专题14 二次函数的图象和性质-2年中考1年模拟备战2017年中考数学精品系列(原卷版)

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟

第三篇 函数

?解读考点

知 识 点

名师点晴

二次函数概念、图象和性质

1．二次函数的概念

来源学+科+网

会判断一个函数是否为二次函数． 2．二次函数的图象

知道二次函数的图象是一条抛物线．

3．二次函数的性质 会按在对称轴左右判断增减性．

4．二次函数的解析式确定

能用待定系数法确定函数解析式．

二次函数与二次方程的关系 5．判别式、抛物线与x 轴的交点、

二次方程的根的情况三者之间的

联系．

会用数形结合思想解决此类问题．

能根据图象信息，解决相应的问题．

?考点归纳

归纳 1：二次函数中各系数a 、b 、c 的几何意义

【例1】（2016四川省广安市）已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程2

0ax bx c m ++-=有两个不相等的实数根，下列结论：

①2

4b ac -＜0；②abc ＞0；③a ﹣b +c ＜0；④m ＞﹣2，其中，正确的个数有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

归纳 2：二次函数图象与几何变换

【例2】（2016四川省眉山市）若抛物线223y x x =-+不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ） A ．2(2)3y x =-+ B ．2(2)5y x =-+ C ．21y x =- D ．24y x =+

归纳 3：二次函数图象性质的综合应用

【例3】（2016四川省攀枝花市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．

（3）直线l 经过A 、C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B 和点Q ，是否存在直线m ，使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式，若不存在，请说明理由．

?2年中考

【2016年题组】

一、选择题

1．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第11题，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线2

12

y x =-向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）

A ．21322y x x =-

-- B ．21122y x x =-+- C ．21322y x x =-+- D ．211

22

y x x =---

2．（2016内蒙古呼和浩特市）已知a ≥2，2

220m am -+=，2

220n an -+=，则22(1)(1)m n -+-的最小值是（ ）

A ．6

B ．3

C ．﹣3

D ．0

3．（2016天津市）已知二次函数2()1y x h =-+（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ）

A ．1或﹣5

B ．﹣1或5

C ．1或﹣3

D ．1或3

4．（2016四川省凉山州）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图，则反比例函数a

y x

=-与一次函数y bx c =-在同一坐标系内的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．（2016四川省巴中市）如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x =﹣1，给出四个结论： ①c ＞0； ②若点B （32-

，1y ）、C （5

2

-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b =0； ④2

44ac b a

-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．（2016四川省攀枝花市）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）

A ．2a ﹣b =0

B ．a +b +c ＞0

C ．3a ﹣c =0

D ．当a =

1

2

时，△ABD 是等腰直角三角形 7．（2016四川省泸州市）已知二次函数2

2y a x b x =--（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且

过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．

34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ．14或3

4

8．（2016四川省自贡市）二次函数=++2y ax bx c 的图象如图，反比例函数=a

y x

与正比例函数=y bx 在同一坐标系的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．（2016四川省资阳市）已知二次函数2y x b x c =++与x 轴只有一个交点，且图象过A （1x ，m ）、B （1x +n ，m ）两点，则m 、n 的关系为（ ） A ．m =12n B ．m =14

n C ．m =212n D ．m =2

14n

10．（2016四川省达州市）如图，已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ①abc ＞0，②4a +2b +c ＞0，③2

4ac b -＜8a ，④13＜a ＜2

3

，⑤b ＞c ． 其中含所有正确结论的选项是（ ）

A ．①③

B ．①③④

C ．②④⑤

D ．①③④⑤

11．（2016山东省临沂市）二次函数2

y ax bx c =++，自变量x 与函数y 的对应值如表：

x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y …

4

﹣2

﹣2

4

…

下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下

B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大

C ．二次函数的最小值是﹣2

D ．抛物线的对称轴是5

2

x =-

12．（2016山东省威海市）已知二次函数2()y x a b =---的图象如图所示，则反比例函数ab

y x

=与一次函数y =ax +b 的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

13．（2016山东省日照市）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为x =1，下列结论：①abc ＞0；②2a +b =0；③4a +2b +c ＜0；④若（32-，1y ），（10

3

，2y ）是抛物线上两点，则1y ＜2y 其中结论正确的是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．①③④

14．（2016山东省泰安市）一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有一正根一负根 C ．有两个正根 D ．有两个负根

15．（2016山东省泰安市）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m ，n ，则二次函数2

()y x m n =-+的顶点在坐标轴上的概率为（ ） A ．25 B ．15 C ．14 D ．1

2

16．（2016山东省滨州市）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线256y x x =++，则原抛物线的解析式是（ ）

A ．2511()24y x =---

B ．2511

()24y x =-+-

C ．251()24y x =---

D ．251

()24

y x =-++

17．（2016广西桂林市）已知直线33y x =-+与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线

21

(3)43

y x =--+上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（ ）

A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

18．（2016浙江省舟山市）二次函数2(1)5y x =--+，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ） A ．52 B ．2 C ．32 D ．1

2

19．（2016浙江省衢州市）二次函数2

y ax bx c =++（a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下：

x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …

则该函数图象的对称轴是（ ）

A ．直线x =﹣3

B ．直线x =﹣2

C ．直线x =﹣1

D ．直线x =0

20．（2016甘肃省兰州市）点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数2

2y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）

A ．321y y y >>

B ．312y y y >=

C ．123y y y >>

D ．123y y y =>

21．（2016甘肃省兰州市）二次函数2

y a x b x c =++的图象如图所示，对称轴是直线x =﹣1，有

以下结论：①abc ＞0；②2

4ac b <；③2a +b =0；④a ﹣b +c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 二、填空题

22．（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3）．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 的最大值为 ．

23．（2016宁夏）若二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是 ． 24．（2016四川省内江市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，且P =|2a +b |+|3b ﹣2c |，Q =|2a ﹣b |﹣|3b +2c |，则P ，Q 的大小关系是 ．

25．（2016四川省凉山州）将抛物线2

y x =-先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为

．

26．（2016广东省梅州市）如图，抛物线2

23y x x =-++与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上

的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ．

27．（2016湖北省荆州市）若函数2(1)42y a x x a =--+的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为 ． 三、解答题

28．（2016四川省达州市）如图，已知抛物线226y ax x =++（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF =2，且△CEF 的面积为6． （1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．

29．（2016山东省日照市）如图1，抛物线2

3

[(2)]5

y x n =--+与x 轴交于点A （m ﹣2，0）和B （2m +3，

0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ． （1）求m 、n 的值；

（2）如图2，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值； （3）如图3，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

30．（2016山东省枣庄市）如图，在矩形OABC 中，OA =3，OC =2，F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数k

y x

=

（k ＞0）的图象与BC 边交于点E ． （1）当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；

（2）当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？

31．（2016山东省淄博市）如图，抛物线2

21y ax ax =++与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）求直线AB 对应的函数解析式．

32．（2016山东省潍坊市）如图，已知抛物线2

13

y x bx c =

++经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；

（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．

33．（2016山东省菏泽市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

2y ax bx =++过B （﹣2，6），C （2，2）两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；

（3）若直线

1

2

y x

=-向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，

求b的取值范围．

34．（2016广东省）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接P A、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

35．（2016广东省梅州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；

（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

36．（2016广西百色市）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点．

（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O、P、A三点坐标；

②求抛物线L的解析式；

（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

37．（2016云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=1

2

的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与

x轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；

（3）如图2，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

38．（2016云南省曲靖市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C （0，3），tan ∠OAC =3

4

． （1）求抛物线的解析式；

（2）点H 是线段AC 上任意一点，过H 作直线HN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点P ，求线段PH 的最大值； （3）点M 是抛物线上任意一点，连接CM ，以CM 为边作正方形CMEF ，是否存在点M 使点E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

39．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第26题，13分）如图，抛物线2

23y x x =-++与x 轴相交的于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点（P 不与C ，B 两点重合），过点

P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．

①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形． ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；当m 为何值时，S 有最大值．

40．（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图所示，抛物线2

3

2

y ax x c =-

+经过原点O 与点A （6，0）两点，过点A 作AC ⊥x 轴，交直线y =2x ﹣2于点C ，且直线y =2x ﹣2与x 轴交于点D ． （1）求抛物线的解析式，并求出点C 和点D 的坐标；

（2）求点A 关于直线y =2x ﹣2的对称点A ′的坐标，并判断点A ′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P （x ，y ）是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA ′于点Q ，设线段PQ 的长为l ，求l 与x 的函数关系式及l 的最大值．

41．（2016北京市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

21y mx mx m =-+-（m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当m ＝1时，求线段AB 上整点的个数；

②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．

42．（2016宁夏）在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD ．若两个点同时运动的时间为x 秒（0＜x ≤3），解答下列问题：

（1）设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值； （2）是否存在x 的值，使得QP ⊥DP ？试说明理由．

43．（2016安徽）如图，二次函数bx ax y +=2

的图象经过点A （2，4）与B （6，0）． （1）求a ，b 的值；

（2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．

44．（2016四川省乐山市）在直角坐标系xOy 中，A （0，2）、B （﹣1，0），将△ABO 经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD ．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标；

（3）现将△ABO 、△BCD 分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值．

45．（2016江苏省常州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x 与二次函数2

y x bx =+的图象相交于O 、A 两点，点A （3，3），点M 为抛物线的顶点． （1）求二次函数的表达式；

（2）长度为22的线段PQ 在线段OA （不包括端点）上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于

点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；

（3）直线OA 上是否存在点E ，使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF =S △AOM ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

46．（2016江苏省无锡市）已知二次函数22y ax ax c =-+（a ＞0）的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CP ：PD =2：3．

（1）求A 、B 两点的坐标； （2）若tan ∠PDB =

5

4

，求这个二次函数的关系式．

47．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

y x bx c =++经过点（﹣1，8）并与x 轴交于点A ，B 两点，且点B 坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y 轴交于点C ，顶点为点P ，求△CPB 的面积．

注：抛物线2

y ax bx c =++（a ≠0）的顶点坐标是（2b a -，2

44ac b a

-）

【2015年题组】

1．（2015乐山）二次函数224y x x =-++的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

2．（2015南宁）如图，已知经过原点的抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的对称轴是直线1-=x ，下列结论中：

①0>ab ， ②0>++c b a ， ③当002<<<-y x 时，． 正确的个数是（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

3．（2015柳州）如图，二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）

A ．x ＜﹣2

B ．﹣2＜x ＜4

C ．x ＞0

D ．x ＞4

4．（2015河池）将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A ．2(2)3y x =++ B ．2(2)3y x =-+ C ．2(2)3y x =+- D ．2(2)3y x =--

5．（2015贵港）如图，已知二次函数212433y x x =

-的图象与正比例函数22

3

y x =的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），若120y y <<，则x 的取值范围是（ ）

A ．0＜x ＜2

B ．0＜x ＜3

C ．2＜x ＜3

D ．x ＜0或x ＞3

6．（2015苏州）若二次函数2

y x bx =+的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程2

5x bx +=的解为（ ）

A ．10x =，24x =

B ．11x =，25x =

C ．11x =，25x =-

D ．11x =-，25x =

7．（2015乐山）已知二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，记2m a b c a b c =-++++，

2n a b c a b c =+++--．则下列选项正确的是（ ）