排列组合综合问题(一)
(一)
学习要求
1.在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法；
2.提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想和方法．
一．知识梳理
1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.
2.解排列组合的应用题，要注意四点：
（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步. （2）深入分析、严密周详，注意分清是乘．还是加．，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.
（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决.
（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复.
二．自我评价
1. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（）
A. A2
6C2
4
B.
2
1
A2
6
C2
4
C. A2
6
A2
4
D. 2A2
6
2. 从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）
A.24
B.48
C.120
D.72
3.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（）
A.480
B.240
C.120
D.96
4.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个（用数
字作答）.
三．典型例题
例1.（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位
置，共有多少种不同的排法？
(2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法
共有多少种？
(3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾
的排法共有多少种？
(4)7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能
站排尾的排法共有多少种？
反思小结：能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊
位置上有特别要求的排列问题)：解决此类问题的关
键是特殊元素或特殊位置优先,或使用间接法．
例2. 7位同学站成一排,
(1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少
种？
(2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少
种？
（3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少
种？
反思小结：相邻不相邻排列问题(即某两或某些元素
不能相邻的排列问题)：相邻排列问题一般采用大元
素法,即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与
其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，
也叫“捆绑法”．不相邻排列问题(即某两个或某些
元素不能相邻的排列问题)一般采用“插空法”．
四．堂上训练
1．某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物
理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，
最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？
2. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，
每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号
子项目，则不同的承建方案共有( )
A.14
44
C C种 B.14
44
C A种 C.4
4
C种 D.4
4
A种
3. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，
开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插
入原节目单中，并且保持原节目的相对顺序不变那
么不同插法的种数为（）
A.42
B.30
C.20
D.12
4. 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的
站法？
（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端.
5.7位同学站成一排．
(1)甲必须站在乙的左边的排法共有多少种？
(2)甲、乙和丙三个同学由左到右排列的排法共有多
少种？
6.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数
字，并且比20000大的五位偶数共有（）
A.288个
B.240个
C.144个
D.126个
五．课后作业
1. 从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，
如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共
有多少种参赛方法?
2.在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节
目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有
多少种安排方法?
3.（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻
2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?
（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个
空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐
法?
4. 在3000与8000之间，
⑴有多少个没有重复数字且能被5整除的奇数？
⑵有多少个没有重复数字的奇数？
5.从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫
斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每
人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴
黎游览，则不同的选择方案共有多少种？
六．学习资料
1. 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一
进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好
在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有
多少种可能?
2.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参
赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，
若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有
3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二
班的2位同学没有被排在一起的概率为多少？
3. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳
动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次
跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点
．．）处，则
质点不同的运动方法共有__________种.（用数字作
答）
4. 如下图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D
四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分
涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有多
少种不同的涂色方法?
七．总结提升