB t dt

=10% ×(5 ?25

) = 0.375

59 已知某保险赔偿方式为：截至索赔发生后t 时刻的未赔偿额为αe?βt 。(1) 求

连续赔偿函数；

(2) 索赔发生时的未赔偿额；

(3) 如果连续利率为α，计算所有未赔偿额在时刻t 的现值。

解：(1) P(t) = ?dB t = αβe?βt

(2) 把t = 0 代入得：B0 = α

北京大学数学科学学院金融数学系第22 页

(3)

∫∞

P t e?δs ds

∫∞

αβe?(δ+β)s ds

αβ

β+ s

e?βt

60 现有2000 元贷款是通过每季度偿还P 元进行还贷。贷款方要求对未结贷款余额中低于500元的部分按利率i(4)

1 = 16% 计息，对超过500元的部分按利

率i(14)

2 = 14% 计息，如果已知第一年底的余额为1000 元，计算P 。

0 1 2 3 4

P P P P

500

1500

i(4)

解: 注意到在第一年中余额都在500 元以上，所以把2000(= 1500 + 500) 元拆成

两个现金流，于是以第一年底为比较日，有

500 ×(1 +

i(4)

)4 + 1500 ×(1 +

i(4)

)4 ?P ?s4p3.5% ￢= 1000

解得P = 309.9 元

61 设有按季度分期偿还的1000 元贷款，每次还款100 元，不足部分的余额最后一次付清。贷款方要求对未结贷款余额中低于500 元的部分利率i(4) = 12%

计息，对超过500元的部分利率i(4) = 8% 计息。

(1) 计算第4 次还款中的本金；

(2) 证明：在未结贷款余额达到500 元之前，每次的本金量加上一个常数后

形成等比数列，即

P t+1 + K

P t + K

= 1 + j , t = 1, 2, . . . , n ? 1

北京大学数学科学学院金融数学系第23 页

并计算K 和j 。

解: 注意到4 次还款后余额还在500 元以上，所以可以分成两个现金流

500 ×12%

= 15 元

北大版金融数学引论第二章答案

版权所有，翻版必究 ~ 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解： S = 1000s 20 ?p 7%+Xs 10 ?p 7% X = 50000 ? 1000s 20 ?p 7% s 10 ?p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48 ?% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。解： P V = na?n pi 1 ? v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 ? n n +2 (n + 1)n 4．已知：a?n p = X ，a 2 ?n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。解： a 2 ?n p = a?n p + a?n p (1 ? d)n 则 Y ? X d = 1 ? ( X ) 5．已知：a?7 p = , a 11 ?p = , a 18 ?p = 。计算i 。解： a 18 ?p = a?7 p + a 11 ?p v 7 解得 6.证明： 1 1?v =

s i = % ?+a?。 s? 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

版权所有，翻版必究证明： s 10 ?p + a ∞?p (1+i)?1+1 1 s 10 ?p = i (1+i)?1 i i = 1 ? v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： P V = 100a?8p3% + 100a 20?p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25?p8%=X¨15?p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨?8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨?n p = a?n p + 1 ? v n ； 1?d ? 1 =1 9 ¨?= (1 + i) 1 ? v 8 i = (2) ¨?n p = s? ?n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。证明： (1)¨?n p =1?d v =1 ?v =1 ?v i + 1 ? v n 所以 (2)¨?n p = (1+ i)?1 ¨?n p = a?n p + 1 ? v n (1+i )?1=(1+i)?1 n ? 1

北大版金融数学引论第二章答案,DOC

版权所有，翻版必究第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解： S=1000s20?p7%+Xs10?p7% X= 50000?1000s20?p 7% s10?p7% =651.72 4年。 6.证明：1 1?v10=10?p+a∞?p 。 s 10 ?p 北京大学数学科学学院金融数学系第1页

版权所有，翻版必究证明： s 10 ?p +a ∞?p (1+i)10 ?1+1 1 s 10?p = i (1+i)10 ?1 i i = 1?v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： PV =100a?8p3% +100a 20?p 3% =2189.716 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， ¨?n p =s??n p 1+(1+i) n

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解： PV =100a49?p1.5% ?100a?2p1.5% =3256.88 AV =100s49?p1.5% ?100s?2p1.5% =6959.37 13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金 36；另

金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]

第一章习题答案 1.解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t 2 + 2t + 3）/3 In = A(n) ? A(n ? 1) = (n 2 + 2n + 3) ? ((n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3)) = 2n + 1 2. 解:()n n-1t 11I A(n)A(t)I I I n(n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+??? (2)1t 11 I A(n)A(t) 22n n k k t I ++=+=-= =-∑ 3.解: 由题意得 a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= ? a = , b = 1 ~ ∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ? a(10) = A(5) ? a(10)/ a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 解：(1)i5 =(A(5) ? A(4))/A(4)=5120≈ % i10 =(A(10) ? A(9))/A(9)=5145≈ % (2)i5 =(A(5) ? A(4))/A(4) ()()()54410 9 109 100(1 0.1)100(1 0.1) 10% 100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1) i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1) +-+==++-+=-= =+ 5.解:A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7) ; = 1000 × × × = 6.解: 设年单利率为i 500(1 + = 615 解得i = % 设500 元需要累积t 年 500(1 + t × %) = 630 解得t = 3 年4 个月 } 7.解: 设经过t 年后，年利率达到% t 1 4%t (1 2.5%)+?=+ t ≈ 8. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = XY 3 9. 解: 设实利率为i 600[(1 + i)2 ? 1] = 264 解得i = 20% ∴ A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元 10.解: 设实利率为i

北大版金融数学引论答案

北大版金融数学引论答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

解： S = 1000s 20p 7% + Xs 10p 7% X = 50000 1000s 20p 7% s 10 p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。解： P V = na n pi 1 v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 n n +2 (n + 1)n 4．已知：a n p = X ，a 2n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。解： a 2n p = a n p + a n p (1 d)n 则 Y X d = 1 ( X ) 5．已知：a 7 p = , a 11p = , a 18p = 。计算i 。解： a 18p = a 7 p + a 11p v 7 解得 6.证明： 1 1v = s +a 。 s i = %北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

版权所有，翻版必究证明： s 10p + a ∞p (1+i)1+1 1 s 10p = i (1+i)1 i i = 1 v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： P V = 100a 8p3% + 100a 20p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25p8%= X¨15p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨n p = a n p + 1 v n ； 1d 1 =1 9 ¨8 p = (1 + i) 1 v 8 i = (2) ¨n p = s n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。证明： (1)¨n p =1 d v =1 v =1 v i + 1 v n 所以 (2)¨n p =(1+ i)1 ¨n p = a n p + 1 v n (1+i )1=(1+i)1 n 1 d = i + (1 + i) 所以 ¨n p = s n p 1 + (1 + i) n

金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]

第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解：20|7%10|7% 50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+== 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 48|1.5%1000250X a =+ 解得X = 1489.36 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1 。试计算该年金的现值。解： 22 |1( 1)1( 1)n n n n i n v n n n PV na n n n +-+-===+ 4．解： ]]]2(1)n n n n a a a d =+-则1 1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。计算i 。解： ]]]718711a a a v =+解得i = 6.0% 6.证明：]]] 10101 110s a v s ∞+=- 证明： ]]]10101010 10(1)111(1)11i s a i i i s v i ∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： 8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

教学大纲_金融数学

《金融数学》教学大纲课程编号：121333B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 ?专业必修课□专业选修课 □学科基础课总学时：48讲课学时：32实验（上机）学时：16 学分：3 适用对象：金融数学先修课程：数学分析、概率论、数理统计、金融学一、课程的教学目标本课程为统计学院金融数学本科专业的专业选修课。设置本课程的目的是为了使学生掌握有关利息和利率的基本计算、年金终值和现值的计算、投资收益率分析、债务偿还方法等定量基础知识，能够运用上述理论知识进行固定收益证券定价、利率期限结构分析、利率风险分析和期权定价，并了解金融领域的随机分析原理。通过教学，使学生初步掌握金融领域的数量分析工具和应用方式，为后续的证券投资分析、风险理论分析等与金融分析相关的课程打下扎实的基础。二、教学基本要求（一）教学内容讲授要求本课程主要内容包括：（1）利息基本计算：利息基本函数、利息基本计算；（2）年金：标准年金、一般年金；（3）投资收益分析：基本投资分析、收益率计算、资本预算；（4）债务偿还：摊还法、偿债基金；（5）固定收益证券的定价；（6）实际应用：住房贷款分析、固定资产折旧分析、资本化成本分析；（7）

利率风险；（8）利率期限结构；（9）期权的二叉树定价；（10）随机利率模型。其中（1）（2）（3）（4）（5）五部分内容为本课程的基础知识部分，需要细讲精讲，这五部分内容涉及到较多概念，讲授过程中需通过大量的例题讲解练习，使学生充分理解并掌握各种概念的相关性和差异性，能够熟练地运用这些概念进行相关计算。（6）（7）（8）（9）（10）五部分内容为金融数学基础知识的相关应用，目的在于训练学生对所学知识的综合应用能力，其中固定收益证券定价、利率风险和期权的二叉树定价是重点，需要在精讲的基础上结合实际的金融产品进行应用训练，实际应用、利率期限结构和随机利率可根据教学进度和学生掌握情况进行选讲。（二）教学方法和教学手段本课程教学目标为通过本课程的学习，要求学生能够运用基本的数学方法和金融知识对金融产品进行综合定量分析、产品定价和风险的评估与管理。根据该目标的特征，主要采用演绎法进行知识讲解，用归纳法系统化知识点。首先根据金融经济背景引出需掌握的基本概念，通过例题讲解演示基本的计算方法，然后要求学生自行分析类似的问题，练习并掌握所学知识点，通过归纳法找出各个例题和习题中所蕴含的知识点，最后结合实际金融产品进行综合分析，以训练学生的应用能力，所用到的教学手段主要为课堂多媒体教学。（三）课后作业及学生自学要求教师可根据所授知识点的多少及相关性自行安排课后作业的布置，既可以从教材中选择相应的习题作为作业，也可以另外给出习题作为作业。对于课堂中未讲授的部分知识，分两种情况，一种是知识点比较简单，学生通过自学可以掌握的，教师为节约课时要求学生自学，学生需通过自学达到教学大纲对该知识点的要求。另一种是超过本课程教学大纲知识点要求范围的，学生可根据兴趣自行学习，对掌握程度不作要求。（四）课程考核方式本课程建议期末采用开卷方式考核，最终考核成绩=平时成绩×30%+期末考试成绩×70%，平时成绩综合作业、出勤和回答问题三种情况由教师酌情给

金融数学引论第三章北大

第三章习题答案 1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元，R 2 = 2000 元和R 3 = 4000 元。计算r 。解: 令v = 1 1+r ，由P(r) = 0 有 C0 + C1v ?R2v2 ?R3v3 = 0 代入数据，解得： v ≈0.8453 ∴r = 18.30% 2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元，以后逐年递减4% ，计算R6 。解: 由i = 6%, j = 4% R6 = 30000(1 ?j)5 ?3000(1 + i)5 = 30000 ×0.965 ?3000 ×1.065 = 20446.60元 3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一年底4000 元，第三年底5500 元。计算：P(0.09) 和P(0.10) 。解: 净现值P(i) 为： P(i) = ?7000 + 4000(1 + i)?1 ?1000(1 + i)?2 + 5500(1 + i)?3 P(0.09) = 75.05元 P(0.10) = ?57.85元北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究 4 计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100 元加上两年后的108.1 5 元，可以在第一年底收回208 元。解: 设收益率为i ，其满足： ?100 + 208v ?108.15v2 = 0 解得 i = 2.03% 或6.03% 两种收益率的差为4.00% 5 每年初存款，第10 年底余额为1000 元，存款利率4% ，每年的利息收入以4% 的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程 10R + 4%R(Is)10p3% ￢= 1000 解得 R = 1000 10 + 4%(Is)10p3% ￢ 6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。如果贷款方

(推荐)金融数学方向读书计划

金融数学方向读书计划 1.数学分析彭立中周民强方企勤《数学分析》O17/26 教参阅览室 2.高等代数丘维声《高等代数》O15/49.1教参阅览室 3.几何学丘维声《解析几何》O182/11 自然科学阅览室 4.抽象代数丘维声《抽象代数基础》O153/32 库本阅览室 5.概率论汪仁官《概率论引论》O211/36 教参阅览室 6.常微分方程李承治《常微分方程教程》O175.1/26 教参阅览室 7.利息理论与应用吴岚《金融数学引论》 F830/287 新书阅览室 8.实变函数郭懋正《实变函数与泛函分析》O174.1/46 石头有 9.偏微分方程谷超豪《数学物理方程》515.71/2647.2 教参阅览室 10.应用随机过程钱敏平《应用随机过程》O211.6/34 教参阅览室 11.数理统计陈家鼎《数理统计学讲义》O212/46 教参阅览室 12.寿险精算杨静平《寿险精算基础》F840.62/22教参阅览室 13.经济动力学基础龚德恩《动态经济学----方法与模型》F037/14 教参阅览室 14.数学模型雷功炎《数学模型讲义》O141.4/11 教参阅览室 15.测度论中山大学《测度与概率基础》O211.1/2 自然科学区 16.应用多元统计分析高惠璇《多元统计分析》 O212.4/23 库本阅览室 17.非寿险精算王静龙《非寿险精算》F840.4/24 人文社科区 18.时间序列分析安鸿志《时间序列分析》O211.61/10 自然科学区讨论材料： Extremes and Integreted Risk Management, Paul Embrechts, UBS Warbug, 2000 汇率导论1997年中国金融出版社作者王爱俭

金融数学引论答案 .docx

第一章习题答案 1.设总量函数为A(t) = t2 + 2/ + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个吋段的利息【仇°解：把t =()代入得4(()) = 3于是： 4(t) t? + 2t + 3 啲=丽=3 In = 4(北)一A(n一1) =(n2 + 2n + 3) — ((n — I)2 + 2(n — 1) + 3)) = 2n+l 2.对以下两种情况计算从t时刻到冗(￡ < n)时刻的利息：(1)厶(0 < r < n);(2)/r = 2r(0

。(0) = 1, ?(3) = = L72 => a = 0.0& 6=1 4(5) = 100 >1(10) = 4(0) ? ?(10) = 4⑸? W = 100 x 3 = 300. a(5) 4.分别对以下两种总量函数计算订和讪: (1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1尸? 解： (1) _ 4(5) - 4(4) 5 _ 4(4) 5 二面-.17% . 4(10)-4(9) 210 =—4(9)— 5 =—^ 3.45% 145 ⑵ _ 4(5) - 4(4) 5 - 4⑷ _ 100(1 + 0.1)5 - 100(1 + 0.1)4 = 100(1+ 0.1)4 =10% . 4(10) —4(9) 皿= _ 100(1+ O.1)10-100(1+ 0.1)9 = 100(1 + 0.1)9 =10% 5?设4(4) = 1000, i n = O.Oln.试计算4(7)。解：虫⑺=人(4)(1 + %5)(1 + %)(1 + V) =1000 X 1.05 X 1.06 X 1.07

[经济学][数学] 数理金融引论

朋友你好，首先我要告诉你这是一则广告，广告都应该懂吧，卖东西的，所以如果你是不想花钱的那您可以走了，以免耽误您的宝贵时间！还有那些自以为很聪明的人，觉得我是骗钱的人也可以走了，以免看完后你会觉得我侮辱了你的智商。好了，声明已毕，不是以上两种人的感兴趣的朋友留下来接着往下看，下面就书归正题言归正传…. 朋友，在你的生活当中是否遇到过这样那样的不方便呢，你是否想过用什么方法去解决这些不便让我们的生活变得更加的轻松愉快呢！我是一个并不聪明的人，学上的也不多，但是我从小就喜欢琢磨研究，喜欢动手制作一些小制作，有什么东西坏了就兴致勃勃的想法修理，有什么东西不好用时我总是想着去改进，虽然没有什么大的发明创造但我还是对我的一些小小创意沾沾自喜。哈哈太自我感觉良好了吧，没办法谁让俺是凡间俗子呢嘿嘿还有就是自从我有了电脑接触了网络，真可以说是让我大开眼界如获至宝，也许你觉得我说的太夸张了吧，呵呵是的电脑对于很多人来说似乎只是一个很普通的家电一个娱乐消遣的工具，还有很多人把网络定义为网聊，说什么网络是虚拟的网络没真情什么的，什么伤心了要离开网络以后不上网了什么的，似乎网络仅仅只是给那些发骚男女勾搭的平台似的，真是让我气愤不已，哭笑不得，难道网络除了聊天游戏娱乐等就没别的用处了吗，很多人刚接触电脑和网络还有喜欢和兴趣，可是等新鲜劲儿一过就完了，甚至有些人把宽带给注销了，哈哈我觉得太好笑了，我不知道该怎么描述我对网络的好评，简单说吧，网络里什么都有，只有你想不到的，没有它没有的，如果说没有那只是你没找到罢了！！！好了不再多说了，下面我就把我最近琢磨出来的几个小小的窍门和我在网络发现的几样好东西拿出来有偿的和大家分享一下，呵呵又俗了，哎没办法经济社会嘛。当然也许你觉得并不好并不感兴趣，没事如果你没兴趣就一看而过吧哈哈我先说一下我的那几个小窍门吧（1）班中玩手机带来的启示，惊爆别人的耳膜，扭断别人的脖子，哈哈我可不想害人我只是想要回头率谁若不回头它准是聋子嘻嘻这就是惊世骇俗柔情似水荒唐的简直太不象话的……哈哈说什么呢有点乱啊哈哈这就是————手机QQ个性消息提示音。漫长的值班时间总是那么难熬，难熬的时候总是手机QQ与我相伴，聊天的时候总是会接到领导的电话，接电话的时候QQ滴滴滴的声音总是会通过长长地电话线传到领导的耳朵里，领导知道了我在班上玩手机总是会很不爽，领导要是不爽总是会让我很难过，哎咋办啊要是设置静音，不能及时的知道友友们给我发来了消息我又会觉得很不爽。把提示音设置成别的声音让领导不知道那是啥声就好了，拿起手机翻看QQ所有的设置，晕竟然没有这个功能，哎没办法就让它滴滴去吧。可是事情并没有就此完结，上天对我太眷顾了，一次摆弄手机的时候竟然让我发现了一个秘密，一下让我联想到了更改提示音，如果我这样这样这样做是不是就能更改提示音了呢，回到家马上把手机连上了电脑按我所想的方法一弄，天呐成功了哈哈趁着兴致我用了很多种稀奇古怪有趣的声音去做提示音，嘿嘿太有意思了聊天时手机竟然发出了这样的声音，靠太雷人了！刚才所说的是要回头率的，有点太不低调了，其实你也可以设置一些低调的温柔的柔情的比如男友温柔的低语，女友娇羞的呢喃或者撒娇时的话语都可以作为你的QQ提示音。这样说吧，只要是声音，不管是风声雨声打雷声，车声船声飞机声，手枪机枪大炮声，地雷导弹爆炸声，鸡声狗声蛤蟆声，喘气打呼放屁声，总之总之一句话只要是我们耳朵能够听到的声音就可以变成你的QQ提示音，资料里详细讲解了声音的采集制作和如何设置的方法，其实你也可以把这些有趣的喜欢的声音设置为你的短信息和来电铃声的，其实很简单一说就懂一看就会，只需在电脑上的几步普通的操作无需专业的电脑知识，谁都可以在几分钟之内完成你快乐的个性之旅！！！（2）《快速拆装式简易保温浴房》这个名字是我自己给我的这个小小设计取的名字，呵呵见笑了。注意了：如果你已经拥有了一个四季都能舒舒服服洗澡的浴室就不用看下去了。本设计只为解决那些没洗澡间或有洗澡间但因冬季气温低无法在家洗澡的朋友们的困扰。随着经济的发展太阳能热水器已经走进了千家万户，大家知道太阳能热水器是冬天也可以用的，只要在室外管道部分做好防冻措施。但是在大部分农村或者说居住平房的居民来说冬天在家洗澡还是个难题，由于房屋格局设计的缺陷和不能统一供暖的问题，

《金融数学引论第二版》复习提纲

《金融数学引论》复习提纲第一章利息的基本计算第一节利息基本函数一. 累积函数a(t)与总量函数A(t) 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。利息金额I n =A(n)-A(n-1) 对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)；对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)；二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1）如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 ) ()()()(1111-+= ---=n i i n a n a n a i n （2）如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。实际利率 i i n = 例题：1.1 三.. 贴现函数一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下： ,(1),111 1,,,1d i i d i i d d i v d d iv v i d id i =+==-+=-==-=+ 例题：1.2 四．名利率与名贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()() m m m m i d i d m m m m -=?。例题：1.3 五．连续利息计算定义利息强度（利息力）为()() ()() t A t a t A t a t δ''==， 0 ()t s ds a t e δ?=

金融数学引论北大版第4章答案

第四章习题答案 1 现有1000 元贷款计划在5 年按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第 2 年底的未结贷款余额。解：设每个季度还款额是R ，有 Ra(4) 5p6% ￢= 1000 解得R ，代入B2 的表达式 B2 = Ra(4) 3p6% ￢ = 635.32 元 2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。解： n = 10000 2000 = 5 B5 = 10000 ×(1 + i)n ?2000s n p12% ￢ = 4917.72 元 3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。解：以季度为时间单位，i = 2.5% 。 B0 = B1 ? v + 1500a4p i ￢ = 16514.4 元 4 某贷款将在1 5 年分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。解：对现金流重新划分，有 B7 = 2000a￢8p + 1000a￢3p 大学数学科学学院金融数学系第1 页所有，翻版必究 5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半偿还，半年名利率8% 。如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。解：设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有 5000 = Ra3p4% ￢ L = Ra7p4% ￢整理得： L = 5000 ? a￢7p

金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]

金融数学引论答案第二章北京大学出版[1] 第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解：S? 1000s20|7%?XX?50000?1000s20|7%s10|7 %s10|7%? 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有1000?X?250a48|% 解得X = 3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1 。试计算该年金的现值。解：PV?nan|i?n1?v1nY?XX1n?(n? 1)n?n(n? 1)nn2n?2 4．解：a2n?5．已知：a7?

解：?an??an?(1?d)n则d? 1?()n 。计算i。? , a11?? , a18?? ??a7??a11?v7解得i = % ?s10??a??s10?6.证明：证明：11?v10 (1?i)s10??a??s10??10?11ii? 1010(1?i)?11?vi?17．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV?100a8p]3%?100a20]3%? ．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日1000??s25]8%￢?Xa15]7% 解得X = 9．已知贴现率为10%，计算a??8]。解： d = 10%，则i?11?d?1 ?198 ? ??8]? (1 ?i)a1?vi10.求证：??n]?1?a?an]? 1?v；?2?s

金融数学大纲

《金融数学》课程教学大纲英文名称：Financial mathematics 课程编码：0411040 课程性质：专业选修课学时：30学时学分：2学分开课学期：第七学期适用专业：数学与应用数学专业先修课程：《高等数学》、《概率论与数理统计》、《常微分方程》一、课程性质、目的和要求金融数学为数学系金融数学专业的专业选修课，通过本课程的学习，要求学生了解金融数学是以与货币的流通发行和运用过程相关的所有经济活动为研究对象的，并运用数学和统计学等方法进行定量研究和应用的学科。本课程的教学目的是使学生掌握金融数学的基本模型和方法，提高学生利用定量化分析技术处理金融问题的能力，为进一步学习、研究现代金融理论打好基础。教学过程采取课堂讲解、案例教学、课堂讨论相结合的方式。本课程要求学生了解和掌握基本数学工具，能够将学到的金融数学方法与分析技术运用到实际的研究工作中。二、教学内容、要点和课时安排第一章利息基本计算（4学时）教学目的与要求：使学生了解利息计算的基本函数，计算过程中常见的基本处理方法和工具。教学重点：在计算利息时常用的几个基本概念。教学难点：有关利息的计算实例。教学方法和手段：讲授法第一节利息基本函数一、有关概念：累积函数、单利和复利、贴现函数、名利率和名贴现率二、连续利息计算第二节利息基本计算

一、时间单位的确定二、价值方程与等时间法三、利率的计算第三节实例分析一、现实生活中与利率有关的金融现象二、提前支取的处罚三、其他实例思考题： 1.设总量函数为A （t ）= 2 23t t ++,试计算累积函数a(t)和第n 个时段的利息n I 。 2.已知帐户A 的累积函数为2()1A a t t =+，帐户B 的累积函数为2()12B a t t t =++，试计算帐户A 的利息力超过帐户B 的利息力的时刻。第二章年金（4学时）教学目的与要求：使学生了解年金的概念及年金现金流的计算问题。教学重点：基本年金、广义年金与变化年金的概念与基本计算。教学难点：年金的现值和终值计算。教学方法和手段：讲授法第一节基本年金一、有关概念：期末年金、期初年金、递延年金、永久年金二、利余付款期不是标准时间单位的计算第二节广义年金一、付款周期为利息换算周期整数倍的年金二、利息换算周期为付款周期整数倍的年金三、连续年金第三节变化年金一、一般变化年金二、广义变化年金三、连续变化年金第四节实例分析一、固定养老金计划分析二、购房分期付款分析三、年金利率的近似计算思考题： 1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用50000元，如果他们前10年每年底有存款1000元，后10年每年底有存款1000+X ，年利率7%，试计算X 的值。 2.某借款人可以选择以下两种还款方式：每月底还100元，5年还清；K 个月后一次还6000元。如果月换算名利率为12%，计算K 。第三章投资收益分析（4学时）

金融数学专业考研

金融数学专业国内优秀院校：金融数学专业在以下大学是国家重点专业：复旦大学山东大学金融数学专业在以下大学是国家品牌专业：北京大学浙江大学南开大学西交利物浦大学南京师范大学西南交通大学西南财经大学作为一门新兴专业，金融数学专业在我国还刚刚起步，市场需求较大，开设该专业的院校也逐步增多，而其中最有权威性的则是复旦大学和山东大学的金融数学专业，考生可以这两所学校作为自己首要目标。部分院校考试要求：复旦大学经济学院金融学专业招收人数：29人考试科目：①101思想政治理论②201英语一③303数学三④801经济学综合基础（金融），复试科目：外语（口试），专业知识（口试）。同等学力加试科目：世界经济（笔试），公共经济学（笔试）。复试成绩占入学考试总成绩权重：30%。外语口语（含听力）为复试必考科目，思想政治品德、思维表达能力等也均为复试必须考核项目。 2015年复旦大学金融硕士研究生分数线为：单科60（满分=100）、90（满分>100)、总分375。山东大学金融研究院招收硕士研究生34名，招生专业目录中公布的招生人数均为一志愿招生人数（含推免生人数）：专业代码、名称及研究方向招生人数考试科目备注 020204金融学01金融管理4 ①101思想政治理论 ②201英语一 ③301数学一 ④807西方经济学同等学力加试任选两门： 1.复变函数 2.实变函数 3.概率论 025200应用统计01生物统计 02经济统计 03金融统计4 ①101思想政治理论 ②204英语二 ③303数学三 ④432统计学同等学力加试任选两门： 1.复变函数 2.实变函数 3概率论 070103概率论与数理统计01金融风险管理 02计量经济学 03金融统计 04保险与精算6 ①101思想政治理论 ②201英语一 ③651数学分析 ④825线性代数与常微分方程同等学力加试任选两门： 1.复变函数 2.实变函数 3.概率论

北大版金融数学引论答案修订稿

北大版金融数学引论答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

解： S = 1000s 20p 7%+ Xs 10p 7% X = 50000 1000s 20p 7% s 10p7% = 651.72 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48p1.5% 解得 X = 1489.36 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。解： P V = na?n pi 1 v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 n n +2 (n + 1)n 4．已知：a?n p = X ，a 2n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。解： a 2n p = a?n p + a?n p (1 d)n 则 Y X d = 1 ( X ) 5．已知：a?7p = 5.58238, a 11p = 7.88687, a 18p = 10.82760。计算i 。解： a 18p = a?7p + a 11p v 7 解得 6.证明： 1 1?v = s +a 。 s i = 6.0% 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

金融数学引论答案第4章北京大学出版

版权所有，翻版必究第四章习题答案 1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第 2 年底的未结贷款余额。解：设每个季度还款额是R ，有 Ra(4) 5p6% ￢= 1000 解得R ，代入B2 的表达式 B2 = Ra(4) 3p6% ￢ = 635.32 元 2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。解： n = 10000 2000 = 5 B5 = 10000 ×(1 + i)n ?2000s n p12% ￢ = 4917.72 元 3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。解：以季度为时间单位，i = 2.5% 。 B0 = B1 ?v + 1500a4p i ￢ = 16514.4 元 4 某贷款将在1 5 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。解：对现金流重新划分，有 B7 = 2000a￢8p + 1000a￢3p 北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究 5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。解：设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有 5000 = Ra3p4% ￢ L = Ra7p4% ￢整理得： L = 5000 ?a￢7p

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