硕士研究生最优化复习题

优化设计试卷练习及答案

-- 一、填空题 1．组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 ２.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵 为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题,的基础上力求简洁 。 ５.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6．随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯 度法,其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩 阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题,这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 １1坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12.在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束, ,另外应当尽量减少不必要的约束 。 1３.目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+１， 空间中描述出来,为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用 目标函数等值面 的方法。 1４．数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 １６.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 二、名词解释 1.凸规划 对于约束优化问题 ()min f X ..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =??? 若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =???都为凸函数,则称此问题为凸规划。 2.可行搜索方向 是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降,且不会越出可行域。 3．设计空间：ｎ个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合 4.．可靠度 5.收敛性 是指某种迭代程序产生的序列(){}0,1,k X k =???收敛于1lim k k X X +*→∞ = 6.非劣解：是指若有m 个目标()()1,2,i f X i m =???,当要求ｍ-1个目标函数值不变坏时,找不到一个X,使得另一个目标函数值()i f X 比()i f X *,则将此X *为非劣解。 7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。 8.可行域:满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。 9.维修度 略 三、简答题 1．什么是内点惩罚函数法?什么是外点惩罚函数法?他们适用的优化问题是什么?在构造惩罚函数时,内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？

最优化方法复习题66882.docx

《最优化方法》复习题 第一章概述(包括凸规划) 一、判断与填空题 ar§ max /W =玄生min【―/(兀)】?7 1 xeR n xeR n 2max |/(x): x e D o }= - min [f(x): x e D Q R H\ x 3设f : D u RJ R?若T wR”,对于一切xeR n恒有/(Z)上的凸函数当且仅当—/为D上的凹函数.V 1()设f : D u R” T R为凸集D上的可微凸函数，Z G Z).则对V XG D,有/(x)-/(x*) 0}是凸集。V 12设{*}为由求解min的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法， XG D

则对\^^{0,1,2,???},恒有____ /(x A.+1)< f(x k) ____________ :

13算法迭代时的终止准则（写出三种）： ____________________________ o 14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。V 15函数f : D u R“ T R在点（'沿着迭代方向d* eR n \ ｛（）｝进行精确一维线搜索的步长匕.，则其搜索公式为_____________________________ . 16函数f ?. D匚R“ T R在点*?沿着迭代方向d k e/?z, \｛0｝进行梢确一?维线搜索的步长匕，则V/（x A+a k d k Yd k = ___________ 0 . 17设d k eR n\｛0｝为点/ w D匸R“处关于区域D的一个下降方向，则对于Va >0, 3?G（0,a）使得x 二、简述题 1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。 2怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如:判断函数/（x） = xf +2兀|兀2 +2兀;一10兀1 +5兀2是否为凸函数） 三、证明题 1证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 1Z* T —X Gx + c x + b 2 判断s.t. Ax = b（其小G是正定矩阵）是凸规划. x>0 2熟练掌握凸规划的性质及英证明.

《最优化方法》复习题

《最优化方法》复习题 一、 简述题 1、怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数212 2 212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件. 3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本61页(利用单纯形表求解); 69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想. 写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。 5、叙述常用优化算法的迭代公式． （1）0.618法的迭代公式：(1)(), ().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-? （2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)() n k k k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+? =+-?? =-? ?=+-?? L ． （3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1 1k k k k x x G g -+=-． （4）推导最速下降法用于问题1min ()2 T T f x x Gx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k k g g x x f x g G gx +=-? （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-??． （6）共轭方向法用于问题1min ()2 T T f x x Qx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k f x d x x d d Qd +?=-． 二、计算题 双折线法练习题 课本135页 例3.9.1 FR 共轭梯度法例题：课本150页 例4.3.5 二次规划有效集：课本213页例6.3.2,

最优化复习题答案

动态规划： 1.基本思想： 将待求解问题分解成若干个相互联系的阶段，即子问题，将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，先求解子问题，然后从这些子问题的解的方法得到元问题的解。 2.Bellman最优化原理： 作为整个过程的最优策略具有这样的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略。 也就是说，一个最优策略的子策略也是最优的。 3.无后性原则： 某一阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。即未发生的不受到发生的事情的影响。 遗传算法的基本思想和实现过程： 1.基本思想： 遗传进化，根据自然选择和适者生存原理，用简单的编码技术和繁殖机制，模拟自然界生物群体优胜劣汰的进化过程，实现对复杂问题的求解。 2.实现过程： ①把搜索空间（欲求解问题的解空间）映射为遗传空间，把每一个可能的解编码为一 个向量（二进制或十进制数字串），称为一个染色体（或个体），向量中每一个元素称为基因。 ②所有染色体组成群体（群体中染色体个数用POP表示），并按预定的目标函数（或 某种评价指标）对每个染色体进行评价，根据其结果给出一个适应度值。 ③算法开始时，先随机地产生一些染色体（欲求解问题的候选解），计算其适应度， 根据适应度对诸染色体进行选择、交叉、变异操作，剔除适应度差的染色体，留下适应度较好（性能优良）的染色体，从而得到新的群体。 ④新群体的染色体是上一代群体的优秀者，继承了上一代的优良性态，因而明显优于 上一代，这样就能向着更优解的方向进化，直至满足某种预定的优化收敛指标。 神经网络的实现过程： ①数据预处理（归一化过程） ②构造神经网络 ③神经网络的学习过程 ④神经网络的工作过程

机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

.. 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ，海赛矩阵 为2442-?? ? ?-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收 敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1 k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

《最优化方法》复习题(含答案)

《最优化方法》复习题(含答案)

附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，

优化设计复习题

一、 填空题 1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第 一步迭代的搜索方向为 T 100]- [103。 2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。 3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。 4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点 和终点，他们的函数值形成趋势高--低--高。 5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6. 函数12 T T x Hx B x c ++的梯度为_________。 7. 设G 为n n ?对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足 ()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。 8. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降 方向，与梯度成直角的方向为函数值的 不变 方向。 9. 设计变量、目标函数、约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。 10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件 是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。 11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非 负线性组合。 12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间 [][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间【-2.36,10】。 13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。 14. 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --??，其计算是 大，且要求初始在级极小 点附近位置。 15. 将函数()21 12121210460f x x x x x x x =+---+表示成12 T T x Hx B x c ++的形式为 。

最优化方法试题

《最优化方法》试题 一、 填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是 （ ）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。 二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（ ） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题

()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。 四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。 五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。 六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也 是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。

优化设计习题答案精编版

第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()2 2 121 212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ???? ，海赛矩阵 为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯 度法，其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。

-机械优化设计复习试题与答案

机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ?= B. ()*0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()*0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21 T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。

北京理工大学级数学专业最优化方法期末试卷试题A卷MT.doc

课 程 编 号 : 0 7 0 0 0 2 0 3 北 京 理 工 大 学 2 0 0 7 - 2 0 0 8 学 年 第 二 学 期 2005 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (20 分 )某化工厂有三种资源 A 、 B 、 C ，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为 x 1,x 2,x 3 ,其数学模型为： max z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 1 2 x 2 3 430 ( A 资源限制 ) x x 3 x 1 2 x 3 460 ( B 资源限制 ) s.t 4 x 2 420 (C 资源限制 ) x x 1 , x 2 , x 3 0 请回答如下问题： （ 1）给出最优生产方案； （ 2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ （3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为： x 1 2 x 2 3x 3 800 问最优解有何变化？ 2． (12 分 )用 Newton 法求解 min f ( x ) 4 x 12 x 22 2 x 12 x 2 ，初始点取为 x 0 (1, 1)T ，迭代一步。 3．(10 分 )用 FR 共轭梯度法求解三个变量的函数 f ( x ) 的极小值，第一次迭代的搜索方向为 p 0 (1, 1,2)T ，沿 p 0 做精确线搜 索，得 x 1 ( x 11 , x 21 , x 31 )T ， 设 f ( x 1 ) 2, f ( x 1 ) 2 ，求从 x 1 出发的搜索方向 p 1 。 x 11 x 21 4． (15 分 ) 给定下面的 BFGS 拟 Newton 矩阵修正公式： H k 1 ( I s k y k T )H k ( I s k y k T )T s k s k T ， y k T s k y k T s k y k T s k 其中 s k x k 1 x k , y k g k 1 g k 用对应的拟 Newton 法求解： min f ( x ) x 1 2 2x 1 x 2 2 x 22 4 x 1 ，初始点取为 x 0 (0,0) T ， H 0 I 。 5． (15 分 )写出问题 取得最优解的 Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。 6(12 分 )．求约束问题 在 x (0,0) T 及 x 2 (1,0) T 处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来 1 7（ 8 分）考察优化问题 min f ( x ) s.t. x ， D 设 D 为凸集， f ( x ) 为 D 上凸函数，证明： f ( x) 在 D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。 8（ 8 分）设 min f ( x ) 1 x T Ax b T x c ，其中 A 为对称正定矩阵， x * 为 f ( x ) 的极小值点，又设 x 0 ( x*) 可表示为 2 x 0 x * p ，其中 R 1， p 是 A 对应于特征值 的特征向量，证明：若从 x 0 出发，沿最速下降方向做精确一维搜索， 则一步达到极小值点。 课程编号 :07000203 北京理工大学 2008-2009 学年第一学期 2006 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (15 分 ) 用单纯形法求解线性规划问题 2． (10 分 )写出线性规划问题 的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。 3． (15 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min f ( x) x 12 2x 22 ， 初始点取为 x 0 ( 1, 1)T 。（ 1）采用精确一维搜索；（ 2） 采用 Wolfe 条件进行不精确一维搜索，其中 0.1, 0.9 。 4． (15 分 )用 DFP 拟牛顿法求解 min f ( x) x 12 2x 22 初始点取为 x 0 1 ，初始矩阵 H 0 2 1 。 1 1 1 5． (15 分 )证明集合 S { x | x 1 2x 2 4, 2x 1 x 2 6} 是凸集，并计算原点 (0,0) 到集合 S 的最短距离。 6． (15 分 ?) 考虑问题 （1）用数学表达式写出在点 ( 1 , 5)T 处的下降可行方向集。 3 3 （ 2）假设当前点在 (0,0) T 处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。 7（ 7 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。

《最优化方法》复习题(含答案)

x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章 概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ； 设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为 设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最 优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

大学优化设计试卷期末考试及答案

一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()2 2 121 212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ???? ，海赛矩阵 为2442-????-?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯 度法，其收敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。

13-14(1)最优化方法期末试卷

2013-2014学年第一学期 数学计算经数专业《最优化方法》（课程）期末试卷 试卷来源：自拟 送卷人:赵俊英 打印：赵俊英 乔凤云 校对：赵俊英 一．填空题（20分） 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________， 可行域D 可以表 为_____________________________， 若____________________，称* x 为问题的全局最优解. 2.()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则=?)(x f ， =?)(2 x f . 3.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向. 4. 无约束最优化问题：min (),n f x x R ∈，若k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =______________ 5. 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式为 . 6 .举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 7.函数222 21 12313()226f x x x x x x x x =+++- （填是或不是） 严格凸函数. 二．（18分）简答题： 1. 设计求解无约束优化问题的一个下降算法，并叙述其优缺点. 2. 叙述单折线法的算法思想. 3. 写出以下线性规化问题的对偶： 1234123412341234134min ()2536..873411,762323,324712,0,0,0.f x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+-??-+++=?? +++≥??+++≤? ≤≥≥??

最优化方法考试试题

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2010--2011学年第 1 学期 考试科目： 运筹学与最优化方法 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、 用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12121212max 105349 ..528,0z x x x x s t x x x x =++≤?? +≤??≥?

二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62 ..33,0z x x x x s t x x x x =++≥?? +≤??≥? 三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分） 12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01 z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤?? -+-≥??=?或

四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分） 22121122 121212 max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥? 五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分） 21 121 2min ()6923..3 f X x x x x s t x =-++≥??≥?

六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。（共 15 分） 22 121122()46222f X x x x x x x =+--- 七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新 的车至第j 年末的各项费用的累计(含更新所需费用、运行费用及维修费用等)，试据此确定该人最佳的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共 15 分）

最优化试题及答案

最优化理论、方法及应用试题 一、 （30分） 1、针对二次函数1()2 T T f x x Q x b x c =++，其中 Q 是正定矩阵，试写出最速下降 算法的详细步骤，并简要说明其优缺点？ 答：求解目标函数的梯度为()g x Qx b =+，()k k k g g x Q x b ==+，搜索方向：从k x 出发，沿k g -作直线搜索以确定1k x +。 Step1: 选定0x ,计算00,f g Step2: 做一维搜索, ()1min k k k t f f x t g +=-,1k k k x x tg +=-. Step3：判别，若满足精度要求，则停止；否则，置k=k+1,转步2。 优缺点：最速下降法在初始点收敛快，算法简单，在最优点附近有锯齿现象，收敛速度慢。 2、有约束优化问题 m in ()()0,1,2,,.. ()0,1,2,,i j f x g x i m s t h x j l ≥=???==?? 最优解的必要条件是什么？ 答：假设*x 是极小值点。必要条件是f ，g ，h 函数连续可微，而且极小值点的所有起作用约束的梯度(*)(1,2,,)i h x i l ?= 和(*)(1,2,,)j g x j m ?= 线性无关，则 存在****** 12 12,,,,,,,,l m αααβββ 使得 ()1 1* * * * * * 1 212* * (*)*(*)*(*)0 *(*)0,1,2,,,,,,,,,0 0,0 l m i i j j i i j j l m i j f x h x g x g x j m α β βα ααβββαβ==?- ?- ?===≠>≥∑∑ 3、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法，其可行的下降方向怎样确定？ 答：起作用约束：若0()0j g x =，这时点0x 处于该约束条件形成的可行域边界上，它对0x 的摄动起到某种限制作用。 可行方向：0x 是可行点，某方向p ，若存在实数00λ>，使得它对任意

【机械优化设计】试题(卷)答案解析

《机械优化设计》复习题 一、填空 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n ×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯 度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。

最优化试题及答案

m i 1 m * m j * g j (x*) 0 最优化理论、方法及应用试题 一、(30 分) 1、针对二次函数f(x) 1x T Qx b T x c，其中Q是正定矩阵，试写出最速下降算法的详细 步骤，并简要说明其优缺点？ 答：求解目标函数的梯度为g(x) Qx b，g k g(x k) Qx k b，搜索方向：从X k 出发，沿g k作直线搜索以确定x k 1。 Stepl:选定X。,计算f o,g o Step2:做一维搜索，f k i min f X k tg k , x k 1 X k tg k. Step3 :判别，若满足精度要求，则停止；否则，置 k=k+1,转步2 优缺点：最速下降法在初始点收敛快， 收敛速度慢。 算法简单，在最优点附近有锯齿现象, 2、有约束优化问题 min f (x) g i(x) 0,i 1,2,L ,m s.t h j (x) 0,j 1,2,L ,l 最优解的必要条件是什么？ 答：假设x*是极小值点。必要条件是f，g，h函数连续可微，而且极小值点的 所有起作用约束的梯度h(x*)(i 1,2丄，1)和g j(x*)( j 1,2,L ,m)线性无关，则* * * * 存在1 , 2丄，I, 1, 2丄，m,使得 l f(x*) i* h i(x*) i 1 j*g j(x*) 0,j 1,2,L * * * * * 1 , 2 ,L , l , 1 , 2 ,L , * 0, j 0 3、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？ 针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法，其可行的下降方向怎样确定？答：起作用约束：若g j(x0) 0，这时点x0处于该约束条件形成的可行域边界上, 它对x0的摄动起到某种限制作用 可行方向：x0是可行点，某方向 p，若存在实数0 0,使得它对任意

优化设计习题

《机械优化设计》复习题 一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索 方向为 。 2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 ，二是 。 3、当优化问题是________的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在______关系。 8、与负梯度成锐角的方向为函数值 方向，与梯度成直角的方向为函数值 方向。 将函数f(X)=x 12+2x 22-3x 1x 2 -10x 1-5x 2+60用矩阵和向量的形式表示 9、 、 、 是优化设计问题数学模型的基本要素。 10、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 ，充分条件是 。 11、 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 12、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。 13、优化设计问题的数学模型的基本要素有 、 、 。 14、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 ，且要求初始点在极小点 位置。 15、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++2 1的形式 。 16、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 17、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 特点。 18、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 。 二、选择题 1、下面 方法需要求海赛矩阵。 A 、最速下降法